齿轮机构作业及答案完整版

齿轮机构作业及答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

第5章

思考题

5-1 齿轮传动要匀速、连续、平稳地进行必须满足哪些条件?

答齿轮传动要均匀、平稳地进行，必须满足齿廓啮合基本定律．即i

12=ω

1

/ω

2

=O

2

P／

O

1P，其中P为连心线O

1

P

2

与公法线的交点。

齿轮传动要连续、平稳地进行，必须满足重合度ε≥l，同时满足一对齿轮的正确啮

合条件。

5-2渐开线具有哪些重要的性质渐开线齿轮传动具有哪些优点

答：参考教材。

5-3具有标准中心距的标准齿轮传动具有哪些特点?

答若两齿轮传动的中心距刚好等于两齿轮节圆半径之和，则称此中心距为标准中心距．按此中心距安装齿轮传动称为标准安装。

（1)两齿轮的分度圆将分别与各自的节圆重合。

(2)轮齿的齿侧间隙为零。

(3)顶隙刚好为标准顶隙，即c=c*m=O.25m。

5-4何谓重合度?重合度的大小与齿数z、模数m、压力角α、齿顶高系数h

a

*、顶隙系数c*及中心距a之间有何关系?

答通常把一对齿轮的实际啮合线长度与齿轮的法向齿距p

b 的比值ε

α

。称为齿轮传动的重

合度。重合度的表达式为：

ε

α=[z

1

(tanα

al

—tanα’)±z

2

(tanα

a2

-tanα’)/2π

由重合度的计算公式可见，重合度ε

α

与模数m无关．随着齿数z的增多而加大，对

于按标准中心距安装的标准齿轮传动，当两轮的齿数趋于无穷大时的极限重合度ε

α

=1.981 此外重合度还随啮合角α’的减小和齿顶高系数h

a

*的增大而增大。重合度与中心

距a有关(涉及啮合角α’)，与压力角α、顶隙系数c*无关。

5-5 齿轮齿条啮合传动有何特点为什么说无论齿条是否为标准安装，啮合线的位置都不会改变

答由于不论齿条在任何位置，其齿廓总与原始位置的齿廓平行．而啮合线垂直于齿廓，因此，不论齿轮与齿条是否按标准安装，其啮合线的位置总是不变的，节点位置确定，齿轮的节圆确定；当齿轮与齿条按标准安装时，齿轮的分度圆应与齿条的分度线相切。这时齿轮的节圆与其分度圆重合，齿条的常节线也与其分度线重合。因此，传动啮合角α’等于分度圆压力角α，也等于齿条的齿形角α。

5-6节圆与分度圆、啮合角与压力角有什么区别?

答 节圆是两轮啮合传动时在节点处相切的一对圆。只有当一对齿轮啮合传动时有了节点才有节圆，对于一个单一的齿轮来说是不存在节圆的，而且两齿轮节圆的大小是随两齿轮中心距的变化而变化的。而齿轮的分度圆是一个大小完全确定的圆，不论这个齿轮是否与另一齿轮啮合，也不论两轮的中心距如何变化，每个齿轮都有一个唯一的、大小完全确定的分度圆。

啮合角是指两轮传动时其节点处的速度矢量与啮合线之间所夹的锐角，压力角是指单个齿轮渐开线上某一点的速度方向与该点法线方向所夹的角。根据定义可知，啮合角就是节圆的压力角。对于标准齿轮．当其按标准中心距安装时．由于节圆与分度圆重合，故其啮合角等于分度圆压力角。

5-7．试问当渐开线标准齿轮的齿根圆与基圆重合时，其齿数应为多少又当齿数大于以上求得的齿数时，试问基圆与齿根圆哪个大

答：cos b d mz α=，

()22f d m z ha c **=?-，

由f b d d ≥有()

()

()2210.2541.451cos 1cos 20ha c z α**++≥

==--?

，当基圆与齿根圆重合时41.15z '=，当42z ≥时，齿根圆大于基圆。

5-8何谓根切它有何危害，如何避免

答用展成法加工齿轮时，若刀具的齿顶线或齿顶圆与啮合线的交点超过了被切齿轮的啮合极限点时，则刀具的齿顶将切人轮齿的根部，破坏已切制好的渐开线齿廓，这种现象叫根切现象。根切将使齿根弯曲强度降低，重合度减小，应尽量避免。

欲使被切齿轮不产生根切，刀具的齿顶线不得超过N1点，即

h

a *≤N

1

Q=PN

1

sinα=γ

1

sinα=(mzsin2α)/2

得：

*

2

2

sin

a

h z

α≥

加工标准直齿圆柱齿轮时，h

a

*=1, α=20o不发生根切的最少齿数

Z

min

=17

采用变位齿轮等可以避免根切。

5-9齿轮为什么要进行变位修正?齿轮正变位后和变位前比较，参数z、m、α、h

a 、h

f

、

d、d

a 、d

f

、d

b

、s、e作何变化?

答渐开线标准齿轮与变位齿轮的基本参数m，α，h

a

*，c*相同均为标准值，标准齿论传动虽然具有设计比较简单、互换性较好等一系列优点，但随着机械工业的发展，也暴露出许多不足之处，比如：在一对相互啮合的标准齿轮中，由于小齿轮齿廓渐开线的曲率半径较小。齿根厚度也软薄，而且参与啮合的次数又较多，因而强度较低，容易损坏，从而影响整个齿轮传动的承载能力；标准齿轮不适用于中心距不等于标准中心距的场合，当中心距小于标准中心距时．根本无法安装。当中心距大于标准中心距时。虽然可以安装，但将

产生较大的齿侧间隙。而且其重合度也将随之降低，影响传动的平稳性；当采用范成法切制渐开线齿轮时，如果被加被加工的标准齿轮的齿数过少，则其齿廓会发生根切现象，将降低轮齿的抗弯强度’而且还可能使齿轮传动的重合度降低等，为了改善和解决标准齿轮存在的上述不足，就必须突破标准齿轮的限制，对齿轮进行必要的修正．即变位修正。

比较齿轮正变位后和变位前，参数z．m，α，d,h

a ，h

f

不变; d

a

，d

f

， s增大，e减

小。

5-10变位齿轮传动的设计步骤如何?

答根据所给定原始数据的不同，变位齿轮传动的设计方法也不相同，概括起来有以下三种情况。

（1)当给定的原始数据为z

1，z

2

，m，α及h

a

*时的设计步骤

1)选定传动的类型，若z

1+z

2

<2z

min

，则必须采用正传动。否则．也可以考虑选用其

他类型的传动。

2)选定两轮的变位系数．齿轮传动的质量主要取决于变位系数的选择，保证不发生根切，即所选择的变位系数x不应小于xmin；保证齿顶有一定的厚度，一般齿顶厚不小于O.4m；保证重合度不小于许用值；保证传动时不发生干涉现象。

3)根据变位齿轮的传动计算公式计算出两轮的几何尺寸。

(2)当给定的原始数据为z

1，z

2

，m，α,α`及h

a

*时的设汁步骤，

1)先求出啮合角α’：cos α’=(a/a`)cos α;

2)算出两轮的变位系数之和：1212()(`)

2tan x x inv inv x x ααα

+-+=

3)按z 1+z 2的值，分别选定x 1和x 2；

4)根据变位齿轮的传动计算公式计算出两轮的几何尺寸。

(3)当给定的原始数据为i, m,α’及h a *时的设计步骤

1)确定齿轮的齿数。由于

所以

12`

(1)z i m

α≈

+ z 2=iz 1 2)其余按(2)中的步骤进行。

5-11为什么斜齿轮的标准参数要规定在法面上，而其几何尺寸却要按端面来计算?

答 由于斜齿轮的齿面为一渐开螺旋面．故其端面齿形和垂直于螺旋线方向的法面齿形是不相同的。因而斜齿轮的端面参数与法面参数也不相同。由于在制造斜齿轮时，常用齿条形刀具或盘状铣刀切齿，在切齿时刀具是沿着齿轮的螺旋线方向进刀的，因此必须按齿轮的法面参数来选择刀具，故斜齿轮法面上的参数(模数、压力角、齿顶高系数、顶隙系数等)应与刀具的参数相同，且为标准值。

在计算斜齿轮的主要几何尺寸时需要按端面考虑，原因是：端面参数代表齿轮的实际大小，法面是假想的。

5-12斜齿轮传动具有哪些优点? 什么是斜齿轮的当量齿轮为什么要提出当量齿轮的概念可用哪些方法来调整斜齿轮传动的中心距?

答：参考教材。

5-13平行轴和交错轴斜齿轮传动有哪些异同点?

答相同点：平行轴斜齿轮传动和交错轴斜齿轮传动，其轮齿的齿向均相对于齿轮的轴线倾斜了一个角度，称为螺旋角，就单个齿轮而言．平行轴斜齿轮传动仍然是斜齿轮传动；两者的正确啮合条件共同点是两轮的法面模数及法面压力角应分别相等。

不同点：平行轴斜齿轮传动的两个齿轮的轴线是平行的，即常见的斜齿轮传动，而交错轴斜齿轮传动其轴线之间不是平行的，而是交错的。两者的正确啮合条件不同点是一对斜齿轮传动的两轮的螺旋角对于外啮合，应大小相等，方向相反，对于内啮合，应大小相等，方向相同，而一对交错轴斜齿轮传动，由于在交错轴斜内轮传动中两轮的螺旋角未必相等，所以两轮的端面模数和端面压力角也未必相等‘

5-14何谓蜗杆传动的中间平面蜗杆传动的正确啮合条件是什么

答：参考教材。

5-15蜗杆传动可用作增速传动吗?

答蜗杆传动中，当蜗杆的导程角”小于啮合轮齿间的当量摩擦角φ时，传动就具有自锁性：具有自锁性的蜗杆蜗轮传动，只能由蜗杆带动蜗轮．而不能由蜗轮带动蜗轩，即不能用蜗轮作为主动件，也就不能作为增速传动。：否则．当蜗杆的导程角γ；大于啮合轮齿间的当量摩擦角φ时。可以用蜗轮作为原动件，可以作为增速传动。

5-16 以前蜗杆传动的蜗杆头数为1～4头，而现在发展为1～10头，试说明为什么有这种发展变化?

答: 最近又有一种新的动向，由于蜗杆传动特别平稳，噪声极小，故目前在要求传动平稳性高和噪声低的地方，即使传动比i不大(i≥4～5)，也有采用蜗杆传动的。为了适应这种情况，蜗杆的头数由以前的l～4增加到1～10。

5-17试确定图10-3a所示传动中蜗轮的转向，及图b所示传动中蜗杆和蜗轮的螺旋线的旋向。

答：图a所示蜗杆为右旋蜗杆，现用右手，让四指沿蜗杆圆周速度方向，则右手大拇指的相反方向，即为蜗轮在节点P处的圆周速度方向，故蜗轮将沿逆时针方向回转。

在图b中，根据所给蜗轮及蜗杆的转向，即要求蜗轮在节点P处的圆周速度方向垂直于图面并指向里，故蜗杆沿轴向相对于蜗轮的运动方向则垂直于图面并指向外，而要四指沿蜗杆转向(顺时针方向)，而大拇指沿蜗杆轴向运动方向(垂直于图面指向外)，只有右手才能适应，故为右旋蜗杆，而蜗轮的旋向始终与蜗杆的一致，即也为右旋。

5-18什么是直齿锥齿轮的背锥和当量齿轮一对锥齿轮大端的模数和压力角分别相等是否是其能正确啮合的充要条件

5-19、C`、C``为由同一基圆上所生成的几条渐开线。试证明其任意两条渐开线(不论是同向的还是反向的)沿公法线方向对应两点之间的距离处处相等。

证：根据渐开线的特性可知1122A B A B AB ==，1122B E B E BE ==

所以：原式得证。

5-20测量齿轮公法线长度是检验渐开线齿轮精度的常用方法之一。试回答下列问题：(1)希望测量用卡尺的卡脚与齿廓的切点(测点)在齿轮的分度圆附近，跨测齿数应为多少?(2)当跨测齿数为k 时，对于渐开线标准齿轮其公法线的长度L k 应为多少?(3)在测定一个模数未知的齿轮的模数时，为什么常用跨测k 个齿和(k-1)个齿的公法线长度差来确定?

答: a)设卡尺两卡脚与齿廓的切点a 、b 刚好在分度圆上(图10-1)，则∠aOb=2α，α为分度圆压力角。

齿轮的半齿距角为180°／z ，设在∠aOb 角范围内包含的齿数为k ，则

(2k-1)×180°／z=2α 故 k=z α／180°+0.5

按上式所求得的跨测齿数一般不为整数，而跨测齿数必须取整。若向大取整，则实际测点向齿廓齿顶移动，反之则向齿根移动。

b)由图10-1可明显看出，公法线长度包含着(k-1)个基圆齿距和一个基圆齿厚，故

由上式可见L k -L(k-1)恰等于一个基圆齿距，而在齿轮加工中，基圆齿距p b 的误差是很小的，故只要齿轮的压力角已知，即可由此很准确地确定出模数m 来，而与齿轮是否变位，齿顶高系数的大小和齿顶高是否削减，齿厚是否减薄，齿顶圆直径偏差大小等无关。

计算题

5-1．一渐开线标准齿轮，z=26，m=3 mm ，ha*=1，α=20。，求齿廓曲线在齿顶圆的压力角αa, 齿顶圆直径da, 分度圆曲率半径ρ和齿顶圆曲率半径ρa 。 ．

解：cos 36.6482

b mz

r α=

=， ()

2422

a m z r +=

=， 5-2.已知一标准直齿圆柱齿轮，齿数Z=35，模数m=4，求此齿轮的分度圆直径，齿顶圆直径，齿根圆直径，基圆直径，齿顶圆压力角、齿根圆压力角、齿厚和齿槽宽？

解：mm mz d 140354=?==

()1305.32422**

=?=--=c h z m d a f mm

56.13120cos 140cos === αd d b mm

5-3已知一对渐开线标准外啮合圆柱齿轮传动的模数m=5 mm ，压力角α=20。，中心距a=350 mm ，传动比i 12=9／5，试求两轮的齿数、分度圆直径、齿顶圆直径、基圆直径以及分度圆上的齿厚和齿槽宽。

解：因为1193505m a z z z ??=

+= ???

，所以有，150z =，290z =， 分度圆直径：11550250d mz ==?=，22590450d mz ==?= 齿顶圆直径：()112260a d m z ha *=+=，()222460a d m z ha *=+= 基圆直径：11cos 234.92b d mz α==，22cos 422.86b d mz α==

齿厚：1031.4162

m

s ππ=

==，齿槽宽：515.7082

m

e ππ=

==

5-4设有一对外啮合齿轮的z 1=30，z 2=40，m=20 mm ，α=20。，ha*=1。试求当a ’=725 mm 时，两轮的啮合角α’。又当啮合角α’=22。30，时，试求其中心距a ’。

解：（1）.求啮合角α

700

'arccos(

cos )arccos(

cos 20)2452''

725

a

ααα==?=? （2）.当'2230'α=?时，中心距'α

5-5已知一对外啮合变位齿轮传动的Z 1=Z 2=12，m=10 mm ，α=20。，ha*=1，a ’=130 mm ，试设计这对齿轮(取x 1=x 2)o

解：（1）.确定传动类型：1210

()(1212)120'13022

m a z z a mm =+=+==

故此传动比应为正传动。

（2）.确定两轮变位系数

()()()()1212120'arccos(

cos )arccos(cos 20)2950''130

'12122950'200.294

2220a a z z inv inv inv inv x x tg tg ααααα==?=?+-+?-?+===?

计算几何尺寸

5-6图示为一渐开线齿廓齿轮的一个轮齿，试证明其在任意的圆周上的齿厚的表达式如下：

S i =sr i /r -2 r i (inv αi -inv α)

式中，s 为分度圆齿厚。

证明：∵?=∠BOB-2∠BOC=(s/r)-2(i θθ-)=(s/r)-2(i inv inv αα-) ∴ (/)2()i i i i i s r sr r r inv inv ?αα==--

5-7在图中，已知基圆半径r b =50 mm ，现需求：

1)当r K =65 mm 时，渐开线的展角θK 、渐开线的压力角αK 和曲率半径ρK 。

2)当θK =5。时，渐开线的压力角αK 及向径r K 的值。

解：（1)cos /50/650.7692k b k r b α===, 0'3943k α=,

000.1375257.37.8799k θ=?=,

（2)∵ 05k k inv θα== ∴0'1650k α=,

5-8．图示为一渐开线变位齿轮，其m=5 mm ，α=200

，z=24，变位系数x=0.05。当用跨棒距来进行测量时，要求测量棒2正好在分度圆处与齿廓相切。试求所需的测量棒半径rp ，以及两测量棒外侧之间的跨棒距L 。

提示" r p =．NC —NB ，L=2(OC+r p )。

5-9．一对标准渐开线直齿圆柱齿轮，已知：m=4mm ，α=20°，z 1=25，Z 2=35，ha*=l, C*=0.25，安装中心距比标准中心距大2 mm 。试求：

(1)中心距a`

(2)啮合角α`；

(3)有无齿侧间隙?

(4)径向间隙c ；

(5)实际啮合线长度B 1B 2。

解：1）124

()(2535)12022

m a z z =

+=+=，'21202122a a =+=+=， 2）''cos cos a a αα= '0''''arccos

cos 222620a

a

αα=， 3）有，

4) *0.2541c c m ==?=

5）''11212cos()cos()19.4722

a a mz mz

B B tg tg tg tg αααα=

-+-=

5-10已知一对标准外啮合直齿圆柱齿轮传动的α=20。、m=5 mm 、z 1=19、z 2=42，试求其重合度ε。。问当有一对轮齿在节点P 处啮合时，是否还有其他轮齿也处于啮合状态；又当一对轮齿在B1点处啮合时，情况又如何?

解：（1）012cos 24cos 207.5b b p p m πα===?=

（2)0111arccos(/)31.32a b a r r α==, 0222arccos(/)28.24a b a r r α==

（3)

5-11．巳知一对外啮合标准直齿圆柱齿轮．按标准中心距安装，齿轮的齿数z 1=19，z 2=42．模数m=5mm ，分度圆压力角α=20°，齿顶高系数ha *=1。

(1)作示意图算出理论啮合线，实际啮合线；

(2计算重合度；

(3)说明重合度的物理意义，并根据计算结果，注明单对齿啮合区和双对齿啮合区。

解：

5-12．有一对外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮 Z 1=19、Z 2=52、α=20。、m=5 mm 、ha*=1，试

1)按标准中心距安装时，这对齿轮传动的重合度εα;

2)保证这对齿轮能连续传动，其容许的最大中心距a ’ 。

解：1）两轮的分度圆半径、齿顶圆半径，齿顶圆压力角分别为

又因两齿轮按标准中心距安装，故'αα

=。于是，由式（10-18）可得

2）保证这对齿轮能连续传动，必须要求其重合度1

α

ε≥，即

故得啮合角为

于是，由式（10-15）即可得这对齿轮传动的中心距为即为保证这对齿轮能连续传动，其最大中心距为181.02mm

5-13有一对外啮合渐开线直齿圆柱齿轮传动。已知Z

1=17，Z

2

=118，m=5 mm，α=20。，

ha*=l，a，=337.5 mm。现发现小齿轮已严重磨损，拟将其报废。大齿轮磨损较轻(沿分度圆齿厚两侧的磨损量为0.75 mm)，拟修复使用，并要求所设计的小齿轮的齿顶厚尽可能大些，问应如何设计这一对齿轮?

解：

*

1

1

(2)

arccos cos/[]31.77

22

a

mz m z ha

αα

+

==, 0

2

26.24

a

α=

5-14．在某设备中有一对直齿圆柱齿轮，已知Z

1=26，i

12

=5，m=3 mm， =20。，ha* =1，齿

宽B=50 mm。在技术改造中，为了改善齿轮传动的平稳性，降低噪声，要求在不改变中心

距和传动比的条件下，将直齿轮改为斜齿轮，试确定斜齿轮的Z

1`、Z

2

`、m

n

、β，并计算

其重合度ε。

解：原直齿圆柱齿轮传动的中心距为

12(1)/2326(15)/2234a mz i mm mm =+=??+= （2分）

改为斜齿轮传动后，为了不增加齿轮的几何尺寸，取斜齿轮的法面模数

3m m m mm ==，在不改变中心距和传动比的条件下，则有

当取020β=时，由上式可求得'124.43z =。为了限制020β<，可取

'''1212125,525125z z i z ===?=。为维持中心距不变，故重新精确计算螺旋角

为

''120

'

''

arccos[()/(2)]

arccos[3(25125)/(2234)]155633

n m z z a mm mm β=+=?+?= （2分）

为了计算斜齿轮传动的总重合度r ε，先分别计算端面重合度a ε和轴面重合度

βε。其中 ''1122[(tan tan )(tan tan )]/(2)a at t at t z z εααααπ=-+- 由于 000arctan(tan /cos )arctan(tan 20/cos15.9425)20.733t n ααβ===

''

122000

arccos[cos /(2cos )]

arccos[125cos 20.733/(1252cos15.9425)]22.917

at t z z ααβ=+=?+= （2分）

所以

0000[25(tan 29.722tan 20.733)125(tan 22.917tan 20.733)]/(2)

1.646

a επ=?-+?-=

设齿宽为B=50mm ,则

于是得 1.646 1.457 3.103r a βεεε=+=+= （2分）

5-15．在一机床的主轴箱中有一直齿圆柱渐开线标准齿轮，发现该齿轮已经损坏，需要重做一个齿轮更换，试确定这个齿轮的模数。经测量，其压力角α=20。，齿数z=40，齿顶圆直径da=83.82 mm ，跨5齿的公法线长度L 5=27.512 mm ，跨6齿的公法线长度L 6=33.426 mm 。

解：6500

5.914

33.42627.512 5.914,2cos 20cos 20

b b p p L L m ππ=-=-==

== 5-16．设已知一对斜齿轮传动的z 1=20，z 2=40，m n =8 mm ，β=15。(初选值)，B=30 mm ，ha*=1。试求a(应圆整，并精确重算p)、r 及z v1、及z v2。

解：（1）计算中心距()1282040()248.4662cos 2cos15mn

a z z β+=

+==?

取250a = （2）. ()()

1282040arccos

arccos 1615'37''22250

mn z z a β++===??

（3）. 计算重合度r ε

（4）. 计算当量齿数

5-17已知一对直齿锥齿轮的z 1=15，z 2=30，m=5 mm ，ha*=1，ε=900。试确定这对锥齿轮的几何尺寸

解：小齿轮

大齿轮

5-18． 一蜗轮的齿数z 2=40，d 2=200 mm ，与一单头蜗杆啮合，试求：

1)蜗轮端面模数m t2及蜗杆轴面模数m x1；

2)蜗杆的轴面齿距p x1及导程l ；

3)两轮的中心距a0； 。

4)蜗杆的导程角γ，、蜗轮的螺旋角β2及两者轮齿的旋向。

解：（1) 确定传动类型

125

()(17118)337.522

m a z z mm =

+=+=， 因'a a =,故采用等移距变位传动

（2）确定变位系数

由题意知 012/(2tan )0.75/(25tan 20)0.206x x s m α=-=?=?=

故 10.206x =, 20.206x =-

（3）几何尺寸计算

小齿轮

大齿轮