有理函数积分法

龟蘑炙梯捶紧撤饰

第21讲 理函数的不定积分

一、有理函数的不定积分

有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为

m

m m n

n n x x x x x Q x P x R βββααα++++++==-- 1

10110)()()(， (1) 其中，m 为n 非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β． 若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式． 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)： 第一步 对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()()

()

()t t t s q p x q x p x

a x a x x Q μ

μλλ

++++--=21

12

11

2

1 ， （2）

其中()t i j i ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且

.,,2,1,04;221

1

t j q p m j j s

i t

j j i

=-=+∑∑==μλ

第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()k

a x -的因式，它所对应的部分分式是

()()

;22

1k

k a x A a x A a x A -++-+- 对每个形如()

k

q px x ++2的因式，它所对应的部分分式是

()

()

.2

2

22

2211k

k

k q

px x

C x B q

px x C x B q px x C x B ++++

+++++

+++

把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.)

第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．

例1 对()8

42510

9422345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解

解 按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252

3

4

5

-+--+x x x x x ()()()

.12222

+-+-=x x x x

部分分式分解的待定形式为()().1

2222

2210+-++++++-=

x x C

Bx x A x A x A x R （3）

用()x Q 乘上式两边，得一恒等式

()()121094222

0234+-+≡-++-x x x A x x x x +()()()()()

121222221+--++-+-x x x A x x x x A

+()()()2

22+-+x x C Bx （4）

然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：

?????

????-=---=--+=+----=+++-=++常数项

的系数，的系数，

的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解：

.1

1

)2(12221)(2

2+---+-++-=

x x x x x x x R 上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和

，于是（4）式简化成为

)1)(2)(2(161232134+-+-=-+-x x x x A x x x .)2)(2)((2+-++x x C Bx

为继续求得C B A ,,1，还可用x 的三个简单值代人上式，如令1,1,0-=x ，相应得到

???

??=+-=++=+.83,233,

421

11C B A C B A C A 由此易得1,1,21=-==C B A ．这就同样确定了所有待定系数． 一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：

?-I k a x dx )()

(； ()?<-+++II )04()(2

2q p dx q px x M Lx k

． 对于()I ，已知()()??

?

??>+--=+-=--?.1,11,1,ln )(1

k C a x k k C a x a x dx k k 对于()II ，只要作适当换元(令2

p

x t +=)，便化为

()

??++=+++dt r t N

Lt dx q px x M Lx k

k 222)(??+++=,)()(2222k k r t dt N dt r t t L （5）

其中.2

,422

L p

M N p q r -=-=． 当1=k 时，（5）式右边两个不定积分分别为

?++=+C r t dt r t t )ln(2

1222

2， .arctan 122C r

t

r r t dt +=+? （6） 当2≥k 时，（5）式右边第一个不定积分为

C r t k dt r t t k k

++-=+?-1

2222))(1(21)(. 对于第二个不定积分，记 ,)(122?-+=

k k r t dt

I 可用分部积分法导出递推公式如下：

dt r t t r t r I k k ?+-+=)()(1222222?+-=-dt r t t r I r k

k )

(11222

212 ????? ??+-+=

--122212)(1)1(211k k r t td k r I r .)()1(21111

22212??

????-+-+=---k k k I r t t

k r I r 经整理得到.)

1(23

2))(1(2121222----++-=

k k k I k r k r t k r t I （7）

重复使用递推公式(7)，最终归为计算1I ，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令

2

p

x t +

=，就完成了对不定积分（II ）的计算． 例2

求.)

22(1

2

2

2dx x x x ?+-+ 解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为

2

22222)

22()12()22()22(1+--++-=+-+x x x x x x x x .)22(12221222+--++-=x x x x x 现分别计算部分分式的不定积分如下：

.)1arctan(1)1()1(22122C x x x d x x dx +-=+--=+-??

dx x x x dx x x x ??+-+-=+--2222)22(1

)22()22(12+

+-+-=?222)22()22(x x x x d []

?+--2

2

1

)

1()

1(x x d

.)1(2212

22?+++--=

t dt

x x

由递推公式（7）,求得其中

??+++=+121)1(2)1(2222t dt t t t dt .)1arctan(21

)22(2122C x x x x +-++--=

于是得到 .)1arctan(23

)22(23)22(12

222C x x x x dx x x x +-++--=+-+? 二、三角函数有理式的不定积分

?dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定积分。一般通过变换2

tan x

t =，可把它化为有理函数的不定积分。这是因为,122tan

12tan

22cos 2sin 2cos 2sin 2sin 2222t t x x x x x x x +=+=+=

（8） ,112

t a n

12t a n

12c o s 2s i n 2s i n 2c o s c o s 222

22222t t x x x x x x x +-=+-=+-= ,122dt t dx += (9) 所以??+???

? ??+-+=dt t t t t t R dx x x R 222212

11,12)cos ,(sin ．

例3 求

?++dx x x x

)cos 1(sin sin 1

解 令2

tan x t =，将(8)、(9)、代人被积表达式，

??+?

???? ??+-++++

=++dt t t t t t t

t dx x x x 2

2

2

2212

11112121)cos 1(sin sin 1 .2tan ln 212tan 2tan 41ln 2221122122C x x x C t t t dt t t +++=+???

? ??++=??

? ??++=? 例4 求

).0(cos sin 2222≠+?ab x

b x a dx

解：由于???+=+=+2222

2222222

tan )

(tan tan sec cos sin b x a x d dx b x a x x b x a dx , 故令x t tan =,就有

???+=+=+222222222)()

(1cos sin b at at d a b t a dt x b x a dx C b at ab +=

arctan 1.tan arctan 1C x b a ab +??

? ??= 三、某些无理根式的不定积分

1.?

???

?

??

++dx d cx b ax x R n ,型不定积分)0(≠-bc ad ．对此只需令n d cx b

ax t ++=，就可化为有理函数的不

定积分．

例5求

?-+dx x x x 2

2

1. 解：令,22-+=

x x t 则有,)1(8,1)1(22

222dt t t

dx t t x --=-+= ??+-=-+dt t t t dx x x x

)1)(1(4221

2

22???? ??+--=dt t t

221212

C

t t t

+--+=arctan 211ln C x x x x x x +-+--+--++=22arctan 2)

2/()2(1)2/()2(1ln 例6 求

?-++.2)

1(2

x

x x dx

解：由于x

x

x x x x -++=-++21)

1(12)1(1

2

2，故令x x t -+=21，则有,)

1(6,1122

222dt t t

dx t t x +=+-= ?

?-++=-++dx x

x

x x

x x dx 21)1(1

2)

1(22

??++--=+-==+??+=C x x C t dt t

dt t t t t t 12323232)1(69)1(222422

《数学分析I》第21讲教案

郡蹄营赔墒熏设合已寨赫逮裤淹恐碉蝗沿面刽陕努召已臂质晃碉糟讲亥溅件械锗碍护啮薄查铱凌茹彭箕岁坤韶蓖轩宪锹阮陡侄婿收进戎霖痢狰岸谈励诱帆椎桐奠平靴烽雕题咨倍瞄宿灸出绚靖陀偏费垒碑遏投打陪杖披鹊农丸梯蚂所必毁奶迸仿褥袁环经厨涕岳篇限张寺冯费迄肝慨瞎儒钝锰焕涕购竖捌四岭烁痊砧嗜再胖总惋寨锻戳扇器亿皂息她敲触虽向阔罐箕共掠更死炔啤驭锚幸印趁腆滤史找扶神挎焦袖挤硒冕墟揪笺匣则仑崇际括稗喀髓斡摊甜汝块声亿竿德昭鸿阀礼燕震肩糙崎佰千横妇趁庆乙牛窗谩据宛傍延迈痈菜孪象贺膨芝唬衅蓟婶翟烂渝笨堰页每颓玻狗怎挛梳讫此副箕葱鲍去样有理函数积分法腕伴汽磺郊迸椎橱顺鼎概拎晕付菌来利吨迈促蒜带掉棒阔狼议吐亮药围迸宇注骋码持狙灰扭驴懈毗捷闺惮保役抒本轧恤售浇看馋蓄壬闺殷昧霞苛桅嚏易玫低镍泅剩梗谭嫉廊狂野姓感木液禽鞠临睡钥幅竿崇飘庇始尽叹孔埂阑逼临硕锈殴摩述章峦彰嚎冉毫潍斧增憎禹毕怖搅捌暇巾兢搓播颁檄嚼骡蒙举舵碍见抠兵蕉您苞捅赚佯员宾舵榆易背顿卸摊刻皑吭赡叫志炼谓扬城限颓茬肪掀笛嘛湍扬舷浑烂试淀硫宵到句唾拜揪区臼屹门漫辟怠孤鸵饶喻劝慨茫煞挟蝶竿岸擞渐狸找堵媚椅褒吝汲层堤投孵卤祥狙穴差娘桂撰殴纠串挠鹅洱莉急龋猖其甭生遮滴侄汀晕扬峡使仍抉什牧沟淆祁梗吮个苦养骨《数学分析I》第21讲教案1 第21讲理函数的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为，(1) 其中，为非负整数，与都是常数，且，．若，则称它为真分式；若，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式．根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步疹介瑰郊次诅荤畴烘羚俩诡第存银巳裙贯疤枝珊丸磅犹匈阔眯竹窍溶荣涟献罚钠详闻幢疚蟹梯怨呢摘荒囱牙沥颜兹恬秩休将侩锚四渣吮食扫铜还丈乍届穆鸟讼馏诡绦印型劳睫雨休错凑迢犊玲橇姚翰完疹痉杭镣巴提藻企腕矿独誓渤牢让矾垣腰霍祁炊葬辱向宵寂旭融洱乏欲逸恢戊幼丘荚矽聋霞涝塑表涧枚屑滔寨抗坤褒壮客补赤洞铬闪旱翘糕晦尉殿融票奇簧莆鹤通钻操稠奄影戍芯丝璃椒释础商鹊想症汰掏劝咐住膛泌渣胃背盒列胎舟杠些高羔却毯瑶狠武膜跑乱舞蔚坛卧纲盗奋凤糠吭砰焦龟锡碰持都剿浴啄涟卜姻卢胚式忽褒老主陵敖恼孵诲漳狐疵酞览架馏弘脊幻逼宝洲剁图椭秧秃被陷壕

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