第三章 一维扩散方程

第三章 一维扩散方程

本章讨论一维扩散方程。首先，从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。讨论的方程类型 （1）直线上的齐次和非齐次扩散方程：

2,,0

(,0)()

t xx u c u x t u x x ??=-∞<<∞>?

=?；（利用随机过程的理论得到结论，再直接验证） (,),,0

(,0)()

t xx u ku f x t x t u x x ?-=-∞<<∞>??

=?；（算子方法，与常微分方程类比） （2）半直线上的扩散方程0,0,0(,0)(),(0,)0t xx u ku x t u x x u t ?-=<<∞>??

=??=?

；（其它非齐次边界等）

对扩散方程理论方面的探讨：最大（最小）值原理。由此证明方程解的唯一性和稳定性。 §3.1全直线上的扩散方程

首先讨论随机过程中的扩散过程。设想粒子在一维直线上作连续随机游动（Brown 运动），满足性质：在t ?时间内位移转移概率为均值为0，方差为2

t σ?的正态分布。在时刻t 处于x 的概率密度记为(,)Pr(())u x t dx X t x dx ==。则

2

()2(,)(,)x y t u x t t u y t dy σ-∞

-?-∞+?=?，

或

2

2

(,)(,)y u x t t u x y t dy ∞

-+?=

+?

2222

1

[(,)(,)(,)()]2

y x xx u x t u x t y u x t ty o t dy σ∞

-

=

++?+??

21

(,)(,)()2

xx u x t u x t t o t σ=+?+?

因此，

2

2

t xx u u σ=

。

可见：一维Brown 运动的状态概率密度满足扩散方程。 从随机过程的角度，可直接写出状态概率密度：

22()2(,)(,0)y x t

u x t e

u y dy σ-∞

-

=

?。

所以，有如下定理。

定理 扩散方程2,,0

(,0)()

t xx u c u x t u x x ??=-∞<<∞>?=?的解为

2

2

()

4

(,)()

y x

c t

u x t e y dy

?

-

∞

-

=?。

证由

22

2

()

42

(,)()()

y x y

c t

u x t e y dy e x dy

??

-

∞∞

--

-∞

==+

??，

易知初始条件成立：

(,0)()

u x x

?

=。

且对函数

2

2

()

4

(,)

y x

c t

f x t

-

-

=，直接计算，有

2

2

()

4

2

()

(,)(,)

2

y x

c t

x

y x

f x t f x t

c t

-

--

==，

2

22

()1

(,)(,)(,)

22

xx

y x

f x t f x t f x t

c t c t

-

??

=-

??

??

，

22

22

()()

22

44

22

1() (,)(,)(,)

24

y x y x

c t c t

t

y x

f x t f x t f x t

t c t

--

---

==-+，

所以，

20

t xx

f c f

-=。

即但u与f只差常数倍，故

20

t xx

u c u

-=。

【end】对具有源的扩散方程

(,),,0

(,0)()

t xx

u ku f x t x t

u x x

?

-=-∞<<∞>

?

?

=

?

，

可用常微分方程的结果类比得到。

常微分方程

d

u Au

dt

u?

?

+=

?

?

?=

?

的解为tA

u e?

-

=。可以把tA

e-理解为一个算子：把初始函数?变换为一个新的函数。

而齐次方程的解也可这样理解：

2

()

4

(,)()()[]

y x

kt

u x t e y dy t

??

∞-

-

==

?L[，

定义了算子()t

L[。只不过常微分方程中()At

t e-

=

L[，直接可用一个函数给出该算子。

非齐次常微分方程

d

u Au f

dt

u ?

?+=???=? 的解为

()0

()()[]()()t

t

At

t s A

u e e

f s ds t t s f s ds ??---=+=+-??L[L[，

这里，为类比得到偏微分方程的结果，用算子形式表示了结论。由此得到结论 定理 直线上的非齐次扩散方程的解为

22

()()4()

40(,)()(,)y x t

y x k t s kt

u x t e

y dy e

f x s dyds ?-∞

∞

--

-

--∞

-∞

=

+??。

证 直接验证结论。前一项显然满足齐次方程，即

22()()244()()0y x y x kt

kt

e

y dy k e

y dy ??∞

∞

---

-

-=??，

而后一项，

2

22

2

2

2

()(,)()t t

y y y e

f x s dyds e f x t dy e f x s dyds

t ∞

∞

∞

-

--

?+=

++???

?2

20

(,)()t

y f x t e f x s dyds ∞

--∞

=++?

2

()4()

(,)(,)y x t

k t s f x t e

f x s dyds -∞

-

-=+?

2()2

4()

(,)(,)y x t

k t s f x t k

e

f x s dyds -∞

-

-=-??

2()2

4()

20(,)(,)y x t

k t s f x t k

e

f x s dyds x -∞

-

-?=-??

即

2

2()()24()

4()

200(,)(,)(,)

y x y x t t k t s k t s e f x s dyds k e

f x s dyds f x t t x --∞

∞

--

--??-=????所以，(,)u x t 满足方程。

初始条件显然也满足：

22

(,0)()()y u x e

x dy x ??∞

-

=

=?。

因此，定理成立。

【end 】

该方法是处理非齐次方程的一般方法。这里，来说明如何用于非齐次波动方程

2(,)(,0),(,0)()

tt xx t u c u f x t u x u x x ?ψ?-=?

?

==?? 的求解。由于波动方程关于时间是两次的，所以不能直接用。但是注意到

1

(,)()2x ct

x ct

v x t s ds c ψ+-=?是下面波动方程 2

(,0)0,(,0)()tt xx t v c v v x v x x ψ?-=??

==??

， 的解，故定义算子

1()[]()()2x ct

x ct t x s ds c ψψ+-

=?L[， 那么原来齐次波动方程的解为

(,)()[]()[]u x t t t ?ψ'=+L [L[，

则非齐次的波动方程的解为

(,)()[]()[]()(,)t

u x t t t t s f x t s ds ?ψ'=++--?L [L[L[。

注意到

()

00()11

()(,)(,)(,)22x c t s t t x c t s t s f x t s ds f t s d ds f s d ds c c ττττ+---?

--=-=?????L[， 即得结论。

§3.3半直线上的扩散方程

类似于波动方程，利用延拓方法可讨论边值问题的解。对特殊的Dirichlet 问题（边界是齐次的）

0,0,0

(,0)(),

(0,)0t xx u ku x t u x x u t ?-=<<∞>??

=??=?

， 可用奇延拓方法来求解。奇延拓后的系统，

0,,0

(,0)()

t xx odd v kv x t v x x ?-=-∞<<∞>??

=? 其中，(),

0()(),00,0odd x x x x x x ???>??

=--

。该方程的解

2()4(,)()y x kt

odd v x t e

y dy ?∞

--

=

?，

因此，原方程的解，

2

2

()()440

(,)()()]y x y x kt

kt odd odd u x t e y dy e y dy ??∞

-----∞=+??

2

2

2

2

()()()()444400

0()()][]()y x y x y x y x kt kt kt kt e y dy e y dy e e y dy ???∞∞∞

+--+----=-+=-?? 【end 】

对Neumann 问题（边界是齐次的）

0,0,0

(,0)(),

(0,)0t xx x

u ku x t u x x u t ?-=<<∞>??

=??=?， 为保证函数在原点导数为零，必须使函数为偶函数，所以，采用偶延拓。延拓后的系统

0,,0

(,0)()

t xx even v kv x t v x x ?-=-∞<<∞>??

=?， 其中，(),

0()(),00,0even x x x x x x ???>??

=-

。该方程的解，

2()4(,)()y x kt

even v x t e

y dy ?∞

--

-∞

=

?，

因此，原方程的解为

2

2

()()440(,)()()]y x y x kt kt even even u x t e y dy e y dy ??∞

-----∞=+??

2

2

22

()()

()()

444400

()()][]()y x y x y x y x kt

kt kt kt e y dy e y dy e e y dy ???∞

∞

∞

+--+----=+=

+?? 【end 】

对半直线上的非齐次方程（齐次边界）的Dirichlet 问题和Neumann 问题，

(,),0,0(,0)()

(0,)0t xx u ku f x t x t u x x u t ?-=<<∞>??=??=?，(,),0,0

(,0)()(0,)0t xx x

u ku f x t x t u x x u t ?-=<<∞>??

=??=? 仍可用奇延拓和偶延拓方法分别解决。

对非齐次方程，非齐次边界的Dirichlet 问题，

(,),0,0

(,0)()

(0,)()t xx u ku f x t x t u x x u t h t ?-=<<∞>??

=??=?

， 则可利用叠加原理和函数变换方法，把问题分解齐次边界的相应问题求解。 作函数变换：(,)(,)()v x t u x t h t =-，则

(,)(),0,0(,0)()(0)

(0,)0t xx v kv f x t h t x t v x x h v t ?'-=-<<∞>??

=-??=?

问题成为其次边界问题。

对非齐次方程（非齐次边界）的Neumann 问题

(,),0,0(,0)()

(0,)()t xx x

u ku f x t x t u x x u t h t ?-=<<∞>??

=??=?， 则可作变换：(,)(,)()v x t u x t xh t =-，变为齐次边界的Neumann 问题，

(,)(),0,0(0,)0

(,0)()(0)t xx x v kv f x t xh t x t v t v x x xh ?'-=-<<∞>??

=??=-?

， 然后再用偶延拓方法求解。

§3.2 一维扩散方程最大（最小值）原理和解的唯一性和稳定性 若函数(,)u x t 满足齐次扩散方程，那么有下面结论。

定理（最大值原理） 如果t xx u ku =，则在矩形时空区域（0,0x l t T ≤≤≤≤）内，函数(,)u t x 的最大值只能在0t =，在边界0x =或x l =上取得。 （最小值原理也类似成立）

证 这是闭区域上的二元函数的极值问题，极值点可能是区域内点，也可能在边界上。定理结论是说，极值点在特定的边界上取到。极值在区域内部取到是有必要条件的，即该点的一阶导数为零，而二阶导数必须是半正定的。

用反证法证明在矩形内部不能取到极值。若(,)u x t 在矩形内取到极值，则

0t x u u ==，0xx u ≤。

此时，如果0xx u ≠，则产生矛盾：00t xx u ku ==≠。故只要证0xx u =时，仍会产生矛盾。 记边界上函数的最大值是M 。构造2

(,)(,)v x t u x t x ε=+。

下证：22

(,)(,)v x t u x t x M l εε=+≤+（如果证得此结论，则令0ε→即得定理的结果）。

由于在边界上，22

(,)(,)v x t u x t x M l εε=+≤+，所以只要证(,)v x t 不能在

（1）矩形内部；（2）矩形顶部：t T =

取得最大值。

（1）若在内部有最大值，则0,0,0t x xx v v v ==≤。但

0(,)220t xx t xx v kv u x t ku k k εε≤-=--=-<，

矛盾。

（2）在矩形顶部，则0,0,0t x xx v v v ≥=≤，仍矛盾。所以定理结论成立。

【end 】

利用上述极值原理，可得到Dirichlet 问题的唯一性和稳定性。

定理 如果扩散方程(,),0,0

(,0)(),(0,)(),(,)()t xx u ku f x t x l t u x x u t g t u l t h t ?-=<<>??

=??==?解存在，则解必定唯一。

证 如果u 和u

都是解，则v u u =- 是方程

0,0,0(,0)0,

(0,)0,(,)0t xx v kv x l t v x v t u l t -=<<>??

=??==?

的解。由最大值原理，在矩形内max min 0v v ==，即0v =。

【end 】

利用该原理还可得到方程解的稳定性。 定理 如果扩散方程

(,),0,0(,0)(),

(0,)(),(,)()t xx u ku f x t x l t u x x u t g t u l t h t ?-=<<>??

=??==?

和

(,),0,0(,0)(),(0,)(),(,)()t xx u ku f x t x l t u x x u t g t u l t h t ?

-=<<>??

=??==?

的解分别为u 和u

，则00max |(,)(,)|max ||x l

x l

u x t u x t ??≤≤≤≤-≤- 。 证 对v u u

=- 直接利用极值原理。 【end 】

第三章 习题

1. 对满足扩散方程t xx u ku =的函数2(,)12u x t x kt =--，在矩形区域

{(,)|01,0x t x t T ≤≤≤≤找出取到最大值和最小值的点和相应的值。

解 在0x =上，显然0x =，0t =处有最大值1；而0x =，t T =处有最小值12Tk -。 在1x =上，显然1x =，0t =处有最大值0；而1x =，t T =处有最小值2Tk -。 所以，最大值为1，在(,)(0,0)x t =处；最小值为2Tk -，在(,)(1,)x t T =处。

2. 求扩散方程的解(,0)()t xx u ku u x x ?=??

=?的解，其中1,||()0,||x l

x x l

??。（用积分形式表示）

3. 求扩散方程的解(,0)()t xx

u ku u x x ?=??=?的解，其中,0()0,0x e x x x ?-?>=?

。

4. 求具有耗散的扩散方程0(,0)()

t xx u ku bu u x x ?-+=??

=?的解，0b >。（提示：作函数变换bt

u e v -=）。

5. 求具有耗散的扩散方程20

(,0)()

t xx u ku bt u u x x ??-+=?=?的解，0b >。

6. 求方程

(,0)()

t xx x

u ku bu

u x x

?

-+=

?

?

=

?

的解，0

b>。（提示：作变量代换x y bt

=+）。

7. 求扩散方程

,0

(,0)

(0,)0

t xx

x

u ku x

u x e

u t

-

=>

?

?

=

?

?=

?

的解。

8. 求扩散方程

,0

(,0)0

(0,)1

t xx

u ku x

u x

u t

=>

?

?

=

?

?=

?

的解。

9. 求扩散方程的Neumann问题

,0

(,0)()

(0,)0

t xx

x

u ku x

u x x

u t

?

=>

?

?

=

?

?=

?

的解。

10. 利用延拓方法求非齐次扩散方程

(,),0

(,0)()

(0,)0

t xx

u ku f x t x

u x x

u t

?

-=>

?

?

=

?

?=

?

的解。

对流扩散方程

徐州工程学院 课程设计报告 课程名称偏微分方程数值解 课题名称对流扩散方程 的迎风格式的推导和求解专业信息与计算科学 班级10信计3 姓名学号 指导教师杨扬 2013年 5 月23 日

一、实验目的： 进一步巩固理论学习的结果，学习双曲型对流扩散方程的迎风格式的构造 方法，以及稳定的条件。从而进一步了解差分求解偏微分方程的一些基本概念，掌握数值求解偏微分方程的基本过程。在此基础上考虑如何使用Matlab 的软件进行上机实现，并针对具体的题目给出相应的数值计算结果。 二、实验题目： ?? ? ??-=-==<<<<+=+);2/1exp(),1();exp(),0();2/exp()0,(10,10,11t t u t t u x x u t x f u b u a u xx x t 其中a1=1,b1=2, ) 2/exp(),(t x t x f --=。 用迎风格式求解双曲型对流扩散方程,观差分解对真解的敛散性()2/exp(t x u -= 三、实验原理： 1、用迎风格式求解双曲型对流扩散方程，迎风格式为： ) 01(21 1 )01(2112 1 1112 1 11 1<++-=-+->++-=-+--+++-+-+a f h u u u b h u u a u u a f h u u u b h u u a u u n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j τ τ 若令,/*1,/*12h b h a r τμτ== 则迎风格式可整理为： > <<++-+-+=><>++++--=-+++-+2)01()()21(1)01()()21(111111a f u u r u r u a f u u r u r u n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j τμμμτμμμ2、稳定条件： ） （） （01),*11*2/(01),*11*2/(2 2<-≤>+≤a h a b h a h a b h ττ（*） 四、数值实验的过程、相关程序及结果： 本次的实验题目所给出的边界条件是第一边界条件，直接利用所给的边界条件，我们可以给出界点处以及第0层的函数值，根据a1的正负性，使用相应的<1>或者<2>式，求出其他层的函数值。误差转化成图的形式，并输出最大值。 针对三种不同的输入对应输出结果 ：

第三章 一维扩散方程

第三章 一维扩散方程 本章讨论一维扩散方程。首先，从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。讨论的方程类型 （1）直线上的齐次和非齐次扩散方程： 2,,0 (,0)() t xx u c u x t u x x ??=-∞<<∞>? =?；（利用随机过程的理论得到结论，再直接验证） (,),,0 (,0)() t xx u ku f x t x t u x x ?-=-∞<<∞>?? =?；（算子方法，与常微分方程类比） （2）半直线上的扩散方程0,0,0(,0)(),(0,)0t xx u ku x t u x x u t ?-=<<∞>?? =??=? ；（其它非齐次边界等） 对扩散方程理论方面的探讨：最大（最小）值原理。由此证明方程解的唯一性和稳定性。 §3.1全直线上的扩散方程 首先讨论随机过程中的扩散过程。设想粒子在一维直线上作连续随机游动（Brown 运动），满足性质：在t ?时间内位移转移概率为均值为0，方差为2 t σ?的正态分布。在时刻t 处于x 的概率密度记为(,)Pr(())u x t dx X t x dx ==。则 2 ()2(,)(,)x y t u x t t u y t dy σ-∞ -?-∞+?=?， 或 2 2 (,)(,)y u x t t u x y t dy ∞ -+?= +? 2222 1 [(,)(,)(,)()]2 y x xx u x t u x t y u x t ty o t dy σ∞ - = ++?+?? 21 (,)(,)()2 xx u x t u x t t o t σ=+?+? 因此， 2 2 t xx u u σ= 。 可见：一维Brown 运动的状态概率密度满足扩散方程。 从随机过程的角度，可直接写出状态概率密度： 22()2(,)(,0)y x t u x t e u y dy σ-∞ - = ?。 所以，有如下定理。 定理 扩散方程2,,0 (,0)() t xx u c u x t u x x ??=-∞<<∞>?=?的解为

扩散方程的差分解法

扩散方程的差分解法 在研究热传导过程、扩散过程、边界层现象时，我们常常遇到抛物型方程，这类方程中最典型、最简单的就是热传导方程。热传导方程中的自变量中包括时间t ，它是描述一种随时间变化的物理过程，即所谓不定常现象。这类问题的基本定解问题应是初值问题，即在初始时刻（t=0）时给定定解条件，求解t>0时的解。 本文主要运用有限差分法对一维扩散方程进行求解，并对差分解的适定性、相容性、收敛性及稳定性进行分析，同时与解析解进行对比。 1.扩散方程 一维扩散方程为： 22u u t x α??=?? （1） 式中，u 为因知量，α为扩散系数，x 为坐标，t 为时间。 其定解条件如下： 初始条件： (,0)() 0x u x f x L =≤≤ （2） 边界条件： 12(0,)() , (,)()u t f t u L t f t == （3） 一般假定函数()f x ，1()f t ，2()f t 满足连接条件，即1(0)(0) f f =，2()(0) f L f =。 2.有限差分法 有限差分法是数值计算解微分方程古老的方法之一，也是系统化地、数值地求解数学物理方法的方程。其控制方程中的导数用离散点上函数值的差商代替。 差分格式可以分为显格式和隐格式。所谓显格式是指在任一结点上因变量在新是时间层上的值可以通过之前的时间层上相邻结点变量的值显式解出来。由于这些层的变量值是已知的，当时间向前推进时，空间点上的新的变量值就只需逐点计算就行了，因此显格式计算起来比较省事。隐格式则是指任一结点上变量在新的时间层的值，不能通过之前的时间层上相邻结点的值显式解出来，它不仅与之前的时间层上的已知值有关，而且也与新时间层的相邻结点的变量值有关。因而一个差分方程常常包括几个相邻结点上的未知数，未知数的个数取决于格式的构成形式。为了解出这些未知数需要联立新的方程，而每引进一个新的方程往往又同时引进了新的未知数。因此，隐格式总是伴随着求解巨大的代数方程组。隐格式的主要缺点是计算工作量大，因而不如显格式计算得快，但这只是就时间步长一样的情况而言的。隐格式的主要优点是时间步长可以比显格式能够采用的最大步长大很多。显格式的时间步长受到稳定性条件的限制，而隐格式则几乎不受限制。 3.方程的离散 3.1 显格式 采用时间前差及第n 时间层的空间中心差，得一维扩散方程的显格式解： 111 2 2()n n n n n j j j j j u u u u u t x α ++---+=?? （4） 即 111(2) n n n n n j j j j j u u r u u u ++-=+-+ （5）

对流扩散方程引言

对流扩散方程的定解问题是指物质输运与分子扩散的物理过程和黏性流体流动的数学模型，它可以用来描述河流污染、大气污染、核污染中污染物质的分布，流体的流动和流体中热传导等众多物理现象。关于对流扩散方程的求解很也备受关注，因此寻找一种稳定实用的数值方法有着重要的理论与实际意义。 求解对流扩散方程的数值方法有多种，尤其是对流占优扩散方程，这些方法有迎风有限元法，有限体积法，特征有限体积法，特征有限差分法和特征有限元法，广义差分法，流线扩散法，以及这些方法与传统方法相结合的方法如迎风广义差分法，迎风有限体积法有限体积——有限元法等这些方法数值求解效果较好，及有效的避免了数值震荡，有减少了数值扩散，但是一般计算量偏大 近年，许多研究者进行了更加深入的研究，文献提出了对流扩散方程的特征混合元法，再次基础上，陈掌引入了特征间断混合元方法，还有一些学者将特征线和有限体积法相结合，提出了特征有限体积元方法（非线性和半线性），于此同时迎风有限元也得到较大的发展，胡建伟等人研究了对流扩散问题的Galerkin 部分迎风有限元方法和非线性对流扩散问题的迎风有限元，之后又有人对求解发展型对流扩散问题的迎风有限元法进行了理论分析 有限差分法和有限元是求解偏微分方程的常用数值方法，一般情况下考虑对流占优的扩散方程，当对流项其主导作用时，其解函数具有大梯度的过渡层和边界层，导致数值计算困难，采用一般的有限元或有限体积方法虽然具有形式上的高精度，不能解决数值震荡的问题，虽然我们不能简单的将对流占优扩散方程看做对流方程，但由于次方程中含有一阶不对称的导数，对流扩散方程仍会表现出“对流效应”，从而采用迎风格式逼近，尽量反应次迎风特点，此格式简单，克服了锋线前沿的数值震荡，计算结果稳定，之前的迎风格式只能达到一阶精度，我们采用高精度的广义迎风格式，此格式是守恒的，精度高，稳定性好，具有单调性，并且是特征线法的近似，有效的避免了锋线前沿的数值震荡。 有限体积是求解偏微分方程的新的离散技术，日益受到重视。有限体积与有限差分、有限元法最大的区别及优点在于有限体积将求解区域内的计算转化到控制体积边界上进行计算，而后二者均是直接（或间接）在域内计算，故有限体积有着明显的物理涵义，在很大程度上减少计算工作量又能满足计算精度要求，加快收敛速度。由于此方法讲散度的积分化为子域边界积分后子啊离散，数值解满足离散守恒，而且可以采用非结构网格，所以在计算物理特别是计算流体力学领域上有限体积有广阔的前景。 间断Galerkin（DG）方法是在1973年，Reed和Hill在求解种子迁移问题时，针对一阶双曲问题的物理特点提出的。之后C.Johnson，G.R.Richter等人对双曲问题的DG方法做了进一步的研究，并且得到了该机的误差分析结果，由于这种方法具有沿流线从“上游”到“下游”逐层逐单元计算的显示求解的特点，并且可以进行并行计算，所以被广泛应用于各类方程的求解。最近Douglas等人在{25}中处理二阶椭圆问题时，得到DG方法的有限元空间不需要满足任何连续性条件，因此空间构造简单，具有较好的局部性和并行性。DG发展的一个重要方面是对对流占优扩散方程的应用。G.R.Richter等在1992年提出利用DG方法求解定长对流扩散问题 近年DG方法有了新的发展，其中YeXiu提出间断体积元方法备受人们关注，2004年，她将有限体积法与DG相结合，提出了椭圆问题的间断有限体积法，此方法解除了逼近函数在跨越边界上连续的限制，之后更多的研究者应用到Stokes问题，抛物问题，双曲问题，并得到了较好的结果，该方法不但继承了有限体积的高精度计算简单及保持物理间局部守恒等优点，而且有限元空间无需满足任何连续性要求，空间构造简单，有较好的局部和并行性。 当对流扩散方程中的对流项占主导地位时，方程具有双曲方程的特点，这是由于对流扩散方程中的非对称的对流项所引起的迎风效应使对流扩散方程的数值求解更困难，用传统的中心差分法和标准的有限元求解会差生数值的震荡，从而使数值模拟失真，为了克服这一困难，早在20世纪50年代，就有人提出了迎风思想，由于使用迎风技巧可以有效的消除数值解不稳定性，因此吸引了众多学者的关注，从1977年，Tabata等人就针对对流扩散方程提出了三角形网格上的迎风格式{42,38}，并进行了深入的研究，梁栋基于广义差分法，提出并分析了一类建立在三角网格上的广义迎风差分格式，袁益让2001年就多层渗流方程组合系统提出并分析了迎风分数步长差分方法，以上均是讨论的线性对流扩散问题，胡建伟等通过引入质量集中算子，构造并分析了一类基于三角网格的质量集中型的部分有限元方法处理线性和非线性对流扩散问

一维扩散方程的差分法matlab

一维扩散方程的差分法 m a t l a b Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

一维扩散方程的有限差分法 ——计算物理实验作业七 陈万 题目： 编程求解一维扩散方程的解 取1.0,1.0,1.0,10,0.1,0,1,1,0,1,1max 0222111======-=====τh D t a c b a c b a 。输出t=1,2,...,10时刻的x 和u(x),并与解析解u=exp(x+0.1t)作比较。 主程序： % 一维扩散方程的有限差分法 clear,clc; %定义初始常量 a1 = 1; b1 = 1; c1 = 0; a2 = 1;b2 = -1; c2 = 0; a0 = 1.0; t_max = 10; D = 0.1; h = 0.1; tao = 0.1; %调用扩散方程子函数求解 u = diffuse_equation(a0,t_max,h,tao,D,a1,b1,c1,a2,b2,c2); 子程序1： function output = diffuse_equation(a0,t_max,h,tao,D,a1,b1,c1,a2,b2,c2) % 一维扩散方程的有限差分法，采用隐式六点差分格式(Crank-Nicolson) % a0: x 的最大值 % t:_max: t 的最大值

% h: 空间步长 % tao: 时间步长 % D：扩散系数 % a1,b1,c1是（x=0）边界条件的系数；a2,b2,c2是（x=a0）边界条件的系数 x = 0:h:a0; n = length(x); t = 0:tao:t_max; k = length(t); P = tao * D/h^2; P1 = 1/P + 1; P2 = 1/P - 1; u = zeros(k,n); %初始条件 u(1,:) = exp(x); %求A矩阵的对角元素d d = zeros(1,n); d(1,1) = b1*P1+h*a1; d(2:(n-1),1) = 2*P1; d(n,1) = b2*P1+h*a2; %求A矩阵的对角元素下面一行元素e e = -ones(1,n-1);

对流扩散方程有限差分方法.

对流扩散方程有限差分方法 求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。 3.1 中心差分格式 时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式]6[ 2 1 11 1122h u u u v h u u a u u n j n j n j n j n j n j n j -+-+++-=-+-τ （3） 若令 h a τ λ=，2h v τ μ=，则（3）式可改写为 )2()(2 111111 n j n j n j n j n j n j n j u u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4） 从上式我们看到，在新的时间层1+n 上只包含了一个未知量1 +n j u ，它可以由时间层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。因此，中心差分格式是求解对 流扩散方程的显示格式。 假定),(t x u 是定解问题的充分光滑的解，将1 +n j u ，n j u 1+，n j u 1-分别在),(n j t x 处 进行Taylor 展开： )(),(),(211ττO t u t x u t x u u n j n j n j n j +??? ?????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????-==-- 代入(4)式，有 2 111 1122),(h u u u v h u u a u u t x T n j n j n j n j n j n j n j n j -+-+++---+-= τ )()()(2222 h O v x u v h O a x u a O t u n j n j n j ?-????????-?+????????++????????=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u n j n j n j ?-++????????-??? ?????+????????=τ

基于Peclet数判别法的一维对流扩散方程分类研究

基于Peclet 数判别法的一维对流扩散方程分类研究 摘要：采用Peclet 数的绝对值大小来判别一维对流扩散方程为对流占优型或是扩散占优型方程，运用三种隐式差分格式—中心隐式格式、对流C-N 型格式和扩散C-N 格式，对不同Peclet 数的算例进行离散和求解。然后，将计算区域中所有节点的解析解与数值解表示成矩阵形式，并求解出它们的矩阵2范数之后作比较，两者越接近则代表差分格式精度越高。通过比较得出了当方程Peclet 数的绝对值小于等于0.5时，方程为扩散占优型方程。在离散方法选取方面，针对扩散项的离散可以采用更高精度的差分格式，如扩散C-N 格式；当Peclet 数的绝对值大于等于20时，方程为对流占优型方程。此时，针对对流项可以采用更高精度的差分格式，如对流C-N 格式；当Peclet 数的绝对值介于0.5与20之间时，无法用Peclet 数判断方程类型,不过可以选择折衷的离散格式减小误差，如中心隐式格式。 关键字：一维对流扩散方程 Peclet 数判别法 有限差分方法 数值模拟 MR(2010)主题分类号：39A14；65M06 中图分类号：O242.2 文献标识码： A 1.引言 一维对流扩散方程是描述流体流动和传热问题的一类线性化模型方程。土壤、大气等多孔介质中水、盐分、温度以及污染物质的对流扩散问题都会遇到此类方程。在一维对流扩散方程的求解过程中，反映流体对流和扩散两种物理作用的分别是对流项和扩散项。所以，根据方程中对流项还是扩散项占主导作用，通常可将方程分为对流占优型和扩散占优型两类方程。然而，要想得到精确度较高的数值结果，这两种类型方程的离散方法不能采用相同的离散格式。因此，需要有一种判别方法来判断方程的类型，关于对流占优型和扩散占优型方程的判别方法一直是近年来研究的热点问题。这对研究不同类型的方程使用合适的差分格式进行离散具有实际的意义。由于Peclet 数的绝对值表示了对流作用相对扩散作用的大小，即绝 大，扩散所起的作用就可以忽略。反之，当Peclet 数为零时，方程就为纯扩散方程。本文选用一维定解非稳态对流扩散方程为例，通过考察Peclet 数的绝对值大小来对方程进行分类，方程一般形式如下： 2(,),,0 122(1)(,0)()(,)(),(,)()12(,) u u u a f x t x x x t t x x u x g x u x t t u x t t u u x t υ?φ???? ?? ?? ????+=+≤≤≥???==== 其中a 和υ分别代表对流项系数和扩散项系数。假定求解区间长度为s ， Peclet 数的绝对值

一维对流扩散方程的稳定性条件推导

一维稳态对流扩散方程稳定性条件的推导 姓名： 班级：硕5015 学号： 2015/12/15

证明： 一维稳态对流扩散方程： 22u x x φφρ??=Γ?? 采用控制容积积分法，对上图P 控制的容积作积分，取分段线性型线，对均分网格可得下列离散方程： ()()()()()()()()11112222e w e w P E W e w e w w w e e u u u u x x x x φρρφρφρδδδδ??????ΓΓΓΓ+-+=-++????????????????记：()()()()1122e w P e w w e a u u x x ρρδδΓΓ=+-+ ()()12 e E e e a u x ρδΓ=- ()()12w W w w a u x ρδΓ= + 定义通过界面的流量u ρ记为F ,界面上单位面积扩散阻力的倒数x δΓ记为D ,则原式简化为： P P E E W W a a a φφφ=+ 12 E e e a D F =- 12 W w w a D F =+ ()P E W e w a a a F F =++- 令 u x F Pe D ρδ==Γ 则 1111222 E W P Pe Pe φφφ????-++ ? ?????=

当Pe 大于2以后，数值解出现了异常；P φ小于其左右邻点之值，在无源项情 况下是不可能的。因为当2Pe >时系数12 E e e a D F =-小于零，即右边点的通过对流及扩散作用对中间点所产生的影响是负的，这会导致物理上产生不真实的解，所以2u x Pe ρδ=≤Γ 证毕。

一维扩散方程的差分法matlab

一维扩散方程的有限差分法 ——计算物理实验作业七 陈万 题目： 编程求解一维扩散方程的解 取1.0,1.0,1.0,10,0.1,0,1,1,0,1,1max 0222111======-=====τh D t a c b a c b a 。输出t=1,2,...,10时刻的x 和u(x),并与解析解u=exp(x+0.1t)作比较。 主程序： % 一维扩散方程的有限差分法 clear,clc; %定义初始常量 a1 = 1; b1 = 1; c1 = 0; a2 = 1;b2 = -1; c2 = 0; a0 = 1.0; t_max = 10; D = 0.1; h = 0.1; tao = 0.1; %调用扩散方程子函数求解 u = diffuse_equation(a0,t_max,h,tao,D,a1,b1,c1,a2,b2,c2); 子程序1：

function output = diffuse_equation(a0,t_max,h,tao,D,a1,b1,c1,a2,b2,c2) % 一维扩散方程的有限差分法，采用隐式六点差分格式 (Crank-Nicolson) % a0: x的最大值 % t:_max: t的最大值 % h: 空间步长 % tao: 时间步长 % D：扩散系数 % a1,b1,c1是（x=0）边界条件的系数；a2,b2,c2是（x=a0）边界条件的系数 x = 0:h:a0; n = length(x); t = 0:tao:t_max; k = length(t); P = tao * D/h^2; P1 = 1/P + 1; P2 = 1/P - 1;

一维对流扩散方程的数值解法

一维对流扩散方程的数值解法 对流-扩散方程是守恒定律控制方程的一种模型方程，它既是能量方程的表示形式，同时也可以认为是把压力梯度项隐含到了源项中去的动量方程的代表。因此，以对流-扩散方程为例，来研究数值求解偏微分方程的相容性、收敛性和稳定性具有代表性的意义。 1 数学模型 本作业从最简单的模型方程，即一维、稳态、无源项的对流扩散方程出发，方程如下： 22, 02f f f U D x t x x ???+=≤≤??? (1) 初始条件 (),0sin(2)f x t A kx π== (2) 解析解 ()()()224,sin 2Dk t f x t e A k x Ut ππ-=- (3) 式中，1,0.05,0.5,1U D A k ==== 函数(3)描述的是一个衰减波的图像，如图1所示 t=0 t=0.5 t=1 图1 函数()()()224,sin 2Dk t f x t e k x Ut ππ-=- 的图像（U=1，D=0.05，k=1） 2 数值解法 2.1 数值误差分析 在网格点(),i n 上差分方程的数值解n i f 偏离该点上相应的偏微分方程的精确解 (),f i n 的值，称为网格节点上的数值误差。 当取定网格节点数21N =时，观察差分方程的解与微分方程的解在不同时间步长下的趋近程度，其中时间步长分别取值0.05,0.025,0.0125,0.0005t ?=。

（a ）21,0.05N t =?= （b ）21,0.025N t =?= （c ）21,0.0125N t =?= （d ）201,0.0005N t =?= 图2 数值误差随步长的变化情况 从图2的(a)~(d)可以定性的看出，数值误差与步长的大小有关。在满足稳定性条件的前提下，数值误差随着时间步长的减小而减小，同时，图（d ）表示增大网格的分辨率也有助于减小网格误差。 为了对数值误差有一个定量的认识，接下来取定时间步长为0.0005t ?=，分别算出 11,21,41,61,81,101,121,161N =时，指标E =1所示。 表1 不同网格节点数下指标E 的值

物理分析课程设计---一维扩散方程求解

课程设计报告 课程名称：核反应堆物理分析题目：一维扩散方程求解院系：核科学与工程学院班级： 学号： 姓名： 指导教师： 成绩： 教师签名： 日期：2011 年6月日

目录 摘要 (1) 课程设计的目的与要求 (1) 设计正文 (1) 课程设计总结或结论 (3) 参考文献 (4)

摘要和关键词 摘要 这个设计用微分方程的差分数值求解方法，运用MATLAB编程计算出一维扩散方程中子通量密度的离散解。 关键词：一维扩散方程 一．课程设计的目的与要求 学习使用微分方程的数值解法（差分方法）来近似求解一维扩散方程，掌握差分方法的核心思想，熟练使用matlab数据处理，origin绘图软件。通过给定的微分方程及边界条件，计算平板型，圆柱形，球形反应堆中子通量密度分布。 二．设计正文 通过查找有关资料，根据二阶线性微分方程 ○1 转换为差分方程的一般公式 其中 ○2 h为给定步长, 我们把原方程化简为○3

对比方程○1和○3得出 ○4 把○4代入○2 等式右端向量 差分方程其实就是一个线性方程组，此线性方程组的系数矩阵为： 则有 这是一个三对角阵，故可用追赶法解式○3。 下面通过matlab程序来计算变换后的差分方程的解。 所编程序如下： clear; N=input('请输入参数：'); alpha=input('请输入alpha值：'); if alpha==0 rmax=input('请输入平板的厚度：'); f0=input('请输入平板中心的中子通量密度：'); elseif alpha==1 rmax=input('请输入堆芯半径：'); f0=input('请输入圆柱中心的中子通量密度：'); elseif alpha==2 rmax=input('请输入堆芯半径：'); f0=input('请输入球形中心的中子通量密度：'); end

一维抛物线方程混合边界问题matlab求解(一维扩散方程)

在差分方法中分为前差、后差、中心差以及显式、隐式、中心式。这些概念分别对应着对空间和时间的离散。 针对以上抛物线方程的求解方法，分别采用向前、向后、对称六点和三行式进行计算。 一维抛物线的一般方程为 此题为混合边界问题 1、前差的一般格式为 将τ 成为网比，记做r，则差分格式可以写成 ?2

将上标为k+1的放在一边，k的放在一边，这样就可以写成矩阵形式。 根据已知条件便可以求解。（下面是前差的matlab代码） r=10; x=0:0.1:1; t=0:0.1:1; U=[]; U(:,1)=0; U(:,11)=0; U(1,:)=sin(pi.*x); for i=2:11 %%行 for j=2:10 %% 列 U(i,j)=r*U(i-1,j-1)+(1-2*r)*U(i-1,j)+r*U(i-1,j+1); end end figure; surf(x,t,U); 例题中并没有给出t的具体值，这里取了1，如同正方形laplace方程一样，纯粹为了好求。上面两个for循环代替了矩阵的作用。如果想改成矩阵，很简单，自行解决。

2、后差的一般格式为 这里请注意前差后差的不同点在于右式中上标的变化。 附上matlab代码： h=0.1; k=0.1; N=1/h; M=1/0.1; r=k/h^2; for i=1:N-1 B(i)=sin(i/N*pi); end U(:,1)=B; A=diag(ones(1,N-1)*(1+2*r))-diag(ones(1,N-2)*r,1)-diag(ones(1,N-2)*r, -1); for i=2:M+1 U(:,i)=A\U(:,i-1); end Z=[zeros(11,1),U',zeros(11,1)]; [X,Y]=meshgrid(linspace(1,0,11),linspace(1,0,11)); surf(X,Y,Z);

对流扩散方程.

A

对流扩散方程的求解 对流扩散问题的有效数值解法一直是计算数学中重要的研究内容，求解对流扩散方程的数值方法主要是有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)、有限体积法(FVM)、有限解析法(FAM)、边界元法(BEM)、谱方法(SM) 等多种方法。但是对于对流占优问题，用通常的差分法或有限元法进行求解将出现数值震荡。 为了克服数值震荡，80年代，J.Douglas,Jr.和T.F.Russell 等提出特征修正技术求解对流扩散占优的对流扩散问题，与其它方法相结合，提出了特征有限元方法、特征有限差分方法、特征混合元方法；T.J.Hughes和A.Brooks提出过一种沿流线方向附加人工黏性的间断有限元法，称为流线扩散方法(SDM)。有限差分法、有限元法、有限体积法是工程应用中的主要方法。 对流扩散方程的特点 对流扩散方程右端第一项为扩散项，左端第二项则是对流项。由于其方程本身的特点，给建立准确有效的数值求解方法带来一定的困难。对流和扩散给流体中由流体携带的某种物理量的变化过程，可以通过一个无量纲的特征参数(Peclet数)来描述，Peclet数Pe的定义为：Pe=|ν|L/D。这里v是来流速度，L是特征长度，D是物质的扩散系数。如果Pe数较小，即对流效应相对较弱，这类问题中，扩散占主导地位，方程是椭圆型或抛物线型；

如果Pe数较大，即溶质分子的扩散相对于流体速度而言是缓慢的，这类问题中，对流占优，方程具有双曲型方程的特点。 对于对流占优问题的求解，采用常规的Galerkin有限元方法，为了避免求解结果产生数值振荡，获得稳定解，则应使每个单元的局部Peclet数，Peh=|ν|h/D≤2，这里h为单元的最大尺寸，|v|为单元中的最大速度分量值。因此，用本文方法求解对流占优对流扩散问题，要得到稳定解，则要通过加密有限元网格来实现。

对流占优扩散方程的差分法

摘要 对流占优扩散方程主要包含对流项和扩散项，其中对流项系数远远大于扩散项系数。在数值计算中，方程中的扩散项一般采用具有优良物理特性和计算精度的中心差分离散格式，而关于对流项的处理就稍显困难，若处理不当便会产生数值震荡或数值弥散，给数值计算带来困难。因此，需要对求解的方法做出改进。 本文主要讨论迎风差分格式，迎风加权差分格式，以及特征有限差分格式。三种方法都能够消除数值震荡，但各种方法间又各有差异。迎风格式计算量较小，能够消除数值震荡，但是数值解的精度不高。特征有限差分格式中含有多个未知的点，计算量特别大，从误差分析中可以看出，其数值解拥有较高的精度。迎风加权差分格式，是在迎风格式的基础上改进得到的，精度较高，其数值解不仅受到时间和空间步长的影响，还受到不同参数的影响。可以选取不同的参数是迎风加权格式的一个优点。 关键词：对流占优扩散方程；迎风格式；迎风加权差分格式；特征有限差分法

Abstract Convection-dominated diffusion problems mainly contain convection and diffusion terms, which the convection coefficient is much larger than the diffusion coefficient. In the numerical calculation, diffusion terms in the equation commonly used central difference discretization scheme with excellent physical properties and calculation accuracy. However, the method of the convective terms slightly difficult. It would produce numerical shock or numerical dispersion if not handled properly. Therefore, we need to make some improvements. This article focuses on upwind difference scheme, upstream weighted scheme, as well as characteristic finite difference method. The numerical oscillation can be eliminated by all three methods, but there are differences between each method. Upwind difference scheme has smaller amount of calculation, to eliminate the numerical oscillation, but the accuracy of numerical solution is not as good as we expect. Characteristic finite difference method which contains a number of unknown point, with a large amount of calculation, and we can see from the error analysis, the accuracy of numerical solution is much higher. Upstream weighted scheme, which improved based on upwind scheme, is not only influenced by the time and space step, but also affected by different parameter of . To choose a different parameter of is also an advantage of upstream weighted scheme. Key Words: Convection-dominated diffusion problem; Upwind difference scheme; Upstream weighted scheme; Characteristic finite difference method

对流扩散方程有限差分方法

对流扩散方程有限差分方法

对流扩散方程有限差分方法 求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隐式差分格式。 3.1中心差分格式 时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了流扩散方程的显示格式。 处进行Taylor展开: 1) 式的中心差分格式[6] n 1 n U j U j n n U j 1 U j 1 a 2h n U j 1 v n n 2U j U j 1 h2 (3) 若令a h， n 1 U j n U j Vp，则 h 1 / n 2(U 1 (3)式可改写为 n n U j 1) (U j 1 2u：n \ U j 1) (4) 从上式我们看到, 在新的时间层n 1上只包含了一个未知量n U j 1，它可以由时间层n上的值U；1，U j n，U；1直接计算出来。因此, 中心差分格式是求解对 假定u(x,t)是定解问题的充分光滑的解，将n 1 U j n U j U； 1 分别在(X j,t n) n U j U(X j,t n 1) U(X j,t n) 0( 2) n U j 1 U(X j 1,t n) U(X j,t n) n U j 1 U(X j 1,t n) U(X j,t n) U n h2 2 U n X j 2 2 X j U n h2 2 U n X j 2 2 X j 代入⑷式，有 T (X j,t n) n 1 U j n U j n n U j 1 U j 1 a 2h 2U n h2 n 0() n 2 a 0(h ) 2 U 2 X n 2 v 0(h ) j h h n U j 1 0(h3) 0(h3) n U j 1 v ---

对流扩散方程背景

对流扩散方程背景 提出一种隐格式用于解决二维时间依赖的Burgers型方程。迎风单边差分格式被用于对流项离散；对扩散项用二阶中心差分格式离散。我们建立了全隐的数值有限差分格式，分析了无条件稳定性和严格推导了收敛性，在空间是二阶收敛的和时间一阶收敛的。给出数值结果验证理论正确性。 关键词：隐格式，单边差分逼近，Burgers方程，稳定性，收敛阶 对流扩散方程背景 对流扩散方程描述黏性流体的动力学行为，这在许多工程应用中发挥了重要作用。对流占优型扩散方程一般具有对流比扩散的系数大得多的特点，通常数值模拟具有一定难度，因为一方面，扩散系数比传输速度小，并且在另一方面，由于数值扰动容易出现边界层现象。许多格式已用于这些问题的模拟，并有大量成功的数值方法[1-3]。通过离散方法来解决对流扩散问题时，一般运用标准Galerkin有限元方法求解，但此方法会导致非物理特征扰动。为了解决这类缺陷，几种稳定的有限元方法已经在[4]中被提出了。 我们感兴趣的是建立非耗散方法来克服数值扰动，并有鲁棒性和二阶精度，尤其是对Burgers问题。Burgers问题通常被认为非线性流体的流动和扰动的经典模型。在二维非线性的情况下，可以描述对流和扩散的现象，Burgers方程代表一种最基本的非线性模型方程。从一个数值格式出发研究是相当有趣的，因为Burgers已出现在众多的流体方程中[5-7]。并已经由霍普夫-科尔计算出多种组合的初始条件和边界条件下的结果[10,11]。此外，对于非线性Burgers方程的解析解也可以通过Homotop Perturbation法[12]得到。 众所周知，单独的选择一种基本差分格式如中心差分或者迎风格式，来计算纯对流式的方程，扩散项通常只是中心近似。而解决问题的关键在于对流方面构造稳定的离散结构来克服数值扰动。虽然单边差分近似格式已经被提出了30年之久[13]，人们却很少关注他们在计算流动问题。一阶或者二阶单边迎风有限差分