《二项分布与超几何分布》复习课程
二项分布与超几何分布
★ 知 识 梳理 ★
1．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =
为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。 特别提醒： ①0≤P （B|A ）≤1；
②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
2. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
特别提醒：
①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_
B 都是相互独立事件
②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）
推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )
3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式：
P n （k ）=C k n P k （1－P ）
n －k ,其中，k =0,1,2，…,n 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．
于是得到随机变量ξ 0 1
… k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …
0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式
011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，
记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．
6. 两点分布：
X 0 1
P 1－p p
特别提醒： 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.
7. 超几何分布：
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则
},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n N
k n M N k M ====--Λ其中，N M N n ≤≤,。 称分布列
X 0 1 … m
P n N n M N M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … n N
m n M N m M C C C -- 为超几何分布列， 称X 服从超几何分布
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：理解超几何分布及其导出过程.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解n 次独立重复实验的模型及二项分布.
2.难点：能利用超几何分布, 二项分布及n 次独立重复实验解决一些简单的实际问题
3.重难点：.
(1) “互斥”与“独立”混同
问题1: 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?
错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ，
P(A+B)=P(A)+P(B)： 2222330.80.20.70.30.825c c ?+?=
点拨: 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．
正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中
两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 2222330.80.20.70.30.169c c ?+?≈．
（2）“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同
问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293
=. 点拨：本题错误在于P(A ?B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ?B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率。
正确答案：P （C ）= P(A ?B)=P （A ）P （B/A ）=46410915
?=。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一： 条件概率,相互独立事件和独立重复试验
题型1. 条件概率
[例1] 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；
⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；
⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率
[解题思路]：
⑴这是一个一般概率还是条件概率？应选择哪个概率公式？
⑵“按两次恰好按对”指的是什么事件？为何要按两次？隐含什么含义？第一次按与第二次按有什么关系？应选择哪个概率公式？
⑶“最后一位是偶数”的情形有几种？“不超过2次就按对”包括哪些事件？这些事件相互之间是什么关系？应选择用哪个概率公式？
【名师指引】
⑴条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A 发生的条件下事件B 发生的概率可以看成在样本空间为事件A 中事件B 发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法 ⑵将条件概率的计算公式进行变形，可得概率的乘法公式)()()(A B P A P AB P =
【新题导练】
1.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
题型2。相互独立事件和独立重复试验
[例2] (2010四川省成都市一诊)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13
，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资．
（Ⅰ）求此公司一致决定对该项目投资的概率；
（Ⅱ）求此公司决定对该项目投资的概率；
[解题思路]： 注意相互独立事件和独立重复试验恰有k 次发生的区别
【名师指引】 除注意事件的独立性外, 还要注意恰有k 次发生与指定第k 次发生的区别, 对独立重复试验来说,前者的概率为(1)k k n k n C p p --,后者的概率为(1)k n k p p --
【新题导练】
1. （湖南卷16）.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是
12，且面试是否合格互不影响.求：至少有1人面试合格的概率;
2．（山东卷18）
甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为
32，乙队中3人答对的概率分别为2
1,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.
（Ⅰ）求随机变量ε分布列； (Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ).
考点二: 两点分布与超几何分布
题型1: 两点分布与超几何分布的应用
[例3] 高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X 的频率分布如何？
[解题思路]：5名学生代表中，女生人数有6种情况.