赋值法求二项式系数和

赋值法求二项式系数和

例1.若6234560123456(12)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，则

（1）0123456a a a a a a a ++++++=_________；

（2）0246a a a a +++=_________；

（3）135a a a ++=_________；

（4）0123456||||||||||||||a a a a a a a ++++++=_________；

（5）220246135()()a a a a a a a +++-++=_________；

（6）234560123456222222a a a a a a a ++++++=_________；

（7）234560123456222222a a a a a a a -+-+-+=_________；

（8）12345623456a a a a a a +++++=_________；

（9）12345623456a a a a a a -+-+-=_________；

（10）0123456111111234567a a a a a a a ++++++=_________； （11）0123456111111234567a a a a a a a -+-+-+-=_________.

解析：（1）令1x =，则01234561a a a a a a a ++++++=；

（2）令1x =-，则6

01234563729a a a a a a a -+-+-+==， 故024*********

a a a a ++++==； （3）由（1）（2）知135********a a a -++==-；

(完整版)二项式系数性质练习题答案

例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式 01()() n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L 中，令 1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n n C C C C C -=-+-++-L ， 即0 213 0()()n n n n C C C C =++-++L L ， ∴0 213 n n n n C C C C ++=++L L ， 即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知0 213 12n n n n n C C C C -++=++=L L . 例2．已知7 270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求： （1）12 7a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L . 解：（1）当1x =时，7 7(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为 0127a a a a ++++L ∴0127a a a a ++++L 1=-， 当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ， （2）令1x =， 0127a a a a ++++L 1=- ① 令1x =-，70 12345673a a a a a a a a -+-+-+-= ② ①-② 得：7 13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7 132 +- . （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：70 2462()13a a a a +++=-+， ∴ 7 0246132 a a a a -++++= ， ∴0 17||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+- 702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=

二项式定理中的特殊项问题

《二项式定理中的特殊项问题》导学案 学习目标： 1． 进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式； 2． 学会利用“赋值”的方法解决有关问题。 学习重点：二项式系数性质的应用； 学习难点：二项式系数性质的应用。 学习过程： 学习提纲： n n n r r n r n n n n n n b b a b a a b a C C C C )(110+++++=+--ΛΛ，是二项式展开式定理， 主要研究了以下几个方面的问题： （1）展开式；（2）通项公式；（3）二项式系数及其有关性质。 1．求5 2 3 )12()1(+-x x 的展开式中2 x 项的系数。 变式1：9()a x x -的展开式中3x 的系数是84-，求a 的值。 2． 求二项式3 5 2 1()x x - 的展开式中的常数项。 3． 求11 的展开式中的有理项。 4． 已知22)()n n N x ∈*的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1。 （1） 求展开式中各项系数的和； （2） 求展开式中含32 x 的项； （3） 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。 5． 若82 80128()x a a a x a x a x -=++++g g g ，且556a =，求0128a a a a ++++g g g 的值。 当堂检测：

1．（2011 陕西高考）6 (42)()x x x R --∈的展开式中的常数项是（ ） .20A - .15B - .15C .20D 2．若4234 01234(1)x a a x a x a x a x -=++++，则024a a a ++的值为 。 3．若(0)x ∈+∞，，则15 (12)x +的二项展开式中系数最大的项为 。 4．已知(1)n x -的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则(1)n x -的展开式中系数最小的项是 。 5．若1(3)n x x +的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含x 的整数次幂的项。 作业：课本 40P A 组1～9题；B 组1～5题 附加题：若4 1()2n x x +展开式中前三项系数成等差数，求展开式中系数最大项． 补充作业： 1．若016 6777a +x a +....+x a +x a =)1-x 3(，求 （1）1237a a a a ++++g g g ； （2）7531a +a +a +a ； （3）01237||||||||||a a a a a +++++L 2．在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（ ） A ．160 B ．240 C ．360 D ．800 3．已知2()n i x x - 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式 中系数为实数且最大的项为（ ） A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第5项或第6项 4．设()(1)(1)m n f x x x =+++（m 、n ∈N*），若其开展式中关于x 一次项的系数和为11，问m 、n 为何值时，含x 项的系数取最小值并求这个最小值．

赋值法在二项式定理中的应用

赋值法在二项式定理中的应用 赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，现以例说明． 一、用赋值法解决二项式系数的有关问题 利用二项式定理的展开式与所求问题进行类比转换，实现从一般到特殊的转化，用来证明或求值． 思路设法从已知等式中求出n． (1＋2)n = 729，即3n = 36，解得n = 6． 注意：所求式子中缺少一项，不能直接等于26． 二、用赋值法解决项的系数的有关问题 例2 (1997年上海高考题)(3x＋1)n(n∈N*)展开式中各项系数和为256，求x2的系数． 设(3x＋1)n = a0x n＋a1x n-1＋a2x n-2＋…＋a n．①

由题意：a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256． 在①式中令x = 1得 4n = a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256，解得n = 4． a3)2－(a1＋a3)2 = [ ] A．1 B．－1 C．0 D．2 解(a0＋a2＋a3)2－(a1＋a3)2 = (a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)． 上式左边中的两个式子分别是所给展开式中x取1和－1时的表达式． 故选A． 三、综合应用 在综合应用中要求学生能严格区别二项式系数与项的系数，注意项的系数的符号与式子的结构，灵活应用其他相关知识解题． 例4若(1－3x)9 = a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = ________．

二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程

二项式定理赋值法求各项系数的和 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求： （1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L . 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为 0127a a a a ++++L ∴0127a a a a ++++L 1=-， 当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ， （2）令1x =， 0 127a a a a ++++L 1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ② ①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7 132+-. （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+， ∴ 7 0246132 a a a a -++++=， ∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+- 702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++= 例6． 设()()()()231111n x x x x ++++++++=L 2012n n a a x a x a x ++++L ，

当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值 解：令1x =得： 230122222n n a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-， ∴2128,7n n ==， 点评：对于 101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 例8．在10)32(y x -的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和. 分析:因为二项式系数特指组合数r n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关. 解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ(*), 各项系数和即为1010a a a +++Λ,奇数项系数和为0210a a a +++L ,偶数项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++Λ. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为1010101100102=+++C C C Λ.

二项式展开式专题

二项式展开式专题 一、基础知识： 1、二项式()()n a b n N *+∈展开式 () 011222n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们 可以发现这样几个特点 （1）()n a b +完全展开后的项数为()1n + （2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。指数和为n （3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1n x +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。如果是()n a b -，则视为()n a b +-????进行展开 （4）二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= （注意是第1r +项） 2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的 和为2n 二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于()n a b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数 （包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=， 变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

杨辉三角与二项式系数的性质(教案)

1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数 表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ，

二项式定理问题的五大方法

二项式定理问题的五大方法 学习二项式定理，应对二项式定理问题的五大方法倍加关注，其中五大方法的具体内容是： 1．常规问题通项分析法 例1．如果在（x + 421x ）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开 式中的有理项. 解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ， 8 )1(-n n ，由题意得2×2 n =1+ 8 )1(-n n ， 得n =8. 设第r +1项为有理项，T 1+r =C r 8 ·r 2 1 ·x 4 316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4， 8. 有理项为T 1=x 4，T 5= 8 35x ，T 9= 2 2561x . 评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r . 通项公式T r+1= C r n a n-r b r (n ∈N +,r=0,1,2,2，…，n ）中含有a,b,n,r, T r+1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素．在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题（如判断和计算二项展开式中的特殊项），这类问题一般是正确使用通项公式，要清楚其中的相关字母的意义，利用等价转化的思想方法把问题归结为解方程（组）． 2．系数和差型赋值法 例2．已知（x －x a ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开 式中各项系数的和是 A.28 B.38 C.1或38 D.1或28 解析：T 1+r =C r 8·x 8－ r ·（－ax － 1）r =（－a ）r C r 8·x 8 －2r . 令8－2r =0，∴r =4. ∴（－a ）4C 48=1120.∴a =±2.

二项展开式中系数最大项的问题

二项展开式中系数最大项的问题 例5 已知(x ＋12x )n 的展开式中前三项的系数成等差数列． ①求n 的值； ②求展开式中系数最大的项． [解析] ①由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12 ×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍去)． ②设第r ＋1项的系数最大，则????? 12r C r 8≥12r ＋1C r ＋18，12r C r 8≥12r －1C r －18. 即????? 18－r ≥12(r ＋1)，12r ≥19－r .解得r ＝2或r ＝3. 所以系数最大的项为T 3＝7x 5，T 4＝7x 7 2 . 名师点拨 ? 求展开式中系数最大的项 如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项 系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用? ???? A k ≥A k －1A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得． 〔变式训练4〕 已知(x 2 3 ＋3x 2)n 的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [解析] (1)易知n ＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项． 所以T 3＝C 25(x 2 3 )3·(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23 )2·(3x 2)3＝270x 22 3 . (2)设展开式中第r ＋1项的系数最大．

T r ＋1＝C r 5(x 23 )5－r ·(3x 2)r ＝C r 5 ·3r ·x 10+4r 3 ， 故有????? C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1， 即????? 3r ≥16－r .15－r ≥3r ＋1. 解得72≤r ≤92 .因为r ∈N ， 所以r ＝4，即展开式中第5项的系数最大． T 5＝C 45·x 23 ·(3x 2)4＝405x 263 .

二项式定理赋值法求各项系数的和教学提纲

二项式定理赋值法求各项系数的和

二项式定理赋值法求各项系数的和 例2．已知7270127(12) x a a x a x a x -=++++L ，求： （1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L . 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为 0127a a a a ++++L ∴0 127a a a a ++++L 1=-， 当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ， （2）令1x =， 0 127a a a a ++++L 1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ② ①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7 132 +-. （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+， ∴ 70246132 a a a a -++++=， ∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+- 702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++= 例6． 设 ()()()()231111n x x x x ++++++++=L 2012n n a a x a x a x ++++L ， 当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值 解：令1x =得： 230122222n n a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-， ∴2128,7n n ==， 点评：对于 101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系

二项式定理解题技巧

二项式定理 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0 1 2 ,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括 二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0 n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++= ， 变形式1 221r n n n n n n C C C C +++++=- 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-= ， 从而得到：0 2421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

二项式系数

第二节 二项式定理 1.二项式定理： (1)(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n . (2)通项公式： T r ＋1＝C r n a n －r b r (r ＝0,1,2,…,n )为展开式第r +1项. (3)展开式的特点： 共有n ＋1项；第r ＋1项的二项式系数为C r n ； 2.二项式系数的性质: (1) C r n ＝C n －r n . (2)若n 为偶数,中间一项n 2＋1的二项式系数最大； 若n 奇数,中间两项n ＋12、n ＋12 ＋1的二项式系数相等并且最大． (3) C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n . (4) C 1n ＋C 3n ＋C 5n ……＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋……＝2n －1. 3.二项式中的最值问题 求(a ＋bx )n 展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1设第r ＋1项系数最大，则 ????? A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2. 4.二项式定理的主要应用 (1)赋值求值；

(2)证明某些整除问题或求余数； (3)证明有关等式与不等式； (4)进行近似计算. 例1.(1)求1231393n n n n n n C C C C -++++L 的值。 (2) 求8 1-展开式中含x 项的系数为？ (3) 求81- 展开式中所有x 的有理项。 练习1: (1＋x 3)(x ＋1x 2)6展开式中的常数项为_____． 例2.已知(x +2x 2)n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1. (1)求展开式中各项系数和及二项式系数和； (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项． 例3.已知(3x －1)7＝a 0x 7＋a 1x 6＋…＋a 6x ＋a 7. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7的值； (2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|的值； (3)求a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值．

高中数学求展开式中的特定项

高中数学求展开式中的特定项 1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项 式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 ①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负． ④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念． 知识内容

例说二项式定理的常见题型及解法

例说二项式定理的常见题型及解法 二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。 一、求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(x x +的展开式； 解：原式=4 )1 3( x x +=2 4)13(x x + = ])3()3()3()3([144342 243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12 342++++x x x x x =54112848122 ++++x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(x x - 的展开式； 分析：解决此题，只需要把4)13(x x - 改写成4)]1(3[x x - +的形式然后按照二项展开式的格式 展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-； 解：原式= n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3 3322110 -=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。 二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素 例4．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为4 9，常数a 的值为 解：92 3 92999 12)1()2 ()(----+???-=-=r r r r r r r r r x a C x x a C T 令 392 3 =-r ，即8=r 依题意，得 4 9 2)1(894889= ??---a C ，解得1-=a 2．确定二项展开式的常数项 例5．103 )1 (x x - 展开式中的常数项是 解：r r r r r r r x C x x C T 6 5510 3 1010 1)1()1() (--+?-=-=

二项式定理知识点总结

二 项式定理. 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做()n b a +的二项展 开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式；另一方面， 也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1v 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了二项展开式的项 数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、 常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++ 等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 例2．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数 （2）求91 ()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系 数 三、二项展开式系数的性质： ①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 ,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---==== ②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n 偶数：() 2max n n k n C C =； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即()21 21max +-==n n n n k n C C C

求展开式系数的类型及最大最小项

求展开式系数的六种常见类型 求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。 一 、)()(*∈+N n b a n 型 例1．10()x 的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展开式中64x y 项的系数为 4410(C =840,故选A 。 例2．8)1(x x - 展开式中5x 的系数为 。 解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2 388 88 1)1()1(--+-=- = ，由题意得52 3 8=- r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(* ∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．8 4 3)1()2(x x x x + +-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；34 2()x x -的通项公式为341241442()() (2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得 342()x x -的展开式中的常数项为33 42C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令 028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1 ()2(x x x x ++-的展开式中常数 项等于387032=+-。 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3 x 的项的系数是（ ） (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10 解析：5)1(x -中3x 的系数35C -=10-, 6)1(x --中3x 的系数为3 36(1)C -?-=20,故65)1()1(x x ---的 展开式中3 x 的系数为10,故选D 。 评注：求型如),()()(* ∈+±+N m n d c b a m n 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。 三 、),()()(* ∈++N m n d c b a m n 型

知识讲解-二项式定理(理)(提高)

二项式定理 【学习目标】 1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法. 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【要点梳理】 要点一：二项式定理 1.定义 一般地，对于任意正整数n ,都有： n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈）， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。 式中的r n r r n C a b -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r ＋1项:1r n r r r n T C a b -+=， 其中的系数r n C （r=0,1，２，…,n)叫做二项式系数， ２.二项式(a+b)ｎ 的展开式的特点： (1)项数：共有n+1项,比二项式的次数大１; (2)二项式系数:第r+１项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中； (３)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到０;字母b 升幂排列， 次数从0到n,每一项中，ａ,b 次数和均为n ； 3.两个常用的二项展开式: ①011()(1)(1)n n n r r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-?++-?(*N n ∈) ②122 (1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=+++ ++ + 要点二、二项展开式的通项公式 公式特点: ①它表示二项展开式的第r+１项，该项的二项式系数是r n C ; ②字母ｂ的次数和组合数的上标相同； ③ａ与b 的次数之和为ｎ。 要点诠释： （1)二项式（a+b ）ｎ的二项展开式的第r+1项r n r r n C a b -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n r r n C b a -是 有区别的,应用二项式定理时,其中的a 和ｂ是不能随便交换位置的. (２）通项是针对在（a+b)ｎ这个标准形式下而言的，如（ａ－b)ｎ 的二项展开式的通项是 1(1)r r n r r r n T C a b -+=-（只需把－ｂ看成b 代入二项式定理）。 要点三:二项式系数及其性质 １.杨辉三角和二项展开式的推导。 在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表,可直观地看出二项式系数。

高中数学完整讲义——二项式定理1.二项展开式1求展开式中的指定项

1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011 222 ...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数 () 0,1,2,...,r n C r n =叫做二 项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 ①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负． ④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是 ()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的 二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系 知识内容 求展开式中的指定项

知识讲解二项式定理理提高

知识讲解二项式定理理 提高 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

二项式定理 【学习目标】 1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【要点梳理】 要点一：二项式定理 1.定义 一般地,对于任意正整数n ,都有： n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈)， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。 式中的r n r r n C a b -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项： 1r n r r r n T C a b -+=， 其中的系数r n C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， 2．二项式(a+b)n 的展开式的特点： (1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； (2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中； (3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母 b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ； 3.两个常用的二项展开式： ①011()(1)(1)n n n r r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-?++-?(*N n ∈) ②122 (1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=+++++ + 要点二、二项展开式的通项公式