最新高考理科数学知识分类汇总及全面解析冲刺篇

最新高考理科数学知识分类汇总及全面解析冲刺篇

“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。 【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例1、 设

{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B

= ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？

【易错点分析】此题由条件A B B = 易知B A ?，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情

况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。 解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B = 知B A ?故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符

合已知条件（Ⅱ）当B

φ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a =

或1

5

。综上满足条件的a 组成的集合为110,,35??????

，故其子集共有3

28=个。 【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ?A ∩B ＝Ａ?ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空

集Φ的情况优先进行讨论．

（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：

(){}22,|4A x y x y =+=，()()()

{}

2

2

2

,|34B x y x y r =

-+-=，其中0r >,若A B φ= 求r 的取值范围。

将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A 表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B 表示以（3，4）为圆心，以r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r 的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 【练1】已知集合

{}2|40A x x x =+=、(){}22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ?，则实数

a 的取值

范围是 。答案：1a =或1a ≤-。

【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。

例2、已知

()

2

2

214

y x ++=,求22x y +的取值范围 【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x 的函数最值求解，但极易忽略x 、y 满足

()

22

214

y x ++=这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。 解析：由于

()

22

214y x ++=得(x+2)2=1-4

2y ≤1，∴-3≤x ≤-1从而x 2+y 2=-3x 2

-16x-12=

+

3

28

因此当x=-1时x 2

+y 2

有最小值1, 当x=-

38时，x 2+y 2

有最大值3

28。故x 2+y 2

的取值范围是[1,

3

28

]

【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件

()

2

2

214

y x ++=对x 、

y 的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x ≤-1，22y -≤≤。此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。

【练2】（05高考重庆卷）若动点（x,y ）在曲线22

214x y b +=()0b >上变化，则22x y +的最大值为（）

（A ）()()2404424b b b b ?+<

402422b b b b ?+<

（C ）244b +（D ）2b 答案：A

【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。

例3、

()2112

x x

a f x ?-=+是R 上的奇函数，（1）求a 的值（2）求的反函数()1

f x - 【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。 解析：（1）利用

()()0f x f x +-=（或()00f =）求得a=1.

（2）由1a =即

()2121

x x

f x -=+，设()y f x =,则()211x y y -=+由于1y ≠故121x y y +=-，112lo

g y

y

x +-=，而()2121x x f x -=+()211,121

x =-∈-+所以()()11

12log 11x

x f x x +--=-<<

【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R 可省略）。 （2）应用

1()()f b a f a b -=?=可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。

【练3】（2004全国理）函数()()111f x x x =-+≥的反函数是（）

A 、()2221y x x x =-+<

B 、()2221y x x x =-+≥

C 、

()221y x x x =-< D 、()221y x x x =-≥

答案：B

【易错点4】求反函数与反函数值错位 例4、已知函数

()121x f x x

-=

+，函数()y g x =的图像与()1

1y f x -=-的图象关于直线y x =对称，则()y g x =的解析式为（） A 、()32x g

x x -=

B 、()21x g x x -=+

C 、()12x g x x -=+

D 、()3

2g x x

=+ 【易错点分析】解答本题时易由

()y g x =与()11y f x -=-互为反函数，而认为()11y f x -=-的反函数是

()1y f x =-则()y g x ==()1f x -=()()

1213211x x

x x

---=

=

+-而错选A 。 解析：由

()121x f x x -=

+得()1

12x f x x

--=+从而()()()11121211x x y f x x ----=-=

=+-+再求

()11y f x -=-的

反函数得()21x

g

x x

-=

+。正确答案：B 【知识点分类点拔】函数

()11y f x -=-与函数()1y f x =-并不互为反函数，他只是表示()1f x -中x 用x-1替代

后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设

()1y f x =-则()11f y x -=-，

()11x f y -=+再将x 、y 互换即得()1y f x =-的反函数为()11y f x -=+，故()1y f x =-的反函数不是()11y f x -=-，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。

【练4】（2004高考福建卷）已知函数y=log 2x 的反函数是y=f -1

(x)，则函数y= f -1

(1-x)的图象是（）

答案：B

【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。

例5、 判断函数

()2lg 1()22

x f x x -=

--的奇偶性。

【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：()()2lg 1()22

x f x f x x --=

≠+-从而得出函数()

f x 为非奇非偶函数的错误结论。

解析：由函数的解析式知x 满足2

10

22

x x ?->??-≠±??即函数的定义域为()()1,00,1- 定义域关于原点对称，在定义域下

()()2lg 1x f x x

-=

-易证

()()f x f x -=-即函数为奇函数。

【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。 （2）函数

()f x 具有奇偶性，则()()f x f x =-或()()f x f x =--是对定义域内

x 的恒等式。常常利用这一点求

解函数中字母参数的值。

【练5】判断下列函数的奇偶性：

①

()2244f x x x =-+-②()()

111x f x x x

+=--③

()1sin cos 1sin cos x x

f x x x

++=

+-

答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数

【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。

例6、 函数

()2221

2

11log 22x x f x x x -+??=<-> ??

?或的反函数为()1f x -，证明()1

f x -是奇函数且在其定义域上是增

函数。

【思维分析】可求

()1f x -的表达式，再证明。若注意到()1f x -与()f x 具有相同的单调性和奇偶性，只需研究原函数

()f x 的单调性和奇偶性即可。

解析：

()21

21

21

21

21

21

2

2

2

log log log x x x x x x f x --+--+-+-===-()f x =-，故()f x 为奇函数从而()1f x -为奇函数。又令

21212121x t x x -=

=-

++在1,2??-∞- ???和1,2??+∞ ???上均为增函数且2log t

y =为增函数，故()f x 在1,2??-∞- ??

?和1,2??+∞ ???

上分别为增函数。故()1

f x -分别在()0,+∞和(),0-∞上分别为增函数。 【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。（3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即

1()()f b a f a b -=?=。

【练6】（1）（99全国高考题）已知

()2

x x

e e

f x --=

，则如下结论正确的是（）

A 、 ()f x 是奇函数且为增函数

B 、()f x 是奇函数且为减函数

C 、

()f x 是偶函数且为增函数 D 、 ()f x 是偶函数且为减函数

答案：A

（2）（2005天津卷）设

()1f x -是函数()()()112

x x f x a a a -=->的反函数，则使()11f x ->成立的x 的取值范围为（）

A 、21(,)2a a -+∞

B 、21(,)2a a --∞

C 、21(,)2a a a

- D 、(,)a +∞

答案：A （1a >时，()f x 单调增函数，所以()()()

()()2

1111112a f x f f x f x f a

--->?>?>=.）

【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。 例7、试判断函数

()()0,0b

f x ax a b x

=+

>>的单调性并给出证明。 【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义

12,x D x D ∈∈()()()()()1212f x f x f x f x ><中的12,x x 的任意性。以及函数的单调区间必是函数定义域的子

集，要树立定义域优先的意识。 解析：由于

()()f x f x -=-即函数()f x 为奇函数，因此只需判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性即可。设

120

x x >> ，

()()()

12121212

ax x b f x f x x x x x --=- 由于

120

x x -> 故当

12,,b x x a ??∈+∞ ? ?

??

时

()()120f x f x ->，此时函数

()f x 在,b a ??+∞ ? ???上增函数，同理可证函数()f x 在0,b a ??

? ???

上为减函数。又由

于函数为奇函数，故函数在,0b a ?

?-

? ??

?为减函数，在,b a ??-∞- ? ???为增函数。综上所述：函数()f x 在,b a ??

-∞- ? ??

?和,b a ??+∞ ? ???上分别为增函数，在0,b a ?? ? ???和,0b a ??

- ? ???

上分别为减函数. 【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。 （2）单调性的定义等价于如下形式：

()f x 在[],a b 上是增函数()()1212

0f x f x x x -?

>-，()f x 在[],a b 上是减函

数()()1212

0f x f x x x -?

<-，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两点()()()()1122,,,x f x x f x 连

线的斜率都大于（小于）零。 （3）

()()0,0b

f x ax a b x

=+

>>是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不能说()f x 在,b a ??-∞- ? ??? ,b a ??+∞ ? ???上为增函数，在0,b a ?? ? ??

? ,0b a ??- ? ???上为减函数,在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”， 【练7】（1） （潍坊市统考题）()()10x

f x ax a ax

-=+

>（1）用单调性的定义判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性。（2）设

()f x 在01x <≤的最小值为()g a ，求()y g a =的解析式。

答案：（1）函数在1,a ??+∞ ???为增函数在10,a ??

???为减函数。（2）()()()1

2101a a y g a a a ?-≥?==??<

（2） （2001天津）设0a >且

()x x

e a

f x a e =+

为R 上的偶函数。（1）求a 的值（2）试判断函数在

()0,+∞上的单

调性并给出证明。 答案：（1）1a

=（2）函数在()0,+∞上为增函数（证明略）

【易错点8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。 例8、（2004全国高考卷）已知函数()3231f x ax x x =+-+上是减函数，求a 的取值范围。

【易错点分析】()()()0,f x x a b '<∈是()f x 在(),a b 内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条

件，如

()3f x x =-在R 上递减，但()230f x x '=-≤。

解析：求函数的导数

()2

361f x a

x x '=+-（

1）当

()0

f x '<时，

()

f x 是减函数，则

()()2

3610

f x a x x x R '=+-<∈故

a

得

3

a <-。（2

）

当

3

a =-时，

()3

3218331339f x x x x x ?

?=-+-+=--+ ???

易知此时函数也在R 上是减函数。（3）当3a >-时，在R 上存在一

个区间在其上有

()0f x '>，所以当3a >-时，函数()f x 不是减函数，综上，所求a 的取值范围是(],3-∞-。

【知识归类点拔】若函数

()f x 可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①0)(>'x f 与)(x f 为增

函数的关系:

0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但

0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。②0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关

系:若将0)(='x f 的根作为分界点，

因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当

0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。③0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系:)(x f 为增

函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间

内恒有

0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。函数的单

调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

因此本题在第一步后再对3a =-和3a >-进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。 【练8】（1）（2003新课程）函数

2y x bx c =++()()0,x ∈+∞是是单调函数的充要条件是（）

A 、0b ≥

B 、0b ≤

C 、0b >

D 、0b < 答案：A

（2）是否存在这样的K 值，使函数()243221

232

f x k x x kx x =-

-++在()1,2上递减，在()2,+∞上递增？ 答案：1

2

k

=

。（提示据题意结合函数的连续性知()20f '=，但()20f '=是函数在()1,2上递减，在()2,+∞上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由

()20f '=求出K 值后要检验。）

【易错点9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。

例9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+

a 1)2

+(b+b

1)2

的最小值。

错解 :(a+

a 1)2

+(b+b

1

)2=a 2+b 2

+

2

1a +21

b

+4≥2ab+

ab

2

+4≥4ab ab 1?

+4=8∴(a+

a 1)2

+(b+b

1

)2

的最小值是8

【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2

+b 2

≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=

2

1

,第二次等号成立的条件ab=

ab

1

，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。 解析：原式= a 2

+b 2

+21a +21b +4=( a 2

+b 2

)+(21a +21b )+4=[(a+b)2

-2ab]+ [(a 1+b 1)2

-ab 2]+4 =(1-2ab)(1+221

b

a )+4由

ab ≤(2b a +)2

=41 得：1-2ab ≥1-21=21,且221b a ≥16，1+221b

a ≥17∴原式≥21317+4=225 (当且仅当a=b=

21时，等号成立)∴(a+a 1)2

+(b+b 1)2

的最小值是2

25

。

【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解题中

容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。

【练9】（97全国卷文22理22）甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （km/h ）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a 元。

（1） 把全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

答案为:（1）

()()2

0s y bv a v c v

=

+<≤（2）使全程运输成本最小，当b a ≤c 时，行驶速度v=

b a ；当b

a

＞c 时，行驶速度v=c 。

【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。

例10、是否存在实数a 使函数

()2

log ax

x

a f x -=在

[]2,4上是增函数？若存在求出a 的值，若不存在，说明理由。

【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a 的范围扩大。 解析：函数()f x 是由()2x ax x φ=-和()

log x a

y φ=复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法（1）当a>1时，

若使

()2

l o g a x x

a f x -=在[]2,4上是增函数，则()2x a x x φ=-在[]

2,4上是增函数且大于零。故有

()1

222420a

a φ?≤???=->?

解得a>1。（2）当a<1时若使()2

log ax

x

a f x -=在

[]2,4上是增函数，

则()2

x ax x φ=-在[]2,4上是减函数且大于零。()1

4241640a a φ?≥???=->?

不等式组无解。综上所述存在实数a>1使得函数()2

log ax

x

a

f x -=在

[]

2,4上是增函数

【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决

定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。 【练10】（1）（黄岗三月分统考变式题）设0a

>，且1a ≠试求函数2log 43a y x x =+-的的单调区间。

答案：当01a <<，函数在31,2??- ???上单调递减在3,42??????上单调递增当1a >函数在31,2??- ???上单调递增在3,42??

????

上单调递减。

（2）（2005 高考天津）若函数()()()3log 0,1a f x x ax a a =->≠在区间1

(,0)2

-内单调递增，则a 的取值范围是（）

A 、1[,1)4

B 、3[,1)4

C 、9(,)4+∞

D 、9(1,)4

答案：B .（记()3g x x ax =

-，则()2'3g x x a =-当1a >时，要使得()f x 是增函数，则需有()'0g x >恒成立，所

以2

13324a ??<-= ???.矛盾.排除C 、D 当01a <<时，要使()f x 是函数，则需有()'0g x <恒成立，所以2

13324a ?

?>-= ???

.

排除A ）

【易错点11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．

例11、已知1sin sin

3

x y +=

求2

sin cos y x -的最大值 【易错点分析】此题学生都能通过条件1

sin sin 3

x y +=将问题转化为关于sin x 的函数，进而利用换元的思想令

sin t x =将问题变为关于t 的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解，

解析：由已知条件有1sin sin 3y x =-且[]1sin sin 1,13y x =-∈-（结合[]sin 1,1x ∈-）得2

sin 13

x -≤≤，

而

2sin cos y x

-=

1

sin 3

x -2cos x -=

22sin sin 3

x x =--

令

2sin 13t x t ??

=-≤≤ ?

??

则原式

=2

22133t

t t ??

---≤≤ ???

根据二次函数配方得：当23t =-即2sin 3x =-时，原式取得最大值

49。

【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

【练11】（1）（高考变式题）设a>0，000求f(x)＝2a(sinx ＋cosx)－sinx 2cosx －2a 2

的最大值和最小值。

答案：f(x)的最小值为－2a 2

－2

2a －12，最大值为1202

2

22212222

()()<<-+-≥?????

??a a a a

（2）不等式x >ax ＋32

的解集是(4,b)，则a ＝________，b ＝_______。

答案：1

,368

a

b ==（提示令换元x t =原不等式变为关于t 的一元二次不等式的解集为()2,b ）

【易错点12】已知n S 求n a 时, 易忽略n ＝１的情况． 例12、（2005高考北京卷）数列

{}n a 前n 项和n s 且111

1,3

n n a a s +==

。（1）求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式。 【易错点分析】此题在应用n s 与n a 的关系时误认为1n n n a s s -=-对于任意n 值都成立，忽略了对n=1的情况的验证。

易得出数列

{}n a 为等比数列的错误结论。

解析：易求得

2341416,,3927a a a ===。由1111,3n n a a s +==得()11

23

n

n a s n -=≥故()111112333n n n n n a a s s a n +--=-=≥得()1423

n n a a n +=≥又11a =，21

3a =故该数列从第二项开始为等比

数列故()

()21114233n n n a n -=??

=???

≥? ???

?。

【知识点归类点拔】对于数列n a 与n s 之间有如下关系：()()

1112n n n s n a s s n -=??=?-≥??利用两者之间的关系可以已知n s 求n a 。但注意只有在当1a 适合()12n

n n a s s n -=-≥时两者才可以合并否则要写分段函数的形式。

【练12】（2004全国理）已知数列{}n a 满足()()112311,2312n n a a a a a n a n -==++++-≥ 则数列{}n a 的

通项为 。

答案：（将条件右端视为数列{}n na 的前n-1项和利用公式法解答即可）()

()11!22

n n a n n =??

=?≥??

【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始） 例13、等差数列

{}n a 的首项10a >，前n 项和n s ，当l m ≠时，m l s s =。问n 为何值时n s 最大?

【易错点分析】等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，可将问题转化为求解关于n 的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。 解析：由题意知n s =

()()21112

22n n d d f n na d n a n -??

=+

=

+- ??

?此函数是以n 为变量的二次函数，因为10a >，当l

m ≠时，m l s s =故0d <即此二次函数开口向下，故由()()f l f m =得当2

l m

x +=

时()f x 取得最大值，但由于n N +

∈，故若l m +为偶数，当2

l m

n +=

时，n s 最大。 当l

m +为奇数时，当1

2

l m n +±=

时n s 最大。 【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解

题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数且没有常数项，反之满足形如2n

s an bn =+所对应的数列也必然是等差数列的前n 项和。此时由

n s an b n =+知数列中的点,n s n n ??

???

是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如前n 项和n n s ca c =-所对应的数列必为一等比数列的前n 项和。

【练13】（2001全国高考题）设{}n a 是等差数列，n s 是前n 项和，且56s s <，6

78s s s =>，则下列结论错误的是（）

A 、0d

D 、6s 和7s 均为n s 的最大值。

答案：C （提示利用二次函数的知识得等差数列前n 项和关于n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答） 【易错点14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。 例14、已知关于的方程2

30x

x a -+=和230x x b -+=的四个根组成首项为

3

4

的等差数列，求a b +的值。

【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。 解析：不妨设

34

是方程230x x a -+=的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程2

30x x a -+=的另一根是此等差数列的第四项，而方程2

30x x b -+=的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差

数列为：

3579,,44,44故2735,1616a b ==从而a b +=318

。 【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列

{}n a ，若q p m n +=+，则q

p m

n a a a a +=+；对于等比数列

{}n a ，若

v u m n +=+，则v u m n a a a a ?=?；若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，

k k S S 23-成等比数列；若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*

N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成

等差数列等性质要熟练和灵活应用。 【练14】（2003全国理天津理）已知方程2

20x x m -+=和220x x n -+=的四个根组成一个首项为

1

4

的等差数列，

则

m n

-=（） A 、1 B 、

34 C 、12 D 、38

答案：C

【易错点15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况 例15、数列}{n a 中，11=a ，22=a ，数列}{1+?n n a a 是公比为q （0>q ）的等比数列。

（I ）求使32211

+++++>+n n n n n n a a a a a a 成立的q 的取值范围；

（II ）求数列}{n a 的前n 2项的和n S 2． 【易错点分析】对于等比数列的前n 项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列}{1+?n n

a a 是公比为q （0>q ）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。

解：（I ）∵数列}{1+?n n a a 是公比为q 的等比数列，∴q a a a a n n n n 121+++=，2132q a a a a n n n n +++=，由

32211+++++>+n n n n n n a a a a a a 得221111q q q a a q a a a a n n n n n n >+?>++++，即012<--q q （0>q ），解

得2

5

10

+<

（II ）由数列}{1+?n n a a 是公比为q 的等比数列，得

q a a

q a a a a n

n n n n n =?=++++2121，这表明数列}{n a 的所有奇数项成等

比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是

q

，又

1

1=a ，

2

2=a ，∴当

1

≠q 时，

n S 2n n a a a a a a 2124321++++++=-

)()(2642321n n a a a a a a a a +++++++++= q

q q q a q q a n n n --=--+--=1)

1(31)1(1)1(21，当1

=q 时，

n S 2n n a a a a a a 2124321++++++=- )

()(2642321n n a a a a a a a a +++++++++= n 3)2222()1111(=+++++++++= ．

【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中

q a a n

n =+2

是解题的关键，这种给出数列的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为1这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。

【练15】（2005高考全国卷一第一问）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n

s >（1）求q 的取值范围。

答案：

()()1,00,-+∞

【易错点16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n 项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。

例16、．（2003北京理）已知数列{}n a 是等差数列，且11232,12a a a a =++=

（1）求数列

{}n a 的通项公式（2）令()n n

n b a x x R =∈求数列{}n b 前项和的公式。

【思维分析】本题根据条件确定数列

{}n a 的通项公式再由数列{}n b 的通项公式分析可知数列{}n b 是一个等差数列和一

个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。 解析：（1）易求得2n a n =

（2）由（1）得2n n

b nx =令n s =232462n x x x nx ++++ （Ⅰ）则

()23124212n n n xs x x n x nx +=+++-+ （Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得

()231

122222n n n x s x x x x nx +-=++++- 当1x ≠()11211n n n x x s nx x x +??-??=

---????当1x =时()24621n s n n n =++++=+

综上可得：

当1x ≠()1

1211n

n n x x s nx x x +??-??=---????

当1x =时()24621n s n n n =++++=+ 【知识点归类点拔】一般情况下对于数列

{}n c 有n n n c a b =其中数列{}n a 和{}n b 分别为等差数列和等比数列，则其前n

项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。 【练16】（2005全国卷一理）已知1221n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++++ (),0,0n N a b +∈>>当a b =时，

求数列

{}n a 的前n 项和n s

答案：1a

≠时()()()

2122

1221n n n

n a n a a a s a +++-+-+=-当1a =时()32

n

n n s +=

.

【易错点17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。 例17、求=n

S ++++++321121111…n

+++++ 3211． 【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。 解：由等差数列的前n 项和公式得2)1(321+=

++++n n n

，∴)1

1

1(2)1(23211+-=+=++++n n n n n ，n 取1，2，3，…，就分别得到3211,211,

11+++，…，∴=n S )1

1

1(2)4131(2)3121(2)211(2+-++-+-+-n n

1

2)111(2+=

+-

=n n

n ． 【知识归类点拔】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求

n

n 21

6314212112222++

++++++ ，方法还是抓通项，即

)2

1

1(21)2(1212+-=+=+n n n n n n ，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，如：

1

1++=

n n a n ，求其前n 项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位

相减法、倒序相加法等。

【练17】（2005济南统考）求和121222-+=n S ＋141422-+＋1

61

622-+＋…＋1)2(1)2(22-+n n ．

答案：+-++-++-+=715115*********n

S …+1211211+-

-+n n ＝1

22++n n

n ． 【易错点18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。

例18、（2004年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .

(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2

)(2k k S S =的正整数k ；

(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2

k k S S

=成立.

【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)时极易根据条件

“对于一切正整数k 都有2)(2

k k S S

=成立”这句话将k 取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求

解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。 解：（I ）当1,231==

d a 时n n n n n d n n na S n +=-+=-+=2

12

12)1(232)1( 由22242)2

1(21,)(2

k k k k S S

k k

+=+=得

，即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以.

（II ）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2

n n S S =中分别取k=1,2,得

??

????+=?+=?????==2112112

242

11)2122(2344,

,)()(d a d a a a S S S S 即 由（1）得 .1011==a a 或当,60)2(,01===d d a 或得代入时

若2

1)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立 ,

若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331

===-===n n S S S n a d a ,)(2

39S s ≠故所得数列不符合题意.当

20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得

代入时

若;)(,,1,0,1212成立从而则k k

n n S S n S a d a =====

若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== .

综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

①{a n } : a n =0，即0，0，0，…；②{a n } : a n =1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…，

【知识点归类点拔】事实上，“条件中使得对于一切正整数k 都有2)(2

k k S S

=成立.”就等价于关于k 的方程的解是一切正

整数又转化为关于k 的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这程等价转化的思想解答，这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般的关系。 【练18】（1）（2000全国）已知数列

{}n c ,其中23n n n c =+,且数列{}1n n c pc +-为等比数列.求常数p

答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根据等比中项的性质建立关于p 的方程，再说明p 值对任意自然数n 都成立） 【易错点19】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略. 例19、已知双曲线2

24x

y -=，直线()1y k x =-，讨论直线与双曲线公共点的个数

【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x 或y 的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。

（1）

（2）

解析：联立方程组()2214

y k x x y ?=-??-=??消去y 得到()22221240k x k x k -+--=（1）当2

10k -=时，即1k =±，

方程为关于x 的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点。（2）当()22

104430

k k ?-≠???=-=??时即

23

3k =±，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当()2

2104430

k k ?-≠???=->??

时，方程组有两个交点此时232333k -<<且1k ≠±。（4）当()22

104430

k k ?-≠???=-

时即233k >或233k <-时方程组无解此时直线与双曲线无交点。 综上知当1k

=±或233k =±

时直线与双曲线只有一个交点，当2323

33

k -<<且1k ≠±。时直线与双曲线有两个交点，当233k >

或233

k <-时方程组无解此时直线与双曲线无交点。 【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但只有一个公共点，通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。

【练19】（1）（2005重庆卷）已知椭圆1c 的方程为2

214

x y +=，双曲线2c 的左右焦点分别为1c 的左右顶点，而2c 的左右顶点分别是1c 的左右焦点。（1）求双曲线的方程（2）若直线:2l

y kx =+与椭圆1c 及双曲线2c 恒有两个不同的

交点，且与2c 的两个交点A 和B 满足6lOA OB ?< ，其中O 为原点，求k 的取值范围。答案：（1）2

213

x y -=（2）133113131,,,,115322315????????

---- ? ? ? ? ? ? ? ??

??????? （2）已知双曲线C ： ，过点P （1，1）作直线l, 使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有____条。答案：4

条（可知k l

存在时，令l: y-1=k(x-1)代入14

2

2

=-y x 中整理有(4-k 2

)x 2

+2k(k-1)x- (1-k 2

)-4=0,∴ 当4-k 2

=0即k=±2时，有一个公共点；当k ≠±2时，由Δ=0有2

5

=k ，有一个切点另：当k l

不存在时，x=1也

和曲线C 有一个切点∴综上，共有4条满足条件的直线） 【易错点20】易遗忘关于sin θ和cos θ齐次式的处理方法。

例20、已知2tan =θ

，求（1）

θ

θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2

2cos 2cos .sin sin +-的值.

【思维分析】将式子转化为正切如利用22

1sin cos αα=+可将（2）式分子分母除去sin θ即可。

解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-

+

=

++θθθ

θθθ

θ

θθθ；

(2) θ

+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ22222

2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin

3

24122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θ

θ+θθ

-θθ=. 【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。2

222(1sin

cos sec tan αααα=+=-tan cot αα=

这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用． 【练20】．（2004年湖北卷理科） 已知)3

2sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622π

αππααααα

+∈=-+求的值.

答案：6531326

-

+（原式可化为02tan tan 62=-+αα，()223

tan 1tan 2

sin 231tan ααπαα

+

-??+= ?+??）

【易错点21】解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第n 项与数列的前n 项和混淆导致错误解答。

例21、如果能将一张厚度为0.05mm 的报纸对拆,再对拆....对拆50次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为8

410?米)

【易错点分析】对拆50次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第n 项,易误理解为是比等比数列的前n 项和。

解析：对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列n a ，则数列n a 是以3

1a =0.0510?米为首项，公比为2的等比数列。从而对拆50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得

a 51=0.05310-3

3250

=5.6331010

,而地球和月球间的距离为43108<5.6331010

故可建一座桥。

【知识点归类点拔】 以数列为数学模型的应用题曾是高考考查的热点内容之一，其中有很多问题都是涉及到等差或者等比数列的前n 项和或第n 项的问题，在审题过程中一定要将两者区分开来。

【练21】（2001全国高考）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，

本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少

51

，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4

1

.

(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入

（1）a n =800+8003(1－51)+…+8003(1－51)n －1=∑

=n k 1

8003(1－51)k －1=40003［1－(54)n

］

b n =400+4003(1+41)+…+4003(1+41)k －1=∑

=n k 1

4003(45)k －1=16003［(45

)n －1］

（2）至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入

【易错点22】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不强，另一方面易将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的错误。 例21、下列命题正确的是（） A 、α、β都是第二象限角，若sin sin αβ>，则tan tan αβ>B 、α、β都是第三象限角，若cos cos αβ>，

则sin sin αβ>C 、α、β都是第四象限角，若sin sin α

β

>，则tan tan α

β>D 、α、β都是第一象限角，

若cos cos α

β>，则sin sin αβ

>。

【易错点分析】学生在解答此题时易出现如下错误：（1）将象限角简单理解为锐角或钝角或270到360度之间的角。（2）思维转向利用三角函数的单调性，没有应用三角函数线比较两角三角函数值大小的意识而使思维受阻。 解析：A 、由三角函数易知此时角α的正切线的数量比角β的正切线的数量要小即tan tan α

β

sin sin αβ

的正切线的数量要大即tan tan αβ

>。正确。D 、同理

可知应为sin sin α

β<。

【知识点归类点拔】单位圆的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来，体现了数形结合的数学思想，要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。三角函数线在解三角不等式、比较角的同名函数值的大小、三角关系式的证明都有着广泛的应用并且在这些方面有着一定的优越性。例如利用三角函数线易知

0,,sin tan 2

παααα??

∈<< ??

?

，sin cos 1αα+≥等。

【练22】（2000全国高考）已知sin sin αβ

>，那么下列命题正确的是（）

A 、 若αβ、都是第一象限角，则cos cos αβ>

B 、若αβ、都是第二象限角，则tan tan αβ> B 、 若αβ

、都是第三象限角，则cos cos α

β>D 、若αβ

、都是第四象限角，则tan tan α

β

>

答案：D

【易错点23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将ω和φ求错。

例23．要得到函数

sin 23y x π?

?=- ??

?的图象，只需将函数1sin 2y x =的图象（）

A 、 先将每个x 值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向右平移3

π

个单位。 B 、 先将每个x 值缩小到原来的14倍，y 值不变，再向左平移3

π

个单位。

C 、 先把每个x 值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向左平移个6

π

单位。 D 、 先把每个x 值缩小到原来的14倍，y 值不变，再向右平移6π

个单位。

【易错点分析】1sin 2

y x =变换成sin 2y x =是把每个x 值缩小到原来的1

4倍，有的同学误认为是扩大到原来的倍，

这样就误选A 或C ，再把

sin 2y x =平移到sin 23y x π?

?=- ??

?有的同学平移方向错了，

有的同学平移的单位误认为是

3

π

。 解析：由

1sin

2y x =变形为sin 23y x π?

?=- ??

?常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将1sin 2y x =的图象

上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

4

倍得到函数2sin 2y x =的图象， 再将函数

2sin 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向右平移

6π单位。即得函数sin 23y x π?

?=- ??

?。

或者先进行相位变换，即将

1sin

2

y x =的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向右平移

23π

个单位，得到函数

121sin sin 23

23y x x π

π????=-

=- ? ?????的图象，再将其横坐标变为原来的4倍即得即得函数sin 23y x π?

?=- ??

?的图象。

【知识点归类点拔】利用图角变换作图是作出函数图象的一种重要的方法，一般地由

sin y x =得到

()sin y A wx φ=+的图象有如下两种思路：一先进行振幅变换即由sin y x =横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍得到

sin y A x =，再进行周期变换即由 sin y A x =纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

ω

倍，得到

sin y A wx =，再进

行相位变换即由

sin y A wx =横坐标向左（右）平移

φ

ω

个单位，即得

()sin sin y A x A x φωωφω?

?=+=+ ??

?，

另种就是先进行了振幅变换后，再进行相位变换即由

sin y A x =向左（右）平移φ

个单位，即得到函数

()sin y A x φ=+的图象，再将其横坐标变为原来的

1

ω

倍即得

()sin y A wx φ=+。不论哪一种变换都要注意一点

就是不论哪一种变换都是对纯粹的变量x 来说的。

【练23】（2005全国卷天津卷）要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的 A 、 横坐标缩短为原来的

12倍（纵坐标不变），再向左平移π个单位长度。B 、横坐标缩短为原来的1

2

倍（纵坐标不变），

再向左平移π个单位长度。C 、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π个单位长度。D 、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π个单位长度。 答案：C

【易错点24】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。

例24、已知()0,α

π∈，7

sin cos 13

αα+=

求tan α的值。 【易错点分析】本题可依据条件7

sin cos 13

αα+=，利用sin cos 12sin cos αααα-=±-可解得

sin cos αα-的值，再通过解方程组的方法即可解得sin α、cos α的值。但在解题过程中易忽视sin cos 0αα<这个隐含条件来确定角α范围，主观认为sin cos αα-的值可正可负从而造成增解。

解析：据已知7sin cos 13αα+=（1）有120

2sin cos 0169

αα=-<，又由于()0,απ∈，故有

sin 0,cos 0αα><，从而sin cos 0αα->即17

sin cos 12sin cos 13

αααα-=-=（2）联立（1）（2）

可得125sin ,cos 1313αα==，可得12

tan 5

α=。

【知识点归类点拔】在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在

()0,π区间内、与已知角的三角函数值的大

小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数线可知若0,2πα

??

∈ ???

则必有sin cos 1αα+>,故必有,2πα

π??∈ ???

。 【练24】（1994全国高考）已知()1

sin cos ,0,5

θθθπ+=∈，则cot θ的值是 。

答案：34

-

【易错点25】根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函数名称不适当造成错解。 例25、若510sin ,sin 510

α

β=

=，且α、β均为锐角，求αβ

+的值。

【易错点分析】本题在解答过程中，若求αβ

+的正弦，这时由于正弦函数在

()0,π区间内不单调故满足条件的角有两个，

两个是否都满足还需进一步检验这就给解答带来了困难，但若求αβ

+的余弦就不易出错，这是因为余弦函数在

()0,π内

单调，满足条件的角唯一。 解析：由510sin ,sin 510

α

β=

=且α、β均为锐角知解析：由510

sin ,sin 510

αβ=

=且α、β均为锐角

知25310

cos ,cos 510

αβ=

=,则()253105102

cos 5105102

αβ+=

?-?=

由α、β均为锐角即()0,αβπ+∈故αβ+π=

【知识点归类点拔】根据已知条件确定角的大小，一定要转化为确定该角的某个三角函数值，再根据此三 角函数值确定角这是求角的必然步骤，在这里要注意两点一就是要结合角的范围选择合适的三角函数名称

同时要注意尽量用已知角表示待求角，这就需要一定的角的变换技巧如：()()2ααβαβ=++-等。

二是依据三角函数值求角时要注意确定角的范围的技巧。 【练25】（1）在三角形ABC 中，已知35

sin ,cos 513

A B ==，求三角形的内角C 的大小。

答案：16

arccos

65

（提示确定已知角的余弦值，并结合已知条件确定角A 的范围） （2）（2002天津理，17）已知cos （α＋

4π

）＝2

,53π≤α＜

2

3π

，求cos （2α＋

4

π）的值.

答案：cos 2+

cos 2444πππαα????

??=+- ? ????

?????

=－50231

【易错点26】对正弦型函数

()sin y A x ωφ=+及余弦型函数()cos y A x ωφ=+的性质：如图象、对称轴、对称中

心易遗忘或没有深刻理解其意义。 例26、如果函数

sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8

x π

=-

对称，那么a 等于（ ）

A.

2 B.－2 C.1 D.－1

【易错点分析】函数

()sin y A x ωφ=+的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底，且与y 轴平行，而对称中心是图象

与x 轴的交点，学生对函数的对称性不理解误认为当8

x π

=-

时，y=0，导致解答出错。

解析：（法一）函数的解析式可化为

()21sin 2y a x φ=++，故y

的最大值为

21a +，依题意，直线8

x π

=-

是

函数的对称轴，则它通过函数的最大值或最小值点即

sin cos 44a ππ????

-+- ? ?????

21a =+，解得1a =-.故选D

（法二）依题意函数为

()21sin 2arctan y a x a =++,直线8

x π

=-

是函数的对称轴,故有

2arctan ,82a k k z πππ??

?-+=+∈ ???

，即：3arctan 4a k ππ=+

，而arctan ,22a ππ??

∈-

??

? 故arctan 4

a

π

=-

，从而1a =-故选D.

（法三）若函数关于直线8

x π

=-

是函数的对称则必有

()04f f π??

=- ???

，代入即得1a =-。

【知识点归类点拔】对于正弦型函数

()sin y A x ωφ=+及余弦型函数()cos y A x ωφ=+它们有无穷多条对称轴及

无数多个对称中心，它们的意义是分别使得函数取得最值的x 值和使得函数值为零的x 值，这是它们的几何和代数特征。希望同学们认真学习本题的三种解法根据具体问题的不同灵活处理。

【练26】（1）（2003年高考江苏卷18）已知函数)0,0)(sin()(π?ω?ω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点

)0,4

3(

π

M 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求?和ω的值.

答案：2

,2

3

π

φ

ω=

=

或2。 （2）（2005全国卷一第17题第一问）设函数的()()()sin 2f x x φπφπ=+-<<，()y f x =图象的一条

对称轴是直线8

x

π

=

，求φ 答案：φ=34

π

-

【易错点27】利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数。 例27、在ABC ?中，30,23,2B

AB AC ?===。求ABC ?的面积

【易错点分析】根据三角形面积公式，只需利用正弦定理确定三角形的内角C ，则相应的三角形内角A 即可确定再利用

1

sin 2

s bc A ?=

即可求得。但由于正弦函数在区间()0,π内不严格格单调所以满足条件的角可能不唯一，这时要借助已知条件加以检验，务必做到不漏解、不多解。

解析：根据正弦定理知：

sin sin AB AC

C B =

即232sin sin 30C ?

=得3sin 2

C

=

，由于sin30AB AC AB ?

<<即满足条件的三角形有两个故60C ?=或120?.则30A ?=或90?故相应的三角形面积为1

232sin 3032

s ?=

???=或

1

232232

??=. 【知识点归类点拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间

()0,π内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几

何法来作出判断三角形解的个数。如：在ABC ?中，已知a,b 和A 解的情况如下：

（1） 当A 为锐角

（2）若A 为直角或钝角

【练27】（2001全国）如果满足60ABC

?∠=，2AC =，BC k =的三角表恰有一个那么k 的取值范围是

（）A 、83B 、012k <≤C 、12k ≥D 、012k <≤或83k =

答案：D

【易错点28】三角形中的三角函数问题。对三角变换同三角形边、角之间知识的结合的综合应用程度不够。

例28、（1）（2005湖南高考）已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小.

天津市近五年高考数学真题分类汇总

天津市近五年高考数学试题分类汇总 [2011 ?天津卷]i是虚数单位，复数1 3i 1 i = C. 1 2i A. 2 i B. 2 i 【答案】A. 1 3i 【解析】'3i(1 3i)(1 i) 42i2 i. 1 i(1 i)(1 i)2 【2010】(1) i是虚数单位，复数 1 3i( 1 2i (A)1 + i(B)5+ 5i (C)-5-5i(D)-1 —i 5i 【2009,1】i是虚数单位，5=( ) 2 i (A) 1+2i(B) -1-2i(C) 1-2i 选择题1:—复数 【考点定位】本小题考查复数的运算，基础 题。) D. 1 2i (D) -1+2i 解析：旦5^ 2 i 5 1 2i，故选择D o 【2008 】 1. ?3 i是虚数单位i i 1() i是虚数单位，i1 (A) 1 (B) 1(C) i(D) i A 【2007】 2i3 1.i是虚数单位，——() 1 i A.1i B.1 i C.1 【答 案】 C 【分 析】2i32i3(1 i)2i(1 i)i 1，故选C 1i (1 i)(1 i)2 D. 1 i 2 (1)i 3 1,i 4 i,i1 复数运算技巧： 4n i 1,i 4n 1 4n 2 i,i 4n 3 hi n n 1n 2n 3 ■ i■ i■ i■ i0 复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。 (2)(1 i)2 2i

i i A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 .1 i i,r _ i ⑷设 -1+凋 3 2 1, — 2 3 , 0 2 , 选择题 2: 充要条件与命题 [2011 ? 天津卷］设x,y R,则 2 2 “x 2 且 y 2 ”是“ x y 4 的 充分而不必要条件 A . B .必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D .即不充分也不必要条件 【答案 】A 【解 析 】当x 2且y 2时， 「疋有x y 4 ；反过来当 【2010】(3)命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A) 若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数 (B) 若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 (C) 若f(-x)是奇函数，贝U f(x)是奇函数 (D) 若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 B 【2009】(3)命题“存在x 0 R , 2x0 0”的否定是 (A )不存在 x 0 R, 2x0 >0 (B )存在 X 。R, 2x0 0 (C )对任意的x R, 2x 0 (D )对任意的x R, 2x >0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。 解析：由题否定即“不存在 x 0 R ，使2x0 0”，故选择D o 【2007 】3." —"是"ta n 2cos — "的 3 2 x 2 y 2 4，不一定有x 2且y 2，例如x 4, y 0也可以，故选A 【2008】(4)设 a,b 是两条直线, 是两个平面，则a b 的一个充分条件是 C (A) a , b 〃 ， (C) a ,b , // (B) a ,b , // (D) a ,b 〃 ,

高考数学试题分类大全

2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................

2011—2019年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.解析几何

9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2019，10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =， 1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154 x y += 【2018.8】抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【2018.11】已知双曲线C ：2 213 x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ． 32 B ．3 C ． D ．4 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m

高三数学知识点总结最新5篇

高三数学知识点总结最新5篇 高三数学知识点1 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法 11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大 小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?

14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值? 16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”. 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”. 22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示. 23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a<0. 24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗? 25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。

全国高考理科数学试题分类汇编—统计

年高考真题理科数学解析分类汇编 12 统计
1. 【 高 考 上 海 理 17 】 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 4 ， x5 ? 10 5 ， 随 机 变 量 ?1 取 值
x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的 概 率 均 为 0.2 ， 随 机 变 量 ? 2 取 值
x1
? 2
x2
、x2
? 2
x3
、x3
? 2
x4
、x4
? 2
x5
、x5
? 2
x1
的概率也均为 0.2
，若记
D?1、D? 2
分别为
?1、?2 的方差，则（ ）
A． D?1 ? D?2
B． D?1 ? D?2
C． D?1 ? D?2
D． D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关
【答案】A
【 解 析 】 由 随 机 变 量 ?1,?2 的 取 值 情 况 ， 它 们 的 平 均 数 分 别 为 ：
1 x1 ? 5 (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ),
，
x2
?
1? 5 ??
x1
? 2
x2
?
x2
? 2
x3
?
x3
? 2
x4
?
x4
? 2
x5
?
x5
? 2
x1
? ??
?
x1,
且随机变量?1 ,? 2 的概率都为 0.2 ，所以有 D?1 ＞ D? 2 . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提 和基础，本题属于中档题. 2.【高考陕西理 6】从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，
统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ， x乙 ，中位数分
别为 m甲 ， m乙，则（
）
A. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
B. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
C. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
D. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出
x甲
?
x乙
，又 m甲
?
18 ? 22 2
?
20 ，m乙
?
27 ? 31 2
?
29
故选 B.
3.【高考山东理 4】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编
号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32
人中，编号落入区间?1, 450?的人做问卷 A ，编号落入区间?451, 750? 的人做问卷 B ，其余

三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题

专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则

但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.

（I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

高考数学真题分类汇编专题直线与圆理科及答案

专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x

高考数学重点全归纳

高考数学重点全归纳 立体几何 线、面位置关系的证明，常出现在解答题第一小问，特别注意逻辑推理的严密性和书写的规范性。 求解与体积相关的问题，注重体积之间的转化，常用等体积法、割补法：空间角的考查，主要要求学生会用法向量和相关夹角公式进行计算。 数列 高考中有關数列的试题经常是综合题，常把数列知识与指数函数、对数函数、不等式的知识综合起来考查。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。 数列求和是数列知识的综合体现。常见的求和方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、数学归纳法等。 三角函数 易错点梳理：（1）没有挖掘题目中的隐含条件而造成增、漏解现象。（2）对正余弦函数的性质：如图象、对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。（3）在利用三角函数的图象变换中，将周期变换和相位变换搞混淆。 综合运用：（1）解三角形的问题通常会与向量结合，并利用正余弦定理进行边角转换。（2）熟练掌握三角函数的图象及性质，突出数形结合思想。 概率统计 利用统计思想研究问题，一般过程是通过采取样本、建立统计模型、分析统计数据、作出合理判断，形成尽可能准确的结论。 概率思想是通过对随机现象的观察研究发现必然，去研究隐藏在随机现象背后的统计规律，进而理解随机现象。 高考的考查重点是利用统计与概率思想解决实际应用问题。考点一：概率、决策建议：考点二：二项分布;考点三：超几何分布;考点四：正态分布：考点五：统计图表;考点六：线性回归方程;考点七：独立性检验。 解析几何 解析几何的灵魂是用代数方法研究几何问题，综合性强，运算量大，题目灵活多变。 综合运用：遇到直线与圆锥曲线的位置关系的时候，常常会联立得到方程组，进而利用韦达定理求解。（1）定值、定点问题，先用变量表示所需证明的不变量，然后通过已知条件，消去变量，得到定值、定点。（2）最值与范围，选好合适变量（比如：斜率、点），建立目标函数和不等式求最值、范围。代数法常见有二次配方、基本不等式、导数等。

三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：函数的综合及其应用

函数的综合及其应用 一、选择题 1．（2017天津）已知函数23,1, ()2 , 1.x x x f x x x x ?-+? =?+>? ? ≤设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16 - B ．4739 [,]1616- C ．[- D ．39 []16 - A 【解析】解法一 根据题意，作出()f x 的大致图象，如图所示 当1x ≤时，若要()| |2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需2 3()2 x x x a -+-+≥，即2302x x a -++≥，故对于方程2302x x a -++=，21 ()4(3)02a ?=--+≤，解得 4716a -≥；当1x >时，若要()||2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需22 x x a x ++≥， 即22x a x +≥，又222x x +≥，当且仅当2 2x x =，即2x =时等号成立，所以2a ≤，综上，a 的取值范围是47 [,2]16 - ．选A ． 解法二 由题意()f x 的最小值为114，此时12 x =．不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立 等价于11 | |24 x a +≤在R 上恒成立． 当a =-1 2 x = ，11|| |28x -=>，不符合，排除C 、D ； 当3916a = 时，令12x =，394311 ||||216168 x +=>，不符合，排除B ．选A ． 二、填空题 x

1．（2017山东）若函数e ()x f x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单 调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 ． ①()2 x f x -= ②2 ()f x x = ③()3 x f x -= ④()cos f x x = ①④【解析】①()2()2 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()3()3 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③3 ()x x e f x e x =?，令3 ()x g x e x =?，则3 2 2()3(2)x x x g x e x e x x e x '=?+?=+， ∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<， ∴3()x x e f x e x =?在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增， 故()3 f x x =不具有M 性质； ④2 ()(2)x x e f x e x =+，令()() 22x g x e x =+， 则22 ()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++?=++>， ∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质． 2．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x D f x x x D ?∈=? ??其中集合1 {|,}n D x x n n -==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ． 8【解析】由于，则需考虑的情况， 在此范围内，且时，设，且互质， 若，则由，可设，且,m n 互质， 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾， 因此， ()[0,1)f x ∈110x ≤

高考数学试题分类汇编个专题

2017年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{} 33x x B =-<<，则A B =I （ ） A ．{} 32x x -<< B ．{} 52x x -<< C ．{} 33x x -<< D ．{} 53x x -<< 【答案】A 考点：集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I A ．? B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,4

全国高考理科数学历年试题分类汇编

全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14

高考数学重点知识点汇总

高考数学重点知识点汇总 高考，意味着什么?那是一座窄窄的桥，千军万马将要从这里挤过，要发挥的优势和能力，来保证自己不被淘汰。下面就是给大家带来的高考数学知识点总结，希望能帮助到大家! 高考数学知识点总结1 (1)先看“充分条件和必要条件” 当命题“若p则q”为真时，可表示为p=q，则我们称p为q 的充分条件，q是p的必要条件。这里由p=q，得出p为q的充分条件是容易理解的。 但为什么说q是p的必要条件呢? 事实上，与“p=q”等价的逆否命题是“非q=非p”。它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。 (2)再看“充要条件” 若有p=q，同时q=p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。简称为p是q的充要条件。记作p=q

回忆一下初中学过的“等价于”这一概念;如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A 成立，那么称A等价于B，记作A=B。“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立;同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。 (3)定义与充要条件 数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。 显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。 “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。“仅当”表示“必要”。 (4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。 高考数学知识点总结2 基本事件的定义：

高考文科数学试题解析分类汇编

2013年高考解析分类汇编16：选修部分 一、选择题 1 ．（2013年高考大纲卷（文4））不等式 222x -<的解集是 （ ） A ．()-1,1 B ．()-2,2 C ．()()-1,00,1U D ．()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ，所以?????->-<-222222 x x ，所以402 <2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是______. 【答案】R 考察绝对值不等式的基本知识。函数||||)(b x a x x f -+-=的值域为：