2011年全国高中数学联赛试题与参考答案

考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。把答案填在横线上．

1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．

2．函数1

1

)(2-+=

x x x f 的值域为 ． 3．设b a ,为正实数，

221

1≤+b

a ，32)(4)(a

b b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）

6．在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．

7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，?=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．

8．已知=n a C ()

)95,,2,1(216

2003

200 =???

?

????-n n

n

n ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ． 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)2

1

()(++-

=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．

10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，

1

21

)1(2)32(11-+--+-=

++n

n n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．

（1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．

11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：14

362

2=+y x 交于B A ,两点（如图所

示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．

（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；

（2）若?=∠60APB ，求△PAB 的面积．

考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10

一、（本题满分40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．

二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式

0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--

具有如下性质：

（1）110,,,-n a a a 均为正整数；

（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有

)()()()(21k r f r f r f m f ≠．

三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足

)1(n k j i r a a a a j

k i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．

证明：4

)(2n r f n <．

四、（本题满分50分）设A 是一个93?的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤?n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11?的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．

A

B

C

D

Q

P