绝对值不等式的解法 教案 (1)
绝对值不等式的解法教案
教学目标
（1）掌握与（）型的绝对值不等式的解法．
（2）掌握与（）型的绝对值不等式的解法．
（3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力。
（4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力。
教学重点：型的不等式的解法；
教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题．
教学过程设计
教师活动
一、导入新课
【提问】正数的绝对值什么负数的绝对值是什么零的绝对值是什么举例说明【概括】
【不等式的代数意义及几何意义】
学生活动
口答：代数意义
几何意义
|a|的意义是a在数轴上的相应点到原点的距离。
设计意图
绝对值的概念是解与（）型绝对值不等式的概念，为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫．
【不等式的性质】:
①若a>b ；c∈R 则 a+c>b+c
②若a>b ；c>0 则 ac>bc
③若a>b ；c<0 则 ac 二、新课 1、考察、研究特殊情况 【导入】2的绝对值等于几－2的绝对值等于几绝对值等于2的数是谁在数轴上表示出来． 【讲述】求绝对值等于2的数可以用方程来表示，这样的方程叫做绝对值方程．显然，它的解有二个，一个是2，另一个是－2． 【提问】如何解绝对值方程． 【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗这个绝对值不等式的解集怎样表示 【讲述】根据绝对值的意义，由右面的数轴可以看出，不等式的解集就是表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合． 口答．画出数轴后在数轴上表示绝对值等于2的数． 画出数轴，思考答案 不等式的解集表示为 【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗这个绝对值不等式的解集怎样表示 【质疑】的解集有几部分为什么也是它的解集 【讲述】这个集合中的数都比－2小，从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大，所以是解集的一部分．在解时容易出现只求出这部分解集，而丢掉这部解集的错误． 画出数轴思考答案 不等式的解集为或表示为，或 2、自主演练：解下列不等式 1） | x | < 4 | x | < -1 | x | ≤ 0 2） | x | > 4 | x | > -3 | x | >0 3、抽象概括绝对值不等式的解集答案：{ x | -4 < x < 4 } Ф 答案：{ x | x>4,或x<-4 } R 一般地，不等式|x| 不等式|x|>a(a>0)的解集是{x|x>a或x<-a}。 【思考】上述绝对值不等式中的x能否代表一个“代数式”，像|ax+b|>c或|ax+b| 【设问】如果在中的，也就是怎样解 【点拨】可以把看成一个整体，也就是把看成，按照 的解法来解． 所以，原不等式的解集是 【设问】如果中的是，也就是怎样解 【点拨】可以把看成一个整体，也就是把看成，按照的解法来解． ，或， 由得由得 所以，原不等式的解集是 三、例题选讲 【例】:(1) |x-2|<3 (2) |x+1|>3 (3) 2| x-1 |< 5 (4) |2-x|>3 (5) |3x-1|>4 (6) |x-a|< b (b>0) 【拓展练习】解下列不等式 (1) |2-3x| -1> 0 (2) |x-3| > 5x+1 (3) |2x+1| < x+3 四、小结 1、的解集是；的解集是 2、解绝对值不等式注意不要丢掉这部分解集． 3、或型的绝对值不等式，若把看成一个整体一个字母，就可以归结为或型绝对值不等式的解法． 五、课后作业 1、作业 p9，A组，5. 2、思考探究下列不等式的解法 (1)3<| 2x-3| < 5 （2）| x- 5 | - | x+3 | < 1 (3) | x- 5 |<| 2x+3 | 绝对值不等式的解法教案 教学目标 （1）掌握与（）型的绝对值不等式的解法． （2）掌握与（）型的绝对值不等式的解法． （3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力。 （4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力。 教学重点：型的不等式的解法； 教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题． 教学过程设计 教师活动 一、导入新课 【提问】正数的绝对值什么负数的绝对值是什么零的绝对值是什么举例说明【概括】 【不等式的代数意义及几何意义】 学生活动 口答：代数意义 几何意义 |a|的意义是a在数轴上的相应点到原点的距离。 设计意图 绝对值的概念是解与（）型绝对值不等式的概念，为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫． 【不等式的性质】: ①若a>b ；c∈R 则 a+c>b+c ②若a>b ；c>0 则 ac>bc ③若a>b ；c<0 则 ac 不等式的解集表示为 【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗这个绝对值不等式的解集怎样表示 【质疑】的解集有几部分为什么也是它的解集 【讲述】这个集合中的数都比－2小，从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大，所以是解集的一部分．在解时容易出现只求出这部分解集，而丢掉这部解集的错误． 画出数轴思考答案 不等式的解集为或表示为，或 2、自主演练：解下列不等式 1） | x | < 4 | x | < -1 | x | ≤ 0 2） | x | > 4 | x | > -3 | x | >0 3、抽象概括绝对值不等式的解集答案：{ x | -4 < x < 4 } Ф 答案：{ x | x>4,或x<-4 } R 含绝对值的不等式教案 一、条件分析 1．学情分析 本课是开学第一课，学生对上学期的知识已经比较陌生，而本课的内容要以上学期的不等式内容为基础，是不等式内容的提升，所以本课先复习上学期的内容，让学生顺利过渡到新知识中来。 2.教材分析 本节教材首先分别讨论含有绝对值的等式的三种情况，从而推导出含有绝对值的不等式的公式，然后例题加以巩固。由于我校学生基础薄弱，对于理论性的知识掌握不牢固，所以我们在教授的时候从简单的具体的例子推导含有绝对值的不等式的公式，由浅入深，层层递进，符合学生的认知。 二、三维目标 知识与技能目标 } A层： 1.理解绝对值的概念； 2.了解绝对值不等式的解法； 3.会解含有绝对值的不等式； 4.通过数轴解不等式培养学生的数形结合的数学思想； 5.通过研究含有绝对值不等式，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和辩证思维能力． B层： 1.理解绝对值的概念； ? 2.了解绝对值不等式的解法； 3.会解含有绝对值的不等式； 4.通过数轴解不等式培养学生的数形结合的数学思想. C层： 1.理解绝对值的概念； 2.了解绝对值不等式的解法； 3.会解含有绝对值的不等式. 过程与方法目标 ( 复习法、讲授法、练习法、自讲法 情感态度与价值观目标 激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时培养辩证思维能力。 三、教学重点 含有绝对值不等式的解法 四、教学难点 将含有绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式 五、主要参考资料： ( 中等职业教育课程教材数学基础模块（上）、学生学习指导用书、教学参考书。 六、教学进程： 1.复习导入 绝对值的含义 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5，-5的绝对值是5。 正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值还是0。 2.讲授新课 （1）求下列各数的绝对值 ￥ 3、- 4、1 2、1- 2 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 一．课题：含绝对值的不等式的解法 二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法． 三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次） 不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间 的交、并等各种运算． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2．当0c >时，||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． （三）例题分析： 例1．解下列不等式： （1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->． 解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,) (,5]22--． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x > ，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （3）当12x ≤- 时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122 x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53 x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞． 例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞； （2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞． 解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <； （2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >． 例3．（《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”）设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥． 解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或2()2a b x x a b +≤?≤ +②， 含绝对值的不等式解法练习题及答案 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ]答选C． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A．3 B．2 C．－2 D．－5 分析列出不等式． 解根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5， 答选D． 例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析利用所学知识对不等式实施同解变形． 解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7例4已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A． 分析转化为解绝对值不等式． 解∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x－6|＜5 因为x∈N，所以A＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a，b满足ab＜0，那么 [ ] A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a－b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|＋|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义． 解∵a、b异号， ∴ |a＋b|＜|a－b|． 答选C． 例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b 的值为 [ ] A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得． 答选D． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 《一元一次不等式的解法》教案 第1课时 教学目标 知识与技能：知道一元一次不等式的标准形式，理解不等式的解与解集的概念，了解什么是一元一次不等式. 过程与方法：理解用不等式的性质解一元一次不等式的基本方法，会熟练的解一元一次不等式. 情感态度与价值观：培养学生的分析能力.训练学生的动手能力，提高综合分析解题能力、转化的数学思想.通过本节的学习，进一步渗透化归的数学美. 教学重难点 重点：一元一次不等式的解法. 难点：不等式的两边同乘以(或除以)一个负数. 教学过程 一、创设情境，导入新课 动脑筋： 水果批发市场的梨每千克3元，苹果每千克4元，小王购进50千克梨后还想购进些苹果，但他只有350元，他最多能买多少千克苹果？ 思考： 1、买梨子用去的钱和买苹果用去的钱以及身上有的350元钱有什么关系？ 买梨子用去的钱_____买苹果用去的钱_____身上有的350元钱. 2、若设他买了x千克苹果可以列出关系式：_____________________ 3、这个关系式有什么特点呢？(含有___个未知数，且未知数的次数为____)这样的不等式叫什么不等式？你认为呢？ 含有___个未知数，且未知数的次数为____的不等式叫_______不等式. 4、请你把一元一次不等式的概念与一元一次方程的概念对比，看看它们有什么异同？ 5、什么叫一元一次方程的标准形式？_________，__________，由此请你猜想什么是一元一次不等式的标准形式？ ________________________叫一元一次不等式的标准形式. 怎样求出小王最多能买多少千克苹果呢？只需要解上面的一元一次不等式，这节课我们来研究一元一次不等式的解法. 二、合作交流，探究新知 1、不等式的解和解集的概念 含有绝对值的不等式 教学目标 （1）掌握绝对值不等式的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，学会含有绝对值符号的不等式的证明方法； （2）通过含有绝对值符号的不等式的证明，进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等数学思想方法； （3）通过证明方法的探求，培养学生勤于思考，全面思考方法； （4）通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神。 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 ①本节重点是性质定理及推论的证明．一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法，通过证明过程的探求，使学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神． ②教学难点一是性质定理的推导与运用；一是证明含有绝对值的不等式的方法选择．在推导定理中进行的恒等变换与不等变换，相对学生的思维水平是有一定难度的；证明含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换，根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生学习上的难点． 三、教学建议 （1）本节内容分为两课时，第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证明及简单运用，第二课时为含有绝对值的不等式的证明举例． （2）课前复习应充分．建议复习：当时 ； ； 以及绝对值的性质： ，为证明例1做准备． （3）可先不给出含有绝对值的不等式性质定理，提出问题让学生研究：是否等于？ 大小关系如何？是否等于？等等．提示学生用一些数代入计算、比较，以便归纳猜想一般结论． （4）不等式的证明方法较多，也应放手让学生去探讨． （5）用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论． （6）本节教学既要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神． 教学设计示例 含有绝对值的不等式 教学目标 理解及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。 教学重点难点 高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ? ??<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+ 高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0，解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a；若a<0，解集为?? ? ? ? ? x| x< b a；若a＝0，当b≥0时，解集为?，当b<0时，解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根 有两相异实根 x＝x1或x＝x2 有两相同实根 x＝x1＝x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2＋bx＋ c>0(a>0) {x|x 2．4一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 1．理解一元一次不等式、不等式的解 集、解不等式等概念； 2．掌握一元一次不等式的解法．(重点， 难点) 一、情境导入 1．什么叫一元一次方程？ 2．解一元一次方程的一般步骤是什 么？要注意什么？ 3．如果把一元一次方程中的等号改为 不等号，怎样求解？ 二、合作探究 探究点一：一元一次不等式的概念 【类型一】一元一次不等式的识别 下列不等式中，是一元一次不等 式的是() A．5x－2＞0 B．－3＜2＋ 1 x C．6x－3y≤－2 D．y2＋1＞2 解析：选项A是一元一次不等式，选项 B中含未知数的项不是整式，选项C中含有 两个未知数，选项D中未知数的次数是2， 故选项B，C，D都不是一元一次不等式， 所以选A. 方法总结：如果一个不等式是一元一次 不等式，必须满足三个条件：①含有一个未 知数，②未知数的最高次数为1，③不等号 的两边都是整式． 【类型二】根据一元一次不等式的概 念求值 已知－ 1 3x 2a－1＋5＞0是关于x的一 元一次不等式，则a的值是________． 解析：由－ 1 3x 2a－1＋5＞0是关于x的一 元一次不等式得2a－1＝1，计算即可求出a 的值，故a＝1. 方法总结：利用一元一次不等式的概念 列出相应的方程求解即可．注意：如果未知 数的系数中有字母，要检验此系数可不可能 为零． 探究点二：一元一次不等式的解法 【类型一】一元一次不等式的解或解 集 下列说法：①x＝0是2x－1＜0的 一个解；②x＝－3不是3x－2＞0的解；③ －2x＋1＜0的解集是x＞2.其中正确的个数 是() A．0个B．1个 C．2个D．3个 解析：①x＝0时，2x－1＜0成立，所 以x＝0是2x－1＜0的一个解；②x＝－3时， 3x－2＞0不成立，所以x＝－3不是3x－2 ＞0的解；③－2x＋1＜0的解集是x＞ 1 2，所 以不正确．故选C. 方法总结：判断一个数是不是不等式的 解，只要把这个数代入不等式，看是否成 立．判断一个不等式的解集是否正确，可把 这个不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形 式，再进行比较即可． 【类型二】解一元一次不等式 解下列一元一次不等式，并在数 轴上表示： (1)2(x＋ 1 2)－1≤－x＋9； (2) x－3 2－1＞ x－5 3. 解析：按照解一元一次不等式的基本步 含绝对值的不等式 教学目标 1.认知目标 （1）掌握|x| 教学过程设计 教师活动学生活动设计意图 一、导入新课 【提问】正数的绝对值什么？负数的绝对值是什么？零的绝对值是什么？举例说明？ 口答 a (a>0） |a|= 0 (a=0) -a (a<0) 绝对值的概念是解|x|>a与 |x| 2．4 一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式的解法 1．理解一元一次不等式、不等式的解 集、解不等式等概念； 2．掌握一元一次不等式的解法．(重点，难点) 一、情境导入 1．什么叫一元一次方程？ 2．解一元一次方程的一般步骤是什么？要注意什么？ 3．如果把一元一次方程中的等号改为不等号，怎样求解？ 二、合作探究 探究点一：一元一次不等式的概念 【类型一】 一元一次不等式的识别 下列不等式中，是一元一次不等 式的是( ) A ．5x －2＞0 B ．－3＜2＋1 x C ．6x －3y ≤－2 D ．y 2＋1＞2 解析：选项A 是一元一次不等式，选项B 中含未知数的项不是整式，选项C 中含有两个未知数，选项D 中未知数的次数是2，故选项B ，C ，D 都不是一元一次不等式，所以选A. 方法总结：如果一个不等式是一元一次不等式，必须满足三个条件：①含有一个未知数，②未知数的最高次数为1，③不等号的两边都是整式． 【类型二】 根据一元一次不等式的概念求值 已知－13 x 2a － 1＋5＞0是关于x 的一 元一次不等式，则a 的值是________． 解析：由－13x 2a － 1＋5＞0是关于x 的一 元一次不等式得2a －1＝1，计算即可求出a 的值，故a ＝1. 方法总结：利用一元一次不等式的概念列出相应的方程求解即可．注意：如果未知数的系数中有字母，要检验此系数可不可能为零． 探究点二：一元一次不等式的解法 【类型一】 一元一次不等式的解或解集 下列说法：①x ＝0是2x －1＜0的 一个解；②x ＝－3不是3x －2＞0的解；③－2x ＋1＜0的解集是x ＞2.其中正确的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：①x ＝0时，2x －1＜0成立，所以x ＝0是2x －1＜0的一个解；②x ＝－3时，3x －2＞0不成立，所以x ＝－3不是3x －2＞0的解；③－2x ＋1＜0的解集是x ＞1 2，所 以不正确．故选C. 方法总结：判断一个数是不是不等式的解，只要把这个数代入不等式，看是否成立．判断一个不等式的解集是否正确，可把这个不等式化为“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，再进行比较即可． 【类型二】 解一元一次不等式 解下列一元一次不等式，并在数 轴上表示： (1)2(x ＋1 2)－1≤－x ＋9； (2)x －32－1＞x －53 . 解析：按照解一元一次不等式的基本步 绝对值不等式的解法 教学设计 《绝对值不等式的解法》教学设计 富源四中朱树平 课题：绝对值不等式的解法 科目数学教学对象学生课 时 1 提供者朱树平单位富源四中 一、教学目标 熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题．培养学生观察、分析、解决问题的能力 二、教学内容及模块整体分析 含一个或两个绝对值不等式的解法，零点分段法解绝对值不等式，函数思想的应用。 三、学情分析 学生基础差，少讲多练，以基础题为主。 四、教学策略选择与设计 讲练结合，多媒体展现。 五、教学重点及难点 熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题． 六、教学过程 教师活动学生活动设计意图 提问的方式总结前面学过的知识问题: 你能一眼看出下面两个不等式的解集吗? ⑴1 x< ⑵ 1 x> 让学生熟练 掌握 一般地，可得解集规律: 形如|x| 注：如果0 a≤，不等式的解集易得. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式. 解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：⑴()()() f x a a f x a f x a (0) >>?><- 或； ⑵()() (0) f x a a a f x a <>?-<<； ⑶()()() f x g x f x g x f x g x ()()() >?><- 或； ⑷()() ()()() f x g x g x f x g x ?> ???? 更熟练的掌 握一般情况 试解不等式 |x-1|+|x+2|≥5 利用|x-1|=0，|x+2|=0的零 点，将数轴分为三个区间， 然后在这三个区间上将原不 等式分别化为不含绝对值符 号的不等式求解．体现了分 类讨论的思想． {} 23 ≥≤ x x x- 或熟练掌握零点分段法在解不等式中的应用。 学习小结: 解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。 主要方法有： 1、同解变形法:运用解法公式直接转化； 2、分类讨论去绝对值符1、解不等式|2x-4|-|3x+9|<1 2、对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，则k的取值范围是（） ()3 A k<()3 B k<-()3 C k≤()3 D k- ≤ 3.不等式有解的条件是 2 (2)|3|4 x x -< (3)|32|1 x-> 43 x x a -+-< 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3 含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 }．．．≠．? 83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－， 52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜或＜＜．4x x 211212 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝1232 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．???1232 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12 x ＜m ． 《绝对值不等式的解法》教学设计 富源四中朱树平 课题：绝对值不等式的解法 科目数学教学对象学生课 时 1 提供者朱树平单位富源四中 一、教学目标 熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题．培养学生观察、分析、解决问题的能力 二、教学内容及模块整体分析 含一个或两个绝对值不等式的解法，零点分段法解绝对值不等式，函数思想的应用。 三、学情分析 学生基础差，少讲多练，以基础题为主。 四、教学策略选择与设计 讲练结合，多媒体展现。 五、教学重点及难点 熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题． 六、教学过程 教师活动学生活动设计意图 提问的方式总结前面学过的知识问题: 你能一眼看出下面两个不等式的解集吗? ⑴1 x< ⑵ 1 x> 让学生熟练掌 握 一般地，可得解集规律: 形如|x| x>a } 注：如果0 a≤，不等式的解集易得. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式. 解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：⑴()()() f x a a f x a f x a (0) >>?><- 或； ⑵()() (0) f x a a a f x a <>?-<<； ⑶()()() f x g x f x g x f x g x ()()() >?><- 或； ⑷()() ()()() f x g x g x f x g x ?> ???? 更熟练的掌握 一般情况 试解不等式 |x-1|+|x+2|≥5 利用|x-1|=0，|x+2|=0的零点， 将数轴分为三个区间，然后在这 三个区间上将原不等式分别化为 不含绝对值符号的不等式求 解．体现了分类讨论的思想． {} 23 ≥≤ x x x- 或熟练掌握零点分段法在解不等式中的应用。 2 (2)|3|4 x x -< (3)|32|1 x-> 高中数学-不等式的解法 若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0， n € N *， n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 第三十一讲 含绝对值的不等式 回归课本 1.绝对值不等式的性质：(a ∈R ) (1)|a |≥0(当且仅当a ＝0时取“＝”)； (2)|a |≥±a ； (3)－|a |≤a ≤|a |； (4)|a 2|＝|a |2＝a 2； (5)|ab |＝|a ||b |，|a b |＝|a ||b | . 2．两数和差的绝对值的性质： |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 特别注意此式，它是和差的绝对值与绝对值的和差性质．应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件． |a ＋b |＝|a |＋|b |?ab ≥0； |a －b |＝|a |＋|b |?ab ≤0； |a |－|b |＝|a ＋b |?(a ＋b )b ≤0； |a |－|b |＝|a －b |?(a －b )b ≥0. 3．解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式．解法如下： (1)|f (x )|＜a (a >0)?－a ＜f (x )＜a ； (2)|f (x )|＞a (a ＞0)?f (x )＜－a 或f (x )＞a ； (3)|f (x )|＜g (x )?－g (x )＜f (x )＜g (x )； (4)|f (x )|＞g (x )?f (x )＜－g (x )或f (x )＞g (x )； (5)|f (x )|＜|g (x )|?[f (x )]2＜[g (x )]2. (6)含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 考点陪练 1.设ab >0，下面四个不等式中，正确的是( ) ①|a ＋b |>|a |；②|a ＋b |<|b |；③|a ＋b |<|a －b |； ④|a ＋b |>|a |－|b |. 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 一元一次不等式组和它的解法 教学目标：1．了解一元一次不等式组及其解集的概念。 2．探索不等式组的解法及其步骤。 教学重点：一元一次不等式组的解法 教学难点：不等式组中各个不等式的公共解集的确定（在数周上表示不等式组的解集）。 教学过程： 一．复习引入：1．不等式2＋3x ＜9的正整数解是_______，不等式3－4x ＜8 的负整数解是_______。 2．请思考这些特殊语言的不等式表示方法：x 是正数；x 是负数;x 不大于2；x 不小于3；y 最多是5；y 最小是4。 二．新课探究：（课本P50）问题3及分析 问题3：用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存 的污水不少于1200吨且不超过1500吨，那么大约需要多少时 间能将污水抽完？ ◆ 分析：我们可以设要x 分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量为30x 吨，由于不少于1200吨，就有：30x ≥1200 不超过1500吨，表示为：30x ≥1500 ◆ 在这过问题中x 应该满足两个不等式。引出不等式的概念 ???≤≥1500 x 301200x 30 分别求出不等式的解集得： ? ??≤≥50x 40x 同时满足两个不等式的未知数x 应是这两个不等式解集的公共部分， 记作： 40≤x 50≤ 概括：把几个（两个）一元一次不等式合在一起就是一元一次不等式组。是指几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。解一元一次不等式组通常可以： 1、先分别求出不等式组中每一个不等式的解集； 2、再求出它们的公共部分（利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集）。 例1：解不等式组： ???>+>-）（ ）（2----821----1213x x x 解（1）（2）式得： ? ??>>42x x 所以不等式的解集是：x>4 同学们用数轴表示下面的不等式组的解集，并求出不等式组的解集 （1） ? ?><1x 3x （2） ???-><1 4x x （3） ? ??->≤32x x 练习：(抽学生上黑板演练) 解不等式组：（1）? ??>-<+423532x x （2）???<-<-x x x 332312 反馈纠误。 再练习：在数轴上表示下列不等式的解集 ???>>13x x ? ??-<<13x x ???>->02x x ???><03x x 三、教师根据学生的结果引导学生一起来归纳得口决： 同大取大，同小取小，大小取中。 四．基础训练：p52课内练习1-4题；反馈 五．能力拓展：1．若不等式组? ??<-≥-001m x x 无解，求m 的取值范围。 2．解不等式组?????->-+-<--) 3(4)4(316125x x x x ，并将解集在数轴上表示出来。 1.2 一元一次不等式组的解法 教学目标 1.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，会用数轴确左解决。 2.让学生进一步感受数形「结合的作用，逐步熟悉和掌握这一重要思想方法。 3.培养勇于开拓创，新的精神。 教学重点 解决由两个不等式组成的不等式组。 教学难点 学生归纳解一元一次不等式组的步骤。 教学方法 合作交流，自己探究。 教学过程 一、做一做。 1.分别解不等式x+4>3e -x-2>0o 2 2.将“1中各不等式解集在同一数轴上表示出来。 \ + 4 > 3 3.说「一说不等式组］1 的解集是什么？ -x - 2 > 0 12 4.讨论迟流，怎样解一元一次不等式组？ 二、新课 1.解不等式组的槪念。 2.例1：解不等式组： -5% <10 r3%-12<0 教师讲解，提醒学生注意防止出现符号错误和运算错误。注意"<”和在数轴表示时的差别。 3.例2：解不等式组： A-x— 7 v 5（尤—1）（「） 兰>4-口⑵13 2 学「生解出不等式（1八（2）0并把解集表示在同一■数轴上。讨论：本不等式组的解集是 什么？ 4. 例3：解不等式组： x + 5v3 （1） x + 6 < 4x - 3 （2） 解出不等式（1）、（2）。并把解集表示在同一数轴上。 讨论：本不等式组的解集是什么？（空集） 说明：本题可说“这个不等式组无解”或“这个不等卫组的解集是空集”。简单?介绍 “空集”。 5. 思考： （1） 说出下列不?等式缈的解集」 （2） 讨论（1）中有什么规律？ 三、 练习 1. P8练习题。 2. 如果a>b,说说下列不?等式组的解集。 — x> a \x /? ①彳〃②< ,③< x 3 3. 如果不等式组< 的解集是xXa 。 x > a 那么Q ____ 3 （填“〉” “<” “y”或倡”） 四、 小结。 说一说怎样解不等式组? 五、 作业。 习题1.2A 组题 选作B 组题。后记: %>1 x <3 %<1 [x>\ x<3 x<\ x>3绝对值不等式的解法 教案 (1)
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