2019年安徽省合肥市高三第一次质量检测数学理试题(含答案)

高考数学精品复习资料

2019.5

合肥市第一次教学质量检测

数学（理）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数i z 43+=，z 表示复数z 的共轭复数，则i

z

＝（ A ．5 B ．5 C ．6 D ．6

2．设集合{0,},S a =T=2

{|2},x x ∈Z <则“1a =”是“S T ?”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的结果是（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8 4．过坐标原点O 作单位圆2

2

1x y +=的两条互相垂直的半径OA 、在该圆上存在一点C ，使得OC aOA bOB =+（a b R ∈、）确的是（ ）

A ．点(),P a b 一定在单位圆内

B ．点(),P a b 一定在单位圆上

C ．点(),P a b 一定在单位圆外

D ．当且仅当0ab =时，点(),P a b 在单位圆上

5．过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若线段AB

的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（ ）

A

B

C

D

6． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A ．

18+ B ．

24+ C ．

24+ D ．

36+ 7、已知函数()s i n s i n 4

4

f x x x π

π

=

--

+，则一定在函数

()y f x =图像上的点是（ ）

A ．(),()x f x -

B ．(),()x f x -

C ．,()44x f x ππ??---

??? D ．,()44x f x ππ??

+-- ???

8．在ABC ?中，已知c B a =cos 2， 2

1

2sin

)cos 2(sin sin 2

+=-C C B A ，则ABC ?为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．锐角非等边三角形 D ． 钝角三角形

9．已知y x ,满足??

?

??≤+≥≥5

11

y x y x 时，)0(>≥+=b a b y a x z 的最大值为1，则b a +的最小值为（ ）

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

10．对于函数()f x ，若?,,a b c R ∈， ()()(),,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可

构造三角形函数”．已知函数()1

x x e t f x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）

A ． [)0,+∞

B ．[]0,1

C ．[]1,2

D ．1,22??

????

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．若随机变量ξ～)1,2(N ，且)3(>ξP ＝0.1587，则=>)1(ξP __________. 12．已知数列{}n a 满足12()n n a a n N ++=∈且21a =,则=20142log a .

2

2

1 1

2

正视图

侧视图

俯视图

A

C

D

E

F

13．若n

x

x )3(-

展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为_____________． 14．某办公室共有6人，组织出门旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙两人的关系较为亲密，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有 种 15．已知直线：

1cos sin =+y b

x a θ

θ（b a ,为给定的正常数，θ为参数，)2,0[πθ∈）构成的集合为S,给出下列命题：

①当4

π

θ=

时，S 中直线的斜率为

a

b

； ②S 中所有直线均经过一个定点；

③当a b =时，存在某个定点，该定点到S 中的所有直线的距离均相等； ④当a ＞b 时，S 中的两条平行直线间的距离的最小值为b 2； ⑤S 中的所有直线可覆盖整个平面．

其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．

三、解答题：本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知1cos(

)cos(),(,),63432

π

πππ

ααα+?-=-∈求： （Ⅰ）α2sin ； （Ⅱ）1

tan tan αα

-．

17．（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，且AD=DC=CB=

1

2

AB ．直角梯形ACEF 中，1

//

2

EF AC ，FAC ∠是锐角，且平面ACEF ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：BC ⊥AF ；

（Ⅱ）若直线

DE 与平面ACEF 所成的角的正切值是13

， 试求FAC ∠的余弦值．

x

18．（本小题满分12分）

已知函数)(,4)(2

3

R x bx ax x x f ∈+++=在2x =处取得极小值． （Ⅰ）若函数)(x f 的极小值是4-，求)(x f ；

（Ⅱ）若函数)(x f 的极小值不小于6-，问：是否存在实数k ，使得函数)(x f 在[],3k k +上单调递

减.若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分13分）

已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的右焦点为F （1,0），设左顶点为A ，上顶点为B ,且

?=?，如图．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若)0,1(F ，过F 的直线l 交椭圆于N M ,两点， 试确定FM ?的取值范围．

20．（本小题满分13分）

某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4，…，

9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，…，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，

从其中抽取5个样品进行首轮检验，用),(j i P 表示编号为j i ,)151(≤<≤j i 的样品首轮同时被抽到的概率．

（Ⅰ）求)15,1(P 的值；

（Ⅱ）求所有的),(j i P )151(≤<≤j i 的和． 21．（本小题满分13分） 已知函数x

n

x x f n +

=)(，（x ＞0，),1Z n n ∈≥，以点))(,(n f n n 为切点作函数)(x f y n =图像的切线n l ，记函数)(x f y n =图像与三条直线n l n x n x ,1,+==所围成的区域面积为n a 。 （Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）求证：n a ＜

231n

； （Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求证：n S ＜9

5.

合肥市第一次教学质量检测数学（理）

参考答案

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B

A

C

B

A

C

C

B

D

D

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．0.8413 12． 20xx 13．－15 14．144 15．③④

三、解答题：本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

A

C

D

E

F M

16．（12分）【答案解析】 （Ⅰ）cos(

)cos()63π

παα+?-=11

cos()sin()sin(2,66234

πππααα+?+=+=- ……2分 即1sin(232π

α+

=-，注意到(,)32ππα∈，故23πα+4(,)3

π

π∈，从而23)32cos(-

=+πα， …

…5分

2

1

3sin )32cos(3cos 32sin(2sin =+-+=∴ππαππαα

……7分

（

Ⅱ

）

2

2

1sin cos sin cos 2cos 22tan 21tan cos sin sin cos sin 22

ααααα

ααααααα

-

---=-===-?=． ……12分

（或者673

2ππ

α=

+

∴ ∴ 125πα= ∴α2sin =2

1

65sin =π, 2365cos 2cos -==πα ∴1

tan tan αα-=αααααααααα2sin 2

12cos cos sin cos sin sin cos cos sin 22-=-=-=32）

17.（12分）【答案解析】（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD 中，∵AD=DC=CB=

1

2

AB ，∴AD 、BC 为腰，取AB 得中点H ，连CH ，易知，四边形ADCH 为菱形，则CH=AH=BH,故△ACB 为直角三角形，

AC BC ⊥∴，…3分

平面⊥ACEF 平面ABCD ，

且平面 ACEF 平面ABCD AC =，⊥∴BC 平面ACEF ，而AF ?平面ACEF ，故BC ⊥AF ． ……6分 （Ⅱ）连结DH 交AC 于M D,再连结EM 、FM ．易知四边形ADCH 为菱形，∴DM ⊥AC ，注意到平面⊥ACEF 平面ABCD ，故DM ⊥平面ACEF ．于是，DEM ∠即为直线DE 与平面ACEF 所成的角． …

…9分

设AD =DC =BC =a ,则MD =a 2

1

，a MC 23= 依题意，3

1tan ==

∠EM DM DEM ∴a ME 23

=

在ECM Rt ?中，33

2

323cos =

==∠a a

ME MC EMC ∵1

//2

EF AC =AM ，∴四边形AMEF 为平行四边形 ∴AF ME // ∴E M C

F A C ∠=∠ ∴3

3

cos cos =

∠=∠EMC FAC ………12分 18.（12分）【答案解析】（Ⅰ）()2

32f x x ax b '=++，由???-==4

)2(0

)2(/f f

知??

?-=+++=++4

42480412b a b a ，解得2,

4a b =-??=-?， ……4分

检验可知，满足题意．)(,442)(2

3

R x x x x x f ∈+--=． ……6分 （Ⅱ）假设存在实数k ，使得函数)(x f 在[],3k k +上单调递减．

设()2

32f x x ax b '=++=0两根为)(,2121x x x x <，则22=x

由'

()0f x <得),(21x x x ∈ ∴)(x f 的递减区间为],[21x x 由3

221a x -

=+ 解得2321--

=a x ∴)(x f 的递减区间为]2,232[--a

由条件有?????≥--≥=36)2(0)2(12/x x f f ，解得3,26a b ?

=-?

??=-?， ……10分

∴函数)(x f 在[]2,1-上单调递减

由???≤+-≥231k k ?

??-≤-≥?11

k k ?1-=k

所以，存在实数1-=k ，满足题意。 ……12分 19.（13分）【答案解析】（Ⅰ）由已知，)0,(a A -，),0(b B ，)0,1(F ，则

由?=?得：012=--a b ∵122-=a b ∴022

=--a a ，解得2=a ，

∴3,42

2

==b a 所以椭圆13

4:2

2=+y x C ……4分 （Ⅱ）①若直线l 斜率不存在，则1:=x l ，此时)23

,1(M ，)23,1(-N ，FN FM ?＝4

9-

； ②若直线l 斜率存在，设)1(:-=x k y l ，),(),,(2211y x N y x M ，则

由?????=+-=134)1(2

2y x x k y 消去y 得：01248)34(2222=-+-+k x k x k ∴3482221+=+k k x x ，3

41242

221+-=?k k x x ∴FM ?),1(),1(2211y x y x -?-=]1)()[1(21212

++-+=x x x x k ＝

2

1149

k +-

- ∵02

≥k ∴11102≤+<

k ∴411432

<+-≤k

∴49

3-

9

,3[--． ……13分

20.（13分）【答案解析】（Ⅰ）由分层抽样可知：首轮检验从编号为1，2，3，…，9的洋品牌奶粉的样品中抽取3个，从编号为10，11，…，15的国产品牌奶粉的样品中抽取2个，故

)15,1(P ＝26

1

5

3928C C C C ?＝91． ……4分

（Ⅱ）①当91≤<≤j i 时，),(j i P ＝391

7C C ＝12

1，而这样的),(j i P 有2

9C =36个；

②当1510≤<≤j i 时，),(j i P ＝

15

112

6=C ，而这样的),(j i P 有2

6C =15个； ③当1591≤<≤≤j i 时，),(j i P ＝26

1

53928C C C C ?＝91，而这样的),(j i P 有1

619C C ?=54个．

所以，所有的),(j i P )251(≤<≤j i 的和为

121×36＋15

1×15＋91

×54＝10． ……13分

21．（13分）解：（Ⅰ）易知2/

1)(x n x f n

-

=，切点为)1,(+n n ，则n l 方程为))(1()1(2

n x n

n

n y --=+- 即2)1

1(:+-=x n

y l n

∴dx x n n x dx x n x n x a n n n n n )2(]2)11([11

-+=---+=??++=121

)11ln(-++n

n n

（Ⅱ）构造函数=)(x h )1ln(x +3

23

121x x x -+-，（x ≥0）

则=

)(/

x h 0111132

≤+-=-+-+x

x x x x 即函数=)(x h )1ln(x +3

23

121x x x -+

-，

（x ≥0）单调递减，而0)0(=h ∴0)(≤x h ，等号在0=x 时取得，

∴当x ＞0时，)1ln(x +＜3

23

121x x x +-成立 ∴知)11ln(n +＜3

2)1(31)1(211n n n +-

∴n a =121)11ln(-++n n n ＜231

n

（Ⅲ）n a ＜231n ＜)121

121(32411312+--?=-?n n n

∴当1=n 时，1a S n ==31＜9

5

；

当2≥n 时，∑∑==+==

n

k k

n k k n a a a S 2

11＜)121

12171515131(3231+--++-+-+n n 1213295+?-=

n ＜9

5 方法二： （Ⅰ）（Ⅱ）同方法一； （Ⅲ）由（Ⅱ）知n a ＜

231

n

， ∴123n n S a a a a =++++L 2222

11113132333n <

++++???L 222211111()3123n =++++L 221511()343n

=+++L 22111111()1(1)(1)211

n n n n n n <==---+-+Q

（*∈≥N n n ,3）

15111111111111[()()()()]34224235246211n S n n ∴<+-+-+-++--+L

)]1113121(2145[31+--++=n n )111(6195++-=n n 9

5< 又953111<==a S , 2122

1155

332129

S a a =+≤+=

N n ∈，都有n S ＜9

5。