以三中线长为三边的三角形面积与原三角形的面积关系

三角形重心的教與學/南門國中曾明德/91.02.18

從一道81年的北聯考題說起

79～83北聯試題，作為上課複習之用。

說明1：79～83北聯資料是陳昭地教授的大四數學評量課程所給的。

說明2：家教學生→女（陳、住永和，念北市中正國中，數學學習意願及成績低落。因曾上過英語才藝班的影響，使其對自己的英語能力頗具信心與興趣。）

（81年北聯考題，計算題、已畫好輔助線、有三小題。）

如圖，設G表△ABC的重心，AD＝9，BE＝15，CF＝12，若延長中線AD至K使DK＝GD；

（1）△GBK的三邊長GB＝，BK＝，KG＝。

（2）求AB＝？

（3）求△ABC的面積＝？

C

K

說明1：家教學生→女（王、私立延平、數學程度中上）。

說明2：徵得學生同意後，指派其每日自行練習＜教育出版社的數學示範教材＞約10題。

（教育出版社的數學示範教材P.168，2001年7月，選擇題、沒有輔助線）

如圖，設G表△ABC的重心，AD＝9，BE＝15，CF＝12，求△ABC的面積＝？

（A）60

（B）72

（C）96

C

重點是：我是如何想到的呢？

雖然以前整理過（85年，舊經驗），但是我已經忘記了。（可見學數學及教數學都有進步空間）本題在被改為單題（選擇題）、沒有給輔助線的情況下，難度比81年北聯難！這種因應學力測驗只考選擇題，而修改以前課程下（74年版教輔助線、幾何推理）的聯招考題的作法，不失為找好題目的方法。但是以本題而言，修改的方式必須更慎重！

（我所修改）

如圖，設G表△ABC的重心，AD＝9，BE＝15，CF＝12，若延長中線AD至K使DK＝GD；

求△ABC的面積＝？

（A）60

（B）72

（C）96

（D）120

C

K

83年版）

我所關注的問題是：如何向學生說明「三角形的三中線會交於一點嗎？」首先我必須先說服自己。備課時，仔細看了83年版的呈現方式（生活經驗、實驗、使用到相似形做幾何推理），但印象中74年版是完全採用幾何推理證明，而且不是使用相似形做幾何推理。在深怕對不起〝歐幾里得〞的幾何邏輯體系以及使命感的驅使之下，遂仔細看了74年版（輔助線、幾何推理）和83年版（實驗、相似形），並且做了一番比較。 但我並不準備按照74年版或83年版的方式呈現。後來幾經考量下，決定提出一個中心問題－「三角形的第三條中線會通過前兩條的交點嗎？」

我覺得這個方式（教師布題→學生解題）似乎能兼顧兩者。一為：九年一貫課程的課程目標中所提到的「數學學習活動應讓所有的學生都能積極參與討論，激盪各種想法，激發創造力，明確表達想法，強化合理判斷的思維與理性溝通的能力，期在社會互動的過程中建立數學知識。」但是既要討論，最好事先能擬出討論的大綱；二為：因為是開放性的問法，學生必須提出能〝說服〞大家的觀點，整個過程對〝歐幾里得〞比較有交待。這一段經驗，令我對於數學的教與學信心大增。

（教室內三角形的重心教學活動大綱）

一、請找出△ABC 中，AC 的中點E ，

AB 的中點F 。

（方法不限制，進行銳角△，直角△、鈍角△視課堂時間，不要給等腰△）

C

B

C

C

B

二、觀察下面的圖形，有何結論？

C

B

量一量

EF＝

BC＝

（虛線為折痕）C

B

三、如圖，BE 、CF 稱為△ABC 的中線（頂點與對邊中點連線）。

設BE 、CF 相交於G 。

（1）請找出第三條中線：先找出BC 的中點D ，再連接AD

C B

（2）請問：第三條中線AD 會通過G 點嗎？

絬AD C

G 。（暫不給中文名字）

（3

VS.數學實驗）

首先，BE、CF必定會相交於一點。（假設為G點，但不確定第三條中線是否會通過G。）想一想，接下來該怎麼辦？

B C

我們採取下面的策略：

連接AG並延長，設交BC於P（但不確定P是否為BC中點。）

絬AG

C

接下來，只要想辦法證明：BP＝CP即可。（why？）

1.以後找三中線交點（G），只要畫兩條中線就夠了。（反正第三條必過前兩條交點）

2.G到頂點的距離＝G到對邊中點距離×2

四、來幫三中線交點G 取個中文名字（配合83年版課本第五冊§3-3活動三）

C

B

（1）檢查會不會是外心呢？（外接圓的圓心）

C

（2）檢查會不會是內心呢？（內切圓的圓心）

C

B

五、進行重心性質的簡單計算（含面積問題）

於是當王問我這道題時，我嘗試補上輔助線，試試後，發現：6，8，10→直角三角形。（Aha ！Insight ）。但是，若數字是一般的該怎麼解呢？（並未和王討論下去，也就是說，已知三角形的三中線長，求原三角形的面積？有解嗎？）

拿到清揚（大學同學，目前為師大研究生）幫我印的proofs without words 。大概翻看了與國中相關的題材。其中proofs without wordsII －P.16。因為有提到中線，所以仔細研究了圖形。心想也許可用來說明三中線為何會交一點？或是2：1（重心的性質）的另一種方法，許久覺得似乎不像。但我意識到它是一題與中線有關的結論。不過用來表達三角形的符號有些怪異，所以並未仔細推敲結論。而僅有的說明又是英文的。只是心裡有些不好意思，這麼精簡的圖（如下），我竟然無法體會！最後感性戰勝了理性，我休息去了。

（The Triangle of Medians Has Three-Fourths

the Area of the Original Triangle ）

c

a

b

m a

m b

m c

m c

m b

m a

area （△m a m b m c ）＝4

3

area （△abc ）

-----Norbert Hungerbühler

當蔡老師問我這道題時＜教育出版社的數學示範教材＞，心想真是幸運。這不是幾週前王才問過我的題目嗎！好險有花時間把這道題解出，否則就〝漏氣了〞。（其實解不出來，也沒有什麼大不了！）當場解了三中線長是9，12，15的狀況。但是蔡老師畢竟是〝老師〞，他自然會追問「若三中線長是別的情形，怎麼解呢？」慘了，穿幫了。只好先說：「我相信可以解，因為印象中好像有算過。」

proofs without wordsII－P.16的圖形來欣賞，於是事先把該題細看。首先我把符號弄明白了，我原以為作者將「△ABC」，其中A、B、C代表的三點，寫成「△abc」，只是大小寫的習慣不同，原來作者在這一題是使用三邊長來表示一個三角形。即「△abc」代表以a、b、c為三邊長的三角形，而「△m a m b m c」代表以三中線長m a、m b、m c為三邊長的三角形，所以圖形所要表達的是△abc與△m a m b m c的面積關係。Aha！Insight！表示「已知三角形的三中線長，求原三角形的面積」有解，因為事實就擺在眼前。（proof without words）

當天的研習並非是要實際做教材的製作，主要是介紹硬體設備的操作。不過至少我已經找到〝參考答案〞了，雖然我還沒有完全〝悟〞出來圖形與結論之間的關聯。

gsp把圖形畫出來。其中下面的第三個圖就是我的心得。（I got it！）

（以三中線長為三邊的三角形面積與原三角形的面積關係）

B C

H

H

問題一：如圖，設G表△ABC的重心，AD＝9，BE＝15，CF＝12，求△ABC的面積＝？

C

（因上課曾經使用過補助線，所以很快有人想出來。或者類似的輔助線）

C

問題二：若三中線長是別的情形，怎麼解呢？ 例1：AD ＝18，BE ＝15，CF ＝12

（△GBK 不再是直角三角形，你所做的輔助線仍然有效嗎？本以為無效，但是這一群同學畢竟有些本事，他們說可以，只是說得不太清楚。於是我也認真地思考，關鍵在於△GBK 不再是直角三角形的時候，它的面積仍然求得出來嗎？）

例2：AD ＝m a ，BE ＝m b ，CF ＝m c ，按照上面的作法，可得到 △GBK 的三邊長 GB ＝32m b ，BK ＝32m c ，KG ＝3

2m a

結論（1）△GBK ＝3

1

△ABC （why ？）。再根據Heron 公式，可以求出△GBK 的面積。

【註】前些日子曾與這些同學討論過Heron 公式。△＝()()()c s b s a s s ---，2

c

b a s ++=

。

結論（2）那麼以三中線長m a 、m b 、m c 為三邊長的三角形「△m a m b m c 」和「△GBK 」不就相

似了嗎！（SSS 相似，這個結論實在太漂亮了。）

△m a m b m c ＝49△GBK （why ？），又△GBK ＝31

△ABC

所以 △m a m b m c ＝49× △GBK ＝49 ×31△ABC ＝4

3

△ABC

問題三：從下面的圖形，可觀察出什麼結論？（想給學生欣賞一下）

B

C

H

H

問題五：三中線可以形成一個三角形嗎？

1.國中選修數學第五冊第二章第三節（74年課程標準），國立編譯館，民國82年8月。

2.國中數學第五冊第三章第三節重心部分（83年課程標準），國立編譯館，民國89年8月。

3.國中數學第四冊第四章第二節習題第二題（83年課程標準），國立編譯館，民國89年1

月。

4.曹博盛等，國中數學及自然科學生活化實驗設計學習模組的研究開發與推廣計劃，數學科

單元七「心心相印」5-3重心部分，台灣師大科教中心，民國88年6月。

5.林壽福（興雅國中），怎樣教重心，自編教材，民國88年11月。

6.左台益，＜動態幾何實驗設計＞，資料來源：2001年華彩公司辦的研習手冊。

7.國中中小學九年一貫課程暫行綱要＜數學學習領域＞，教育部，民國90年1月。

§數學學習領域課程目標：「……數學學習活動應讓所有的學生都能積極參與討論，激盪各種想法，激發創造力，明確表達想法，強化合理判斷的思維與理性溝通的能力，其在社會互動的過程中建立數學知識……」

§能透過活動發現三角形重心的存在。（與S-3-10配合）

§經由實驗發現三角形兩邊中點連線平行第三邊且其長度為第三邊之一半。

（與S-3-10配合）

§能根據給定的性質做局部推理（與S-4-1配合）

§連結：察覺、轉化、解題、溝通、評析。

8.發現科學，了解人體＜肢體平衡＞，遠哲發現月刊第44期，民國89年4月。

9.大美百科全書，第六冊P.11，＜CENTER OF GRA VITY 重心＞，光復書局，民國83年4

月。

10.數學示範教材P.168，教育出版社，2001年7月。

11.81年北聯試題，計算題第五題。（74年課程標準）

12.89北聯試題，選擇題第7題。（83年課程標準、最後一次聯招）

13.proofs without wordsII－P.16（影印本），MAA，西元2000年。

最全面的三角形面积公式

最全面的三角形面积公式 一提到三角形面积公式，大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ，则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上，三角形面积公式太多啦，上面得公式是最基本的公式，根据条件不同，三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ，内切圆半径为r ，则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ，外接圆半径为R ，则三角形面积4L S R = ④已知三角形AOB 中，向量 OA a =uu r r ，OB b =u u u r r ，则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三顶点坐标分别为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 33C(,)x y , 则三角形面积1 1223 31 1121 x y S x y x y = 的绝对值1223311321321 2 x y x y x y x y x y x y =++---。

特别地，当(0,0)C ，或经过平移后(0,0)C ，此时，三角形面积12211 2S x y x y =-。 ⑥海伦（Heran ）公式，已知△ABC 中，1 ,,,()2 AB c BC a CA b p a b c ====++，则 三角形面积S 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式，即秦九韶公式，也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角，则三角形面积公式为 111 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B = == ⑧已知三角形两角及夹边，则三角形面积公式为 222sin sin sin sin sin sin 2sin()2sin()2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C === +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ，则三角形面积公式为 2sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值

《三角形的三边关系》观课教学反思

《三角形的三边关系》观课教学反思 《三角形的三边关系》观课教学反思 《三角形的三边关系》观课教学反思（原创2016.10.20） 我观看了许超老师的《三角形的三边关系》一课，选择了“教师语言”的维度进行了观课，具体观课情况如下： 一、观课维度说明 在课堂教学过程中，数学知识的讲授、学生掌握知识的情况，师生之间间的情感交流等，都通过良好的数学语言来反馈。正是在此观念指导下，我通过教师的语言这一维度进行了观课。 二、观课分析 1.总体评价 《三角形的三边关系》是人教版四年级下册第五单元的内容。教学主要让学生动手操作，想像猜测，使学生知道三角形中任意两边之和大于第三边。总体来说，教师首先通过创设具体的生活情境入手，让学生任选两个地点来选择合适路线来猜测哪一条路线最近；然后教师通过小组活动让学生通过画一画、摆一摆、的方法进行了探究活动，从而得出结论：三角形中任意两边之和大于第三边；最后通过各种形式的练习进行了巩固拓展提升。在整个教学过程中，许老师通过顺畅的过渡语、富有表现力的体态语、真实自然的评价语，在知识的传递、学生学习效果等方面较好地完成了本节课预定的教学目标。 2.主要优点

（1）教学语言自然、简洁，富有指向性。在课始，教师直奔主题，“大家知道，许多数学问题都来源于生活，今天我们就到生活中寻找三角形的三边关系。”这样朴实、真实、自然的过渡语直接为下面的问题做好了铺垫。接着教师通过一个指向性的问题引发学生的思考，比如“小明要从家到学校，可以怎么走？”让学生初步感知生活中的三条路线就是数学中的三角形的三条边，从而激发学生的探究学习的好奇心和欲望。 （2）教学语言富有启发性，引领学生对问题进行深入思考。在学生自主探究过程中，教师通过富有启发性的语言巧妙进行设疑。比如“为什么同样是三段小棒，有的能围成一个三角形，有的不能围成一个三角形呢？”一石激起千层浪，学生的思维瞬间活跃起来。学生通过经历围的过程直观的发现：当两根小棒长度之和小于或等于第三根小棒时，不能摆成一个三角形；只有大于第三根小棒时，才能摆成一个三角形。从而得出三角形两边之和大于第三边的结论。此时，教师看似一句平淡的.提问“这样的归纳全面吗？”使学生敏锐地意识到结论的不严谨性。接着教师借助体态语言，在黑板上写出实验过程中的一种情形让学生用不等式表示，学生立即顿悟问题出在了“任意三角形”上面，从而对三角形三边关系的特征有了更进一步的认识和理解。结论探究出来后，教师并没有止于这一步，而是又抛出一个更具挑战性的问题，提问学生“我们实验的结果严密吗？”目的是让学生意识到，动手实践有时会存在疑点偏差，必须通过理性作图这一过程来验证实验的正确性，培养了学生思维的严谨性。

三角形面积公式教学设计(供参考)

三角形面积教学设计 教学内容：人教版五年级上册84----85页 教材分析：三角形的面积是本单元教学内容的第二课时，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母表示出面积计算公式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空间观念。学情分析：学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算，学生学习时并不陌生，在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础，教学时从学生的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 教学目标：1、引导学生用多种方法推导三角形面积的计算公式，理解长方形、平行四边形和三角形之间的内在联系。 2、通过操作使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题。 3、理解三角形的面积与形状无关，与底和高有关，会运用面积公式求三角形面积。 4、引导学生积极探索解决问题的策略，发展动手操作、观察、分析、推理、概括等多种能力，并培养学生的创新意识。 教学重点：理解并掌握三角形面积的计算公式。 教学难点：理解三角形面积的推导过程。 教法与学法：教法：演示讲解、指导实践。 学法：小组合作、动手操作。 教学准备：三角形卡片、多媒体课件 教学过程： 一、情境引入 师：同学们，我们每天都佩戴着鲜艳的红领巾，高高兴兴地来到学校学习新的知识，那你知道做一条红领巾需要多少布料呢？（不知道）我们佩戴的红领巾是什么形状的？（三角形），怎样计算三角形的面积呢？这节课我们就一起来研究三角形的计算方法（板书课题） [设计意图]通过情境的创设，给学生提供现实的问题情境，使学生产生解决问题的欲望，积极主动地参与到学习活动之中。 二、探究新知 1、复习平行四边形面积的求法 师：回忆一下，平行四边形面积计算公式是什么？是怎么推导的？

青岛版四年级下册小学数学《三角形三边关系》教学设计

三角形三边关系

教学内容：青岛版四年级上册第五单元信息窗二82页 教材简析： “三角形三边的关系”是青岛版课程标准实验教材四年级上册“三角形”中的一课时，该课时是在学生初步了解了三角形的定义的基础上，进一步研究三角形的特征，即三角形任意两边的和大于第三边。三角形三边关系定理不仅给出了三角形三边之间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准,熟练灵活地运用三角形的两边之和大于第三边，是数学严谨性的一个体现,同时也有助于提高学生全面思考数学问题的能力,它还将在以后的学习中起着重要的作用。 教学目标： 1、让学生通过实践，体验探索三角形边的关系的过程，培养学生的问题意识，以及提出问题、解决问题的能力。 2、激发学生对数学的浓厚兴趣和热爱，引导学生树立自己去探求真理的志向，享受成功的喜悦。 3、能自觉运用三角形的有关知识解决生活中的问题，体验三角形知识与生活的密切联系。 教学重难点： 三角形三边的关系的探索。 教学准备： 学具：小棒若干根、合作探究表。 教学过程： 课前游戏：五足赛跑 师：刚才是他在中间，还可以怎样组合呢？会玩这个游戏了吗？那同学们可以课下玩玩看。 【设计意图：通过课前游戏，调节课前师生紧张的情绪，拉近师生距离。初步让学生体会三人两两不同的组合方式，为探究三边关系埋下伏笔。】 一、5分钟：合作习惯训练

师：前面我们认识了三角形，知道了三角形是由三条线段围成的图形，这节课我们继续研究三角形。 师：三根小棒，如果每根小棒代表一条线段，用它来围成一个三角形，小组四人必须都围成才算成功，比比哪个小组最快！ 师：现在我们知道了，不是任意的三根小棒都能围成三角形。三角形的这三边存在着什么样的秘密呢？这节课我们就来研究三角形三边的关系。 【设计意图：实验小学课堂教学“5+35+X”教学模式，每节课前5分钟被称之为“五分钟习惯加油站”。本月训练主题是合作的习惯。通过小组挑战，既考验小组相互配合的能力，同时学生亲身经历把三根小棒围成或者围不成三角形的过程，从亲身体验的基础上认知不是任意的三根小棒都能围成三角形，从而也激发学生探索三角形三边关系的欲望。】 二、小组合作，猜测探究 1、师：刚才谁的小棒围不成三角形，围给给大家看一看。真的围不成吗？为什么不能围成三角形？ 师：如果可以改变小棒的长度，该怎么办呢？ 【设计意图：小棒太短围不成三角形，怎么办？顺着学生的思维：换小棒，换成多长的合适呢？猜想是探究活动中的一种非常重要的思维方式。如何使学生学会猜想，如何引导学生进行合理的猜想，既是本节课走向成功的一个关键，也是培养学生探究意识的起点。】 2、师：换成几厘米的呢？ 师：说一说为什么觉得换成5厘米能围成？ 生交流猜想理由，并操作验证。 师：还能换成几厘米呢？小组合作继续探究：满足什么条件才能围成三角形？ 集体交流： 师小结研究结果：看来大家都认为两边之和大于第三边才能围成三角形，老师把这个发现记录下来。（板书：两边之和大于第三边。） 3、用已有结论初步验证猜测：根据咱们的结论，同学们继续猜，还能换成几

三角形三边之间的关系教案

《三角形边的关系》教学案例 一、三角形边的关系一课教学设计的研究背景与理论依据。 《数学课程标准》在数学教学活动要求中明确指出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究、合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。 建构主义学习理论也强调学习过程中学生主动地建构知识，强调学习过程应以学生为中心，教师不再是以自己的看法及课本现有的知识来直接教给学生，学习者必须通过自己主动的、互动的方式学习新的知识，学生在学习的过程中是自主的、能动的、富于创造性的。因此，学生必须主动地参与到整个学习过程中，要根据自己先前的经验来建构新知识的意义，这样，传统的老师“说”、学生“听”的学习方式就不复存在。 现代教学论观点认为数学教师不能充当数学知识施舍者的角色。教师不该是至高无上的权威。事实上，学生的数学素质是通过数学活动而得到，即学生自己通过研究、比较、建构，逐步形成自己的知识框架。所以，应多设计一些数学活动课，让学生真正动起来，非常有必要。 实践证明，数学学习对于学生来说不但需要观察，更需要实验。事实上，孩子并不喜欢老师给他们一些结论，他们更喜欢通过实验、操作等手段进行学习。因此我将这节课设计为活动课，引导学生在实验中发现数学，欣赏数学。通过学生参与猜一猜、摆一摆等实验活动，创造性地使用教材。 本课内容是根据《标准》要求，让学生在实验活动中体验探索的过程。目的是使学生认识到数学与现实世界联系，认识数学知识之间的内在联系，同时又提高学生自主探究、动手实践、合作交流等能力。 二、教学背景分析： 本课内容是学生已经通过观察、操作、比较、概括等学习方法体验了长方形、正方形的基础上，对三角形的三边特点进行研究的。学生之前具备了一定的观察、操作能力，掌握了一定的数学技能，初步具备了观察分析、总结概括的能力。但是由于受到学生心智发展水平和生活经验等诸方面的影响，加上三角形边的特点与正方形和长方形等四边形的特点还有一定的差异性的，更不容易直接观察出来。学生对于三角形三边关系的认识会更困难，故本课旨在使学生主动地参与到数学活动中来，让学生充分体会数学活动带给他们的

三角形的面积计算公式的推导

“三角形的面积计算公式的推导”教学活动设计 一、活动主题的提出 数学实践活动是教师结合学生相关数学方面的生活经验和知识背景，引导学生以自主探索或合作交流的方式，展开形式多样、丰富多彩的学习活动。“三角形面积计算公式的推导”教材是通过拼的方法探究计算方法的，从表面上看，学生动手操作了，也探究了公式的形成过程，但实际上学生仅仅机械地拼了一拼，做了一次“操作工”，他们并没有自己的猜想和创造，没有真正参与知识的产生和形成，教材所提供的学习材料缺乏思维含量，缺少挑战性，学生体会不到思考的乐趣，思维得不到充分发展，为了培养学生的探究意识和探究水平，促动学生探究的有效性，特安排主题活动“三角形面积计算公式的推导”。 二、活动目标 1．探索并掌握三角形的面积计算公式，培养学生应用已有知识解决新问题的水平。 2．使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观点和初步的推理水平。 3．在探索活动中使学生获得积极地情感体验，感受数学的乐趣，体会成功的喜悦，进一步培养学生学习数学的兴趣。 三、课前准备 1．分组：每4人为一小组。 2．每人准备3张正方形纸片。 3．每位同学准备尺子、剪刀、铅笔。 四、时间：一课时（不包括活动前的准备） 五、活动过程 1．检查学生课前的准备情况。 2．揭示课题 师：三角形的面积能够怎样计算呢？这就是我们这节课要研究的问题。 板书课题：三角形面积的计算公式 3．探究操作 师：（先每4人一小组分好小组）每人拿出一张正方形纸片，在上面剪一刀，要求剪下一个三角形。当然你用笔和尺子把想剪的三角形在正方形上画出来，不剪也能够。（学生剪、画） 汇报展示。（选择如下三种图） ①②③ 师：这三种剪法中哪种剪法剪下的三角形面积你能计算？你是怎么知道的？ 学生观察、思考、分析、推理、小组讨论、汇报。 第三种（图③）剪法剪下的三角形面积能计算，三角形面积正好是这个正方形面积的一半，只要把剪下的两个三角形重叠在一起，就能够发现他们完全一样（形状

三角形面积公式的五种推导方法

三角形面积公式的五种 推导方法 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

三角形面积公式的五种推导方法 摘自：《小学数学网》六年制小学数学第九册《三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一、明确目标；二、用数格的方式不能确定三角形的面积；三、能否转化成以前学过的图形进行计算四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形，直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形；六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是“等底等高，面积一半”；七、总结三角形的面积公式。 我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中，发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下： 第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。 第二步也没有什么：学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最简单，最直接（当然也是最麻烦）的方法。关于第三步：教材上只有一句话：能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式，我们常给初中学生提起这些认知策略，但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过，把挖掘其内涵，为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下面环节的引言。

直角三角形三边的关系教案

直角三角形三边关系——勾股定理（1） 一、教学目标： 1．体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理用它解决身边与实际生活相关问题。 2．在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力。 3．通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。 二、教学重点、难点： 重点：探索和验证勾股定理过程； 难点：通过面积计算探索勾股定理。 三、教学方法及学法指导： 采用合作探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。 ） 四、教具准备 多媒体课三角形纸片 五、教学过程： （一）．自学导纲 1、创设情境，导入课题 师：同学们，在电网改造中，电力工人为了让如图示的电线杆更加稳固，可以采用什么方法请大家帮他想想办法。 生1：埋的更深一些。 师：大家真聪明，能想出这么多方法。如果采用了 生2的方案，你的依据的什么 生：三角形的稳定性。 师：如图示，电杆、钢丝、地面围成了什么图形 生：直角三角形 师：在施工时，还要知道什么 生：钢丝的长度。即AB的长。 ~ 师：大家想不想以最快的速度得出AB的长呢本节课开始，老师和大家一起研究直 角三角形的一条重要性质。（板书课题直角三角形三边关系——勾股定理）

2．出示导纲，学生自学 完成导纲知识性问题 1、直角三角形的定义是： 2、直角三角形有什么性质 3、画直角三角形ABC，∠C为直角。 (二)、合作互动，探究新知 1、互动1：Rt△ABC中，∠C＝900，（1）a=3,b=4,c=5 (2) a=5,b=12,c=13 2、互动2. 图是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中画出的三个正方形P、Q、R, 观察图形，并填空： ⑴正方形P的面积为 1 2 cm， 正方形Q 的面积为 1 2 cm， 正方形R的面积为 2 2 cm。 ⑵你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系 … ⑶你会用直角三角形的边长表示正方形P、Q、R的面积吗你能发现等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系吗与你的同伴进行交流。 生：在等腰直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 师：那么在一般的直角三角形中是否也能满足你的猜想呢 3、互动3. 观察图，完成 》 正方形P的面积S P为9 2 cm， 正方形Q 的面积S Q为16 2 cm， 正方形R的面积S R为25 2 cm。 师：正方形P、Q、R的面积之间的关系 师：由此我们得出直角三角形ABC的三边的长度之间存在的关系是师点评。那么任意的直角三角形是否也能满足这一结论呢A B C P Q R

三角形面积的计算

三角形面积的计算 教学目标 1．理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算． 2．培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力． 3．培养学生勤于思考，积极探索的学习精神． 教学重点 理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积． 教学难点 理解三角形面积公式的推导过程． 教学过程 一、复习引入 （一）教师提问：我们学过了哪些平面图形的面积？计算这些图形面积的公式是什么？ 教师：今天我们一起研究“三角形的面积”（板书课题） （二）共同回忆平行四边形面积的计算公式的推导过程． 二、探究新知 （一）数方格面积． 1．用数方格的方法求出第69页三个三角形的面积．（小组内分工合作） 2．演示课件：拼摆图形 3．评价一下以上用“数方格”方法求出三角形面积． （二）推导三角形面积计算公式． 1．拿出手里的平行四边形，想办法剪成两个三角形，并比较它们的大小． 2．启发提问：你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形，再计算面积呢？ 3．用两个完全一样的直角三角形拼． （1）教师参与学生拼摆，个别加以指导 （2）演示课件：拼摆图形 （3）讨论 ①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形（第三种拼法）能帮助我们推导出三角形面积公式吗？为什么？ ②观察拼成的长方形和平行四边形，每个直角三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？ 4．用两个完全一样的锐角三角形拼． （1）组织学生利用手里的学具试拼．（指名演示） （2）演示课件：拼摆图形（突出旋转、平移） 教师提问：每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？ 5．用两个完全一样的钝角三角形来拼． （1）由学生独立完成． （2）演示课件：拼摆图形

三角形三边关系(带答案)

【考点训练】三角形三边关系-2 一、选择题（共10小题） 1．（2011?青海）某同学手里拿着长为3和2的两个木棍，想要找一个木棍，用它们围成一个三角形， 4．（2012?长沙）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可 二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值） 11．（2007?安顺）如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为_________．12．（2004?云南）已知三角形其中两边a=3，b=5，则第三边c的取值范围为_________．

13．（2007?柳州）如果三角形的两条边长分别为23cm和10cm，第三边与其中一边的长相等，那么第三边的长为_________cm． 14．（2006?连云港）如图，∠BAC=30°，AB=10．现请你给定线段BC的长，使构成△ABC能惟一确定．你认为BC的长可以是_________． 15．（2005?泸州）一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为_________cm． 16．（2007?贵阳）在△ABC中，若AB=8，BC=6，则第三边AC的长度m的取值范围是_________． 17．（2006?梧州）△ABC的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有_________个． 18．（2004?芜湖）已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________． 19．（2004?玉溪）已知一个梯形的两底长分别是4和8，一腰长为5，若另一腰长为x，则x的取值范围是_________． 20．（2004?嘉兴）小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是：_________，_________，_________（单位：cm）． 三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷） 21．已知三角形的三边互不相等，且有两边长分别为5和7，第三边长为正整数． （1）请写出一个三角形符合上述条件的第三边长． （2）若符合上述条件的三角形共有n个，求n的值． （3）试求出（2）中这n个三角形的周长为偶数的三角形所占的比例． 22．如果一个三角形的各边长均为整数，周长大于4且不大于10，请写出所有满足条件的三角形的三边长． 23．一个三角形的边长分别为x，x，24﹣2x， （1）求x可能的取值范围； （2）如果x是整数，那么x可取哪些值？ 24．已知三角形的三边长分别为2，x﹣3，4，求x的取值范围． 25．三角形的三边长分别为（11﹣2x）m、（2x2﹣3x）cm、（﹣x2+6x﹣2）cm

直角三角形的边角关系(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=________，cosA=________，tanA=________． 问题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A越大，正弦sinA______，余弦cosA______，正切tanA______． 问题3：默写特殊角的三角函数值： 问题4：计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理． 直角三角形的边角关系 一、单选题(共14道，每道7分) 1.式子2cos30°-tan45°-的值是( ) A. B.0 C. D.2 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 2.如果△ABC中，，则下列说法正确的是( ) A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形

答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 3.已知为锐角，且，那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的增减性 4.如图，在Rt△ABC中，tanB=，BC=，则AC等于( )

A.3 B.4 C. D.6 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：解直角三角形 5.在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，，则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

三角形的面积计算公式

三角形的面积计算公式 三角形的面积计算公式1.已知三角形底a，高h，则 S＝ah/22.已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/25.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R则三角形面积=a bc/4R6.S△=1/2 *| a b 1 || c d 1 || e f 1 || a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！7.海伦--秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.8.根据三角函数求面积S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA注:其中R为外切圆半径。9.根据向量求面积SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-（AB*AC）

三角形三边关系的常见应用

专题一 三角形三边关系的常见应用 一. 专题目标 1. 了解和掌握三角形的定义和三角形的三边关系 2. 通过例题学习，学会用三边关系解决“能否构成三角形”类型的题目 3. 通过例题学习，学会用三边关系解决“第求三边长或可能性”类型的题目 4. 通过例题学习，学会用三边关系解决“三角形中和边长之间的关系”类型的题目 5. 通过例题学习，学会用三边关系解决“绝对值化简”类型的题目 二. 专题环节 三角形的三边关系： 1. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 2. 在一个三角形中，任意两边之差小于第三边 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾依次连结所组成的图形叫做三角形。 一． 能否构成三角形 例1，1、若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为_______; 若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长为_____. 分析：根据线段MN 平行于Y 轴，MN=M N y y -，分别讲M 点所在二次函数解析式和N 点所在AB 直线解析式 求得代入即可得到MN 关于x 的函数关系式。 详解：设直线AB 的解析式为y 2＝kx ＋b ， 由y 1＝－x 2 ＋2x ＋3求得B 点的坐标为(0，3)．把A (3，0)，B (0，3)代入y 2＝kx ＋b ，解得k ＝－1 b ＝3． ∴直线AB 的解析式为y 2＝－x ＋3． ∵MN ∥y 轴，M （x,－x 2＋2x ＋3）,N(x,－x ＋3) ∴MN=M N y y -=－x 2＋2x ＋3-（－x ＋3）=－x 2＋3x=-（x-32）2 +94 (0≤x ≤3)

∵a=-1<0 ∴当x=32时，线段MN 最大值为94 关键词：二次函数表示线段长 一 图形问题：周长 例2，如图，已知二次函数2 45y x x =--的图像与坐标轴交于点A （-1,0）和B （0，-5） 对称轴存在一点P ，使得△ABP 的周长最小，请求出P 的坐标 分析： 二次函数中的周长最小值，往往是用利用轴对称求线段最值的办法来获得的： 即：△ABP 周长为AB+BP+AP ，由于AB 是定线段，所以周长最小值转化 为PA+PB 最小，所以可以做A 关于对称轴的对称点C ，连接BC,和对称轴的交点P .此时PA+PB 获得最小值BC ， 此时只需要将对称轴的横坐标代入BC 所在直线解析式，就可以求出P 点坐标。 详解：由题意对称轴为x=2, 如图，抛物线和x 轴另个交点为C (),0c x ， P 为AB 上任意一点, 根据A 和C 关于对称轴对称，-1+c x =2×2，∴c x =5, C(5,0) △ABP 周长为AB+BP+AP ，由于AB 长度一定，可知PA+PB 获得最小，即可使得周长最小。 根据轴对称求最值方法可知：A 关于对称轴的对称点为C ，PA=PC,所以要使得PC+PB 最小， P ,B,C 三点成一线时候此时PC+PB 最小，即为BC 长。 此时P 点 即为直线BC 和对称轴的交点。 设BC 所在直线y=kx+b,将B （0.-5）和C （5,0）坐标代入得 505 k b b +=??=-? 解得k=-1,b=-5,所以BC 所在直线解析式为：y=-x -5 将x=2,代入得y=-3,所以P 点坐标为（2，-3），此时△ABP 周长获得最小值。 关键词：轴对称求线段和最小值，二次函数应用 一．图形问题：面积 例3.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，其他三边用总长为60m 栅栏围住（如图），若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y 平方米． （1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）请问绿化带面积的最大值为多少，此时BC 长为多少？

《三角形面积计算公式》案例 1. 运用三角形面积计算公式进

《三角形面积计算公式》案例 1. 运用三角形面积计算公式进行计算． 2．培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力． 3．培养学生勤于思考，积极探索的学习精神． 教学重点 理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积． 教学目标 1．理解三角形面积公式的推导过程，正确 教学难点 理解三角形面积公式的推导过程． 教学过程 一、复习铺垫． （一）设置情境计算红领巾 （二）共同回忆平行四边形面积的计算公式的推导过程． 二、指导探索 推导三角形面积计算公式． 1．拿出手里的平行四边形，请学生想办法剪成两个三角形，并比较它们的大小． 2．启发提问：你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形，再计算面积呢？ 3. 让全部同学用两个完全一样的直角三角形拼． 4．让全部同学用两个完全一样的锐角三角形拼． 5．让全部同学用两个完全一样的钝角三角形来拼． 6．讨论： （1）两个完全相同的三角形都可以转化成什么图形？ （2）每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？ （3）三角形面积的计算公式是什么？ （4）如果用S表示三角形面积，用a和h表示三角形的底和高，那么三角形公式可以写成什么？ （三）教学例1． 例1 ．一种零件有一面是三角形，三角形的底是 5.6厘米，高是4厘米．这个三角形的面积是多少平方厘米？ 1．由学生独立解答． 2．订正答案（教师板书） 5.6×4÷2＝11.2（平方厘米） 答：这个三角形的面积是11.2平方厘米． 三、质疑调节

（一）总结这一节课的收获，并提出自己的问题． （二）教师提问： （1）要求三角形面积需要知道哪两个已知条件？ （2）求三角形面积为什么要除以2？ （3）把三角形转化成已学过的图形，还有别的方法吗？ （演示：三角形剪拼法） 五、板书设计 教案点评： 本节课的主要特点是： 1、重视知识形成的过程，注意引导学生积极参与教学过程，突出了以学生为主体，老师为主导的教学指导思想。 2、注意渗透转化的思维方法和平移的思想，抓住新旧知识的衔接点和新知的生长点，形成良好的认知结构，同时培养了学生的逻辑思维能力.

小学数学《三角形的面积计算公式》

小学数学《三角形面积计算公式》教学设计 刘河小学李志强 教学内容：人教版九年义务教育六年制小学数学第九册P84 -P85. 教材分析： 人教版五年级上册84、85页三角形的面积是本单元教学内容的第二课时，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母表示出面积计算公式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空间观念。 学情分析： 学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算，学生学习时并不陌生，在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础，教学时从学生的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 教学目标： 1、让学生经历三角形面积计算公式的探索过程，理解三角形面积公式的来源；并能灵活运用公式解决简单的实际问题。 2、在学习活动中，培养学生的实践动手能力，合作探索意识和能力，培养创新意识和能力。 3、通过实践操作，自主探究，使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题培养团结互助的合作思想品质。 教学重点：三角形面积计算公式的推导。 教学难点：运用拼、剪、平移、旋转等方法，发现正方形、长方形、平形四边形及三角形面 积的相互联系推导出三角形面积计算公式。 教具准备：多媒体课件一套。 学具准备：工具（尺、剪刀），三组学具（①完全相同的锐角三角形、直角三角形、钝角三

三角形三边关系案例

“三角形三边关系”教学案例分析 案例背景： 此前，学生已经初步认识了三角形，知道三角形的特点以及三角形的稳定性等知识，为学习本课内容，探究“三角形任意两边的和大于第三边”做好了准备。课前调查发现，学生都知道了三角形是由3条线段围成的图形，但绝大多数的学生却不清楚并不是任意的3条线段都能围成三角形。本节课的教学设计就是基于学生这样的认知特点展开的。开始通过师生谈话，复习三角形的概念和特点，通过动手操作摆三角形（学生发现有的摆不成功），这样学生会产生强烈的认知冲突。这样的设计，是希望能最大限度地激发学生强烈的探究欲望，然后通过合理的猜想、积极的验证，归纳出“三角形任意两边的和大于第三边”。最后是让学生用发现的规律解释身边的一些生活现象，解决生活中的一些简单问题，既巩固了新学知识，又体现数学与生活的密切联系。 课堂写真： 片段（一） 师：同学们对三角形已经有哪些了解？是不是任意三条线段都能围成三角形呢？老师这里有三根小棒（代替线段），分别长3、5、10厘米，这3根小棒能围成一个什么图形? 生：三角形。 师：谁愿意上来围一围？围得时候要注意小棒首尾相连。 生：怎么围不成三角形？ 师：是呀，这三根小棒为什么围不成三角形呢？ 生：有一根小棒太短了 生：下面一根长了一点。 师：同学们说的都有道理，看来要围成三角形，须考虑三条小棒的长短关系。那么三角形的三条边之间到底有什么关系呢？从而引出课题 分析点评 从抽象的知识中发现问题，激发学生的求知欲。在片断一中，教师故意拿出摆不成三角形的三根小棒（3、5、10），首先提出这三根小棒能围成什么图形？学生异口同声的回答是三角形，然后让学生在黑板演示，结果不能围成三角形。学生感到很意外，激发了学生进一步探究的兴趣。以此引出三角形三边关系的课题。 片段（二） 师：小明去上学，他从家到学校可以怎么走？哪条路最近？（课件演示） 师：你怎么知道中间这条路最近？ 生1：这条路是直的，经过邮局的路拐了弯，绕远了。 生2：这是一条直线（线段），（两点间）直线（线段）最短。 师：是啊！拐了弯的路比直走的路远。

直角三角形三边关系教案

直角三角形三边关系教案 教案原创教案：《14.1.1直角三角形三边的关系》 一、教学内容华东师大版14.1.1直角三角形三边的关系 二、教学目标 1．知识与技能：体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题； 2．思想与方法：在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力； 3．情感、态度、价值观：通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情．教学分析三、重点难点1．探索和验证勾股定理过程．2．通过面积计算探索勾股定理．四、教学方法及教学手段采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识．五、教学过程（一）激趣导入多媒体演示勾股树图片，激发学生求知欲，成功导入本节课题．（二）合作互动1．小组讨论活

动一：动脑想一想观察下图正方形大小，图中每一小方格表示，你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？（1）正方形P的面积为，正方形Q 的面积为，正方形R的面积为．（2）你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？活动二： 其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？（你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向）（图中每一小方格表示）（1）正方形P的面积为，正方形Q的面积为，正方形R的面积为．（2）正方形P、Q、R的面积之间的关系是什么？（3）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？试一试： ①在方格图中，画出两条直角边分别为、的直角三角形．②再用刻度尺量出斜边长．③验证刚才的结论对这个直角三角形是否成立？让学生自己总结，并用符号语言、文字语言表达勾股定理的内容．1．展示评价2．质疑解难勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．注：（1）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．（2）在直角三角形中，任意已知其中的两边，就可以计算出第三边的长． C B A 例1 如图，在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6,BC=8，求AC. （三）拓展训练A c 1．如图，在Rt△ABC中，AB=c,BC=a ,AC=b,∠C=90°. b

人教版四年级下册数学5 三角形三边的关系教案 (5)

三角形三边的关系 教学目标： 1. 通过实践活动，探索发现三角形三边之间的关系：任意两边之和大于第三边。 2.应用三角形三边关系解决生活中的数学问题。 3.培养学生观察、对比分析、动手操作的能力和概括能力。 教学重点： 探究发现三角形的三边关系。 教具： 多媒体课件、不同长度的细塑料管若干、细铁丝若干、纸条若干、自制三角形架和长方形架（用木棒）。 学具： 剪刀一把。 教学过程： 一、创设情景，引入新课 1.谈话 师：今天第一次给大家来上课，非常高兴。顺便也给同学们带来了一个小礼物（出示课件： “我们的口号是—— 是英雄、是好汉，本节课上比比看； 我相信、我能行，我努力、我成功！”） 咱们一块儿喊出来，好吗？ 生：（劲头十足）喊口号。 师：真棒！老师已经看到同学们信心十足、精神饱满；坐姿端正、笑容满面。老师也很欣慰、非常喜欢！就让我们带着这份喜悦的心情到咱的数学王国里遨游一番吧。 （设计说明：鼓起士气、营造课堂氛围。） 2.复习回顾 师：首先让我们欣赏几幅美丽的图画（出示幻灯片：若干张含有三角形图形的图片） 生：（惊叹）呀！真漂亮！ 师：从刚才的图片里大家都更多地看到了什么图形？

生：三角形。 师：什么是三角形？请大家闭上眼睛迅速回忆。（出示幻灯片：“经典回放”——三角形的定义及图形和各部分名称） 师：好，回忆起来的同学请睁开眼看屏幕上老师回忆的是否和你所想的一样？ 生：一样！ 师：真好。那么三角形都有什么特征和特性呢？ 生：稳定性！ 师：同学们记性真好！（拿出自制三角形和长方形木框再次演示其稳定性）那它有什么用呢，来解决一个实际问题好不好？ 生：好！ 师：（随手拿起身边的一个坏凳子）这个凳子太摇晃了，如何加固它呢？ 生：（议论片刻后举手。） 师：（请一位同学到前面给大家演示后）真是生活的小能手呀！建议大家课下把咱学校的坏凳子收集起来修理修理，愿意不愿意？ 生:(很有成就感、骄傲地)愿意！ （设计说明：复习旧知，铺下知识上的基垫；同时把知识引进生活，学以致用。） 3.出示情景图（幻灯片：“小小参谋长”） 师：请看大屏幕，老师想从学校回家可以怎么走？有几条路?那条路最近呢？（顺便让学生用前面所学知识述说老师家在学校的什么方向上） 生：老师有三条路可走。可以从庄头坐车到尉氏，再从尉氏去岗李；也可以从庄头到大营，再从大营回家；还可以先从庄头去中牟的冯堂乡，然后从那儿再回老家岗李。 生：我知道这三条路中走中间的那条最短。 师：为什么？ 生：因为中间的路直，没有绕弯。 师：同学们真善于观察和动脑筋。我们来看，把庄头、尉氏和老师家（岗李）三点连接起来形成了一个什么图形？ 生：三角形。 师：我们可以把这几段路看作三角形的边，路程之间有远近的关系，那么三角形的三条边之间到底有什么关系呢？下面我们就来共同探究一下。（板书课题） （设计说明：以生活中的路线问题为切入点，使生活与数学巧妙地连接起来；以帮助老师解决问题

三角形三边关系的巧用

专项训练一：三角形三边关系的巧用 名师点金：三角形的三边关系应用广泛，利用三边关系可以判定三条线段能否组成三角形、已知两边求第三边的取值范围、证明线段不等关系、化简绝对值、求解等腰三角形的边长及周长等问题． 判断三条线段能否组成三角形 1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾顺次连结后，不能摆成三角形的一组是() A．4，4，8 B．5，5，1 C．3，7，9 D．2，5，4 2．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？ 求三角形第三边的长或周长的取值范围 3．一个三角形的两边长分别为5和3，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是() A．2或4 B．4或6 C．4 D．2或6 4．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是() A．6＜l＜15 B．6＜l＜16 C．11＜l＜13 D．10＜l＜16 5．若三角形的三边长是三个连续自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有________个．

三角形的三边关系在等腰三角形中的应用 6．等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为() A．25 B．25或32 C．32 D．19 7．已知，等腰三角形ABC的底边BC＝8 cm，|AC－BC|＝2 cm，则AC＝________． 8．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是____________． 三角形的三边关系在代数中的应用 9．已知三角形三边长分别为a，b，c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|＝10，求b的值． 10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a 为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长． 利用三角形的三边关系证明边的不等关系 11．如图，已知D，E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.