2020届高考数学一轮复习第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布专题10.3二项式定理练习

专题10.3 二项式定理

【考试要求】

1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；

2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【知识梳理】 1.二项式定理

(1)二项式定理：(a ＋b )n

＝C 0n a n

＋C 1n a n －1

b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *

)；

(2)通项公式：T r ＋1＝C r n a

n －r b r

，它表示第r ＋1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C 0

n ，C 1

n ，…，C n

n . 2.二项式系数的性质

3.各二项式系数和

(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n

.

(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0

n ＋C 2

n ＋C 4

n ＋…＝C 1

n ＋C 3

n ＋C 5

n ＋…＝2n －1

.

【微点提醒】

(a ＋b )n

的展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .

(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .

(4)二项式的系数从C 0

n ，C 1

n ，一直到C n －1n ，C n

n . 【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)C k n a

n －k b k

是二项展开式的第k 项.( )

(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a ＋b )n

的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( )

(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 【解析】 二项式展开式中C k n a n －k b k

是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)

均不正确. 【教材衍化】

2.(选修2－3P31T4改编)(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C m

n B.C m ＋1

n C.C m －1n

D.(－1)

m －1C m －1

n

【解析】 (x －y )n

展开式中第m 项的系数为C m －1

n (－1)m －1

.

【答案】 D

3.(选修2－3P35练习A1(3)改编)C 02 019＋C 12 019＋C 22 019＋…＋C 2 019

2 019

C 02 018＋C 22 018＋C 42 018＋…＋C 2 0182 018的值为( )

A.2

B.4

C.2 019

D.2 018×2 019

【答案】 B

【解析】 原式＝22 019

22 018－1＝22

＝4.

【真题体验】

4.(2018·全国Ⅲ卷)?

??

??x 2＋2x 5

的展开式中x 4

的系数为( )

A.10

B.20

C.40

D.80

【答案】 C

【解析】 T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ? ??

??2x r

＝C r 52r x 10－3r ，由10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25×22

＝40.

5.(2019·东营调研)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10

.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N ＋)是一个递增数列，则k 的最大值是( )

A.5

B.6

C.7

D.8

【答案】 B

【解析】 由二项式定理知，a n ＝C n －1

10(n ＝1，2，3，…，11). 又(x ＋1)10

展开式中二项式系数最大项是第6项， 所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.

6.(2018·浙江卷)二项式?

????3

x ＋12x 8

的展开式的常数项是________.

【答案】 7

【解析】 该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r

8x

8－r 3

? ????12x r ＝C r 8? ????12r

x 8－4r 3

.令8－4r 3＝0，解得r ＝2，所以所求常

数项为C 2

8×? ??

??122

＝7.

【考点聚焦】

考点一 通项公式及其应用 角度1 求二项展开式中的特定项

【例1－1】 (1)(2019·北京海淀区二模)(x 2

＋1)? ??

??1x

－25

的展开式的常数项是( )

A.5

B.－10

C.－32

D.－42

(2)?

???

??

3x －123x 10

的展开式中所有的有理项为________. 【答案】 (1)D (2)454x 2，－638，45256

x －2

【解析】 (1)由于? ????1x

－25的通项为C r

5·? ??

?

?1x 5－r

·(－2)r ＝C r 5·(－2)r

·x

r －52

，

故(x 2

＋1)·?

??

??1x －25

的展开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5

＝－42.

(2)二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k

10? ????－12k

x 10－2k 3 . 由题意10－2k 3

∈Z ，且0≤k ≤10，k ∈N .

令

10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－3

2

r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数.

∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8，

∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2

，

－

638，45256

x －2

. 【规律方法】 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可. 角度2 求二项展开式中特定项的系数

【例1－2】 (1)(多项式是积．

的形式)(2017·全国Ⅰ卷)?

??

??1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( )

A.15

B.20

C.30

D.35

(2)(多项式是和．的形式)已知(1＋ax )3

＋(1－x )5

的展开式中含x 3

的系数为－2，则a 等于( ) A.2 3

B.2

C.－2

D.－1

(3)(三项展开式问题)(x 2

＋x ＋y )5

的展开式中，x 5y 2

的系数为( ) A.10

B.20

C.30

D.60

【答案】 (1)C (2)B (3)C

【解析】 (1)因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以? ??

??1＋1x 2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x

2·C 46x 4

，

因为C 26＋C 46＝2C 2

6＝2×6×52×1

＝30，

所以?

??

??1＋1x

2(1＋x )6展开式中x 2

的系数为30.

(2)(1＋ax )3

＋(1－x )5

的展开式中x 3

的系数为C 33a 3

＋C 3

5(－1)3

＝a 3

－10＝－2，则a 3

＝8，解得a ＝2. (3)法一 (x 2

＋x ＋y )5

＝[(x 2

＋x )＋y ]5

， 含y 2

的项为T 3＝C 2

5(x 2

＋x )3

·y 2

.

其中(x 2

＋x )3

中含x 5

的项为C 13x 4

·x ＝C 13x 5

. 所以x 5y 2

的系数为C 25C 1

3＝30.

法二 (x 2

＋x ＋y )5

表示5个x 2

＋x ＋y 之积.

∴x 5y 2

可从其中5个因式中，两个取因式中x 2

，剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，因此x 5y 2

的系数为C 25C 13C 22＝30.

【规律方法】 1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解.

2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.

3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.

【训练1】(1)(2017·全国Ⅲ卷改编)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________.

(2)在(1－3

x)7＋

?

?

?

?

?

x＋

a

x

6

的展开式中，若x2的系数为19，则a＝________.

【答案】(1)40 (2)2

【解析】(1)由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为x·C35(2x)2(－y)3＋y·C25(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40.

(2)(1－3

x)7＋

?

?

?

?

?

x＋

a

x

6

的展开式中x2的系数为C67(－

3

x)6＋C16(x)5

?

?

?

?

?

a

x

1

＝C67x2＋C16x2a，则a C16＋C67＝19，

解得a＝2.

考点二二项式系数与各项的系数问题

【例2】 (1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.

(2)(2019·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.

【答案】(1)3 (2)1或－3

【解析】(1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，

即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.

(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，

令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，

又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2

＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39

， ∴(2＋m )9

·m 9

＝39

，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.

【规律方法】 1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n

，(ax 2

＋bx ＋c )m

(a ，

b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.

2.若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2

＋…＋a n x n

，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝

f (1)＋f (－1)

2

，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝

f (1)－f (－1)

2

.

【训练2】 (1)(2019·烟台模拟)已知?

??

??x 3＋2x n

的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( )

A.5

B.40

C.20

D.10

(2)(2018·湘潭三模)若(1＋x )(1－2x )8

＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9

，x ∈R ，则a 1·2＋a 2·22

＋…＋a 9·29

的值为( ) A.29

B.29

－1

C.39

D.39

－1

【答案】 (1)B (2)D

【解析】 (1)由?

??

??x 3＋2x n 的展开式的各项系数和为243，令x ＝1得3n

＝243，即n ＝5，∴? ????x 3＋2x n

＝? ??

?

?x 3＋2x 5

，则T r ＋1＝C r 5·(x 3)

5－r

·? ??

??2x r

＝2r ·C r 5·x 15－4r ，令15－4r ＝7，得r ＝2，∴展开式中x 7的系数为22×C 25＝40. (2)(1＋x )(1－2x )8

＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2

＋…＋a 9x 9

，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝2，得a 0＋a 1·2＋a 2·22

＋…＋a 9·29

＝39

，

∴a 1·2＋a 2·22

＋…＋a 9·29

＝39

－1. 考点三 二项式系数的性质 角度1 二项式系数的最值问题

【例3－1】 (2019·上海崇明区二模)二项式?

?????3x ＋13x n

的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( ) A.3 B.5 C.6 D.7 【答案】 D

【解析】 根据? ?????3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴? ?????3x ＋13x n

的展开式的通项为T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r ·? ??

???13x r ＝(3)20－r ·C r 20·x 20－4r

3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数，

∴r ＝0，3，6，9，12，15，18，∴x 的指数是整数的项共有7项. 角度2 项的系数的最值问题

【例3－2】 已知(3

x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n

的展开式的二项式系数和大992，则在

? ??

??2x －1x 2n

的展开式中，二项式系数最大的项为______，系数的绝对值最大的项为________. 【答案】 －8 064 －15 360x 4

【解析】 由题意知，22n

－2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，故2n

＝32，解得n ＝5.由二项式系数的性质知，? ????2x －1x 10

的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T 6＝C 510(2x )5? ??

??－1x 5

＝－8 064.

设第k ＋1项的系数的绝对值最大，

则T k ＋1＝C k 10·(2x )

10－k

·? ??

??－1x k

＝(－1)k C k 10·210－k ·x 10－2k

， 令?????C k

10·210－k

≥C k －110·210－k ＋1

，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得?????C k 10≥2C k －1

10，

2C k 10≥C k ＋110， 即?

????11－k ≥2k ，2（k ＋1）≥10－k ，解得83≤k ≤113.

∵k ∈Z ，∴k ＝3.

故系数的绝对值最大的项是第4项，

T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4

.

【规律方法】 1.二项式系数最大项的确定方法：当n 为偶数时，展开式中第n

2＋1项的二项式系数最大，

最大值为2C n

n

；当n 为奇数时，展开式中第n ＋1

2

项和第

n ＋3

2

项的二项式系数最大，最大值为12

C

n n -或

12C

n n

+.

2.二项展开式系数最大项的求法

如求(a ＋bx )n

(a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，

A n ＋1，且第k 项系数最大，应用?

????A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，从而解出k 来，即得.

【训练3】 已知m 为正整数，(x ＋y )2m

展开式的二项式系数的最大值为a ，

(x ＋y )2m ＋1

展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )

A.5

B.6

C.7

D.8

【答案】 B

【解析】 由题意可知，a ＝C m

2m ，b ＝C m

2m ＋1.

∵13a ＝7b ，∴13·（2m ）！m ！m ！＝7·（2m ＋1）！

m ！（m ＋1）！，

即

137＝2m ＋1

m ＋1

，解得m ＝6. 【反思与感悟】

1.二项式定理及通项的应用

(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理. (2)运用二项式定理一定要牢记通项T k ＋1＝C k n a

n －k b k

，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但用二项式定理展开

后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题. (3)在通项T k ＋1＝C k n a

n －k b k

(n ∈N *)中，要注意有n ∈N *，k ∈N ，k ≤n ，即k ＝0，1，2，…，n .

2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. 【易错防范】

1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C 0

n ，C 1

n ，…，C n

n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，

b 的值有关.

2.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念. 【分层训练】

【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题

1.已知?

??

??x －1x 7

的展开式的第4项等于5，则x 等于( )

A.17

B.－17

C.7

D.－7

【答案】 B

【解析】 由T 4＝C 37x 4? ??

??－1x 3

＝5，得x ＝－17.

2.已知(1＋x )n

的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29

B.210

C.211

D.212

【答案】 A

【解析】 由题意，C 3

n ＝C 7

n ，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2

n －1

＝29

.

3.(2019·广州测试)使?

????x 2＋12x 3n

(n ∈N *

)展开式中含有常数项的n 的最小值是( )

A.3

B.4

C.5

D.6

【答案】 C

【解析】 T r ＋1＝C r

n (x 2)

n －r

? ??

??12x 3r

＝12r C r n

x 2n －5r ，令2n －5r ＝0，得n ＝52r ，又n ∈N *，所以n 的最小值是5. 4.(2018·邯郸二模)在?

??

??x ＋3x n

的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3

的系数为( )

A.15

B.45

C.135

D.405

【答案】 C

【解析】 令? ??

??x ＋3x n

中x 为1，得各项系数和为4n ，又展开式的各项的二项式系数和为2n

，各项系数的和

与各项二项式系数的和之比为64，∴4n

2n ＝64，解得n ＝6，∴二项式的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·3r

·x 6

－32r ，令6－32

r ＝3，求得r ＝2，故展开式中x 3的系数为C 26·32

＝135. 5.(2019·枣庄二模)若(x 2－a )?

??

??x ＋1x 10

的展开式中x 6

的系数为30，则a 等于( )

A.13

B.12

C.1

D.2

【答案】 D

【解析】 ?

??

??x ＋1x 10展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·? ??

??1x r

＝C r 10·x 10－2r

，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以

x 4项的系数为C 310，令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210，所以(x 2－a )? ?

?

??

x ＋1x 10

的展开式中x 6的

系数为C 310－a C 2

10＝30，解得a ＝2.

6.(1－3x )5

＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2

＋a 3x 3

＋a 4x 4

＋a 5x 5

，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024 B.243 C.32 D.24

【答案】 A

【解析】 令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5

＝45

＝1 024.

7.已知C 0

n ＋2C 1

n ＋22C 2

n ＋23C 3

n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n

n 等于( ) A.63 B.64 C.31 D.32

【答案】 A

【解析】 逆用二项式定理得C 0

n ＋2C 1

n ＋22C 2

n ＋23C 3

n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36

，所以n ＝6，所以C 1

n ＋C 2

n ＋C 3

n ＋…＋C n n ＝26－C 0

n ＝64－1＝63.

8.若(1＋x ＋x 2)n

＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2

＋…＋a 2n x 2n

，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A.2n

B.3n

－12

C.2

n ＋1

D.3n

＋12

【答案】 D

【解析】 设f (x )＝(1＋x ＋x 2)n

， 则f (1)＝3n

＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ，①

f (－1)＝1＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2n ，②

由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝f (1)＋f (－1)， 所以a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝f (1)＋f (－1)2

＝

3n ＋1

2

.

二、填空题

9.(2017·山东卷)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2

项的系数是54，则n ＝________. 【答案】 4

【解析】 (1＋3x )n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )r ，令r ＝2，得T 3＝9C 2n x 2，由题意得9C 2

n ＝54，解得n ＝4.

10.(2018·石家庄调研)(1＋x )n

的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________. 【答案】 10

【解析】 (1＋x )n

的二项展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n

2

＋1＝6，n ＝10.

11.若将函数f (x )＝x 5

表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2

＋…＋a 5(1＋x )5

，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实

数，则a 3＝________(用数字作答). 【答案】 10

【解析】 f (x )＝x 5

＝(1＋x －1)5

，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )

5－k

·(－1)k

，令5－k ＝3，则

k ＝2，所以T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3

，∴a 3＝10.

12.?

??

??2x ＋1x

－15

的展开式中常数项是__________(用数字作答).

【答案】 －161

【解析】 ?

????2x ＋1x

－15

＝??????? ????2x ＋1x －15

＝????

??(－1)＋? ????2x ＋1x 5

的展开式中通项公式：T r ＋1＝C r 5(－1)

5－r

? ??

??2x ＋1x r

，

其中? ??

??2x ＋1x r

的通项公式：

T k ＋1＝C k r (2x )r －k ? ??

??

1x k

＝2r －k C k r x

r －2k

， 令r －2k ＝0，则k ＝0，r ＝0；k ＝1，r ＝2；k ＝2，r ＝4.

因此常数项为C 0

5(－1)5

＋C 2

5×(－1)3

×2×C 1

2＋C 4

5×(－1)×22C 2

4＝－161. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)

13.(2019·河南百校联盟模拟)(3－2x －x 4

)(2x －1)6

的展开式中，含x 3

项的系数为( ) A.600 B.360 C.－600 D.－360

【答案】 C

【解析】 由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x 3

项的系数为3×C 3623

(－1)3

－2×C 4622

(－1)4

＝－600. 14.在?

??

??1＋x ＋1x

2 01910

的展开式中，含x 2

项的系数为( )

A.10

B.30

C.45

D.120

【答案】 C

【解析】 因为?

????

1＋x ＋

1x

2 019

10＝??????（1＋x ）＋1x 2 01910＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 019＋…＋C 1010? ??

??1x 2 01910

，所以x 2

项

只能在(1＋x )10

的展开式中，所以含x 2

的项为C 2

10x 2

，系数为C 2

10＝45.

15.(2019·安徽江南十校联考)若(x ＋y －1)3(2x －y ＋a )5

的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母x 且x 的次数为1的项的系数为________(用数字作答). 【答案】 －7

【解析】 令x ＝y ＝1?(a ＋1)5

＝32?a ＝1，

故原式＝(x ＋y －1)3

(2x －y ＋1)5

＝[x ＋(y －1)]3

[2x ＋(1－y )]5

， 可知展开式中x 的系数为C 1

3＋C 3

3(－1)3C 1

5·2＝－7. 16.设(1－ax )

2 018

＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x

2 018

，若a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 018a 2 018＝2 018a (a ≠0)，则实数

a ＝________.

【答案】 2

【解析】 已知(1－ax )2 018

＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x

2 018

，两边同时对x 求导，

得2 018(1－ax )

2 017

(－a )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2

＋…＋2 018a 2 018x

2 017

，

令x ＝1得，－2 018a (1－a )2 017

＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 018a 2 018＝2 018a ，

又a ≠0，所以(1－a )

2 017

＝－1，即1－a ＝－1，故a ＝2.

【新高考创新预测】

17.(多填题)已知（2－x ）7

1＋x ＝a 6x 6＋a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0＋a 1＋x ，那么a 0＋a ＝______；a 4＝______.

【答案】 128 －99

【解析】 取x ＝0，则27＝a 0＋a ，∴a 0＋a ＝128.

由已知可得(2－x )7

＝(1＋x )·? ?

???

a 6x 6＋a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2

＋a 1x ＋a 0＋a 1＋x ，

则?????－C 07x 7

＝a 6x 7

，C 17x 6·2＝（a 5＋a 6）x 6

，－C 27x 5·22＝（a 4＋a 5）x 5，

∴?????a 6＝－1，a 5＋a 6＝14，a 4＋a 5＝－84，

∴????

?a 6＝－1，a 5＝15，a 4＝－99.

全国各地高考数学统计与概率大题专题汇编.doc

1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 2.【2015·福建】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．

3.【2015·山东】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10 分；若能被10整除，得1分. 整除，得1 （I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.

高考数学之概率大题总结

1（本小题满分12分）某赛季, 甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛, 他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示 （1）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？ （3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随 机抽取一场的得分, 求甲的得分大于乙的得分的概率． （参考数据：2222222981026109466++++++=, 236112136472222222=++++++） 2在学校开展的综合实践活动中, 某班进行了小制作评比, 作品上交时间为5月1日至30日, 评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计, 绘制了频率分布直方图(如图), 已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1, 第三组的频数为12, 请解答下列问 题： (1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数量最多？共有多少件？ (3)经过评比, 第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖, 问这两组哪组获奖率高？ 3已知向量()1,2a =-r , (),b x y =r ． （1）若x , y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数, 求满足1a b =-r r g 的概率； （2）若实数,x y ∈[]1,6, 求满足0a b >r r g 的概率．

4某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支, 该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计, 统计结果如下表所示： （1）将各组的频率填入表中； （2）根据上述统计结果, 计算灯管使用寿命不足1500小时的频率； （3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管2支, 若将上述频率作为概率, 试求恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率． 5为研究气候的变化趋势, 某市气象部门统计了共100个星期中每个星期气温的最高温度和最低温度, 如下表： （1）若第六、七、八组的频数t 、m 、 n 为递减的等差数列, 且第一组与第八组 的频数相同, 求出x 、t 、m 、n 的值； （2）若从第一组和第八组的所有星期 中随机抽取两个星期, 分别记它们的平均 温度为x , y , 求事件“||5x y ->”的概率． 6某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5 所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人. (1)问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2)在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率. 频率 分数 90100110120130 0.05 0.100.150.200.250.300.350.4080 70

2020高考数学概率统计(大题)

全国一卷真题分析---概率统计 1.（2011年）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的 概率为0.3，设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率； (Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望． 2.（2012年）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果 当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，N n ）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 以100天记录的各需求量的频率作为 各需求量发生的概率． （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 3.（2013年）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中 优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下， 这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为1 2， 且各件产品是否为优质品相互独立． （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 1

(完整word)高中数学《计数原理》练习题

《计数原理》练习 一、选择题 1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各一本，则不同的取法种数有（ ） A 11 B 30 C 56 D 65 2.在平面直角坐标系中，若{}{}1,2,3,3,4,5,6x y ∈∈，则以(),x y 为坐标的点的个数为（ ） A 7 B 12 C 64 D 81 3.若()12n x +的展开式中，3x 的系数是x 系数的7倍，则n 的值为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 4.广州市某电信分局管辖范围的电话号码由8位数字组成，其中前3位是一样的，后5位数字都是0～9这10个数字中的一个，那么该电信分局管辖范围内不同的电话号码个数最多有（ ） A 50 B 30240 C 59049 D 100000 6.按血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，其子女的血型一定不是O 型，如果某人的血型为O 型，则该人的父母血型的所有可能情况种数有（ ） A 6 B 7 C 9 D 10 7.计算0121734520C C C C ++++L 的结果为（ ） A 421C B 321 C C 320C D 420C 8.一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，问从口袋中取出5个球，使总分不少于7分的取法种数有（ ） A 15 B 16 C 144 D 186 二、填空题 9.开车从甲地出发到丙地有两种选择，一种是从甲地出发经乙地到丙地，另一种是从甲地出发经丁地到丙地。其中从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通。则从甲地到丙地不同的走法共有 种。 10.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 种。 14.()()5 211x x +-的展开式中3x 的系数为

高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结

选修2-3定理概念及公式总结 第一章基数原理 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 用于计算， 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, 用于证明。 n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 用于计算， 或)! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。

(完整word版)2018年高考数学总复习概率及其计算

第十三章概率与统计本章知识结构图

第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ.

()P A = A μμΩ 。 五、互斥事件的概率 1、互斥事件 在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥，则 ()()() P A B P A P B =+U 。 2、对立事件 事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。 ()() 1P A p A =- 。 3、互斥事件与对立事件的联系 对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。 题型归纳及思路提示 题型176 古典概型 思路提示 首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算 ()A P A = 包含基本事件数 基本事件总数。 例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果； （2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。 分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上 (),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。 解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ， ()()() 1,2,1,3,1,4， ()()()() 2,1,2,2,2,3,2,4， ()()()() 3,1,3,2,3,3,3,4， ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。 （2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得 ()(),12,10m m n ?--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。故事件A 包含的

概率统计大题题型总结(理)学生版

统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.（2013广东理17）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.（2013新课标Ⅱ理）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下： 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是（ ） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t

高中计数原理与概率计数原理

高中计数原理与概率计数原理 一、知识导学 1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法，在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法. 2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法，做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法.注：分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理 二、疑难知识导析 1．分类原理中分类的理解：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复. 2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成. 3．两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有ｎ类办法，这ｎ类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成ｎ个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理. 4．在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线. 5．在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地到乙地 ，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多. 三、经典例题导讲 [例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种 错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案. ∴选B

高中数学典型例题解析：第九章 计数原理与概率

第九章 计数原理与概率 §9.1 计数原理 一、知识导学 1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法，在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法. 2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法，做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法.注：分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理二、疑难知识导析 1．分类原理中分类的理解：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复. 2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成. 3．两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有ｎ类办法， 这ｎ类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成ｎ个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理. 4．在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一 种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线. 5．在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地 到乙地 ，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多.三、经典例题导讲 [例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种

2020高考数学最可能考的50道题

高考数学历年考点框架 理科数学每年必考知识点： 复数、程序框图、三视图、函数与导数、三角函数、圆锥曲线、球的组合体、（计数原理、概率与统计模块）等。 理科数学每年常考的知识点： 常用逻辑用语、集合、线性规划、数列、平面向量、解三角形、定积分、直线与圆等。 最后冲刺指导（14个专题） 1、集合与常用逻辑用语小题 （1）集合小题 历年考情： 针对该考点，近9年高考都以交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。 常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是还是。 2020高考预测：

（2）常用逻辑用语小题 历年考情： 9年高考中2017年在复数题中涉及真命题这个概念．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称（2015考的冷点），思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂。 简单叙述：小范围是大范围的充分不必要；大范围是小范围的必要不充分。 2020高考预测：

2、复数小题 历年考情： 9年高考，每年1题，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等。 无法直接计算时可以先设z=a+b i 2020高考预测： 3、平面向量小题 历年考情：

计数原理、概率

计数原理、概率 两个基本计数原理 导学目标：理解分类计数原理和分步计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题． 自主梳理 1．分类计数原理 完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n 步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法． 3．分类计数原理与分步计数原理，都是涉及完成一件事的不同方法的种数，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，从思想方法的角度看，分类计数原理的运用是将一个问题进行“分类”思考，分步计数原理是将问题进行“分步”思考． 自我检测 1．(2009·北京改编)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________． 2. 右图小圆圈表示络的结点，结点之间的连线表示它们有线相联，连线上标注的数字表示该段线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________． 3．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种． 4．(2018·湖北改编)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是________． 5. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有________种．(以数字作答) 探究点一分类计数原理的应用 例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

高考数学压轴专题人教版备战高考《计数原理与概率统计》基础测试题含解析

数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3 C ．0.58 D ．0.958 【答案】D 【解析】 分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可. 详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ． 点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C.

2019届理科数学高考中的概率与统计问题

2019届理科数学 高考中的概率与统计问题 一、选择题(每小题5分,共15分) 1.某市园林绿化局在名贵树木培埴基地种了一批红豆杉树苗,为了解这批红豆杉树苗的生长状况,随机抽取了15株进行检测,这15株红豆杉树苗的高度(单位:cm)的茎叶图如图6-1所示,利用样本估计总体的思想,求培埴基地种植的这批红豆杉树苗的高度在(140,145)内的概率为 () 图6-1 A.0.3 B.0.4 C.0.2 D.0.1 2.如图6-2,正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a和a,连接CE和CG,现将一把芝麻随机地撒在该图形中,则芝麻落在阴影部分的概率是() 图6-2 A. B. C. D. 3.日常生活中,常听到一些谚语、俗语,比如“三个臭皮匠,顶个诸葛亮”,这句话有没有道理呢?我们假设三个臭皮匠中的老大、老二、老三能独立解出同一道问题的概率依次是0.6,0.5,0.4,而诸葛亮能独立解出同一道问题的概率是0.9,则三个臭皮匠与诸葛亮解出同一道问题的概率较大的是() A.三个臭皮匠 B.诸葛亮 C.一样大 D.无法确定 二、填空题(每小题5分,共10分) 4.已知函数f(x)=log2x+2log4x,其中x∈(0,4],若在[,4]上随机取一个数x0,则f(x0)≤0的概率 为. 5.第十三届全运会于2017年8月27日在天津举行,在自由体操比赛中,5位评委给甲、乙两位体操运动员打分(满分为30分)的茎叶图如图6-3所示,则甲、乙两位体操运动员中,得分的方差较大的是.(填甲或乙) 图6-3

三、解答题(共36分) 6.(12分)已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关.为了确定某一个时段鸡舍的控制温度,某企业需要了解鸡舍的时段控制温度x(单位:℃)对某种鸡的时段产蛋量y(单位:t)和时段投入成本z(单位:万元)的影响.为此,该企业选取了7个鸡舍的时段控制温度x i和产蛋量y i(i=1,2,…,7)的数据,对数据初步处理后得到了如图6-4所示的散点图及一些统计量的值.其中k i=ln y i,=k i. 图6-4 (1)根据散点图判断,y=bx+a与y=c1(e为自然对数的底数)哪一个适宜作为该种鸡的时段产蛋量y关于鸡舍的时段控制温度x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断及表中的数据,建立y关于x的回归方程; (3)已知时段投入成本z与x,y的关系为z=e-2.5y-0.1x+10,当鸡舍的时段控制温度为28 ℃时,鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值是多少? 附:对于一组具有线性相关关系的数据(u1,v1),(u2,v2),…,(u n,v n),其回归直线v=βu+α的斜率和截 距的最小二乘估计分别为=(-)(-) (-) , ＾ =-. 参考数据:

【精品】2007——2017年高考数学全国卷概率统计大题(教师版)

【精品】2007——2017年高考数学全国卷概率统计大题 2007某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6.经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元;若顾客采用分期付款，商场获得利润250元. (Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率. 记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”． 2 ()(10.6) 0.064 P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=． （Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”． 0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． 1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”． 则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，12 13()0.60.40.432P B C =??=． 01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=． 2008 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． （20）解：记A 1、A 2分别表示依方案甲需化验1次、2次，B 表示依方案乙需化验3次，A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A 2与B 独立，且 B A A A 21+=, 5 1C 1)A (P 15 1= = ，5 1A A )A (P 25 142= = ，5 2) (1 3 3 51224= ??= C C C C B P 。 P(A )=P(A 1+A 2·B) =P(A 1)+P(A 2·B)=P(A 1)+P(A 2)·P(B) =5 25 15 1? += 25 7 所以 P(A)=1-P(A )= 25 18=0.72 2009 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。 （Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；

2020年高考数学(理)热点题型：概率与统计(含答案)

概率与统计 热点一 常见概率模型的概率 几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式. 【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； (2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列. 解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为1 3，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则 P (A i )＝C i 4? ??? ? 13i ? ?? ??234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24? ??? ? 132? ?? ??232＝8 27. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥， ∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34? ??? ?133 ×23＋C 44? ?? ??134＝19. (3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥.

排列组合与计数原理

排列组合与计数原理 【复习目标】1.能熟练的判断利用加法原理和乘法原理。简单的排列组合组合数公式。 【复习重难点】加法原理和乘法原理公式的计算及应用。 1.高三（1），（2），（3）班分别有学生52,48,50人。 （1）从中选1人当学生代表的不同方法有____________种； （2）从每班选1人组成演讲队的不同方法有____________种； （3）从这150名学生中选4人参加学代会的不同方法有____________种； （4）从这150名学生中选4人参加数理化三个课外活动小组，共有不同方法有__________种。 2.假设在200件产品中有三件次品，现在从中任意抽取5件，期中至少有2件次品的抽法有__________种。 3.若,64 3n n C A 则n=___________。 例1．在1到20这20个整数中，任取两个数相加，使其和大于20，共有________种取法。 变式训练：从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为_______。 例2．从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览，要求每个旅游景点只有一人游览，每人只游览一个旅游景点，且6个人中甲、乙两人不去张家界游览，则不同的选择方案共有______________种. 例3．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有_______ . 变式训练：要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，现有5人，每人可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班，问此值班表共有_______ 种不同的排法.

经典高考概率分布类型题归纳

经典高考概率分布类型 题归纳 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

经典高考概率分布类型题归纳 高考真题 一、超几何分布类型 二、二项分布类型 三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法 五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 高考真题 2010年 22、（本小题满分10分）（相互独立事件） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。 （1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布 列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。 【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 （1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X 的分布列为： （2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。 由题设知4(4)10n n --≥，解得14 5 n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。 所求概率为3 344 0.80.20.80.8192P C =??+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

2020高考理科数学大题专项练习：统计与概率问题

大题专项：统计与概率问题 一、解答题 1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率; (2)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解：(1)由已知,有P (A )= C 22C 32+C 32C 3 2C 8 4=6 35. 所以,事件A 发生的概率为6 35. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X=k )= C 5k C 3 4-k C 8 4(k=1,2,3,4). 所以,随机变量X 的分布列为 随机变量X 的数学期望E (X )=1×1 14+2×3 7+3×3 7+4×1 14=5 2. 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率; (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk =1”表示第k 类电影得到人们喜欢,用“ξk =0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D (ξ1),D (ξ2),D (ξ3),D (ξ4),D (ξ5),D (ξ6)的大小关系. 解：(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A , 第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部). P (A )=50 140+50+300+200+800+510=50 2 000=0.025.

2021-2022年高考数学一轮总复习第十一章计数原理和概率题组训练82古典概型理

2021年高考数学一轮总复习第十一章计数原理和概率题组训练82古典概 型理 1．将一个骰子抛掷一次，设事件A 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件B 表示向上的一面出现的点数不小于4，事件C 表示向上的一面出现奇数点，则( ) A ．A 与B 是对立事件 B ．A 与B 是互斥而非对立事件 C ．B 与C 是互斥而非对立事件 D ．B 与C 是对立事件 答案 A 解析 由题意知，事件A 包含的基本事件为向上点数为1，2，3，事件B 包含的基本事件为向上的点数为4，5，6.事件C 包含的点数为1，3，5.A 与B 是对立事件，故选A. 2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( ) A ．恰好有1件次品和恰好有2件次品 B ．至少有1件次品和全是次品 C ．至少有1件正品和至少有1件次品 D ．至少有1件次品和全是正品 答案 A 解析 依据互斥和对立事件的定义知，B ，C 都不是互斥事件；D 不但是互斥事件而且是对立事件；只有A 是互斥事件但不是对立事件． 3．(xx·广东茂名模拟)在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数字组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是( ) A.1 3 B.12 C.16 D.14 答案 D

解析 符合条件的所有两位数为12，14，21，41，32，34，23，43，52，54，25，45，共12个，能被4整除的数为12，32，52，共3个，故所求概率P ＝312＝1 4 . 4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，若从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 C 解析 从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的情况有4种，∴P ＝2 3 . 5．从存放的号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47 D ．0.37 答案 A 解析 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100 ＝0.53，故选A. 6．(xx·天津改编)甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为1 3，则甲获胜的概率 和甲不输的概率分别为( ) A.16，1 6 B.12，23 C.16，23 D.23，12 答案 C 解析 “甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P ＝1－12－13＝1 6. 设事件A 为“甲不输”，则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝16＋12＝2 3 .(或设事件A 为“甲不输”，则A 可看作是“乙胜”的对立事件．所以P(A)