学案正弦定理和余弦定理
导学目标: 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
自主梳理
1.三角形的有关性质
(1)在△ABC中,A+B+C=________;
(2)a+b____c,a-b (3)a>b?sin A____sin B?A____B; (4)三角形面积公式:S△ABC=1 2ah= 1 2ab sin C= 1 2ac sin B=_________________; (5)在三角形中有:sin 2A=sin 2B?A=B或________________?三角形为等腰或直角三角形; sin(A+B)=sin C,sin A+B 2=cos C 2. 自我检测 1.(2010·上海)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC() A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 2.(2010·天津)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=3bc,sin C=23sin B,则A等于() A.30°B.60°C.120°D.150° 3.(2011·烟台模拟)在△ABC中,A=60°,b=1,△ABC的面积为3,则边a的值为() A.27 B.21 C.13 D.3 4.(2010·山东)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =2,b =2, sin B +cos B =2,则角A 的大小为________. 5.(2010·北京)在△ABC 中,若b =1,c =3,C =2π3 ,则a =________. 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC 中,a =3,b =2,B =45°,求角A 、C 和边c ; (2)在△ABC 中,a =8,B =60°,C =75°,求边b 和c . 变式迁移1 (1)在△ABC 中,若tan A =13 ,C =150°,BC =1,则AB =________; (2)在△ABC 中,若a =50,b =256,A =45°,则B =________. 探究点二 余弦定理的应用 例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边,且a 2+c 2- b 2=a c . (1)求角B 的大小; (2)若c =3a ,求tan A 的值. 变式迁移2 在△ABC 中,a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边,B =2π3 ,b =13,a +c =4,求a . 探究点三 正、余弦定理的综合应用 例3 在△ABC 中,a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边,如果(a 2+b 2)sin(A -B )=(a 2-b 2)sin(A +B ),试判断该三角形的形状. 变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中,AC AB =cos B cos C . (1)证明:B =C ; (2)若cos A =-13 ,求sin ????4B +π3的值. 1.解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用,用到三角变换的基本方法,同时它 是对正、余弦定理,三角形面积公式等的综合应用. 2.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求 出其他的边和角时,有可能出现一解、两解或无解的情况,应结合图形并根据“三角形中大 边对大角”来判断解的情况,作出正确取舍. 3.在解三角形中的三角变换问题时,要注意两点:一是要用到三角形的内角和及正、 余弦定理,二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法.“化繁为简”“化异为同” 是解此类问题的突破口. (满分:75分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2010·湖北)在△ABC 中,a =15,b =10,A =60°,则cos B 等于 ( ) A .-223 B.223 C .-63 D.63 2.在△ABC 中AB =3,AC =2,BC 则AB →?AC →等于 ( ) A .-32 B .-23 C.23 D.32 3.在△ABC 中,sin 2A 2=c -b 2c (a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边),则△ABC 的形状为( ) A .正三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰三角形 4.(2011·聊城模拟)在△ABC 中,若A =60°,BC =43,AC =42,则角B 的大小为( ) A .30° B .45° C .135° D .45°或135° 5.(2010·湖南)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,若C =120°, c =2a ,则 ( ) A .a >b B .a 6.在△ABC 中,B =60°,b 2=ac ,则△ABC 的形状为________________. 7.(2010·广东)已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边,若a =1,b =3,A +C =2B ,则sin C =________. 8.(2011·龙岩模拟)在锐角△ABC 中,AD ⊥BC ,垂足为D ,且BD ∶DC ∶AD =2∶3∶6, 则∠BAC 的大小为________. 三、解答题(共38分) 9.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足cos 2A =,AB →AC →=3. (1)求△ABC 的面积; (2)若b +c =6,求a 的值. 10.(12分)(2010·陕西)在△ABC 中,已知B =45°,D 是BC 边上的一点,AD =10,AC =14,DC =6,求AB 的长. 11.(14分)(2010·重庆)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且3b 2+3c 2-3a 2=42bc . (1)求sin A 的值; (2)求2sin ????A +π4sin ????B +C +π41-cos 2A 的值. 答案 自主梳理 1.(1)π (2)> (3)> > (4)12bc sin A (5)A +B =π2 2.a sin A =b sin B =c sin C b 2+ c 2-2bc cos A a 2+c 2-2ac cos B a 2+b 2-2ab cos C ①2R sin A 2R sin B 2R sin C ②a 2R b 2R c 2R ③sin A ∶sin B ∶sin C b 2+c 2-a 22bc a 2+c 2-b 22ac a 2+b 2-c 22ab 自我检测 1.C 2.A 3.C 4.π6 5.1 课堂活动区 例1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角,可利用正弦定理求其他的角和边,但要注意对解的情况进行判断,这类问题往往有一解、两解、无解三种情况.具体判断方法如下:在△ABC 中.已知a 、b 和A ,求B .若A 为锐角,①当a ≥b 时,有一解;②当a =b sin A 时,有一解;③当b sin A b 时,有一解;②当a ≤b 时,无解. 解 (1)由正弦定理a sin A =b sin B 得,sin A =32 . ∵a >b ,∴A >B ,∴A =60°或A =120°. 当A =60°时,C =180°-45°-60°=75°, c =b sin C sin B =6+22; 当A =120°时,C =180°-45°-120°=15°, c =b sin C sin B =6-22 . 综上,A =60°,C =75°,c =6+22 , 或A =120°,C =15°,c =6-22 . (2)∵B =60°,C =75°,∴A =45°. 由正弦定理a sin A =b sin B =c sin C , 得b =a ·sin B sin A =46,c =a ·sin C sin A =43+4. ∴b =46,c =43+4. 变式迁移1 (1)102 (2)60°或120° 解析 (1)∵在△ABC 中,tan A =13 ,C =150°, ∴A 为锐角,∴sin A = 110 . 又∵BC =1. ∴根据正弦定理得AB =BC ·sin C sin A =102 . (2)由b >a ,得B >A ,由a sin A =b sin B , 得sin B =b sin A a =25650×22=32 , ∵0° ∴B =60°或B =120°. 例2 解 (1)∵a 2+c 2-b 2=ac , ∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =12 . ∵0 . (2)方法一 将c =3a 代入a 2+c 2-b 2=ac ,得b =7a . 由余弦定理,得cos A =b 2+c 2-a 22bc =5714 . ∵0 ∴sin A =1-cos 2A =2114 , ∴tan A =sin A cos A =35 . 方法二 将c =3a 代入a 2+c 2-b 2=ac , 得b =7a . 由正弦定理,得sin B =7sin A . 由(1)知,B =π3,∴sin A =2114 . 又b =7a >a ,∴B >A , ∴cos A =1-sin 2A =5714 . ∴tan A =sin A cos A =35 . 方法三 ∵c =3a ,由正弦定理,得sin C =3sin A . ∵B =π3,∴C =π-(A +B )=2π3 -A , ∴sin(2π3 -A )=3sin A , ∴sin 2π3cos A -cos 2π3 sin A =3sin A , ∴32cos A +12 sin A =3sin A , ∴5sin A =3cos A , ∴tan A =sin A cos A =35 . 变式迁移2 解 由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2ac cos B =a 2+c 2-2ac cos 23 π =a 2+c 2+ac =(a +c )2-ac . 又∵a +c =4,b =13,∴ac =3, 联立????? a +c =4ac =3,解得a =1,c =3,或a =3,c =1. ∴a 等于1或3. 例3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系. 解 方法一 ∵(a 2+b 2)sin(A -B )=(a 2-b 2)sin(A +B ) ?a 2[sin(A -B )-sin(A +B )] =b 2[-sin(A +B )-sin(A -B )], ∴2a 2cos A sin B =2b 2cos B sin A , 由正弦定理,得 sin 2A cos A sin B =sin 2B cos B sin A , ∴sin A sin B (sin A cos A -sin B cos B )=0, ∴sin 2A =sin 2B ,由0<2A <2π,0<2B <2π, 得2A =2B 或2A =π-2B , 即△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a 2cos A sin B =2b 2cos B sin A , 由正、余弦定理,即得 a 2 b ×b 2+ c 2-a 2 2bc =b 2a ×a 2+c 2-b 2 2ac , ∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2), 即(a 2-b 2)(c 2-a 2-b 2)=0, ∴a =b 或c 2=a 2+b 2, ∴三角形为等腰三角形或直角三角形. 变式迁移3 解题导引 在正弦定理a sin A =b sin B =c sin C =2R 中,2R 是指什么?a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C 的作用是什么? (1)证明 在△ABC 中,由正弦定理及已知得 sin B sin C =cos B cos C . 于是sin B cos C -cos B sin C =0, 即sin(B -C )=0. 因为-π 所以B =C . (2)解 由A +B +C =π和(1)得A =π-2B , 故cos 2B =-cos(π-2B )=-cos A =13 . 又0<2B <π,于是sin 2B =1-cos 22B =223 . 从而sin 4B =2sin 2B cos 2B =429 , cos 4B =cos 22B -sin 22B =-79 . 所以sin ? ???4B +π3 =sin 4B cos π3+cos 4B sin π3 =42-7318 . 课后练习区 1.D 2.D 3.B 4.B 5.A 6.等边三角形 解析 ∵b 2=a 2+c 2-2ac cos B , ∴ac =a 2+c 2-ac , ∴(a -c )2=0, ∴a =c ,又B =60°, ∴△ABC 为等边三角形. 7.1 解析 由A +C =2B 及A +B +C =180°知,B =60°. 由正弦定理知,1sin A =3sin 60° , 即sin A =12 . 由a C =180°-A -B =180°-30°-60°=90°, ∴sin C =sin 90°=1. 8.π4 解析 设∠BAD =α,∠DAC =β, 则tan α=13,tan β=12 , ∴tan ∠BAC =tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β =13+121-13×12 =1. ∵∠BAC 为锐角,∴∠BAC 的大小为π4 . 9.解 (1)因为cos A 2=255, 所以cos A =2cos 2A 2-1=35,sin A =45 .……………………………………………………(4分) 又由AB →·AC →=3得bc cos A =3,所以bc =5, 因此S △ABC =12 bc sin A =2.…………………………………………………………………(8分) (2)由(1)知,bc =5,又b +c =6, 由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(b +c )2 -165 bc =20,所以a =2 5.………(12分) 10.解 在△ADC 中,AD =10,AC =14,DC =6, 由余弦定理得, cos ∠ADC =AD 2+DC 2-AC 2 2AD ·DC =100+36-1962×10×6 =-12,…………………………………………………………………(6分) ∴∠ADC =120°,∠ADB =60°.…………………………………………………………(8分) 在△ABD 中,AD =10,B =45°, ∠ADB =60°, 由正弦定理得AB sin ∠ADB =AD sin B , ∴AB =AD ·sin ∠ADB sin B =10sin 60°sin 45° =10×322 2 =5 6.…………………………………………………………………………(12分) 11.解 (1)∵3b 2+3c 2-3a 2=42bc , ∴b 2+c 2-a 2=423 bc . 由余弦定理得,cos A =b 2+c 2-a 22bc =223