ENBM 第十一章 知识点

第十一章RIP路由协议知识点

1. 什么是动态路由？

动态路由是一个过程，是路由器更新路由表和维护路由表的过程。这个过程的前提是：多个路由器之间互相传递路由信息。路由器接到其它路由器发来的路由信息后，启动相应的算法，最终生成自己的路由表，这张自动生成的路由表里，包含了到达所有网络的路由条目。

根据算法的不同，便产生了不同的动态路由协议，比如RIP、OSPF。

2. 动态路由的特点有哪些？

①因为动态路由协议能够自动计算出路由条目，所以，动态路由适用于网络规模大、网络拓扑复杂的网络。

②简少了管理任务。管理员只做少量的配置即可，路由学习、路由转发、路由维护的任务都由动态路由协议自动完成。

③占用了网络的带宽。因为启动了动态路由协议的路由器之间要传递信息，所以会占用一定的网络流量。

3. 动态路由和静态路由的优先级如何？

静态路由的优先级高于动态路由。

当一个数据包到达路由器之后，路由器先到静态路由条目中去查找目标网络，如果没有找到，再到动态生成的动态路由条目中去查找目标网络。

4. 动态路由协议的算法包括哪些内容？

动态路由即是自动生成到达非直连网络的路由条目的过程，这个过程的完成是要依靠动态路由协议的，每一种动态路由协议的路由选择算法是不相同的，这些算法至少要具备以下几个方面的内容：

①如何向其它路由器传递路由信息。

②如何接收其它路由器的路由信息。

③如何根据收到的路由信息计算出到达每个网络的最优路径，并由此生成路由表。

④网络拓扑变化时，如何及时做出反应、如何生成新的路由表、如何把这种变化以路由信息的形式通告给其它路由器。

5. 动态路由协议根据什么对路由进行选择？

动态路由协议能够选择出一条到达目标网络的最佳的路径，那么，动态路由协议是根据什么来对多条路径进行筛选的呢？

动态路由协议根据度量值来对多条路径进行筛选。度量值来自于能够对路径进行度量的参数，能够对路径进行度量的参数有哪些呢？

①跳数。根据数据包经过的路由器的个数对路径进行度量，每经过一个路由器，就增加一跳，即跳数值就增加1。这个度量认为，跳数值越小，路由越好。

②带宽。这个度量认为，带宽越高，路径越优。

③负载。这个度量认为，最优路径应该是负载最低的路径。

④时延。使用时延作为度量的路由选择协议将会选择使用最低时延的路径作为最优路径。

⑤可靠性。可靠性度量用来度量链路在某种情况下发生故障的可能性，可靠性最高的路径将被最优先选择。

不同的路由协议使用以上提到的不同的度量，有的使用一个度量，有的使用多个度量。动态路由协议使用上面提到的度量对到达同一目标网络的多条路径进行测评，对每一条路径都给出一个综合的值，这个值叫做“成本”，成本值最低的那一条路径，被选为最优路径。

网络管理员可以手工设置路由条目的成本值，从而控制数据包转发所经由的路径。

6. 动态路由协议有哪些种类？

常见的动态路由协议有两类：距离矢量路由协议和链路状态路由协议。

距离矢量路由协议根据从源网络到目标网络所经过的路由器的个数来选择最佳路由。典型的协议有RIP和IGRP。

链路状态路由协议综合考虑从源网络到目标网络的各条路径的情况来选择路由。典型的协议有OSPF和IS-IS。

7. 距离矢量路由协议是如何工作的？

启动了距离矢量路由协议的路由器，每经过一个特定的时间周期，就向邻居发送自己的路由表。每个路由器都不停地这样做，从而每个路由器都能够收集到到达所有网络的路由信息。

当拓扑发生了变化时，某路由器A产生了一个更新信息，此路由器A把这个更新信息传递给邻居B，邻居B再传给自己的邻居C，依此类推，从而达到路由更新信息全网周知。

路由器向邻居发出的信息中，包括两部分内容：到达目标网络的距离和方向。比如：“通过下一跳路由器X（指出了方向）可以到达目标网络Y，距此有5跳的距离（指出了距离）。”

8. 链路状态路由协议是如何工作的？

启动了链路状态路由协议的路由器，根据自己周围的网络拓扑结构，生成一条LSA（链路状态广播），并通过相互之间发送协议报文将这条LSA发送给网络中其它的所有路由器。这样每台路由器都收到了其它路由器的LSA，所有的LSA放在一起称作LSDB（链路状态数据库）。LSA相当于描述自己周边的情况的小地图，LSDB相当于描述整个网络状态的全局地图。显然，每台路由器的LSA是不同的，而每台路由器的LSDB则是相同的。

由于一条LSA是对一台路由器周围拓扑结构的描述，LSDB是对整个网络的拓扑结构的描述，路由器很容易将LSDB转换成一张带权的有向图，这张图便是对整个网络拓扑结构的真实反映。

接下来，每台路由器在图中以自己为根节点，使用SPF算法计算出一棵最短路径树，由这棵树得到了到达网络中各个节点的路由表。显然，每台路由器得到的路由表是不同的。

由上面分析可知，链路状态协议计算出路由主要有以下三个步骤：

①描述本路由器周边的网络拓扑结构，并生成LSA。

②将自己生成的LSA在系统中传播。并同时收集所有的其它路由器生成的LSA。

③根据收集的所有的LSA计算路由。

9. RIP更新路由条目的原则是什么？

RIP协议以30秒为周期，用Response报文广播自己的路由表。路由器接收到相邻路由器发送来的路由信息，把收到的路由条目的跳数加1，然后与自己的路由表中的条目进行比较。

1. 路由表中没有某条路由信息，把这条路由信息填入路由表。

2. 路由表中已有某条路由信息，则再进一步判断：

（1）新路由信息优于或等于原条目：用新的路由替换原有路由。

（2）新路由信息劣于原条目：则再进一步判断：

①新路由信息与原条目来源于同一个源：用新的路由替换原有路由。

②新路由信息与原条目并非来自同一个源：忽略这条路由信息。

10. 什么叫收敛？

比如，在一个运行着RIP协议的路由网络中，新添加进来了一个网段，经过了一段时间，这个新网段被所有运行RIP协议的路由器都学习到了，这个过程，就称为收敛。

收敛的时间是恒量动态路由协议的一个重要指标，我们希望，收敛的时间越短越好。11. 网络达到了收敛状态以后，为什么路由器还要定期向邻居发送自己的路由信息？

第一，维护路由表项。告诉对方，我的路由条目还是存在的，还是有效的。

第二，一旦拓扑发生了变化（添加或删除了网段），可以在发送时间到来的时候（一般是每隔30秒发送一次），把这种变化告诉给邻居，再通过邻居，被全网的路由器学习到这种变化。

12. RIP网络达到了收敛状态以后，添加进了路由器A，路由器A如何生成自己的路由表？

①路由器A启动时的初始路由表仅包含本路由器的一些直连接口的路由。

②路由器A的RIP协议启动后，向各接口广播一个Request报文。

③邻居路由器的RIP协议从某接口收到Request报文后，更新自己的路由表，并根据自己的路由表，形成Response报文，把该报文以广播的形式发送给路由器A。

④路由器A接收邻居路由器回复的包含邻居路由器路由表的Response报文，形成自己的路由表。

13. 简述RIP的工作原理。

RIP路由协议向邻居发送整个路由表信息。

RIP路由协议以跳数作为度量值，根据跳数的多少来选择最佳路由。

最大跳数为15跳，16跳为不可达。

经过一系列路由更新，网络中的每个路由器都具有一张完整的到达所有网段的路由表。

14. 简述RIP路由表形成与维护的工作原理。

学习直连路由，互相发送路由表；学习路由更新，更新路由表。

15. RIP中设置了哪些计时器？

更新计时器：路由器每隔30秒从每个启动RIP协议的接口发送出自己的路由信息。

无效计时器：如果一条路由条目在180s内没有收到邻居发来的关于此条目的信息，这条路由的跳数将记为16。

刷新计时器：某条路由条目被无效计时器标记为不可达之后，再过60秒，还没有收到更新，则将这条路由从路由表中删除。

抑制计时器：如果一个网段变为不可达，则此变化会通过一个触发更新消息，立刻发出，遍及全网，接收到此触发更新消息的路由器，启动抑制计时器，时间为180秒，超过180秒之后，才接收关于不可达网段的路由更新消息。这样，可以有效地防止（并不能杜绝）一条链路忽通忽断而导致网络内所有路由器的路由表跟着它不停改变的现象。

16. 什么是水平分割？

水平分割是在距离矢量路由协议中最常用的避免环路发生的解决方案之一。

产生环路的一种情况是：路由器A将从路由器B学习到的路由信息又告诉给了路由器B。最终，路由器B认为通过路由器A能够到达目标网络，路由器A认为通过路由器B能够到达目标网络。路由数据包的时候，数据将在两个路由器间不停地循环，直至TTL的值为0，将此数据包丢弃。

水平分割的思想就是：在路由信息传送过程中，不再把路由信息发送到接收到此路由信息的接口上。从而在一定程度上避免了环路的产生。

17. 什么是有类路由协议？什么是无类路由协议？

有类路由协议，在向邻居路由器宣告自己的路由信息时，不携带目标网络的子网掩码。RIP v1是有类路由协议。

无类路由协议，在向邻居路由器宣告自己的路由信息时，携带目标网络的子网掩码。RIP v2是无类路由协议。

18. RIP v1和RIP v2的区别有哪些？

①RIP v1发送路由消息时，不携带子网掩码；RIP v2则携带每个路由条目的子网掩码。

②RIP v1发送路由消息时，采用广播的方式，广播地址为255.255.255.255；RIP v2发

送路由消息时，采用组播的方式，组播地址为224.0.0.9。

③RIP v1不支持不连续子网。从一个网络ID划分出来的子网如果分配在不同的路由器上，RIP宣告路由时又不携带子网掩码，就会造成到达同一主网有多条路径，从而发生错误的数据转发。RIP v2支持不连续子网，因为其通告路由时携带子网掩码，所以路由器能知道其准确的子网络ID。

④RIP v2具有验证身份的功能。

⑤RIP v2发送路由消息时，不但携带路由条目的子网掩码，还携带路由条目的下一跳地址。

19. 分别用RIP v1和RIP v2对以下拓扑进行配置。

RIP v1：（以路由器A为例）

routerA(config)# interface fastethernet 0/0

routerA(config-if)# ip address 192.168.1.1 255.255.255.0

routerA(config-if)# no shutdown

routerA(config-if)# exit

routerA(config)# interface fastethernet 0/1

routerA(config-if)# ip address 10.0.0.2 255.0.0.0

routerA(config-if)# no shutdown

routerA(config-if)# exit

routerA(config)# router rip

routerA(config-router)# network 192.168.1.0

routerA(config-router)# network 10.0.0.0

routerA(config-router)# end

路由器B和路由器C的配置同上。

RIP v2：（以路由器A为例）

routerA(config)# interface fastethernet 0/0

routerA(config-if)# ip address 192.168.1.1 255.255.255.0

routerA(config-if)# no shutdown

routerA(config-if)# exit

routerA(config)# interface fastethernet 0/1

routerA(config-if)# ip address 10.0.0.2 255.0.0.0

routerA(config-if)# no shutdown

routerA(config-if)# exit

routerA(config)# router rip

routerA(config-router)# version 2

routerA(config-router)# no auto-summary routerA(config-router)# network 192.168.1.0 routerA(config-router)# network 10.0.0.0 routerA(config-router)# end

路由器B和路由器C的配置同上。

第十一章三角形知识点归纳

第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法：最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ，则第三边的取值范围是 两边之差＜第三边＜两边之和 例：下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例：已知三角形的两边分别是7和12，则第三边长得取值范围为（ ） 考点二：5、三角形具有 性，四边形具有 性 例：下列图形具有稳定性的是（ ） A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三： 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线，垂足为D ， 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注：三角形面积=底×底边上的高 例：AD 是△ABC 的高，∠ADB=∠ADC= 例：AD 是△ABC 的高，AD=3，BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D ， 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言： AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注：三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形

D 例：AD 是△ABC 的中线 ，BD=3，则CD= ，BC= ， 若△ABC 的面积是18，则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ，那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言： AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例：AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC=70度，则∠BAD= ,∠CAD= 考点四：三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言：∠A+∠B+∠C= 例：在△ABC 中，∠B=45度，∠C=55度，则∠A= 考点五：三角形的外角 1、定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言： ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例：如图，已知∠ACD=120度，∠B=50度，则∠A= 考点六：n 边形的内角和公式等于 例：计算五边形的内角和是 例：一个多边形的内角和是720度，则这个多边形的边数是 考点七：多边形的外角和等于 例：十二边形的外角和等于 例：正多边形的每个外角的度数都是40度，则这个正多边形的边数是

第11章 数的开方知识点总结

第11章数的开方知识点总结 平方根 ★1.平方根的定义: 如果一个数的________等于a,那么这个数叫做a的__________. 2,那么________叫做________的__________. 即如果a x ★2.数的开方: 数的开方是一种运算,它包括开平方和开立方. （1）开平方: 求一个数的平方根的运算,叫做开平方; （2）开立方: 求一个数的________的运算,叫做开立方. ★3.平方根的特征: （1）正数的平方根有________个,它们互为________; （2）0的平方根只有________个,是________,即它本身; （3）负数________平方根. ★4.平方根的表示: 非负数a的平方根表示为__________.其中a叫做__________,对a 的要求是________. ★5.算术平方根 非负数a的算术平方根表示为__________. ★6.关于算术平方根 正数的算术平方根只有________个,0的算术平方根是________,负数没有平方根,当然也就没有____________. 算术平方根等于它本身的数有________个,分别是____________. 平方根等于它本身的数有________个,是________.

★7.()0≥a a 具有双重非负性: （1）0≥a ; （2）0≥a . ★8.非负数的和为0的问题 若几个非负数的和等于0,则每个非负数分别等于________. 若02=++C B A ,则______________________. ★9.重要结论: （1）???==________________________2 a （2）()=2a ________,()=-2a ________. （3）若A B B A --与都有意义,则____________. ★10.新概念---完全平方数 如果一个数是另一个整数的完全平方,那么这个数就叫做_______,如0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100等. 完全平方数可以用于估算某些无理数的值,即开方开不尽的数. ★11.易错题 例1. 16的平方根是________,16的平方根是________. 例2. 81的平方根是________,81的平方根是________. 例3. ()2 4-的平方根是________,算术平方根是________. 例4. 如果()=-=a a 则,6.12 2________. 例5. 25 16的平方根是________,用数学式子表示为_______________. 例6. 若某个数的平方根只有一个,则这个数是______.若一个自然数的算术平方根是a ,则和这个自然数相邻的下一个自然数是________.

解三角形知识点归纳总结

第一章解三角形 .正弦定理: 2）化边为角： a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 ）化边为角： a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 ）化角为边: sin A sin B a ； sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 ）化角为边：si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ① 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中，已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时，B 无解； ② a bsinA 或a b 时，B 有一个解; ③ bsinA a b 时，B 有两个解。 如：①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径， 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形：1） a b c a sin sin si sin 2R （其中R 是三角形外接圆的半径） b c sin sinC c 2R 沁；求出 sin C 1.正弦定理：在一个三角形中, bsin A

第十一章三角形(知识点+题型分类练习)

三角形必背知识点 一、三角形基本概念 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 3. 三角形三边的关系（重点） 三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 解题方法： ①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。 ②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形 方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可 ③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形 方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。 ④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围 方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b

⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高 从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。 2. 三角形的中线 连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3. 三角形的角平分线 ∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。 要求会的题型： ①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度 方法：利用“等积法”，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。 三、三角形的稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角

八年级数学上册第11章数的开方复习1教案新版华东师大版

数的开方 课题名称 第11章 数的开方 复习课一 基础知识 三维目标 1.进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义； 2.理解无理数和实数的意义； 3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根； 4.会对实数分类以及进行实数的近似计算. 重点目标 平方根、算术平方根、实数的概念及其计算. 难点目标 算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用 导入示标 知识归纳 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。a 的平方根记作: 或 。 求一个数a 的平方根的运算叫做开平方. （2）平方根的性质 ①一个正数有 个平方根，它们互为相反数 ②0有 个平方根，它是 。 ③负数 平方根。 （3）平方和开平方互为逆运算； 2、算术平方根 （1）算数平方根的定义： 一个非负数a 的平方根用符号表示为：“ ”，读作：“ ”，其中 叫做被开方数 （2）算术平方根的性质 ①正数a 的算术平方根是 ； ②0的算术平方根是 ； ③负数 算术平方根 （3）重要性质： 3、立方根 （1）立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 （也叫 ）。如果x 3 =a ，则 叫做 的立方根。记 = 2a () = 2 a （a ≥0）

作： ,读作“ ” 。求一个数的立方根的运算叫做 。 （2）立方根的性质 ①一个正数的立方根是 ； ②一个负数的立方根是 ； ③0的立方根是 。 （3）重要性质： 4、实数基础知识 （1）．无理数的定义: 叫做无理数 （2）．有理数与无理数的区别： 有理数总可以用 或 表示；反过来，任何 或 也都是有理数。而无理数是 小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。 （3）.常见的无理数类型 ○ 1一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨··· ○ 2看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。 ○ 3有特定意义的数，如：π=3.14159265··· ○ 4.开方开不尽的数。如35,3 （4） 实数概念：________和________统称为实数。 （5）分类 _______ ________ _______ ________ _ __ 有限小数或___ ___小数 _______ 实数 ________ _______ _________ ________ 无限不循环小数 _________ （6）、实数的有关性质 ⑴若a 与b 互为相反数则ab= = -3 a

(完整版)解三角形知识点及题型总结

基础强化（8）——解三角形 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； ②. 三角形三边关系：a+b>c; a-bB>C 则6090,060A C ?≤

人教版初中数学第十一章三角形知识点

第十一章三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边 1．关于三角形的概念及其按角的分类 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2．三角形的分类： ①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. ②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形. 3．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短） 根据公理“两点之间，线段最短”可得： 三角形任意两边之和大于第三边. 三角形任意两边之差小于第三边. 例1．小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条． A．5cm B．3 cm C．17cm D．12 cm 【答案】D 【解析】 试题分析：根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可知： 对A，∵4+5=9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误； 对B，∵4+3＜9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误； 对C，∵4+9＜17，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误； 对D，∵4+9＞12，12-9＜4，符合两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，故正确； 故选D． 考点：三角形的三边关系 例2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A．2，3，5 B．3，3，6 C．2，5，8 D．4，5，6 【答案】D． 【解析】 试题分析：A．2+3=5，故不能构成三角形，故选项错误； B．3+3=6，故不能构成三角形，故选项错误； C．2+5＜8，故不能构成三角形，故选项错误； D．4+5＞6，故，能构成三角形，故选项正确． 故选D． 考点：三角形三边关系． 例3．现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm．从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】C 【解析】 试题分析：根据三角形三边关系可知能组成三角形的木棒长度分别为：4cm、8cm、10cm；4cm、6cm、8cm 和4cm、8cm、10cm三种情况． 考点：三角形三边关系 例4．在下列长度的四根木棒中，能与两根长度分别为4cm和9cm的木棒构成一个三角形的是（）

第十一章 三角形知识点总结

第十一章三角形 一．三角形知识要点梳理 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。 4、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 5、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 6、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 二．多边形知识要点梳理 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封 闭图形叫做多边形。 凸多边形 多边形分类1： 凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形分类2：叫做正多边形。 非正多边形： 1、边形的内角和等于180°（n-2）。 多边形的定理2、任意多形多边形的外角和等于360°。 3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 三．典型例题讲解 类型一：多边形内角和及外角和定理应用 1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？ 总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合

八年级数学上册第11章数的开方11.1平方根与立方根第2课时立方根教案新版华东师大版

11.1 立方根 【教学目标】 知识与技能 （1）使学生理解立方根的概念，能运用根号正确表示一个数的立方根； （2）掌握用开立方运算求某些数的立方根的方法. 过程与方法 （1）通过对比体会平方根、立方根的联系和区别； （2）在学习开立方运算求一个数立方根的过程中，体会开立方运算与立方运算之间的互逆关系. 情感与态度与价值观 （1）发展学生的求同存异思维，使他们能在复杂的环境中明辨是非，并做出正确地处理.（2）通过探究活动，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情. 【重点和难点】 1．重点：立方根的概念；求某数的立方根的方法. 2. 难点：平方根、立方根的概念及区别；求一个数的立方根. 【教学过程】 一、学法设计 在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式.在学习的过程中让学生仔细观察、大胆猜测、交流讨论、分析推理，最后归纳总结.让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体. 二、教法设计 针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择用类比及引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，注重启发、疏导学生自主探索，合作交流.在探究活动中，引导学生利用概念思考问题，对于学生的回答给予点拨，及时评价.这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性. 三、教学过程设计 （一）创设情境、复旧导新 1.填表： 定义表示方法性质分别与平方根的联系 平方根 若a x= 2，则 x叫做a的平方 根. a ± ①正数的平方根有两个，它 们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根. 平方根包含算术平 方根，算术平方根是平 方根中的一个；平方 根、算术平方根都只有

解三角形知识点归纳

解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C o ．

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若2 2 2 a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12 、请同学们自己复习巩固三角函数中 诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等） 。

人教版初中数学第十一章三角形知识点复习过程

人教版初中数学第十一章三角形知识点

第十一章三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边 1．关于三角形的概念及其按角的分类 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2．三角形的分类： ①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. ②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形. 3．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短） 根据公理“两点之间，线段最短”可得： 三角形任意两边之和大于第三边. 三角形任意两边之差小于第三边. 例1．小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条． A．5cm B．3 cm C．17cm D．12 cm 【答案】D 【解析】 试题分析：根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可知： 对A，∵4+5=9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误； 对B，∵4+3＜9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误； 对C，∵4+9＜17，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误； 对D，∵4+9＞12，12-9＜4，符合两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，故正确；

考点：三角形的三边关系 例2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A．2，3，5 B．3，3，6 C．2，5，8 D．4，5，6 【答案】D． 【解析】 试题分析： A．2+3=5，故不能构成三角形，故选项错误； B．3+3=6，故不能构成三角形，故选项错误； C．2+5＜8，故不能构成三角形，故选项错误； D．4+5＞6，故，能构成三角形，故选项正确． 故选D． 考点：三角形三边关系． 例3．现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm．从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】 试题分析：根据三角形三边关系可知能组成三角形的木棒长度分别为：4cm、8cm、10cm；4cm、6cm、8cm和4cm、8cm、10cm三种情况． 考点：三角形三边关系 例4．在下列长度的四根木棒中，能与两根长度分别为4cm和9cm的木棒构成一个三角形的是（） A.4cm B.5cm C.9cm D.13cm

第11章数的开方单元检测A卷

第11章 数的开方单元检测 A 卷 姓名： __________ 班级： __________ 考号： __________ ,,3.14 , 2 _, 3.212212221…这些 数中，无理数的个数为（ A. 2 B. 3 C. 4 2. 16的算术平方根等于（） A. ± B. 一 4 C. 4 3. 下列命题中，正确的是（ ） A 、两个无理数的和是无理数 B C 、无理数是开方开不尽的数 D A. x V 2 B . x < 2 5. —的平方根是（ ） A. 2 B. - 2 6. 下列四个实数中最小的是（ A. B. 2 7. 下列各数是无理数的是（ A. 0.37 B. 3.14 8面积为2的正方形的边长是 A.整数 B.分数 9. 在实数0, — , -1，-、 2中，属于无理数是（ ） 10 3 一 A. 0 B . C . -1 D . 、、. 2 10 10. 比较 2、.2 , 3, .7的大小，正确的是（ 、单选题 C .x > 2 D .x > 2 C .±2 D .4 ) C. 2 D. 1.4 ) 兀 C. — D. 0 2 ( ) C. 有理数 D. 无理数 ) D. 5 D. 、两个无理数的积是实数 、两个有理数的商有可能是无理数 1 在-1.414 , 4.若式子、、x-2在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（

A. ,7 V 3 V 2.2 B 2,2 V .. 7 V 3 11 . 计算'一 9的结果是（) A. 3 B. 3 C. -3 _ 、填空题 C. 2 2 V 3V、7 D 的算术平方根是__,—的立方根是D. 81 12 . 绝对值是_______

解三角形知识点归纳总结

第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;s in s in B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b <

十一章《全等三角形》知识要点归纳

第十一章《全等三角形》知识要点归纳 一、知识网络 ???? ?? ????→???? ??? ?? ?? ???? ? ?对应角相等 性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 ! （1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等； （3）全等三角形周长、面积相等。 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 [ （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理 证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。 ； 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA ）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) $ （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) （三）疑点、易错点 1、对全等三角形书写的错误 在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应 的位置上。切记不要弄错。 2、对全等三角形判定方法理解错误； 3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。 & 三、证明全等三角形的常见思路 一、已知一边与其一邻角对应相等 1.证已知角的另一边对应相等，再用SAS 证全等。 例1 已知：如图1，点E 、F 在BC 上，BE=CF ，AB=DC ，∠B=∠C .求证：AF=DE. 证明 ∵BE=CF （已知），∴BE+ EF=CF+EF ，即 BF=CE. 在△ABF 和△DCE 中， | ∴ △ABF ≌△DCE （SAS ）。 ∴ AF=DE （全等三角形对应边相等）。 2.证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA 证全等。 例2 已知：如图2，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，FC ∥AB.求证：AE=CE

第11章数的开方

八年级数学（上）第十一章单元题 第 1页，共9页 八年级数学（上）第十一章单元题 第2页，共9页 八年级数学（上）第十一章单元题第3页，共9页 乡） 学校 班级 考号 姓名 …答……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……线…○… 宜宾县2018—2019学年上期单元检测题 八年 级 数 学 第十一章数的开方 （检测时间：100分钟； 全卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．4的算术平方根是 ( ) A ．±2 B ．－2 C ．2 D ．16 2．25的平方根是 （ ） A ．±5 B ．-5 C ．5 D ．± 5 3. 若一个数的平方根是±8,则这个数的立方根是 （ ） A ．±2 B ．±4 C ．4 D ．2 4．下列说法错误的是 ( ) A ．(－3)2的平方根是－3 B ．1的算术平方根是1 C ．0的平方根是0 D ．16的平方根是±4 5． 下列各数中最小的是 ( ) A ．－3 B ．－π C ．0 D ． 4 6．在﹣，，，﹣，2.121121112中，无理数的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q .若n ＋q ＝0，则m ， n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是 ( ) A ．p B ．Q C ．m D ．n 8．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为( ) A ．2 B ．2－ 2 C ．4－22 D ．22－2 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 1的立方根是____。 10. 若x 2=4,则x=________。 11. 如果 =9，那么a= 。 12. 若x ，y 为实数，且|x ＋2|＋y －2＝0，则??? ? x y 2018 的值为________。 13. 计算：922- +22= 。 14. 当x= 时，式子+有意义。 15．若一正数的平方根是2a ﹣1与﹣a+2，则a= 。 16. 小娟设计了一个关于实数的运算程序如下，当输入x 时，则输出的数值为 。 三、解答题（共72分） 17．(10分)计算： (1) + (2) 327 10225.204112121-+- 18．(10分)求下列各式中x 的值 (1) 4x 2-9＝0 (2) 27(x+1)3 +125=0 输入x 2x 1- 输出

三角函数及解三角形知识点总结

三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin(

八年级数学上册第11章三角形知识点总结教学文案

_ C _B _ A 八年级数学上册第 11章三角形知识点总结 一．认识三角形 1. 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边 ;相邻两边所组成的 角叫做三角形的内角 ; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC 用符号表 示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母 c 表示， AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形 是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的 △没有意义． 2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。 3. 三角形三边的关系（（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短））（1）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形的任意两边之和大于第三边。三角形的 任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可）。用数学表达式表达就是：记 三角形三边长分别是 a ， b ， c ，则a ＋b ＞c 或c －b ＜a 。 （2）已知三角形两边的长度分别为a ，b ，求第三边长度的范围： |a －b|＜c ＜a ＋b ①数三角形的个数 方法：分类，不要重复或者多余 ②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边（最小两边之和＞第三边），不用比较三遍，只需比较一遍 即可 ③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边； 直到找完为止，注意不要找重， 也不要漏掉。 ④已知三角形两边的长度分别为a ，b ，求第三边长度 c 的范围 方法：第三边长度c 的范围：|a －b|＜c ＜a ＋b ；即已知的两边之差＜三角形的第三边＜已 知的两边之和。 ⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综 上”，将上面讨论的结果做个总结。二、三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段,这条垂线段叫做三角形的高。三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。三角线的高的表示法：如图根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：①AM 是ABC 的高； ②AM 是ABC 中BC 边上的高；③如果AM 是ABC 中BC 边上高，那么AM BC ，垂足是E ；④如果AM 是ABC 中BC 边上的高，那么 AMB =AMC =90. 注意：三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上 .