第十八章勾股定理学案
第十八章 勾股定理
18.1 勾股定理（1）
一、学习目标
了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。 二、学习重点、难点
1、重点：探索和证明勾股定理。
2、难点：用拼图方法证明勾股定理。
三、预习内容
1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
2．关于勾股定理的证明方法有很多．赵爽的证法是一种面积证法，其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽。 【例】 如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？
分析：面积法验证勾股定理关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形，正方形，梯形)的面积之和等于另一些特殊图形的面积，从而达到验证的目的．
解：此图可以这样理解，有三个Rt △其面积分别为21ab ，21ab 和2
1c 2．还有一个直角梯形，其面积为
2
1
(a ＋b )(a ＋b )． 由图形可知：21 (a ＋b )(a ＋b )＝ 21ab ＋2
1ab ＋
2
1c 2
整理得(a ＋b )2＝2ab ＋c 2， a 2＋b 2＋2ab ＝2ab ＋c 2， ∴ a 2＋b 2＝c 2 . 由此得到勾股定理．
这正是美国第20任总统茄菲尔德证明勾股定理的方法． 四、课堂练习
仔细读题，一定要选择最佳答案哟！ 1. 下列说法正确的是（ ）
A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2
B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2
C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2
D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2
2. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）
A ．c b a =+ B.c b a >+ C.c b a <+ D.222c b a =+
c a
b a
c b b c b
a a
c
A ．斜边长为25
B ．三角形周长为25
C ．斜边长为5
D ．三角形面积为20 4．在Rt ABC ?中， 90=∠C ，
（1）如果a =3，b =4，则c = ； （2）如果a =6，b =8，则c = ； （3）如果a =5，b =12，则c = ； (4) 如果a =15，b =20，则c = . 5
．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25， S 2＝144，则另一个的面积S 3为________
．
五、课后综合
认真解答，一定要细心哟！
6．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c 2＝a 2＋b 2.
7．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m ，高3m ，长20m ，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.
8．下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:
学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC 的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”
同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”; 王华同
学说: “第三边长是7.” 还有一些同学也提出了不同的看法…… （1）假如你也在课堂上, 你的意见如何? 为什么?
（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)
9．蚂蚁沿图中的折线从A 点爬到D 点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
六、 拓广创新
试一试，你一定能成功哟！
10．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证
方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ′C ′D ′的位置，连接CC ′，设AB=a,BC=b,AC=c ，请利用四边形BCC ′D ′的面积验证勾股定理：a 2+b 2=c 2.
D ＇
B
C
D A C ＇
B ＇
a b c
18.1 勾股定理（2）
一、 学习目标
1、 运用勾股定理进行简单的计算。
2、 运用勾股定理解释生活中的实际问题。 二、 学习重点、难点
重点：勾股定理的简单计算。 难点：勾股定理的灵活运用。
三、预习内容
1．在直角三角形中，若已知任意两边，就可以运用勾股定理求出第三边．无直角时，可作垂线构造直角三角形.
2.勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用． 【例】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
分析：要求甲、乙两人的距离，就要确定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离．
解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，
走了12千米，即OA =12．
乙从上午9：00到上午10：00一共走了1
走了5千米，即OB =5． 在Rt △OAB 中，AB 2=122十52＝169，∴AB =13，
因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13 ∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．
答：上午10：00甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系． 四、课堂练习
仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是
（ ）
A. 4cm
B. 34cm
C. 6cm
D. 36cm 2．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )
A. 9分米
B. 15分米
C. 5分米
D. 8分米 4． 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开
仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 5. 在△ABC 中，∠C ＝90°，（1）已知 a ＝2.4，b ＝3.2，则c ＝ ；（2）已知c ＝17，b ＝15，则△ABC 面积等于 ；（3）已知∠A ＝45°，c ＝18，则
a ＝ . 6. 一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．
7. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，S △ABC ＝30cm 2，则AB ＝ . 8. 等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 .
9. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． 10．一天，小明买了一张底面是边长为260cm 的正方形，厚30cm 的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有242cm 高，宽100cm ．你认为小明能拿进屋吗？ ． 五、课后综合运用
认真解答，一定要细心哟！
11．如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？
12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已
知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?
13．有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m
第4题图
5m
13m
的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？
14．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得
超过70km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？
六、拓广创新 试一试，你一定能成功哟！
15．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在
无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.
观测点
A B C
18.1 勾股定理（3）
一、学习目标 勾股定理的应用。 二、学习重点、难点 重点：勾股定理的应用。
难点：实际问题向数学问题的转化。
三、预习内容
1．利用勾股定理可以画出长度是无理数的线段，也就可以在数轴上画出表示无理数的点．
2．领会和掌握数形结合的数学思想方法.
【例】右图是由36个边长为1的小正方形拼成的，连接小正方形中的点A 、B 、C 、D 、E 、F 得线段AB 、BC 、CD 、
DE 、EF 、FA ，请说出这些线段中长度是有理数的是哪些？长度是无理数的是哪些？并在数轴上作出表示1、2、
3、4、5的点.
解：如图，AB 2=AF 2+BF 2=22+12=5，
BC 2=32+42
=25，
CD 2=12+32=10，DE =3，
EF 2=ED 2+DF 2=32+42=25，FA =2.
∴BC 、DE 、EF 、FA 的长是有理数，AB 、CD 的长度是无理数. 在数轴上作出表示1、2、3、
4、5的点如右图所示. 四、课堂练习
仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
第1题图
第2题图
第4题图
_
A.a ＜b ＜c
B. c ＜a ＜b
C. c ＜b ＜a
D. b ＜a ＜c 3．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为 .
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2. 5．在△ABC 中，∠C =900,，BC =60cm,CA =80cm,一只蜗牛从C 点出发，以每分20cm 的速度沿CA -AB -BC 的路径再回到C 点，需要 分的时间.
6．第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且
OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中：
五、课后综合运用
认真解答，一定要细心哟！
7．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出1352===EF CD AB 、、这样的线段，并选择其中的一个说明这样画的道理.
8．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.
第6题图
9．已知长方体的长为2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，A 点爬到B 点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?
六、拓广创新
试一试，你一定能成功哟！ 10．已知：正方形的边长为1.（1）如图（a ），可以计算出正方形的对角线长为2.如图（b ）,求两个并排成的矩形的对角线的长.n 个呢？（2）若把（c ）（d ）两图拼成如下“L ”形，
过C
作直线交DE
于A ，交DF 于B .若DB =3
5
，求DA 的
长度
18.1勾股定理（4）
一、学习目标
1、掌握勾股定理的关键字：直角三角形、直角边的平方和等于斜边的平方
2、会应用勾股定理：在直角三角形中 ①已知两边求第三边；
②已知一边和一锐角（30°、60°、45°的特殊角），求其余边长； ③已知一边和另外两边的数量关系，用方程求解. 二、学习重点、难点
重点：勾股定理的综合运用。 难点：勾股定理的综合运用。
三、预习内容
一、举例引导
例：已知如图，求AB 的长
分析：通过做辅助线，建构直角三角形，把四边形的问题转化成直角三角形的问题，从而用勾股定理来解决线段问题 解：连接AC
在Rt △ADC 中
AC 2=AD 2＋DC 2=32＋22=13，
在Rt △ABC 中
AC 2=AB 2＋BC 2=AB 2＋12
∴ 13=AB 2＋12
即AB 2=13-1=12∴AB=
二、双基过关（ 仔细读题，一定要作出最佳答案哟！）
1、已知直角三角形的两边长分别是3和4, 则第三边长为 .
2、求出下列直角三角形中未知的边
3、△ABC 中,AB=10,AC=17，BC 边上的高线AD=8,则线段BC=_______________
4、已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°,CD= ,求线段AB
32
2
3
3
四、课堂练习
1、在△ABC 中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm ，求BC 的长.
变式1、在△ABC 中，∠B=120°，BC=4cm
变式2
、已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求△ABC 的面积.
2、已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°，AB=4，CD=2.求四边形ABCD 的面积.
C
B
A
C
D
五、课后综合运用
AD 折叠，使它落在斜边AB 上如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线，且与AE 重合，求CD 的长.
变式、已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求△ABC 的面积.
六、拓广创新
一、试一试，你一定能成功哟！
已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°，AB=4，CD=2.求四边形ABCD 的面积.
C
C
D
B
D
C
B
18.2 勾股定理的逆定理（1）
一、 学习目标
掌握勾股定理的逆定理及简单应用。 二、 学习重点、难点
重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。 难点：理解勾股定理的逆定理的证明。
三、预习内容
1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．
2. 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.
3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.
4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.
【例】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.
分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC ，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD 是直角三角形.
解：连接AC ，在Rt △ABC 中，
AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5.
在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋
122=169，
而 AB 2=132=169，
∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°．
故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =21
AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋2
1×5×12=6＋30=36. 四、课堂练习
仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）
A.4组
B.3组
C.2组
D.1组 2. 三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．不能确定
的( )
A.1倍
B. 2倍
C. 3倍
D. 4倍 4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补
B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等
D.如果a =b ,那么a 2=b 2
5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
7
24
25
207
15
2024
25
7
25
20
24
257
202415
(A)
(B)
(C)
(D)
A B C D
五、课后综合运用
二、认真解答，一定要细心哟！
6. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积.
7. 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
A D
A
D
A
D
C
B
1BC，F为8. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=
4 CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
六、拓广创新
三、试一试，你一定能成功哟！
9. 勾股数又称商高数，它有无数组，是有一定规律的.比如有一组求勾股数的式
子：a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2（其中m，n为正整数，且m＞n）.你能验证它吗？
利用这组式子，完成下表，通过表格，你会发现勾股数有哪些规律？请查阅有
关资料，相信你将有更多收获.
18.3 勾股定理的逆定理（2）
一、 学习目标
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 二、 学习重点、难点
重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题
。
三、预习内容
1．应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，建立数学模型．
2．体会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养转化、推理的能力. 【例】如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B .已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间
进入我国领海？
分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC 是什么类型的三角形？（2）走私艇C 进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C 最早会在什么时
间进入？这样问题就可迎刃而解.
解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC =900.
又AB 2+BC 2=52+122=169=132=AC 2， ∴△ABC 是直角三角形，∠ABC =900.
又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ， 则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE =288， ∴CE =
13144. 13144÷169
144
≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）. 9时50分+51分=10时41分.
答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.
四、课堂练习
仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )
A.7,24,25
B.321,421,521
C.3,4,5
D.4,721,82
1 2．在下列说法中是错误的（ ）
A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠
B ，则△AB
C 为直角三角形.
B ．在△AB
C 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形.
A M
E N C B
C ．在△ABC 中，若a ＝53
c ，b ＝5
4c ，则△ABC 为直角三角形.
D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形. 3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取
出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ） A ．2，4，8 B.4,8,10 C.6,8,10 D.8,10,12 4．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , . 5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 . 6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 . 五、课堂综合运用
四、认真解答，一定要细心哟！
7．如图，已知等腰△ABC 的底边BC =20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD =16cm ，BD =12cm ，求△ABC 的周长.
8．如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB =5km,BC =12km,AC =13km.要从B 修一条公路BD 直达AC .已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？
9．如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地
面上的C 处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB .
B
12 5
C 13
D A
六、课后拓广创新 五、试一试，你一定能成功哟！
10．如图，在△ABC 中，∠ACB =90o，AC =BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB =1，PC =2，
PA =3，求∠BPC 的度数．
单元测试题
（时间：100分钟 总分：120分）
一、相信你一定能选对！（每小题4分，共32分）
1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( ) A. 6 B. 4.5 C.
2.4 D. 8
2. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m 2 + n 2, m 2–n 2, 2mn （m ，n 均为正整数,m >n ）；
④2a ,12+a ,22
+a .其中能组成直角三角形的三边长的是
( )
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ③④
3. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A ．a :b :c=8∶16∶17 B ． a 2-b 2=c 2
C ．a 2=(b +c )(b -c )
D ． a :b :c =13∶5∶12
4. 三角形的三边长为
ab c b a 2)(2
2+=+,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 锐角三角形. 5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A ．5
B ．25
C ．7
D ．5或7
6．已知Rt △ABC 中，∠C =90°，若a +b =14cm ，c =10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）
A. 24cm 2
B. 36cm 2
C. 48cm 2
D. 60cm 2
7．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长
为（ ） A ．121
B ．120
C ．90
D ．不能确定
8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）
A ．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定 二、你能填得又快又对吗？（每小题4分，共32分）
9. 在△ABC 中，∠C =90°， AB ＝5，则2
AB +2AC +2
BC =_______．
10. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ．
11．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 12．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．
第10题图
第13题图
第14题图
第15题图
之前有米.
14．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为．
15．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B’，那么BB’的值：①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．
16.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 .
三、认真解答，一定要细心哟！（共72分）
17．（5分）右图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．
18．（6分）已知a、b、c是三角形的三边长，a＝2n2＋2n，b＝2n＋1，c＝2n2＋2n ＋1（n为大于1的自然数）,试说明△ABC为直角三角形.
19．（6分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？
第17章《勾股定理》单元备课
第十七章勾股定理单元备课 一、教材分析： 新版教材在原有教材的基础上进行了修订，“勾股定理”为独立的一章，其主要内容包括勾股定理（直角三角形三边的关系）；勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）；勾股定理及逆定理的应用。 本章所研究的勾股定理，是直角三角形的一条非常重要的性质，它也是几何学中重要的定理之一。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。通过探索勾股定理的活动，体验由特殊到一般的探索数学问题的方法，尝试用数形结合来解决数学问题的思想。 1.本章的主要内容 （1）勾股定理（直角三角形的三边关系） （2）勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法之一） （3）勾股定理及勾股定理逆定理的应用。 2.重点与难点 本章内容的重点是勾股定理及勾股定理逆定理的应用。勾股定理是解几何题中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一。本章的难点是勾股定理的证明。课本通过构造图形，利用面积相等来证明的，证明思路的获得学生感到困难，这涉及到了解决几何问题的方法之一：割补法。 二、教学目标：
（1）理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边。 （2）能验证勾股定理。 （3）会运用勾股定理的逆定理，判定直角三角形。 （4）通过介绍古今中外对勾股定理的研究，激发学生的爱国热情。 （5）能运用勾股定理及勾股定理的逆定理解决简单的实际问题。 三、教学中应注意的问题： 1.让学生获得更多与勾股定理有关的知识背景，注重介绍数学文化。 2.让学生体验勾股定理的探索和运用过程。 3.注意引导学生体会数形结合的思想方法，培养应用意识。 4.适当总结与定理、逆定理有关的内容 四、课时安排： 17.1勾股定理4课时 17.2 勾股定理的逆定理3课时 小结与复习1课时第十八章单元测试2课时
勾股定理全章分类练习题及答案
勾股定理 测试1 勾股定理(一) 学习要求 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 课堂学习检测 一、填空题 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______． 3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．
4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 二、选择题 6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )． (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 2 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )． (A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2(D)无法计算 三、解答题
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别 为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c． 综合、运用、诊断 一、选择题 10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．
(完整版)新人教版初二数学下册第十七章勾股定理知识点总结
勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。，那么这个三角形是直角三角形。 a . 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 b .若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c .定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222 a c b +=，那么以a ，b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时， 称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质 （1）、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° （2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 （3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式
最新人教版初二下册数学第十七章《勾股定理》导学案
探索勾股定理-（1） （第1课时）学生姓名： 学习目标：会探索勾股定理，会初步利用勾股定理解决实际问题。 重难点：会用勾股定理求直角三角形的边长 学习过程： 一、课前预习： 1、三角形按角的大小可分为：、、。 2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。 3、直角三角形的两个锐角；直角三角形中最长边是。 4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。 二、自主探究： 探究一：探索直角三角形三边的特殊关系： （1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表； （2）猜想：直角三角形的三边关系为。https://www.wendangku.net/doc/124393031.html, 探究二：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？
思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。 勾股定理： 直角三角形 等于 ； 几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， 则： ； 若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 。 三、课堂练习： 1、求下图中字母所代表的正方形的面积 12米处。旗4、如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90°， AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是多少？ 四、课后反思 第4题 B C A
探索勾股定理-（2） （第2课时）学生姓名： 学习目标：掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。能运用勾股定理解决一些实际问题。 重难点：勾股定理的应用。 学习过程： 一、知识回顾： 1、直角三角形的勾股定理： 2、求下列直角三角形的未知边的长 二、自主探究：利用拼图验证勾股定理 活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。 2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。 3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？ 分析：大正方形的面积＝ 边长的平方 ＝小正方形的面积＋ 个直角三角形的面积 得： ( ＋ )2＝ 2＋ ×1 2ab . 化简可得： 活动二：用四个全等的直角三角形拼出图2验证勾股定理。 用四个相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的正方形． 图2 分析：大正方形的面积＝边长的平方= ＋4个直角三角形的面积 得 2＝( － )2＋4×1 2 ab . 化简可得： 12 B A C
勾股定理全章复习学案
勾股定理全章复习 主备人: 审核人：初二数学组 课型:新授 学习目标：复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角 三角形. 学习重点：勾股定理及其逆定理的应用。 学习难点：利用定理解决实际问题。 学习过程 一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边 1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，ο 90=∠C ，则 。 公式变形①：若知道a ，b ，则=c ； 公式变形②：若知道a ，c ，则=b ； 公式变形③：若知道b ，c ，则=a ； 例1：求图中的直角三角形中未知边的长度： =b ，=c . (1)在Rt ABC ?中，若ο 90=∠C ，4=a ，=b 3，则=c . (2)在Rt ABC ?中，若o B 90=∠，9=a ，41=b ，则=c . (3)在Rt AB C ?中，若ο 90=∠A ，7=a ，5=b ，则=c . 二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。 例2：在数轴上画出表示5的点. 在数轴上作出表示10的点． 三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。 例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。 1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A ．12，15，17 B ．9，16，25 C ．5a ，12a ，13a （a>0） D ．2，3，4 2、判断由下列各组线段a ，b ，c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由. （1）5.6=a ，5.7=b ，4=c ； （2）11=a ，60=b ，61=c ； 9 15 b 24 c
第17章 勾股定理知识点及典型
第17章 勾股定理知识点及典型 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体
第17章勾股定理导学案17.2勾股定理的逆定理第5课时
勾股定理的逆定理（第5课时） 【 学习目标】：1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 【学习重点】：掌握勾股定理的逆定理及证明。 【学习难点】：勾股定理的逆定理的证明 【学习过程】 一、温故知新1、如何判定一个三角形是直角三角形？ 二、自学探究 1、在练习本上用尺规画以线段a ，b ， c . 为边的三角形，并判断分别以上述a 、b 、c 为边的三角形的形状. ⑴ a =3，b =4 c =5 ⑵ a ＝2.5，b ＝6，c ＝6.5， ⑶ a =4， b =7.5 , c =8.5 2、猜想：如果三角形的三边长a 、b 、c ，满足222c b a =+，那么这个三角形是 三角形 猜想的题设是： __________ 猜想的结论是： ____________________________________ 该猜想的题设和结论与勾股定理的题设和结论正好 . 3、如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做 命题，若把其中一个叫做原命题．．．，那么另一个叫做它的 命题.譬如： ①原命题：若a ＝b ,则a 2＝b 2；逆命题： .（正确吗？答 ） ②原命题：对顶角相等；逆命题： . （正确吗？答 ） 由此可见：原命题正确，它的逆命可能 也可能 . 正确的命题叫真命题．．．，不正确的命题叫假命题．．． 4、验证猜想 已知：△ABC 中，BC 2＋AC 2＝AB 2 ； 求证：∠C ＝90°. 证明：作Rt △A ′B ′C ′,使∠C ′＝90°， B ′ C ′＝BC ＝a , A ′C ′＝AC ＝b . 通过证明，我发现勾股定理的逆命题是 的，它也是一个 ，我们把它叫做勾股定理的 . 三、回顾与归纳 1、勾股定理是直角三角形的 定理；勾股定理的逆定理是直角三角形的 定理. 2、已知三角形的三边长，判断该三角形是不是直角三角形的步骤是： ①先算两条短边的 再算最长边的 ；把 作比较；作出 . ②勾股数:我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）是一组勾股数吗？一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）是一组勾股数吗？ 比一比看谁能说出的勾股数多？
第18章勾股定理全章学案
勾股定理（第一课时） 执笔：陈家菊 一．温故知新 1.直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角 ；（2）直角三角形斜边上的中线等于 ；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于 。 2.分别求出下式中的x 的值：①x 2=5 ②(x -2)2=5 ③2(2x -1)2=9 二．学习新知 1.完成P 65的探究，猜想得出的结论： 。 2.分别用下面的图形证明上述结论（方法：面积法） b a b c a a c b a c b a a b c b c a b c c b a D C B A 4.在上面第4个图中画出剪裁线，拼成能证明勾股定理的图形，你能拼出几种？ 5．完成P 68--2，并对答案，由小组长给予评价。 三．释疑提高 求正方形B 的边长 625 400 求正方形A 的面积 14425 A B 3.在Rt △ABC 中，有两边长为5，12，求第三边长及斜边上的高线的长度。 4、在Rt △ABC 中，∠C =90°（1）已知a :b =1:2,c =5,求a .（2）已知b =6, ∠A =30°, 求a ,c . 四．小结归纳： 五．巩固检测： 1.课本P 70,4、5、8 2.作业精编 P 32 、33 3.课堂作业P 27、28 勾股定理（第二课时） 执笔：陈家菊 一．温故知新 1.勾股定理的内容： 2、几组常用的勾股数为： 3、实数包括 和 ，数轴上的点与实数是 的关系。 二．学习新知 1.完成P 66的探究1，门框的对角线AC 是斜着能通过的最大长度，只要AC （大于或小于）木板的长或宽中较短的一边，木板 （能或不能）从门框内通过。 2.完成P 67的探究2，在Rt △ABO 中,已知 ，可求 ，在Rt △ODC 中，已知 ，可求 。 3.完成P 68的练习1，组长检查并做出评价。 4. 完成P 68的探究3，在数轴上找无理数的位置，先要确定这个无理数是直角边分别为哪两个正整数的直角三角形的 ，再用尺规在数轴上找到它的位置。 5. 完成P 69的练习1。 三．释疑提高 1.有一根70cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm ,40cm ,30cm 的木箱中，能否放进去？ 2.将一个长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是hcm ,求h 的范围。 3.小明拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖着来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，竹竿的两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？ 4.一圆柱底面周长为6cm ,高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，求爬行的最短距离。
人教版第17章《勾股定理》单元测试(含答案)
第十七章 勾股定理单元测试 （题数： 20 道 测试时间： 45 分钟 总分： 100 分） 班级： _______ 姓名： ________ 得分： ________ 、单选题（每小题 3分，共 24 分） 1．在△ ABC 中， AB= 2 ，BC= 5，AC= 3，则（ ） A. ∠ A=90 B. ∠ B=90 C. ∠ C=90 D. ∠ A=∠B 5．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为 13cm ，则图中所有的正方形的面积之和为（ ） A. 169 cm 2 B. 196 cm 2 C. 338cm 2 D. 507 cm 2 6．如图，一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱表面爬到 B 点，那么它所爬行的 最短路线的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 7 ．在直角三角形中，有两边分别为 3 和 4 ，则第三边是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 5 或 7 8．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以 该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S 2， ? ，按照此规律继续 下去，则 S 9 的值为（ ） 2．如图，在 Rt △ABC 中，∠ B ＝ 90°， BC ＝15， AC ＝17，以 AB 为直径作半圆，则此半圆的 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．已知 VABC 中， A 1 B 1 C ，则它的三条边之比为（ 23 A. 1:1: 2 C. 1: 2: 3 D. 1:4:1
第十七章17.1勾股定理
17. 1勾股定理（一） 、学习目标 1?了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2 .培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3 ?介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 、教学重难点 1?重点：勾股定理的内容及证明。 2 ?难点：勾股定理的证明。 三、评价任务 1?例1 （补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性； 2?通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 3?例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、教学过程 导入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定 理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ ABC,用刻度尺量出AB的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ ABC,用刻度尺量AB的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即有勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗? 32+42=52, 52+122=132,那么就 D C
第十七章勾股定理复习导学案
第十七章：《勾股定理》复习学案 一、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边为，那么。 直角三角形 b c a2+b2=c2 (数) （形） a a 变形为：a= ；b= 。 1、设直角三角形的斜边为c，两直角边为a和b，求： （1）已知a=6，b=8，则c= ; (2) 已知a=3，c=8，则b= ; (3)已知b=4，c=8，则a= ; 二、勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是．2（1）已知三条线段长分别是8，15，17，那么这三条线段能围成一个（） A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定 （2）下列各组数不是股数的是（） A、5、12、13 B、3、4、5 C、8、6、17 D、15、20、25 三、勾股定理与正方形面积 3、已知图中所有四边形都是正方形，且A与C、B与D所成的角都是直角，其最大正方形的边长为5，则A，B，C，D四个小正方形的面积之和为 4、是一株美丽勾股树，其四边形正方形，．若正方形A，B，C，D边长分别
是3，5，2，3，则最大正方形E 面积是 5、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如上图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______． 四、木板能否通过门框 6，如图，长4m ，宽3m 薄木板 （能或不能）从门内通过． 7、门高2米，宽1米，现有为3米，宽为2.2米薄木板能否从门框内通过？为什么？ 五、梯子移动问题 8、一个5米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时OB=3米，如果底端B 沿直线OB 向右滑动1米到点D ，同时顶端A 沿直线向下滑动到点C （如图所示）．求AC ． 9、如图，一个2.5米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时梯子顶端A 距离墙角O 的高度为2米． ①求底端B 距墙角O 多少米？ ②如果顶端A 沿角下滑0.5米至C ，底端也滑动0.5米吗？ l 3 2 1 S 4 S 3 S 2 S 1
勾股定理全章练习题含答案
勾股定理 课堂学习检测 一、填空题 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______． 3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______． 4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 二、选择题 6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算 7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )． 2 (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )． (A)150cm2 (B)200cm2
(C)225cm2(D)无法计算 三、解答题 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c． 综合、运用、诊断 一、选择题 10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )． (A)1个(B)2个 (C)3个(D)4个 二、填空题 11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______． 12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______． 三、解答题 13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC 的长．
人教版八年级下册数学第十七章勾股定理导学案(最新整理)
《17.1勾股定理》导学案（1） 【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。学习重点：勾股定理的内容及证明。学习难点：勾股定理的证明。学习过程 一、自学导航（课前预习）1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （ 2）若 D 为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、勾股定理证明：方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S 正方形＝_______________＝____________________ 方法二； 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边为a 、b 、c 。求证：a 2＋b 2=c 2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边S=______________ 右边S=_______________左边和右边面积相等， 即： 化简可得 。 二、合作交流（小组互助）思考： A b
（图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ 由此我们可以得出什么结论？可猜想： 如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么__________________ _____________________________________________________________________。 （3）展示提升（质疑点拨） 1.在Rt △ABC 中， ，90C ∠=?（1）如果a=3，b=4，则c=________；（2）如果a=6，b=8，则c=________； （3）如果a=5，b=12，则c=________； (4) 如果a=15，b=20，则c=________.2、下列说法正确的是（ ） A.若、、是△ABC 的三边，则a b c 222 a b c +=B.若、、是Rt △ABC 的三边，则a b c 222 a b c +=C.若、、是Rt △ABC 的三边，， 则a b c 90A ∠=?2 a +D.若、、是Rt △ABC 的三边， ，则a b c 90C ∠=?2a +3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为204、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________． 5、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为 。 三、本节课我们学习了哪些知识？用了哪些方法？ 四、达标检测 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则
最新人教版八年级数学第17章勾股定理教案
第十七章勾股定理教案 课题：17.1勾股定理（1） 课型：新授课 【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股 定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 【学习重点】：勾股定理的内容及证明。 【学习难点】：勾股定理的证明。 【学习过程】 一、课前预习 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （2 ）若D 为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、（1）、同学们画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用 刻度尺量出AB 的长。 （2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长 问题：你是否发现2 3+2 4与25，2 5+2 12和213的关系，即2 3+2 4 25，2 5+2 12 2 13， 二、自主学习 思考： （图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ （3）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？ （4）你能发现课本图1－3中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？ （5）如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。 由此我们可以得出什么结论？可猜想： 命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么__________________ _____________________________________________________________________。 A B
第17章勾股定理导学案17.1勾股定理第1课时
C B A 勾股定理第1课时 【学习目标】1、能用在方格纸上计算面积的方法探索勾股定理。 2、通过用拼图的方法验证勾股定理，经历观察、猜想、归纳和验证的数学发现过程获得数学知识，发展数形结合的数学思想。 3、能对勾股定理和它的变形简单应用。 【学习重点】勾股定理的探索和证明 【学习难点】勾股定理的证明 预 习 案 知识链接 我们学过的直角三角形有哪些性质？（每个同学自制4个大小完全一样的直角三角形） 边： 角： 探 究 案 探究一：直角三角形的三边关系 1、如图，在正方形瓷砖拼成的地面中，观察图中用阴影画出的三个正方形，两个小正方形P 、 Q 的面积与大正方形R 的面积有什么关系？ 用图中的线段表示为： 即：在等腰直角三角形中，三边的长度之间存在关系： 。 2、如图，每一小方格表示1平方厘米，那么： 正方形P 的面积＝ 平方厘米； 正方形Q 的面积＝ 平方厘米； 正方形R 的面积＝ 平方厘米． 我们发现，正方形P 、 Q 、 R 的面积之间的关系是： ． 用图中的线段表示为： （每一小方格表示1平方厘米） 即：在一般直角三角形中，三边的长度之间存在关系： 。 由此，对于任意的直角三角形，若它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，则一定有： 勾股定理：直角三角形 的平方和等于 的平方。 探究二：勾股定理的证明 每个同学拿出自制的4个直角三角形拼图，能否拼出下列图形。（利用面积证明勾股定理） 如左图，∵ S 大正方形= ，S 小正方形= ， S 三角形= ，又∵S 大正方形-S 小正方形= ∴ ∴ 即： 勾股定理符号语言： ∵在ABC Rt ?中，090=∠C ∴ （勾股定理） 探究三：勾股定理的简单变形 对于勾股定理：2 2 2 c b a =+，可以有哪些变形？ 训 练 案 1.在?Rt ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为c b a ，，，∠C ＝90°.回答下列问题： ①若43 ==b a ，，则c ＝ ②若817==a c ，，则b ＝ ； ③若1312==c b ，，则a ＝ .（提示：根据题意先画出草图辅助分析。） 2．如图是美国总统Garfield 于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形） 3．如图所示，AC ＝10，BC ＝17，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝8，求△ABC 的面积． 4．设a ，b ，c ，d 都是正数．求证： + ＞
勾股定理全章复习教学设计
勾股定理全章复习 一、复习要求： 1．体验勾股定理的探索过程；已知直角三角形的两边长，会求第三边长。 2．会用勾股定理知识解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定直角三角形。 3．会用勾股定理解决有关的实际问题。 二、知识网络： 二、知识梳理： 1、勾股定理 (1)重视勾股定理的三种叙述形式： ①在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形(《几何原本》)． ②直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积． ③直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和． 从这三种提法的意义来看，勾股定理有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。 (2)定理的作用： ①已知直角三角形的两边，求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。 ③作长为的线段。 勾股定理揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。利用勾股定理探究长度为 ，，……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示、相互交融，加深对无理数概念的直观认识。 (3)勾股定理的证明： 经典证法有：①欧几里得证法②赵爽《勾股圆方图注》证法③刘徽《青朱出入图》证法④美国总统加菲的证明⑤印度婆什迦罗的证明⑥面积法证明；除此之外，还有文字证明、拼图证明和动态证明。 (4)勾股定理的应用： 勾股定理只适用于直角三角形，首先分清直角及其所对的斜边。当已知中没有直角时，可作辅助线，构造直角三角形后，再运用勾股定理解决问题。求线段的长度，常常综合运用勾股定理和直角三角形的其它性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质来解决。 2、勾股定理的逆定理 (1)勾股定理的逆定理的证明方法，也是学生不熟悉的，引导学生用所学过的全等三角形的知识，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明的目的。 (2)逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
人教初中数学第十七章勾股定理知识点
人教版初中数学第十七章勾股定理知识点
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第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 17.2 勾股定理的逆定理 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形. 3、互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数 常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等 b a c b a c c a b c a b c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A
初二数学勾股定理全章复习与巩固
勾股定理全章复习与巩固 学习目标 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 知识网络 要点梳理 要点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段 要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立. （例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 典型例题 类型一、勾股定理及逆定理的简单应用 1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长． 【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长． 2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：
第十七章勾股定理
第十七章勾股定理 一、选择题（共18小题；共90分） 1. 若直角三角形的三边长分别为，，，则的可能值有 ( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 三角形的三边长，，满足，则此三角形是 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 已知的三边长分别为，，，则的面积为 ( ) A. B. C. D. 不能确定 4. 设，是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为，斜边长为，则的值是 ( ) A. B. C. D. 5. 下列各组数中是勾股数的是 ( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如果将长为，宽为的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是 ( ) A. B. C. D. 7. 中，，，高，则的长为 ( ) A. B. C. 或 D. 以上都不对 8. 三角形的三边长分别为（是自然数），这样的三角形是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形或直角三角形 9. 下列各组正数为边长，能组成直角三角形的是 ( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点 落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为 A. B. C. D. 11. 已知，，是的三边长，且满足，则的形状 是 ( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
12. 如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线 顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是 A. B. C. D. 13. 如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点，， 连接，则的长为 A. B. C. D. 14. 如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格 点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 15. 2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》， 它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示)，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的短直角边为，较长直角边为，那么的值为 A. B. C. D. 16. 小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走米，小丽走直线用了分钟，小芳先 去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了分钟，从家到图书馆用了分钟，则以公园、图书馆和小芳家这三个地方为顶点所组成三角形为 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 17. 已知的三边为、、，且，，，则是 ( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形