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MATLAB 求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题

线性规划是数学规划中的一类最简单规划问题，常见的线性规划是一个有约束的，变量范围为有理数的线性规划。如：

max 712z x y =+

9430045200s.t 310300,0

x y x y x y x y +≤??+≤??+≤??≥?

对于这类线性规划问题，数学理论已经较为完善，可以有多种方法求解此类问题。但写这篇文章的目的并不是为了介绍数学理论，我们这里主要讲解如果利用工具求解这一类线性规划问题。

最著名，同时也是最强大的数学最优化软件是LINGO/LINDO 软件包，它能够求解多种的数学规划问题，同时还提供了多种的分析能力。但LINGO 软件并不容易上手，同时，应用LINGO 的场合一般是大规模的线性规划问题，小小的线性规划完全可以不使用它。一个更受科研人员欢迎的数学软件是MATLAB ，它以功能强大而称著，并有数学软件中的“航空母舰”之称。我们这里就是要学习使用MATLAB 软件求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题。

为了使得不熟悉MATLAB 的人员也能够使用MATLAB 进行线性规划问题求解，本文将对MATALB 中使用到的函数和过程以及结果进行详细的分析，最后会对每一个问题都给出一个可以完全“套用”的MATLAB 程序。

我们首先从上面的线性规划问题开始，为了便于表达，将上面的式子写成矩阵形式：

max 712z x y =+

9430045200s.t 310300,0x y x y ???????? ? ??≤? ? ? ???? ? ???????≥?

于是约束就表达为了一个Ax b ≤不等式。

求解MATLAB 线性规划时，最常用的函数是linprog 函数，下面来介绍一下这个函数的使用。

打开MATLAB 帮助文档（PS:帮助文档的内容是最全的，只要你的英文过了专业8级），可以看到linprog 函数求解的是具有如下标准形式的线性规划：

min .T

x f x A X b s t Aeq X beq lb x ub ≤??=??≤≤?

公式中各符号的意义是自明的，在这里简单介绍下，首先MATLAB 中求解的是目标函数是最小值的问题，但如果我们的目标函数是求最大值，可以通过对目标函数中每一项中乘以-1，将求最大值问题转化为求最小值问题；A ，b 分别为不等式约束中的系数矩阵。Aeq 和beq 分别为等式约束中的系数矩阵，lb ，和ub 分别为每个变量的上下区间；最后f 为目标函数中各变量的系数矩阵。

现在，是时候动动手，使用MATLAB 编写代码求解这个线性规划了。MATLAB 代码如下所示：

f=[-7,-12];

A=[9 4;4 5;3 10];

b=[300;200;300];

lb=zeros(2,1);% 生成一个2行1列的全1矩阵

[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb,[])

我们来解释下linprog 函数中每参数的意义，linprog 中的一个原型如下：

[x,fval,exitflag] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

这7个参数的意义和上面f 、A 、b 的意义是一样的。f 为目标函数的系数矩阵，A 为线性规划不等式约束的变量系数矩阵，b 为不等式约束的资源数（如上面的

[300;200;300]），这是一个N 行1列的矩阵，N 为变量的个数。Aeq 和beq 是相应等式约束的变量系数矩阵和资源数（很明显，上面的例子中并没有等式约束）。lb 和ub 分别为保变量的上下区间。在上面的例子中，x 和y 和最小值都为0但都无最大值约束。而linprog 的返回值x 为求得的各变量的值，这是一个向量，fval 为最优化的值，一般是一个标量，exitflag 意为函数的退出标志。

上面所示的代码[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb,[])中，[]代表不存在或空，因为在上面的例子中不存在等式约束，所以Aeq 和beq 的位置为[]。而ub 也为空，是因为变量没有最大值约束。

运行上面的程序，行到结果为：

x =

20.0000

24.0000

fval =

-428.0000

解释为：

当x=20,y=24时，可以求得最优化的值，最大值为428（因为这里的求目标最大值，但MATLAB 只能求目标函数最小值，所以对目标函数进行了乘-1处理，所以也要对最后的结果乘以-1才是目标函数所求）.

上面解决了简单的线性规划问题的求解，线性规范有两种比较特殊的情况，即整数规划和0-1整数规划。在之前（不知MATLAB 几之前……），MATLAB 是不能直接求解这两种规划的，bintprog 函数可以用来求0-1整数规划，但求解过程比较麻烦，而且最新版的MATLAB 已经遗弃了这个函数，同时提供了一个比较新的、专用于求解整数规划和0-1整数规划的函数——intlinprog 。

intlinprog 的一个原型为：

[x,fval,exitflag]= intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 该函数的使用和linprog 函数的使用十分相似，其仅仅在linprog 函数的基础上多了一个参数——intcon 。我们来通过下面的例子来学习该参数的意义。 min 12z x x =--

12122124214211..21

,0,x x x x s t x x x -+≤-??+≤??-≤-??≥?整数

在这里例子中，变量的取值范围不再是有理数集，而是整数集。求解此规划问题的MATLAB 程序如下：

f_13=[-1,-1];

ic_13=[1,2];

A_13=[-4,2;4,2;0,-2];

b_13=[-1;11;-1];

lb_13=zeros(2,1);

[x_13,fval_13,flag_13]=intlinprog(f_13,ic_13,A_13,b_13,[],[],lb_13,[])

在函数intlinprog 中，intcon 的意义为整数约束变量的位置。如上例中，因为x1和x2都要是整数，intcon 参数位置ic_13的值为[1,2]。这个位置是按照目标函数和约束条件中变量位置来排列的。如果上式中仅有x2为整数约束，那么ic_13的值应该为2。

需要说明的是，intlinprog 函数在比较旧版本是不支持的（我使用的是MATLAB2014B ），如果你发现你现在的MATLAB 没有intlinprog 函数，请不要吃惊，因为一直以来，MATLAB 都是无法直接求解整数规划的，但今时已经不同往日了。

现在又有了一个新问题，我们解决了在MATLAB 上求解一般的整数规划问题，但要是遇到0-1整数规划问题呢？到这里，我们只要转换一下思维，就可以利用MATLAB 求解0-1整数规划了，这里先卖个关子，请大家看下面的例子是怎么用MATLAB 求解0-1整数规划的。

min 1234575963z x x x x x =++++

12345123124512345562054421510044..222

,,,,01

x x x x x x x x s t x x x x x x x x x ++++≤??++≤??+++≥??=?或

MATLAB 程序如下：

f_12=[7 5 9 6 3];

ic_12=[1,2,3,4,5];

A_12=[56,20,54,42,15;1,4,1,0,0;-1,-2,0,-1,-2];

b_12=[100;4;-2];

lb_12=zeros(5,1);

ub_12=ones(5,1);

[x_12,fval_12,flag_12]=intlinprog(f_12,ic_12,A_12,b_12,[],[],lb_12,ub _12)

有木有发现在，与上面整数规划不同的地方只有一个，就是多了

ub_12=ones(5,1)，也就是说求解0-1整数规划只要在求解整数规划的基础上加上一个对变量最大值约束为1就行了，有木有恍然大悟的感觉？？？

后面两个程序并没有给出程序运行的结果，因为笔者坚信学习最好的方式就是“动手”。^_^

用MATLAB解线性规划

用MATLAB 优化工具箱解线性规划 命令：x=linprog （c ，A ，b ） 2、模型： beq AeqX b AX ..min =≤=t s cX z 命令：x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq ） 注意：若没有不等式：b AX ≤存在，则令A=[ ]，b=[ ]. 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. 3、模型： VUB X VLB beq AeqX b AX ..min ≤≤=≤=t s cX z 命令：[1] x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq, VLB ，VUB ） [2] x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq, VLB ，VUB, X0） 注意：[1] 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X0表示初始点 4、命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval. 例1 max 6543216.064.072.032.028.04.0x x x x x x z +++++= 85003.003.003.001.001.001.0..654321≤+++++x x x x x x t s 70005.002.041≤+x x 10005.002.052≤+x x 90008.003.063≤+x x 6,2,10 =≥j x j 解 编写M 文件小xxgh1.m 如下： c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) min z=cX b AX t s ≤..1、模型：

运用Matlab进行线性规划求解(实例)

线性规划 线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。 8.2.1 基本数学原理 线性规划问题的标准形式是： ????? ??????≥=+++=+++=++++++=0,,,min 21221122222121112 121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z 或 ???? ?????=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j n j i j ij n j j j ,,2,1,0,,2,1,min 1 1 写成矩阵形式为： ?? ???≥==O X b AX CX z min 线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b 非负。不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。 MATLAB 采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。 8.2.2 有关函数介绍 在MATLAB 工具箱中，可用linprog 函数求解线性规划问题。 linprog 函数的调用格式如下： ●x=linprog(f,A,b)：求解问题minf'*x ，约束条件为A*x<=b 。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq 。若没有不等式约束，则令A=[ ],b=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定义设计x 的下界lb 和上界ub ，使得x 始终在该范围内。若没有等式约束，令Aeq=[ ],beq=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：设置初值为x0。该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)：用options 指定的优化参数进行最小化。 ●[x,fval]=linprog(…)：返回解x 处的目标函数值fval 。 ●[x,lambda,exitflag]=linprog(…)：返回exitflag 值，描述函数计算的退出条件。 ●[x,lambda,exitflag,output]=linprog(…)：返回包含优化信息的输出参数output 。 ●[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)：将解x 处的拉格朗日乘子返回到lambda 参数中。

用matlab求解线性规划问题

一、实验目的： 了解Matlab 的优化工具箱，能利用Matlab 求解线性规划问题。 二、实验内容： 线性规划的数学模型有各种不同的形式，其一般形式可以写为： 目标函数： n n x f x f x f z +++= 2211m in 约束条件： s n sn s s n n b x a x a x a b x a x a x a ≤+++≤+++ 221 11 1212111 s n tn t t n n d x c x c x c d x c x c x c =+++=+++ 221 11 1212111 0,,,21≥n x x x 这里 n n x f x f x f z +++= 2211称为目标函数，j f 称为价值系数，T n f f f f ),,,(21 =称为价值向量，j x 为求解的变量，由系数ij a 组成的矩阵 ??????????=mn m n a a a a A 1111 称为不等式约束矩阵，由系数ij c 组成的矩阵 ??????????=sn s n c c c c C 1111 称为等式约束矩阵，列向量 T n b b b b ),,,(21 =和T n d d d d ),,,(21 =为右端向量，条件0≥j x 称为非负约束。一个向量T n x x x x ),,,(21 =，满足约束条件，称为可行解或可行点，所有可行点的集合称为 可行区域，达到目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解，相应的目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值。 我们这里介绍利用Matlab 来求解线性规划问题的求解。 在Matlab 中有一个专门的函数linprog()来解决这类问题，我们知道，极值有最大和最小两种，但求z 的极大就是求z -的极小，因此在Matlab 中以求极小为标准形式，函数linprog()的具体格式如下： X=linprog(f,A,b) [X,fval,exitflag,ouyput,lamnda]=linprog(f,A,b,Aeq,Beq,LB,UB,X0,options) 这里X 是问题的解向量，f 是由目标函数的系数构成的向量，A 是一个矩阵，b 是一个向量，A ，b 和变量x={x1,x2,…,xn}一起，表示了线性规划中不等式约束条件，A ，b 是系数矩阵和右端向量。Aeq 和Beq 表示了线性规划中等式约束条件中的系数矩阵和右端向量。LB 和UB 是约束变量的下界和上界向量，X0是给定的变量的初始值，options 为控制规划过程的参数系列。返回值中fval 是优化结束后得到的目标函数值。exitflag=0表示优化结果已经超过了函数的估计值或者已声明的最大迭代次数；exitflag>0表示优化过程中变量收敛于解X ，exitflag<0表示不收敛。output 有3个分量，iterations 表示优化过程的迭代次数，cgiterations 表示PCG 迭代次数，algorithm 表示优化所采用的运算规则。lambda 有4个分量，

matlab线性规划练习

第11次课 （1） 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为 4000 元与 3000 元 。 生产甲机床需用A 、B 机器加工，加工时间分别为每台 2 小时和 1 小时； 生产乙机床 需用A 、B 、C 三种机器加工，加工时间为每台各一小时。 若每天可用于加工的机器 时数分别为A 机器 10 小时、 B 机器 8 小时和 C 机器 7 小时，问该厂应生产甲、乙机床 各 几台，才能使总利润最大？ （2）有两种农作物（大米和小麦），可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果 如下:在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨小麦和1500吨大米的任务？ （3）设422+-=x y z ，式中变量y x ,满足条件?????≥-≤≤≤≤12201 0x y y x ，求z 的最小值和最大值． （4）某家俱公司生产甲、乙两种型号的 组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下： 问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大利润，并且最大利润是多少？ （5） 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t 支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t 的A 型 卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型 卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元.请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只调配A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？

（6）一家玩具公司制造三种桌上高尔夫玩具，每一种要求不同的制造技术。高级的一种需要17小时加工装配劳动力，8小时检验，每台利润300元。中级的需要10小时劳动力，4小时检验，利润200元。低级的需要2小时劳动力，2小时检验，利润100元。可供利用的加工劳动力为1000小时，检验500小时。其次，有市场预测表明，对高级的需求量不超过50台，中级的不超过80台，低级的不超过150台。 问制造商如何决策才能得出使总利润为最大的最优生产计划。 （7）（任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。 假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低 （8）

Matlab在线性规划中的使用

⒈ 优化问题及其数学模型 假设有一个问题，它有几个因素来决定，当这些因素处于某个状态时，可以使问题得到我们最想要的结果。优化问题就是寻求这个状态的过程。例如： 某工厂生产A ，B 两种产品，所用原料均为甲、乙、丙三种；生产一件产品所需原料和 问题：在该厂只有库存原料甲380单位，原料乙300单位，原料丙220单位的情况下如何安排A ，B 两种产品的生产数量可以获得最大的利润？ 设生产A 中产品1x 件，生产B 中产品2x 件，z 为所获得的利润，于是有关系式： 我们称它为目标函数。生产的条件我们可以表示为： 我们把上面的不等式称为约束条件。 产品A 的产量1x 和B 的产量2x 是优化问题的变量。在满足约束条件的前提下使目标函数得到最优的值成为最优解。根据以上定义，也可以说优化运算是通过某种计算寻求最优解的过程。 以上这个用等式或不等式来表达我们要解决的问题的过程就是优化问题的建模过程。我们平时遇到的问题常常不是上面的这几个数学表达式就能表达得清清楚楚的，但是建立像上面类似的数学模型却是优化求解的第一步。优化问题常常表现为在多约束条件下求某一函数的极值问题，例如上面的这个例子。 Matlab 有一个优化工具箱，可以帮助我们方便的解决好这类问题。 ⒉ 优化工具箱 Matlab 的优化工具箱有一些对普通非线性函数求解最小化或最大化（求极值）的函数组成，另外还包括一些解决诸如线性规划等标准矩阵问题的函数。所有的优化函数都是用Matlab 语言编写的m 文件，我们可以通过在命令窗口里输入type function_name 来查看这些函数。 优化工具箱的优化功能包括： ⑴ 求无约束非线性最小化； ⑵ 求有约束非线性最小化； ⑶ 二次和线性规划问题； ⑷ 非线性最小二乘法和曲线拟合问题； ⑸ 非线性等式的求解； ⑹ 约束线性最小二乘法； ⑺ 稀疏和结构化大尺度问题。 工具箱中求非线性函数极小值的命令函数如下表所示：

多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现

多目标线性规划的若干解法及MATLAB 实现 一．多目标线性规划模型 多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函 数,其数学模型表示为： 11111221221122221122max n n n n r r r rn n z c x c x c x z c x c x c x z c x c x c x =+++??=+++?? ??=+++? （1） 约束条件为： 1111221121122222112212,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x +++≤??+++≤?? ??+++≤?≥?? （2） 若（1）式中只有一个1122i i i in n z c x c x c x =+++ ，则该问题为典型的单目标线性规划。我们记:()ij m n A a ?=,()ij r n C c ?=,12(,,,)T m b b b b = ,12(,,,)T n x x x x = ， 12(,,,)T r Z Z Z Z = . 则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为: max Z Cx = 约束条件：0 Ax b x ≤?? ≥? （3） 二．MATLAB 优化工具箱常用函数[3] 在MA TLAB 软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog 、求有约束非线性函数的fmincon 、求最大最小化问题的fminimax 、求多目标达到问题的fgoalattain 等,它们的调用形式分别为： ①.[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) f 为目标函数系数,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下 限和上限, fval 求解的x 所对应的值。 算法原理：单纯形法的改进方法投影法 ②.[x,fval ]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub ） fun 为目标函数的M 函数, x0为初值,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束

运用Matlab进行线性规划求解实例

8.2 线性规划 线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。 8.2.1 基本数学原理 线性规划问题的标准形式是： ????? ??????≥=+++=+++=++++++=0,,,min 21221122222121112 121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 或 ???? ?????=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j n j i j ij n j j j ,,2,1,0,,2,1,min 1 1ΛΛ 写成矩阵形式为： ?? ???≥==O X b AX CX z min 线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b 非负。不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。 MATLAB 采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。 8.2.2 有关函数介绍 在MATLAB 工具箱中，可用linprog 函数求解线性规划问题。 linprog 函数的调用格式如下： ●x=linprog(f,A,b)：求解问题minf'*x ，约束条件为A*x<=b 。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq 。若没有不等式约束，则令A=[ ],b=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定义设计x 的下界lb 和上界ub ，使得x 始终在该范围内。若没有等式约束，令Aeq=[ ],beq=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：设置初值为x0。该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)：用options 指定的优化参数进行最小化。 ●[x,fval]=linprog(…)：返回解x 处的目标函数值fval 。 ●[x,lambda,exitflag]=linpro g(…)：返回exitflag 值，描述函数计算的退出条件。 ●[x,lambda,exitflag,output]=linprog(…)：返回包含优化信息的输出参数output 。 ●[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)：将解x 处的拉格朗日乘子返回到

用MATLAB求解规划问题

§15. 利用Matlab求解线性规划问题 线性规划是一种优化方法，Matlab优化工具箱中有现成函数linprog对如下式描述的LP问题求解： % min f'x % s.t .(约束条件)：Ax<=b % (等式约束条件)：Aeqx=beq % lb<=x<=ub linprog函数的调用格式如下： x=linprog(f,A,b) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval]=linprog(…) [x, fval, exitflag]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…) 其中： x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令 111

A=[ ]、b=[ ] 。 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。 Options的参数描述： Display显示水平。选择’off’ 不显示输出；选择’I ter’显示每一步迭代过程的输出；选择’final’ 显示最终结果。 MaxFunEvals 函数评价的最大允许次数 Maxiter 最大允许迭代次数 TolX x处的终止容限 [x,fval]=linprog(…) 左端fval 返回解x处的目标函数值。 [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0) 的输出部分： exitflag描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解x 处；若为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。 output 返回优化信息：output.iterations表示迭代次数；output.algorithm表示所采用的算法；outprt.funcCount表示函数评价次数。 lambda返回x处的拉格朗日乘子。它有以下属性： lambda.lower-lambda的下界； lambda.upper-lambda的上界； lambda.ineqlin-lambda的线性不等式； lambda.eqlin-lambda的线性等式。 112

用matlab求解线性规划问题

实验四 用MATLAB 求解线性规划问题 一、实验目的： 了解Matlab 的优化工具箱，能利用Matlab 求解线性规划问题。 二、实验内容： 线性规划的数学模型有各种不同的形式，其一般形式可以写为： 目标函数： n n x f x f x f z +++= 2211mi n 约束条件： s n sn s s n n b x a x a x a b x a x a x a ≤+++≤+++ 221 11 1212111 s n tn t t n n d x c x c x c d x c x c x c =+++=+++ 221 11 1212111 0,,,21≥n x x x 这里 n n x f x f x f z +++= 2211称为目标函数，j f 称为价值系数，T n f f f f ),,,(21 =称为价值向量，j x 为求解的变量，由系数ij a 组成的矩阵 ??????????=mn m n a a a a A 1111 称为不等式约束矩阵，由系数ij c 组成的矩阵 ??????????=sn s n c c c c C 1111 称为等式约束矩阵，列向量 T n b b b b ),,,(21 =和T n d d d d ),,,(21 =为右端向量，条件0≥j x 称为非负约束。一个向量T n x x x x ),,,(21 =，满足约束条件，称为可行解或可行点，所有可行点的集合称为 可行区域，达到目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解，相应的目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值。 我们这里介绍利用Matlab 来求解线性规划问题的求解。 在Matlab 中有一个专门的函数linprog()来解决这类问题，我们知道，极值有最大和最小两种，但求z 的极大就是求z -的极小，因此在Matlab 中以求极小为标准形式，函数linprog()的具体格式如下： X=linprog(f,A,b) [X,fval,exitflag,ouyput,lamnda]=linprog(f,A,b,Aeq,Beq,LB,UB,X0,options) 这里X 是问题的解向量，f 是由目标函数的系数构成的向量，A 是一个矩阵，b 是一个向量，A ，b 和变量x={x1,x2,…,xn}一起，表示了线性规划中不等式约束条件，A ，b 是系数矩阵和右端向量。Aeq 和Beq 表示了线性规划中等式约束条件中的系数矩阵和右端向量。LB 和UB 是约束变量的下界和上界向量，X0是给定的变量的初始值，options 为控制规划过程的参数系列。返回值中fval 是优化结束后得到的目标函数值。exitflag=0表示优化结果已经超过了函数的估计值或者已声明的最大迭代次数；exitflag>0表示优化过程中变量收敛于解X ，exitflag<0表示不收敛。output 有3个分量，iterations 表示优化过程的迭代次数，cgiterations 表示PCG 迭代次数，algorithm 表示优化所采用的运算规则。lambda 有4个分量，ineqlin 是线

用matlab求解线性规划问题

1 实验四 用MATLAB 求解线性规划问题 一、实验目的： 了解Matlab 的优化工具箱，能利用Matlab 求解线性规划问题。 二、实验内容： 线性规划的数学模型有各种不同的形式，其一般形式可以写为： 目标函数： n n x f x f x f z +++= 2211m i n 约束条件： s n sn s s n n b x a x a x a b x a x a x a ≤+++≤+++ 22111 1212111 s n tn t t n n d x c x c x c d x c x c x c =+++=+++ 22111 1212111 ,,,21≥n x x x 这里n n x f x f x f z +++= 2211称为目标函数， j f 称为价值系数， T n f f f f ) ,,,(21 =称为价值向 量， j x 为求解的变量，由系数 ij a 组成的矩阵 ???? ? ?????=mn m n a a a a A 1 111 称为不等式约束矩阵，由系数ij c 组成的矩阵 ???? ? ?????=sn s n c c c c C 1 111 称为等式约束矩阵，列向量T n b b b b ) ,,,(21 =和 T n d d d d ) ,,,(21 =为右端向量，条件 ≥j x 称为 非负约束。一个向量 T n x x x x ) ,,,(21 =，满足约束条件，称为可行解或可行点，所有可行点的集合称为 可行区域，达到目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解，相应的目标函数值称为最优目标函数 值，简称最优值。 我们这里介绍利用Matlab 来求解线性规划问题的求解。 在Matlab 中有一个专门的函数linprog()来解决这类问题，我们知道，极值有最大和最小两种，但求z 的极大就是求z -的极小，因此在Matlab 中以求极小为标准形式，函数linprog()的具体格式如下： X=linprog(f,A,b) [X,fval,exitflag,ouyput,lamnda]=linprog(f,A,b,Aeq,Beq,LB,UB,X0,options) 这里X 是问题的解向量，f 是由目标函数的系数构成的向量，A 是一个矩阵，b 是一个向量，A ，b 和变量x={x1,x2,…,xn}一起，表示了线性规划中不等式约束条件，A ，b 是系数矩阵和右端向量。Aeq 和Beq 表示了线性规划中等式约束条件中的系数矩阵和右端向量。LB 和UB 是约束变量的下界和上界向量，X0是给定的变量的初始值，options 为控制规划过程的参数系列。返回值中fval 是优化结束后得到的目标函数值。exitflag=0表示优化结果已经超过了函数的估计值或者已声明的最大迭代次数；exitflag>0表示优化过

(完整word版)用matlab解决线性规划问题的几道题

一、用MATLAB 求解线性规划问题 （1） 编写的M 文件为： f=[-1;-1] A=[1 -2;1 2] b=[4,8] [x,feval]=linprog(f,A,b,[],[],zeros(2,1)) 所求解为：x 1=6,x 2=1;min f=-7 （2） 编写的M 文件为： f=[-4;-3] A=[3 4;3 3;4 2] b=[12;10;8] [x,feval]=linprog(f,A,b,[],[],zeros(1,2)) 所求得的解为：x 1=0.8,x 2=2.4;max f=10.4 （3） （4） 编写的M 文件为： f=[-1;-3;3] Aeq=[1 1 2;-1 2 1] beq=[4;4] [x,feval]=linprog(f,[],[],Aeq,beq,zeros(3,1)) 所求得的结果为：x 1=4/3,x 2=8/3,x 3=0;max f=28/3。 12 121212min 24s.t.28 ,0f x x x x x x x x ì=--????-?镲í?+???? 3??12 1212121243max 3412 ..3310 428 ,0 f x x x x s t x x x x x x ì =+????+????+?í???+????3??123 12312313min 3s.t.211 423 21 0(1,2,3) j f x x x x x x x x x x x x j =--ì????-+?????-++?í??-+=?? ??? ???123 123123max 3s.t.24 24 0(1,2,3) j f x x x x x x x x x x j =+-ì????++=??í-++=???? ????

线性规划模型及matlab程序求解

§1 线性规划模型 一、线性规划课题： 实例1：生产计划问题 假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有A类3600公斤，B类2000公斤，C类3000公斤。每件甲产品需用材料A类9公斤，B类4公斤，C类3公斤。每件乙产品，需用材料A类4公斤，B类5公斤，C类10公斤。甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。 建立数学模型： 设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。f为该厂所获总润。 max f=70x1+120x2 s.t 9x1+4x2≤3600 4x1+5x2≤2000 3x1+10x2≤3000 x1,x2≥0 归结出规划问题：目标函数和约束条件都是变量x的线性函数。 形如： (1) min f T X s.t A X≤b Aeq X =beq lb≤X≤ub 其中X为n维未知向量，f T=[f1,f2,…f n]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵A为m×n矩阵，b为其右端m维列向量，Aeq为等式约束系数矩阵，beq为等式约束右端常数列向量。lb,ub为自变量取值上界与下界约束的n维常数向量。 二．线性规划问题求最优解函数： 调用格式： x=linprog(f,A,b) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval]=linprog(…) [x, fval, exitflag]=linprog(…) [x, fval, exitflag, outpu t]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…) 说明：x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令A=[ ]、b=[ ] 。 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options 为指定优化参数进行最小化。

一元线性规划matlab算例及解释

一元线性回归： x 含碳量 y合金强度建立y与x函数关系并检验可信度，检查数据有无异常点 clc close all x1=[0.1:0.01:0.18,0.20,0.21,0.23]'; x=[ones(size(x1)),x1]; y=[42 41.5 45 45.5 45 47.5 49 55 50 55 55.5 60.5]'; % 作数据的散点图 figure(1) plot(x1,y,'*') %回归分析 [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x) %alpha 缺省表示取值为0.05 %做残差图 figure(2) rcoplot(r,rint); %预测与回归图 figure(3) z=b(1)+b(2)*x1; plot(x1,y,'*',x1,z,'k-') legend('原始数据','回归曲线') 运行结果如下： b = 27.0269 140.6194 bint = 22.3226 31.7313 111.7842 169.4546 r = 0.9111 -0.9951

1.0987 0.1925 -1.7136 -0.6198 -0.5260 4.0678 -2.3384 -0.1508 -1.0570 1.1306 rint = -2.5705 4.3928 -4.6033 2.6131 -2.6026 4.8001 -3.6754 4.0605 -5.4276 2.0003 -4.5502 3.3105 -4.4717 3.4196 1.5241 6.6114 -5.8418 1.1649 -3.9067 3.6051 -4.6124 2.4984 -2.0746 4.3358 stats = 0.9219 118.0670 0.0000 3.1095 α= 27.0269 β= 140.6194 即y=α+βx

用matlab解决线性规划问题的几道题

一、用MATLAB 求解线性规划问题 （1） 编写的M 文件为： f=[-1;-1] A=[1 -2;1 2] b=[4,8] [x,feval]=linprog(f,A,b,[],[],zeros(2,1)) 所求解为：x 1=6,x 2=1;min f=-7 （2） 编写的M 文件为： f=[-4;-3] A=[3 4;3 3;4 2] b=[12;10;8] [x,feval]=linprog(f,A,b,[],[],zeros(1,2)) 所求得的解为：x 1=,x 2=;max f= （3） （4） 编写的M 文件为： f=[-1;-3;3] Aeq=[1 1 2;-1 2 1] beq=[4;4] [x,feval]=linprog(f,[],[],Aeq,beq,zeros(3,1)) 所求得的结果为：x 1=4/3,x 2=8/3,x 3=0;max f=28/3。 12121212min 24s.t.28,0f x x x x x x x x ì=--????-?镲í?+????3??121212121243max 3412..3310428,0f x x x x s t x x x x x x ì=+????+????+?í???+????3?? 12312312313min 3s.t.211423210(1,2,3)j f x x x x x x x x x x x x j =--ì????-+?????-++?í??-+=????????123123123max 3s.t.24240(1,2,3) j f x x x x x x x x x x j =+-ì????++=??í-++=????????min s.t.123f x y z x y x z ì?=++???+?í???+=???

用Matlab解法求解线性规划问题

Matlab 实验报告 实验目的：用Matlab 解法求解线性规划问题 实验一： 题目:求解线性规划问题： 12 max 3z x x =+ 12121 2x -x -2.x -2x 23x +2x 14 .s t ≥?? ≤??≤? 方法一：Matlab 解法 算法设计： 1、先求Z 的最小值，再取相反数即为所求的最大值。 2、将第一个约束条件改为 12-x +x 2 ≤。以便与另外两个约束条件保持 不等号方向的一致。 3、根据所给的约束条件，利用x=linprog(c,a,b)求解 求值程序： c=[-3,-1]; a=[-1,1;1,-2;3,2]; b=[2;2;14]; [x,fval]=linprog(c,a,b) 运行结果： x =

4.0000 1.0000 fval = -13.0000 结果处理及分析：当x1=4 , x2=1 时，（-Z ）取最小值-13，Z 取最大值13. 方法二：图像法 程序代码： x=-4:1:4; y1=x-2; y2=2*x+2; y3=1/3*(14-2*x); y4=1/3*(13-x); plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4,’:’) 经过对直线的适度调整后，得到图像为： -4 -3-2-1 01234 -6 -4-20246 810x y

结果处理及分析： 根据约束条件，星型图案所在的闭合三角形为可行域，易知，蓝色虚线代表的目标函数过A （1，4）时，Z 取最大值13。 实验二： 题目：某工厂利用甲，乙两种原料生产A1,A2,A3三种产品，每月可供应的 原料数量（单位：t ），每万件产品所需各种原料的数量及每万件产品的价格如表所示。试制定每月的最优生产计划，使得总收益最大。 算法设计： 1、设生产A1,A2,A3三种产品的量为x1 x2 x3 ，收益为Z ，写出Z 的表达式及约束条件为： 123 z =12x +5x +4x 12312343180 ..2632000(1,2,3)i x x x s t x x x x i ++≤??++≤??≥=? 2、求（-Z ）的最小值，再取相反数即为Z 的最大值。 3、利用x=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub)求解 程序： c=[-12,-5,-4]; a=[4,3,1;2,6,3];

线性规划单纯形法matlab解法

%单纯形法matlab程序-ssimplex % 求解标准型线性规划:max c*x; . A*x=b; x>=0 % 本函数中的A是单纯初始表，包括:最后一行是初始的检验数，最后一列是资源向量b % N是初始的基变量的下标 % 输出变量sol是最优解, 其中松弛变量（或剩余变量）可能不为0 % 输出变量val是最优目标值，kk是迭代次数 % 例：max 2*x1+3*x2 % . x1+2*x2<=8 % 4*x1<=16 % 4*x2<=12 % x1,x2>=0 % 加入松驰变量，化为标准型，得到 % A=[1 2 1 0 0 8; % 4 0 0 1 0 16; % 0 4 0 0 1 12; % 2 3 0 0 0 0]; % N=[3 4 5]; % [sol,val,kk]=ssimplex(A,N) % 然后执行 [sol,val,kk]=ssimplex(A,N)就可以了。 function [sol,val,kk]=ssimplex(A,N) [mA,nA]=size(A); kk=0; % 迭代次数 flag=1;

while flag kk=kk+1; if A(mA,:)<=0 % 已找到最优解 flag=0; sol=zeros(1,nA-1); for i=1:mA-1 sol(N(i))=A(i,nA); end val=-A(mA,nA); else for i=1:nA-1 if A(mA,i)>0&A(1:mA-1,i)<=0 % 问题有无界解 disp('have infinite solution!'); flag=0; break; end end if flag % 还不是最优表，进行转轴运算 temp=0; for i=1:nA-1 if A(mA,i)>temp temp=A(mA,i); inb=i; % 进基变量的下标 end

matlab解非线性规划例题

关于非线性规划问题 背景： 线性规划问题，即目标函数和约束条件都是线性函数的规划问题，但在实际工作中，还常常会遇到另一类更一般的规划问题，即目标函数和约束条件中至少有一个是非线性函数问题，即非线性规划问题。 求解方法：Matlab 软件 问题： 某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货50台、70台、90台。每季度的生产费用为()^2f x ax bx =+（元）， 其中x 是该季度生产的台数，若交货有剩余可用于下季度交货，但需支付存储费，每季度每台c 元。已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a =50,b =0.2,c =4,问工厂如何安排每月生产计划，才能既满足合同又使总费用最低（包括生产费用和库存费用）。 问题分析与假设： 目标函数是总费用，记为()F x 。 约束条件是生产合同和生产能力的限制。 设第一季度生产1x 台，第二季度生产2x 台，则第三季度生产(21012)x x --台。则： 1201221 x x ≤+≤ 501100x ≤≤ 02100x ≤≤ 由a =50,b =0.2,c =4,

第一季度生产费用15010.21^2T x x =+， 剩余品存储到下一季度的费用14(150)k x =-， 同理可得：25020.22^2T x x =+ 24(12120)k x x =+- 350(2101 2)0.2(2101T x x x x =--+-- 建模 总费用 ()12312103000.2(1^22^2)0.2(21012)^24(212120)F x T T T k k x x x x x x =++++=+++--++-先建立M-文件: a=50;b=0.2;c=4; H=diag(2*b*ones(1,3));C=[a+2*c,a+c,a]; A1=[-1,0,0;-1,-1,0];b1=[-50,-120]'; A2=[1 1 1];b2=210; v1=[0 0 0]';v2=[100 100 100]'; [x,faval,exitflag,output,lambada]=quadprog(H,C,A1,b1,A2,b2,v1,v2, []) X2=x'*H*x/2+C*x-140*c 再建立主程序: a=50;b=0.2;c=4; H=diag(2*b*ones(1,3));C=[a+2*c,a+c,a]; A1=[-1,0,0;-1,-1,0];b1=[-50,-100]'; A2=[1 1 1];b2=210; v1=[0 0 0]';v2=[100 100 100]'; [x,faval,exitflag,output,lambada]=quadprog(H,C,A1,b1,A2,b2,v1,v2,[]) X2=x'*H*x/2+C*x-140*c 运算结果：

线性规划问题Matlab求解

用MATLAB优化工具箱解线性规划 命令：x=linprog（c，A，b） 命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq） 注意：若没有不等式：存在，则令A=[ ]，b=[ ]. 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. 命令：[1] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB） [2] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） 注意：[1] 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X0表示初始点 4、命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解x及x处的目标函数值fval. 例1 解编写M文件小xxgh1.m如下： c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 例2 解: 编写M文件xxgh2.m如下： c=[6 3 4]; A=[0 1 0]; b=[50]; Aeq=[1 1 1]; beq=[120]; vlb=[30,0,20]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub 例3 （任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。 假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、 600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工 费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使 加工费用最低 解设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上 加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型： 编写M文件xxgh3.m如下: f = [13 9 10 11 12 8]; A = [0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3]; b = [800; 900]; Aeq=[1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1]; beq=[400 600 500]; vlb = zeros(6,1); vub=[];