高三数学培优补差辅导专题讲座-正弦定理、余弦定理及其应用
正弦定理、余弦定理及其应用
考试要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
正、余弦定理的五大命题热点
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点：
一、求解斜三角形中的基本元素
是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 例1 ABC ?中，3
π
=
A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ）
A ．33sin 34+???
?
?+
πB B ．36sin 34+??? ?
?
+πB C ．33sin 6+???
?
?
+
πB D ．36sin 6+??? ?
?
+πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．
解：由正弦定理得：
3
2sin sin sin sin sin sin sin()33
b c b c b c
B C B C B B ππ++=
===
++-， 得b ＋c
＝B ＋sin(23π－B )]＝6sin()6
B π
+．故三角形的周长为：3＋b ＋c ＝
36sin 6+??? ?
?
+πB ，故选(D)．
评注：由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时，即B ＝
6
π
，周长应为33＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．
例2(2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6
6
cos ,364==
B AB ，A
C 边上的中线B
D =5，求sin A 的值．
分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3
6221==
AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22
2
2
?-+=，
x x 6
6
36223852??++=，解得1=x ，37-=x （舍去）
故BC =2，从而328
cos 22
22=
?-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又6
30sin =B ，
故2sin A =1470
sin =A 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
例3 在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，
即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．
解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c A a =，再由余弦定理，得cos B ＝222
2a c b ac
+-．
∴ 2222a c b ac
+-＝2c a ，即a 2＝b 2
，得a ＝b ，故选(B)．
评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一
化为边，再判断(如解法2)．
三、 解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
例4 在ABC ?中，若120A ∠=
，5AB =，7BC =，
则ABC ?的面积S ＝_________
分析：本题只需由余弦定理，求出边AC ，再运用面积公式S ＝
2
1
AB ?AC sin A 即可解决． 解：由余弦定理，得cos A ＝
222225491
2102
AB AC BC AC AB AC AC +-+-==-??，解得AC ＝3． ∴ S ＝
21AB ?AC sin A ＝4
315．∴ 21AB ?AC ?sin A ＝21AC ?h ，得h ＝AB ? sin A ＝22
3，故选(A)．
四、求值问题
例5 在ABC ?中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，
设c b a 、、满足条件2
22a bc c b =-+和
32
1
+=b c ，求A ∠和B tan 的值． 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．
解：由余弦定理2
1
2cos 222=-+=
bc a c b A ，因此，?=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理
B
B B
C b c sin )
120sin(sin sin 321-?===+ ,2
1
cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=?-?=
B B B B 解得,2cot =B 从而.21tan =B
五、正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等
方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题
例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一
岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得
∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。
分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在河的一边，已测出AB 长、∠CAB 、∠CBA ，这个三角形可确定。 解析：由正弦定理得
sin sin AC AB
CBA ACB
=∠∠，∴AC=AB=120m ，
又∵11
sin 22
ABC S AB AC CAB AB CD =?∠=? ，解得CD=60m 。
点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。
（二.）遇险问题
例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
解析：如图舰艇在A 点处观测到灯塔S 在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B 点，测得S 在东30°北的方向上。 在△ABC 中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得
BS=AB=15，过点S 作SC ⊥直线AB ，垂足为C ，则SC=15sin30°=7.5。
这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。
点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知
西 北 南 东 A B C 30° 15°
图2 图1
A B C D
与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。
（三.）追击问题
例3 如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°
方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南
偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航
行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？
解析：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。
在△ABC 中，AC=28t ，BC=20t ，AB=9，
设∠ABC=α，∠BAC=β。
∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理
2222cos AC AB BC AB BC α=+-?，
()
()
2
2
1
2881202920()2
t t t =+-???-，
212860270t t --=，（4t －3）（32t+9）=0，解得t=
34，t=9
32
（舍） ∴AC=28×3
4=21 n mile ，BC=20×34
=15 n mile 。
根据正弦定理，得15sin 2sin 2114
BC AC
α
β=
==，又∵α=120°，∴β为锐角，＜4π
，
∴甲船沿南偏东
4π－的方向用34h 可以追上乙船。
点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC 、AB 边已知，另两边未知，
但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t 有关。这样根据余弦定理，可列出关于t 的一元二次方程，解出t 的值。
五、交汇问题
是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇．
例6 △ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.4
3cos =
B （Ⅰ）求cot A +cot
C 的值； （Ⅱ）设3
2
BA BC ?= ，求a ＋c 的值.
分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定
理等．
图3
°
解：（Ⅰ）由,4
7
)43(1sin ,43cos 2=-==
B B 得 由b 2=ac 及正弦定理得 .s i n s i n
s i n 2
C A B = 则11cos cos sin cos cos sin cot cot tan tan sin sin sin sin A C C A C A
A C A C A C A C ++=
+=+=
22sin()sin 1sin sin sin A C B B B B +=
=== （Ⅱ）由32BA BC ?= ，得ca ?cos B ＝32，由ㄋB ＝34
，可得ac ＝2，即b 2
＝2．
由余弦定理b 2=a 2+c 2－2a c+cosB ，
得a 2+c 2=b 2+2a c ·cosB=5. 3,
9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a
易错题解析
例题1 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a b c 2
2
2
<+，求A 的取值范围。 错解：∵a b c b c a 2222220<++->，∴。则
cos A b c a bc
=+->222
20，由于cosA 在（0°，180°）上为减函数
且cos90090°，∴°= 又∵A 为△ABC 的内角，∴0°＜A ＜90°。 辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是a 为最大边，而错解中只把a 看做是三角形 的普通一条边，造成解题错误。 正解：由上面的解法，可得A ＜90°。 又∵a 为最大边，∴A ＞60°。因此得A 的取值范围是（60°，90°）。 例题2 在△ABC 中，若a b A B 22=tan tan ，试判断△ABC 的形状。 错解：由正弦定理，得sin sin tan tan 22A B A B = 即sin sin sin cos cos sin sin sin 22 00A B A A B B A B =>>·，∵， ∴，即sin cos sin cos sin sin A A B B A B ==22。 ∴2A ＝2B ，即A ＝B 。故△ABC 是等腰三角形。 辨析：由sin sin 22A B =，得2A ＝2B 。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函 数的性质，三角变换生疏。 正解：同上得sin sin 22A B =，∴2A ＝22k B π+ 或222A k B k Z =+-∈ππ()。 ∵000<<<<==A b k A B ππ，，∴，则或A B =-π 2 。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 例题3 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S ABC △=3，求 a b c A B C ++++sin sin sin 的值。 错解：∵A ＝60°，b ＝1，S ABC △= 3，又S ABC △= 1 2 bc A sin ， ∴31 2 = c sin60°，解得c ＝4。 由余弦定理，得a b c bc A = +-=+-222116860cos cos °=13 又由正弦定理，得sin sin C B = =6393239 ，。 ∴ a b c A B C ++++= ++++sin sin sin 1314 323239639 。 辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解：由已知可得c a ==413，。由正弦定理，得 21360239 3 R a A = == sin sin °。∴a b c A B C R ++++==sin sin sin 22393。 例题4 在△ABC 中，c =+62，C ＝30°，求a ＋b 的最大值。 错解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。 由正弦定理，得 a A b A sin sin()sin =-= +15062 30°° ∴a A =+262()sin ， b A =+-262150()sin()° 又∵sin sin()A A ≤-≤11501，° ∴a b +≤+++=+262262462()()()。 故a b +的最大值为462()+。 辨析：错因是未弄清A 与150°－A 之间的关系。这里A 与150°－A 是相互制约的，不是 相互独立的两个量，sinA 与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。 正解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。 由正弦定理，得 a A b A sin sin()sin =-= +15062 30°° 因此a b A A +=++-262150()[sin sin()]° sin 75cos(75)cos(75)4 (875)8A A A =-=-=+-≤+°°·°° ∴a ＋b 的最大值为843+。 例题5 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。 错解：由余弦定理，得c a b ab 2 2 2 215=+-cos ° 48228=+-=-××∴c = -62。 又由正弦定理，得sin sin A a C c = =1 2 而0 018030150A A A <<=，∴＝或。 辨析：由题意b a >，∴ B A >。因此A ＝150°是不可能的。错因是没有认真审题，未利 用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。 正解：同上c A b a = -= >621 2 ，，∵sin ， 000018030B A A A ><<=∴，且，∴。 例题6 在△ABC 中，cos cos A b B α=，判断△ABC 的形状。 错解：在△ABC 中，∵a A b B cos cos =，由正弦定理 得22R A A R B B sin cos sin cos = ∴sin sin 222222180A B A B A B ==+=，∴且° ∴A ＝B 且A ＋B ＝90° 故△ABC 为等腰直角三角形。 辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。 正解：在△ABC 中，∵a A b B cos cos =，由正弦定理， 得2222R A A R B B A B sin cos sin cos sin sin ==，∴。 ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 例题7 若a ，b ，c 是三角形的三边长，证明长为a b c ，，的三条线段能构成锐角三 角形。 错解：不妨设0<≤≤a b c ，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。 cos ()()()θ=+-= +-a b c a b a b c ab 22222。 由于a ，b ，c 是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a b c +>，即cos θ>0。 ∴长为a b c ，，的三条线段能构成锐角三角形。 辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长 线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。 正解：由错解可得cos θ>0 又∵a b c a b c a b c a b c +-= +-++++()() ==> 即长为a b c ，，的三条线段能构成锐角三角形。 高考试题展示 1、（06湖北卷）若ABC ?的内角A 满足2 sin 23 A = ，则sin cos A A += ．．53 D ．53- 解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0， 又2 5 (sin cos )1sin 23 A A A +=+= ，故选A 2、（06安徽卷）如果111A BC ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 解：111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0，则111A BC ?是锐角三角形，若222A B C ?是锐角 三角形，由211211211sin cos sin()2 sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ?==-???==-???==-??，得21 2121 222A A B B C C πππ? =-?? ? =-??? =-?? ，那么，2222A B C π++=， 所以222A B C ?是钝角三角形。故选D 。 3、（06辽宁卷）ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量 (,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A) 6π (B)3π (C) 2 π (D) 23π 【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ?+-=-?+-= ，利用余弦定理可得 2c o s 1C =，即1cos 23 C C π = ?=，故选择答案B 。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考 查了同学们的运算能力。 4、（06辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） 解： 依题意，结合图形可得tan 2A = ，故222tan 2tan 1tan 2A A A = ==-，选D 5、（06全国卷I ）ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列， 且2c a =，则cos B = A ． 14 B ．34 C 解：ABC ?中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则b =2a ， 222cos 2a c b B ac +-==2222 423 44 a a a a +-=，选B. 6、06山东卷）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、 b 、 c ,A = 3 π ,a =3,b =1，则c = (A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 解：由正弦定理得sinB ＝ 1 2 ，又a >b ，所以A >B ，故B ＝30?，所以C ＝90?，故c ＝2，选B 7、（06四川卷）设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边，则()2 a b b c =+是 2A B =的 （A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 解析：设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边，若()2 a b b c =+， 则2 sin sin (sin sin )A B B C =+，则1cos 21cos 2sin sin 22 a B B C --=+， ∴ 1 (cos 2cos 2)sin sin 2 B A B C -=，sin()sin()sin sin B A A B B C +-=， 又sin()sin A B C +=，∴ sin()sin A B B -=，∴ A B B -=，2A B =， 若△ABC 中，2A B =，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到()2 a b b c =+， 所以()2 a b b c =+是2A B =的充要条件，选A. 8、（06北京卷）在ABC ?中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___________. 解： sin :sin :sin 5:7:8A B C =?a :b :c ＝5:7:8设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ， 由余弦定理可解得B ∠的大小为 3 π. 9、（06湖北卷）在?ABC 中，已知433= a ， b ＝4，A ＝30°，则sinB . 解：由正弦定理易得结论sinB ＝ 2 。 10、（06江苏卷）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得， sin 45sin 60AC BC = 解得AC =【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理 11、（06全国II ）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ． 解析: 由ABC ?的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得A+C=2B 而A+B+C=π可得3 B π ∠= AD 为边BC 上的中线可知BD=2, 由余弦定理定理可得AD 。 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 12、（06上海春）在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12， 则=C 2cos . 解：由三角形面积公式，得 1sin 20sin 122BC CA C C ??==，即3sin 5 C =． 于是2 7cos 212sin 25C C =-= 从而应填7 25 ． 13、（06湖南卷）如图3,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. （1）证明 sin cos 20αβ+=; （2）若 求β的值. 解：(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 22 22 π π π απββαββ= --=- ∴=-=- ， 即sin cos 20αβ+=． （2）．在ABC ?中，由正弦定理得 B D C α β A 图3 ,sin sin sin()sin DC AC DC βααπβα=?=∴=- 由(1)得sin cos 2αβ=- ，2sin 2sin ),βββ∴==- 即2sin 0.sin sin ββββ-== =解得． 0,sin .2 3 π π βββ<< ∴= ?= 14、（06江西卷）在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，， 已知sin 3 A =， （1）求2 2tan sin 22 B C A ++的值； （2）若2a = ，ABC S △b 的值． 解：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π ，sin A = ，所以cosA ＝13，则 2 2222B C sin B C A A 2tan sin sin B C 222 cos 2 1cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33 ＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－ （2 ）ABC ABC 1 1S S bcsin A bc 223 ? 因为＝＝，则bc ＝3。 将a ＝2，cosA ＝13，c ＝3 b 代入余弦定理： 222a b c 2bccos A ＝＋－中得42b 6b 90－＋＝ 解得b 15、（06江西卷）如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形， M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段MN 经过△ABC 设∠MGA ＝α（ 23 3 π π α≤≤ ） （1） 试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示 为α的函数 C （2）求y ＝ 22 12 11 S S ＋的最大值与最小值 解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心， 所以 AG ＝ 23，∠MAG ＝6π， 由正弦定理 GM GA sin sin 6 6 π π πα＝ （－－） 得GM 6sin 6 α（＋） 则S 1＝ 1 2 GM ?GA ?sin α＝sin 12sin 6 απ α（＋） ，同理可求得S 2＝ sin 12sin 6 α π α（－） （2） y ＝ 22 12 11S S ＋＝22 2144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋cot 2α）， 因为 23 3π πα≤≤ ，所以当α＝3 π或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240 当α＝ 2 π 时，y 取得最小值y min ＝216 16、（06全国卷I ）ABC ?的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2 B C A ++ 取得最大值，并求出这个最大值。 .解: 由A+B+C=π, 得B+C 2 = π2 －A 2 , 所以有cos B+C 2 =sin A 2 . cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A 2 =－2(sin A 2 － 12)2+ 3 2 当sin A 2 = 12 , 即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为3 2 17、（06全国II ） 在45,ABC B AC C ?∠=?==中，求 （1）?BC = (2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。 解：（1 ）由cos sin C C = = sin sin(18045)sin )A C C C =--=+= 由正弦定理知sin sin AC BC A B = ?==（2 ）sin 2sin AC AB C B = ?==，1 12BD AB == 由余弦定理知CD =18、（06四川卷）已知,,A B C 是三角形ABC ?三内角， 向量((),cos ,sin m n A A =-= ，且1m n ?= （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若 22 1sin 23cos sin B B B +=--，求tan B 解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。 （Ⅰ）∵1m n ?= ∴(()cos ,sin 1A A -?= cos 1A A -= 12sin cos 12A A ???= ? ??? , 1sin 62A π??-= ??? ∵50,666A A π π ππ<<- <- < ∴66A ππ-= ∴3 A π= （Ⅱ）由题知22 12sin cos 3cos sin B B B B +=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2 tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =- 而tan 1B =-使22 cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2 B = ∴()tan tan C A B π=-+????()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=- -= = 19、（06天津卷）如图，在ABC ?中，2AC =，1BC =，4 3 cos =C ． （1）求AB 的值； （2）求()C A +2sin 的值. 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解 决问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解： 由余弦定理， 2222..cos AB AC BC AC BC C =+-3 41221 2.4 =+-??? = 那么，AB （Ⅱ）解：由3cos 4C = ，且0,C π<< 得sin C == 由正弦定理， ,sin sin AB BC C A = 解得sin sin BC C A AB ==。 所以，cos A = 。由倍角公式sin 2sin 2cos A A A =?=， 且2 9 cos 212sin 16 A A =-= ， 故( )sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C +=+= . 20、（07重庆理5）在ABC ?中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ） A.33- B.2 C.2 D.33+ 【答案】：A 【分析】 ：0045,75,AB A C === 由正弦定理得： ,sin sin sin 45sin 75a c BC AB A C =?== 3BC ∴= 21、（07北京文12理11）在ABC △中，若1tan 3 A =，150C = ，1BC =，则AB = 解析：在ABC △中，若1tan 3A = ，150C = ，∴ A 为锐角，sin A =1BC =，则根据正弦定理AB = sin sin BC C A ? =2 ． 22、（07湖南理12）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b c =B = ． 【答案】 5π6 【解析】由正弦定理得cos B = =，所以5π.6B = 23、（07湖南文12） 在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、， 若1,3 a c C π == = ，则A= . 【解析】由正弦定理得2 1 323 sin sin sin sin ===?=c C a A C c A a ，所以A=π6 24、（07重庆文13）在△ABC 中，AB =1,B C =2,B =60°，则AC ＝ 。 【答案】：3 【分析】 ：由余弦定理得：2 2 2 12212cos60 3.AC AC =+-???=∴= 24、（07北京文理13）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标 是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全 等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果 小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小 的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于 ． 解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6， 设直角三角形的两条直角边长分别为a , b ，则2225162 a b ab ?+=? ?=??， ∴ 两条直角边的长分别为3，4， 设直角三角形中较小的锐角为θ，cos θ=54，cos2θ=2cos 2θ－1=725。 25、（07福建理17）在ABC △中，1tan 4A =，3 tan 5 B =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC △ 本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，13 45tan tan()113145 C A B + ∴=-+=-=--?． 又0πC << ，3 π4 C ∴=． （Ⅱ）3 4 C = π ，AB ∴ 边最大，即AB = 又tan tan 0A B A B π??<∈ ?2?? ，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边． 由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ? ==???+=? ，， 且π02A ??∈ ???，， 得sin A = sin sin AB BC C A = 得：sin sin A BC AB C == 所以，最小边BC = 26、（07广东理16）已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ， ，(00)B ，，(0)C c ，． （1）若5c =，求sin A ∠的值； （2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围． 解析： （1）(3,4)AB =-- ，(3,4)AC c =-- ，若c=5， 则(2,4)AC =- ， ∴cos cos ,A AC AB ∠=<>= ，∴si n ∠A ； 2）若∠A 为钝角，则391600 c c -++，∴c 的取值范围是25 (,)3+∞； 27、（07海南宁夏理17）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ． 解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CD BDC CBD =∠∠． 所以sin sin sin sin() CD BDC s BC CBD β αβ∠?= =∠+． 在ABC Rt △中， tan sin tan sin() s AB BC ACB θβ αβ?=∠= +． 28、（07湖北理16）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤?≤ ，设AB 和AC 的 夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f πθθθ?? =+ ??? 的最大值与最小值． 本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力． 解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由 1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ?? ∈???? ，∴． （Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ??=+ ???π1cos 222θθ?? ??=-+ ?????? ? (1sin 2)θθ=+πsin 2212sin 213θθθ? ?=+=-+ ???． ππ42θ?? ∈???? ，∵，ππ2π2363θ??-∈????，，π22sin 2133θ??-+ ???∴≤≤． 即当5π12θ= 时，max ()3f θ=；当π 4 θ=时，min ()2f θ=． 29、（07全国卷1理17）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ， 由ABC △为锐角三角形得π6 B = ． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π??+=+π- - ?6??cos sin 6A A π??=++ ??? 1 cos cos 2A A A =+3A π? ?=+ ?? ?． 由ABC △为锐角三角形知， 22A B ππ->-，2263 B ππππ -=-=． 2336A πππ<+< ，所以1sin 23A π??+< ??? 由此有 232A π? ?<+< ?? ? 所以，cos sin A C + 的取值范围为322?? ? ?? ?，． 30、（07全国卷2理17）在ABC △中，已知内角A π = 3 ，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值． 解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π= >>3，，得20B π <<3 ． 应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A = ==3 ， 2sin 4sin sin BC AB C x A π?? = =- ?3?? ． 因为y AB BC AC =++， 所以224sin 4sin 03y x x x ππ???=+-+<< ??3???， （2 ）因为1 4sin sin 2y x x x ??=+++ ? ??? 5s i n 3x x ππ ππ???=+ +<+< ??66 66???， 所以，当x ππ+ =62，即x π =3 时，y 取得最大值 31、（07山东理20 ）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向 匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向 的2B 处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解法一：如图，连结11A B ，由已知22A B = 1220 60 A A == 1221A A A B ∴=， 又12218012060A A B =-= ∠， 122A A B ∴△是等边三角形， 1212A B A A ∴==， 由已知，1120A B =，1121056045B A B =-= ∠， 在121A B B △中，由余弦定理， 22212111212122cos45B B A B A B A B A B =+- 22202202 =+-??200=． 12B B ∴= 因此，乙船的速度的大小为 6020 =（海里/小时） ． 答：乙船每小时航行海里． 解法二：如图，连结21A B ， 由已知1220A B = ，1220 60 A A ==112105 B A A = ∠， cos105cos(4560)=+ cos 45cos60sin 45sin 60=- =， sin105sin(4560)=+ sin 45cos60cos 45sin 60=+ = 在211A A B △中，由余弦定理， 1A 2 A 1 A 2A高中数学：(一)正弦定理