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高二数学圆锥曲线综合测试题(选修1-1&2-1)含答案!

高二数学圆锥曲线综合测试题(选修1-1&2-1)

(考试时间:120分钟,共150分)

说明:本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ,试卷Ⅰ分值为36分,试卷Ⅱ分值为64分。

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( )

A.

|a |4 B.|a |2 C .|a | D .-a 2

2.过点A (4,a )与B (5,b )的直线与直线y =x +m 平行,则|AB |= ( )

A .6 B.2 C .2 D .不确定

3.已知双曲线x 2

4-y

2

12

=1的离心率为e ,抛物线x =2py 2的焦点为(e,0),则p 的值为( )

A .2

B .1 C.14 D.1

16

4.若直线ax +2by -2=0(a >0,b >0)始终平分圆x 2+y 2-4x -2y -8=0的周长,则1a +2

b

的最小值

为 ( ) A .1 B .5 C .4 2 D .3+2 2 5.若双曲线x

2

a

2-y 2=1的一个焦点为(2,0),则它的离心率为 ( )

A.

255 B.32 C.23

3

D .2 6.△ABC 的顶点A (-5,0),B (5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线x =3上,则顶点C 的轨迹方程是 ( )

A.x 29-y 216=1

B.x 216-y 2

9=1 C.x 29-y 216=1(x >3) D.x 216-y 2

9

=1(x >4)

7.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =5e

5

x (e 为双曲线离心率),则有( )

A .b =2a

B .b =5a

C .a =2b

D .a =5b

8.抛物线y =-4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 ( )

A.

1716 B.1516 C .-1516 D .-1716

9.已知点A 、B 是双曲线x 2

-y 22

=1上的两点,O 为坐标原点,且满足OA ·OB =0,则点O 到直

线AB 的距离等于 ( ) A. 2 B.3 C .2 D .2 2

10.(2009·全国卷Ⅱ)双曲线x 26-y 23

=1的渐近线与圆(x -3)2+y 2=r 2

(r >0)相切,则r =( )

A. 3 B .2 C .3 D .6

11.(2009·四川高考)已知双曲线x 2

2-y

2

b

2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,其一条渐近线方程为y

=x ,点P (3,y 0)在该双曲线上,则1PF ·

2P F

= ( ) A .-12 B .-2 C .0 D .4

12.(2009·天津高考)设抛物线y 2=2x 的焦点为F ,过点M (3,0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点,与抛物线的准线相交于点C ,|BF |=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF

S △ACF = ( )

A.45

B.23

C.47

D.12

第Ⅰ卷

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把正确答案填在题中横线上)

13.已知点(x 0,y 0)在直线ax +by =0(a ,b 为常数)上,则(x 0-a )2+(y 0-b )2的最小值为________. 14.(2009·福建高考)过抛物线y 2

=2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p =________.

15.直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ,若过点P 且以双曲线12x 2-4y 2=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为______________.

16.过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ,与抛物线准线的交

点为B ,点A 在抛物线准线上的射影为C ,若AF =FB ,BA ·

B C

=48,则抛物线的方程为______________.

三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知:圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.

(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;

(2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且AB=22时,求直线l的方程.

18.(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B 点,求线段AB的中点M的轨迹方程.

19.(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F (0,2),且与定直线L :y =-2相切.

(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程;

(2)若AB 是轨迹C 的动弦,且AB 过F (0,2),分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线,设两切线交点为Q ,证明:AQ ⊥BQ .

20.[理](本小题满分12分)给定抛物线C :y 2=4x ,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,记O 为坐标原点.

(1)求OA ·

OB

的值; (2)设AF =λFB

,当△OAB 的面积S ∈[2, 5 ]时,求λ的取值范围.

20.[文](本小题满分12分)已知圆(x -2)2+(y -1)2=203,椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2

(a >b >0)的离心率为22,

若圆与椭圆相交于A 、B ,且线段AB 是圆的直径,求椭圆的方程.

21.(本小题满分12分)已知A 、B 、D 三点不在一条直线上,且A (-2,0),B (2,0),|AD |=2,AE

=12

(A B

+AD ). (1)求E 点的轨迹方程;

(2)过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M ,N 两点,线段MN 的中点到y 轴的距离为4

5,且直

线MN 与E 点的轨迹相切,求椭圆的方程.

22.[理](本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点,点A 、B 分别在x 轴,y 轴上

运动,且|AB |=8,动点P 满足A P =35

PB

,设点P 的轨迹为曲线C ,定点为M (4,0),直线PM

交曲线C 于另外一点Q . (1)求曲线C 的方程; (2)求△OPQ 面积的最大值.

[文](本小题满分14分)设椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y -1=0相交于A 、B 两点,点C 是AB 的中点,若|AB |=22,OC 的斜率为2

2

,求椭圆的方程.

高二数学圆锥曲线章节测试题(选修1-1&2-1)答案与解析:

1、解析:由已知焦点到准线的距离为p =|a |

2答案:B

2、解析:由题知b -a

5-4=1,∴b -a =1.

∴|AB |=(5-4)2+(b -a )2= 2. 答案:B

3、解析:依题意得e =2,抛物线方程为y 2=12p x ,故18p =2,得p =1

16.

答案:D

4、解析:由(x -2)2+(y -1)2=13,得圆心(2,1), ∵直线平分圆的周长,即直线过圆心. ∴a +b =1.

∴1a +2b =(1a +2b )(a +b )=3+b a +2a

b ≥3+22, 当且仅当b a =2a

b ,即a =2-1,b =2-2时取等号,

∴1a +2

b 的最小值为3+2 2. 答案:D

5、解析:由a 2+1=4,∴a =3, ∴e =

23=23

3

. 答案:C

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6、解析:如图|AD |=|AE |=8,|BF |=|BE |=2,|CD |=|CF |, 所以|CA |-|CB |=8-2=6.

根据双曲线定义,所求轨迹是以A 、B 为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为x 29-y 2

16=1(x

>3). 答案:C

7、解析:由已知b a =5

5

e ,

∴b a =55×c

a

,∴c =5b ,又a 2+b 2=c 2, ∴a 2+b 2=5b 2,∴a =2b .

答案:C

8、解析:准线方程为y =

116

, 由定义知116-y M =1?y M =-15

16.

答案:C

9、解析:本题是关于圆锥曲线中的点到线的距离问题,由OA ·OB

=0?OA ⊥OB ,由于双曲

线为中心对称图形,为此可考查特殊情况,令点A 为直线y =x 与双曲线在第一象限的交点,因此点B 为直线y =-x 与双曲线在第四象限的一个交点,因此直线AB 与x 轴垂直,点O 到AB 的距离就为点A 或点B 的横坐标的值,由?????

x 2-y 2

2=1

y =x ?x = 2. 答案:A

10、解析:双曲线的渐近线方程为y =±12x 即x ±2y =0,圆心(3,0)到直线的距离d =

|3|

(2)2+1= 3. 答案:A

11、解析:由渐近线方程y =x 得b =2, 点P (3,y 0)代入x 22-y 2

b 21中得y 0=±1.

不妨设P (3,1),∵F 1(2,0),F 2(-2,0), ∴1PF ·2P F

=(2-3,-1)·(-2-3,-1) =3-4+1=0. 答案:C

12、解析:如图过A 、B 作准线l :x =-12

的垂线,垂足分别为A 1,B 1,

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由于F 到直线AB 的距离为定值. ∴S △BCF S △ACF =|BC |

|CA |. 又∵△B 1BC ∽△A 1AC . ∴|BC ||CA |=|BB 1||AA 1|

, 由拋物线定义|BB 1||AA 1|=|BF ||AF |=2

|AF |.

由|BF |=|BB 1|=2知x B =3

2

,y B =-3,

∴AB :y -0=

33-

32

(x -3).

把x =y

2

2代入上式,求得y A =2,x A =2,

∴|AF |=|AA 1|=5

2.

故S △BCF S △ACF =|BF ||AF |=252=45

. 答案:A

13、解析:(x 0-a )2+(y 0-b )2可看作点(x 0,y 0)与点(a ,b )的距离.而点(x 0,y 0)在直线ax +by =0上,所以(x 0-a )2+(y 0-b )2的最小值为点(a ,b )到直线ax +by =0的距离|a ·a +b ·b |a 2+b

2=a 2+b 2

. 答案:a 2+b 2

解析:由焦点弦|AB |=2p sin 2α得|AB |=2p

sin 245°,

∴2p =|AB |×1

2,∴p =2.

答案:2

14、解析:所求椭圆的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),2a =|PF 1|+|PF 2|.欲使2a 最小,只需在直线l 上找一点P ,使|PF 1|+|PF 2|最小,利用对称性可解. 答案:x 2

5+y

2

4

=1

15、解析:设抛物线的准线与x 轴的交点为D ,依题意,F 为线段AB 的中点, 故|AF |=|AC |=2|FD |=2p , |AB |=2|AF |=2|AC |=4p ,

∴∠ABC =30°,|B C

|=23p , BA ·B C

=4p ·23p ·cos30°=48, 解得p =2,

∴抛物线的方程为y 2=4x . 答案:y 2=4x

16、解:将圆C 的方程x 2+y 2-8y +12=0配方得标准方程为x 2+(y -4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.

(1)若直线l 与圆C 相切,则有|4+2a |

a 2+1=2.

解得a =-3

4

.

(2)过圆心C 作CD ⊥AB ,则根据题意和圆的性质,

得???

CD =

|4+2a |

a 2+1,

CD 2

+DA 2

=AC 2

=22

DA =12AB = 2.

解得a =-7,或a =-1.

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故所求直线方程为7x -y +14=0或x -y +2=0. 17、解:法一:设点M 的坐标为(x ,y ), ∵M 为线段AB 的中点,

∴A 的坐标为(2x,0),B 的坐标为(0,2y ). ∵l 1⊥l 2,且l 1、l 2过点P (2,4), ∴PA ⊥PB ,k PA ·k PB =-1.

而k PA =4-02-2x ,k PB =4-2y 2-0,(x ≠1),

∴21-x ·2-y

1

=-1(x ≠1). 整理,得x +2y -5=0(x ≠1).

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∵当x =1时,A 、B 的坐标分别为(2,0),(0,4), ∴线段AB 的中点坐标是(1,2),它满足方程 x +2y -5=0.

综上所述,点M 的轨迹方程是x +2y -5=0.

法二:设M 的坐标为(x ,y),则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连结PM , ∵l 1⊥l

2,∴2|PM |=|AB |. 而|PM|

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|AB

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∴=

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化简,得x +2y -5=0即为所求的轨迹方程. 法三:设M 的坐标为(x ,y ),

由l 1⊥l 2,BO ⊥OA ,知O 、A 、P 、B 四点共圆, ∴|MO |=|MP |,即点M 是线段OP 的垂直平分线上的点. ∵k OP =

4020

--=2,线段OP 的中点为(1,2),

∴y -2=-

12

(x -1),

即x +2y -5=0即为所求.

18、解:(1)依题意,圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点,L :y =-2为准线的抛物线. 因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹是x 2

=8y .

(2)证明:因为直线AB 与x 轴不垂直, 设AB :y =kx +2. A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由????

?

y =kx +2,y =18

x 2,

可得x 2-8kx -16=0,x 1+x 2=8k ,x 1x 2=-16. 抛物线方程为y =18x 2,求导得y ′=14

x .

所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1=14x 1,k 2=14x 2,k 1k 2=14x 1·14x 2=1

16x 1·x 2=-1.

所以AQ ⊥BQ .

19、解:(1)根据抛物线的方程可得焦点F (1,0), 设直线l 的方程为x =my +1,

将其与C 的方程联立,消去x 可得y 2

-4my -4=0. 设A ,B 点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)(y 1>0>y 2), 则y 1y 2=-4.

因为y 21=4x 1,y 2

2=4x 2,

所以x 1x 2=116

y 21y 2

2=1,

故OA ·

OB

=x 1x 2+y 1y 2=-3. (2)因为AF =λFB

所以(1-x 1,-y 1)=λ(x 2-1,y 2),

即?

????

1-x 1=λx 2-λ, ①-y 1=λy 2, ② 又y 2

1=4x 1, ③ y 22=4x 2, ④

由②③④消去y 1,y 2后,得到x 1=λ2x 2,将其代入①,注意到λ>0,解得x 2=1λ.从而可得y 2=-2λ,

y 1=2λ,

故△OAB 的面积S =12|OF |·|y 1-y 2|=λ+1

λ,

因λ+

1

λ≥2恒成立,所以只要解λ+1

λ

≤5即可, 解之得3-52≤λ≤3+5

2.

20、解:∵e =c

a

a 2

-b 2

a 2=22

,∴a 2=2b 2

. 因此,所求椭圆的方程为x 2+2y 2=2b 2,

又∵AB 为直径,(2,1)为圆心,即(2,1)是线段AB 的中点, 设A (2-m,1-n ),B (2+m,1+n ),则

?????

(2-m )2+2(1-n )2=2b 2,

(2+m )2

+2(1+n )2

=2b 2

|AB |=2 203

??????

8+2m 2+4+4n 2=4b 2,

8m +8n =0,

2m 2

+n 2

=2

20

3

??????

2b 2=6+m 2+2n 2,m 2=n 2

=103,

得2b 2=16. 故所求椭圆的方程为x 2

+2y 2

=16.

21、解:(1)设E (x ,y ),由AE =12

(A B

+AD ),可知E 为线段BD 的中点,

又因为坐标原点O 为线段AB 的中点, 所以OE 是△ABD 的中位线,

所以|O E |=12

|AD

|=1,

所以E 点在以O 为圆心,1为半径的圆上, 又因为A ,B ,D 三点不在一条直线上, 所以E 点不能在x 轴上,

所以E 点的轨迹方程是x 2+y 2=1(y ≠0).

(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),中点为(x 0,y 0),椭圆的方程为x 2a 2+y 2

a 2-4=1,直线MN 的方程为y

=k (x +2)(当直线斜率不存在时不成立), 由于直线MN 与圆x 2+y 2=1(y ≠0)相切, 所以

|2k |

k 2+1=1,解得k =±3

3, 所以直线MN 的方程为y =±3

3

(x +2),

将直线y =±33(x +2)代入方程x 2a 2+y 2

a 2-4=1,

整理可得:4(a 2-3)x 2+4a 2x +16a 2-3a 4=0, 所以x 0=x 1+x 22=-a 2

2(a 2-3)

.

又线段MN 的中点到y 轴的距离为4

5,

即x 0=-a 2

2(a 2-3)=-4

5,解得a =2 2.

故所求的椭圆方程为x 28+y 2

4

=1.

22、解:(1)设A (a,0),B (0,b ),P (x ,y ),

则A P =(x -a ,y ),PB

=(-x ,b -y ),

∵A P =35PB

,∴???

x -a =-3

5x ,y =3

5b -y ).

∴a =85x ,b =8

3

y .

又|AB |=a 2

+b 2

=8,∴x 2

25+y

2

9=1.

∴曲线C 的方程为x 225+y 2

9

=1.

(2)由(1)可知,M (4,0)为椭圆x 225+y 2

9=1的右焦点,

设直线PM 方程为x =my +4, 由?????

x 2

25+y 2

9=1,x =my +4,

消去x 得 (9m 2+25)y 2+72my -81=0,

∴|y P -y Q |=(72m )2

+4×(9m 2

+25)×819m 2+25

=90m 2+19m 2+25

. ∴S △OPQ =1

2|OM ||y P -y Q |=2×90m 2+19m 2+25

=20m 2

+1m 2+259=20m 2+1m 2+1+169=20

m 2

+1+169m 2+1

≤2083

=152,

当m 2+1=

169m 2

+1

即m =±73时,△OPQ 的面积取得最大值为15

2

,此时直线方程为3x ±7y -12=0.

23、解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),那么A 、B 的坐标是方程组?

????

ax 2+by 2

=1,

x +y -1=0的解.

由ax 21+by 21=1,ax 22+by 2

2=1,两式相减,得 a (x 1+x 2)(x 1-x 2)+b (y 1+y 2)(y 1-y 2)=0, 因为y 1-y 2

x 1-x 2

=-1, 所以

y 1+y 2x 1+x 2=a

b

, 即2y C 2x C =a b ,y C x C =a b =2

2

,所以b =2a .① 再由方程组消去y 得(a +b )x 2-2bx +b -1=0, 由|AB |=(x 1-x 2)2

+(y 1-y 2)2

=2(x 1-x 2)2

=2[(x 1+x 2)2

-4x 1x 2]=22,

得(x 1+x 2)2

-4x 1x 2=4,即(2b a +b )2-4·b -1a +b =4.②

由①②解得a =13,b =2

3,

故所求的椭圆的方程为x 23+2y 2

3=1.