【数学月考】金陵中学2013-2014学年高二(上)10月月考试卷

2013-2014学年江苏省南京市金陵中学高二（上）10月调研数学

试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．

1．（5分）设集合M={x |0≤x ≤1}，函数f(x)=1?x

的定义域为N ，则M ∩N= ．

2．（5分）已知cosα=√53

，且α∈（﹣π2，0），则sin （π﹣α）= ．

3．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组{x +y ?2≥0

x ?y +2≥0x ≤2

表示的平面区域的面积

为 ．

4．（5分）已知函数f （x ）={

2?x ，x ≥3

f(x +1)，x ＜3，则f （log 23）= ．

5．（5分）从圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1外一点P （2，3）向这个圆引切线，则切线的方程为 ．

6．（5分）若a →

与（b →

?c →

）都是非零向量，则“a →?b →

=a →?c →

”是“a →

⊥（b →

?c →

）”的 条件．

7．（5分）正项的等差数列{a n }中，2a 3﹣a 72+2a 11=0，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 6b 8= ．

8．（5分）设x 、y 满足约束条件{

y ≤x +1

y ≥2x ?1

x ≥0y ≥0

，则目标函数z=16x +y 的最大值

为 ．

9．（5分）有下列四个命题：

①命题“若xy=1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；

③命题“若m ≤1，则x 2﹣2x +m=0有实根”的逆否命题；

④命题“若A∩B=B，则A?B”的逆否命题．

其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）．

10．（5分）如果两条直线l1：x+a2y+6=0与l2：（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，则实数a 的值是．

11．（5分）过点A（3，2），圆心在直线y=2x上，与直线y=2x+5相切的圆的方程为．

12．（5分）过点M的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为．

13．（5分）已知函数f（x）=|2

x

﹣1|（x＞0），若a＜b时，f（a）=f（b），则a+b

的取值范围为．

14．（5分）若对于给定的正实数k，函数f(x)=k

x的图象上总存在点C，使得以

C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）已知m＞0，p：（x+2）（x﹣6）≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．

（I）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．16．（14分）已知直线l：x﹣2y﹣5=0与圆O：x2+y2=50相交于点A，B，求：（1）交点A，B的坐标；

（2）△AOB的面积；

（3）圆心角AOB的余弦．

17．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，点D为BC中点，点E 为BD中点，点F在AC1上，且AC1=4AF．

（1）求证：平面ADF⊥平面BCC1B1；

（2）求证：EF∥平面ABB1A1．

18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．19．（16分）如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD 的张角∠CAD=45°．

（1）求BC的长度；

（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的张角分别为∠APB=α，∠DPC=β，问点P在何处时，α+β最小？

20．（16分）已知圆M：（x﹣1）2+y2=1，A（1

2

，

5

2

），B（0，t），C（0，t﹣4）（其

中0＜t＜4）．

（1）过点A的直线l被圆M截得的弦长为√3，求直线l的方程；

（2）若直线PB，PC都是圆M的切线，且点P在y轴右侧，求△PBC面积的最小值．

附加题：(本题满分0分，以160＋20的形式计分)

21．设集合A={（x，y）|m

2

≤（x﹣2）2+y2≤m2，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤

x+y≤2m+1，x，y∈R }，若A∩B≠?，求实数m的取值．

2013-2014学年江苏省南京市金陵中学高二（上）10月

调研数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．

1．（5分）设集合M={x |0≤x ≤1}，函数f(x)=1

1?x

的定义域为N ，则M ∩N= [0，1） ．

【分析】根据 1﹣x ＞0，求出此函数的定义域为N=（﹣∞，1 ），再利用两个集合的交集的定义求得M ∩N ． 【解答】解：对于函数f(x)=1

√1?x

，有 1﹣x ＞0，∴x ＜1，故此函数的定义域为（﹣∞，1）．

故N=（﹣∞，1），故M ∩N=[0，1]∩（﹣∞，1）=[0，1）． 故答案为：[0，1）．

【点评】本题主要考查求函数的定义域的方法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．

2．（5分）已知cosα=√53

，且α∈（﹣π2，0），则sin （π﹣α）= ﹣23 ．

【分析】由cosα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的

值，所求式子利用诱导公式化简即可求出值．

【解答】解：∵cosα=√5

3

，且α∈（﹣π2，0），

∴sinα=﹣√1?cos 2α=﹣23，

则sin （π﹣α）=sinα=﹣2

3

．

故答案为：﹣2

3

【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，

熟练掌握公式是解本题的关键．

3．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组{x +y ?2≥0

x ?y +2≥0x ≤2表示的平面区域的面积

为 4 ．

【分析】画直线y=﹣x +2，y=x +2，满足题意的区域为直线y=﹣x +2，y=x +2及x=2围成的三角形，求这个三角形的面积即可．

【解答】解：如图，画直线y=﹣x +2，y=x +2，满足不等式组的平面区域为这两直线与x=2围成的三角形，

区域面积为：1

2

×4×2=4．

故答案为：4

【点评】本题考查了二元一次不等式与一次函数的关系及三角形面积的计算方法，注意运用图形结合可以更直观地得解．

4．（5分）已知函数f （x ）={

2?x ，x ≥3

f(x +1)，x ＜3

，则f （log 23）= log 21

3 ．

【分析】根据log 23的范围循环代入分段函数的下段，当满足自变量的值大于等于3时代入f （x ）=2﹣x 求值．

【解答】解：由f （x ）={2?x ，x ≥3

f(x +1)，x ＜3，

∵log 23＜3，∴f （log 23）=f （log 23+1）=f （log 26）， 由log 26＜3，∴f （log 26）=f （log 26+1）=f （log 212），

∵log 212＞3，∴f （log 23）=f （log 212）=2﹣log 212=log 24?log 212=log 213．

故答案为log 21

3．

【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了分段函数的函数值的求法，关键是注意适用范围，是基础题．

5．（5分）从圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1外一点P （2，3）向这个圆引切线，则切线的方程为 x=2或3x ﹣4y +6=0 ．

【分析】当切线方程斜率不存在时，直线x=2满足题意；当切线方程斜率存在时，设出切线方程，根据圆心到切线的距离d=r 列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，确定出此时切线方程，综上，得到满足题意的切线方程． 【解答】解：分两种情况考虑：

若切线方程斜率不存在时，直线x=2满足题意；

若切线方程斜率存在时，设为k ，此时切线方程为y ﹣3=k （x ﹣2），即kx ﹣y +3﹣2k=0，

∵直线与圆相切，∴圆心（1，1）到切线的距离d=r ，即√k 2+1

=1，

解得：k=34，此时切线方程为34x ﹣y +3﹣3

2

=0，即3x ﹣4y +6=0，

综上，切线方程为x=2或3x ﹣4y +6=0． 故答案为：x=2或3x ﹣4y +6=0

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，利用了分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面，做到不重不漏．

6．（5分）若a →

与（b →

?c →

）都是非零向量，则“a →?b →

=a →?c →

”是“a →

⊥（b →

?c →

）”的

充要 条件．

【分析】利用向量垂直的充要条件是数量积为0，再利用向量的分配律得到答案． 【解答】解：∵a →

⊥（b →

?c →

）?a →

?(b →

?c →

)=0?a →?b →

?a →?c →

=0， ?a →?b →

=a →?c →

． 故答案为充要．

【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0、考查向量的数量积满足分配律．

7．（5分）正项的等差数列{a n }中，2a 3﹣a 72+2a 11=0，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 6b 8= 16 ．

【分析】根据等差数列的性质化简已知条件，得到关于a 7的方程，求出方程的解得到a 7的值，进而得到b 7的值，把所求的式子利用等比数列的性质化简，将b 7的值代入即可求出值．

【解答】解：根据等差数列的性质得：a 3+a 11=2a 7，

2a 3﹣a 72+2a 11=0变为：4a 7﹣a 72=0，解得a 7=4，a 7=0（舍去）， 所以b 7=a 7=4， 则b 6b 8=a 72=16． 故答案为：16

【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，是一道基础题．

8．（5分）设x 、y 满足约束条件

{

y ≤x +1

y ≥2x ?1

x ≥0y ≥0

，则目标函数z=16x +y 的最大值为 35 ．

【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形OABC 及其内部，再将目标函数z=16x +y 对应的直线进行平移，可得当x=2且y=3时，z 取得最大值．

【解答】解：作出不等式组{

y ≤x +1y ≥2x ?1

x ≥0y ≥0

表示的平面区域，得到如图的四边形OABC

及其内部，

其中A （1

2

，0），B （2，3），C （0，1），O 为坐标原点 设z=F （x ，y ）=16x +y ，将直线l ：z=16x +y 进行平移， 观察y 轴上的截距变化，可得

当l 经过点B 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值=F （2，3）=35 故答案为：35

【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．

9．（5分）有下列四个命题：

①命题“若xy=1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；

③命题“若m ≤1，则x 2﹣2x +m=0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B=B ，则A ?B”的逆否命题．

其中是真命题的是 ①②③ （填上你认为正确的命题的序号）．

【分析】命题判断一是直接判断二是用等价命题法①若x ，y 互为倒数，则xy=1成立；②三角形全等则面积一定相等正确，③若m ≤1则△=4﹣4m ≥0

方程有根

④若A ∩B=B 应是B ?A ．

【解答】解：①若x ，y 互为倒数，则xy=1成立；②逆命题是“三角形全等则面积一定相等”正确则其否命题正确，③若m ≤1则△=4﹣4m ≥0方程有根原命题正确则其逆否命题正确④若A ∩B=B 应是B ?A 则其逆否命题不正确． 故答案是①②③

【点评】本题主要考查命题的判断方法．

10．（5分）如果两条直线l 1：x +a 2y +6=0与l 2：（a ﹣2）x +3ay +2a=0平行，则实数a 的值是 0或﹣1 ．

【分析】讨论直线的斜率是否存在，然后根据两直线的斜率都存在，则斜率相等建立等式，解之即可．

【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在， 它们的方程分别是x=﹣6，x=0，显然两直线是平行的． 当a ≠0时，两直线的斜率都存在，故有斜率相等，

∴﹣1a =2?a 3a

，

解得：a=﹣1， 综上，a=0或﹣1， 故答案为：0或﹣1．

【点评】本题主要考查了两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，属于基础题．

11．（5分）过点A （3，2），圆心在直线y=2x 上，与直线y=2x +5相切的圆的方程为

（x ﹣2）2+（y ﹣4）2=5

或（x ﹣45）2+（y ﹣85

）2

=5 ．

【分析】根据设圆心坐标为（x 0，2x 0），由圆过点A （3，2）且与直线y=2x +5相切，得 √(x 0?3)2

+(2x 0?2)2

=

00√5

，进而求出圆的圆心与半径．

【解答】解：因为圆心在直线y=2x 上，所以设圆心坐标为（x 0，2x 0） 因为圆过点A （3，2）且与直线y=2x +5相切，

所以 √(x 0?3)2+(2x 0?2)2

=

00√5

，

解得x 0=2或x 0=4

5

，

当x 0=2时，圆心坐标为（2，4），并且半径r=√5，

当x 0=45时，圆心坐标为（4

5

，85），并且半径r=√5，

∴所求圆的方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣4）2=5或（x ﹣45

）2

+（y ﹣85）2=5．

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，解决直线与圆的位置问题的方法是利用圆心到直线的距离与半径之间大小关系来判断，或者联立直线圆的方程利用△判别式与0的大小进行判断．

12．（5分）过点M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2=4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为 2x ﹣4y +3=0 ．

【分析】研究知点M 在圆内，过它的直线与圆交于两点A ，B ，当∠ACB 最小时，直线l 与CM 垂直，故先求直线CM 的斜率，再根据充要条件求出直线l 的斜率，由点斜式写出其方程．

【解答】解：验证知点M 在圆内， 当∠ACB 最小时，直线l 与CM 垂直， 由圆的方程，圆心C （1，0）

∵k CM =1?0

12?1=﹣2，

∴k l =1

2

∴l ：y ﹣1=12（x ﹣1

2

），整理得2x ﹣4y +3=0

故应填2x ﹣4y +3=0

【点评】本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为﹣1，以及用点斜式写出直线的方程．

13．（5分）已知函数f （x ）=|2

﹣1|（x ＞0），若a ＜b 时，f （a ）=f （b ），则a +b

的取值范围为 （4，+∞） ．

【分析】由题意可得f （2）=0，0＜a ＜2，b ＞2，且

2a

?1=﹣（2

b

﹣1）．化简可

得a+b

ab

=1，即 a +b=ab ， 再利用基本不等式求得a +b 的范围．

【解答】解：由题意可得f （2）=0，0＜a ＜2，b ＞2，且

2a

?1=﹣（2

b

﹣1）．

化简可得 2a +2b =2，即 a+b ab

=1，即 a +b=ab ＜(a+b)2

2，即 （a +b ）（a +b ﹣4）＞

0，

解得a +b ＞4， 故答案为（4，+∞）．

【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，基本不等式的应用，属于中档题．

14．（5分）若对于给定的正实数k ，函数f(x)=k x 的图象上总存在点C ，使得以

C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为2，则k 的取值范围是 （0，9

2

） ．

【分析】根据题意得：以C 为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即C 到原点距离小于3，即f （x ）的图象上离原点最近的点到原点的距离小于3，设出C 坐标，利用两点间的距离公式表示出C 到原点的距离，利用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于3列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的范围．

【解答】解：根据题意得：|OC |＜1+2=3， 设C （x ，k

x

），

∵|OC |=√x 2+k

2

x 2≥√2k ，

∴√2k ＜3，即0＜k ＜9

2，

则k 的范围为（0，9

2

）．

故答案为：（0，9

2

）

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆与圆位置关系的判定，基本不等式的运用，以及两点间的距离公式，解题的关键是根据题意得出以C 为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即C 到原点距离小于3．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）已知m ＞0，p ：（x +2）（x ﹣6）≤0，q ：2﹣m ≤x ≤2+m ． （I ）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；

（Ⅱ）若m=5，“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，求实数x 的取值范围． 【分析】（I ）通过解不等式化简命题p ，将p 是q 的充分条件转化为[﹣2，6]是[2﹣m ，2+m ]的子集，列出不等式组，求出m 的范围．

（II ）将复合命题的真假转化为构成其简单命题的真假，分类讨论，列出不等式组，求出x 的范围．

【解答】解：p ：﹣2≤x ≤6． （I ）∵p 是q 的充分条件， ∴[﹣2，6]是[2﹣m ，2+m ]的子集

∴{m ＞0

2?m ≤?22+m ≥6?m ≥4∴实数m 的取值范围是[4，+∞）

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（Ⅱ）当m=5时，q ：﹣3≤x ≤7．据题意有，p 与q 一真一假．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） p 真q 假时，由{

?2≤x ≤6

x ＜?3或x ＞7

?x ∈?﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

p 假q 真时，由{x ＜?2或x ＞6?3≤x ≤7

??3≤x ＜?2或6＜x ≤7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣（11分）

∴实数x 的取值范围为[﹣3，﹣2）∪（6，7]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先化简各个命题再利用充要条件的定义判断；解决复合命题的真假问题常转化为简单命题的真假情况．

16．（14分）已知直线l ：x ﹣2y ﹣5=0与圆O ：x 2+y 2=50相交于点A ，B ，求： （1）交点A ，B 的坐标； （2）△AOB 的面积； （3）圆心角AOB 的余弦．

【分析】（1）联立直线l 与圆O 方程组成方程组，求出方程组的解即可确定出A 与B 的坐标；

（2）由A 与B 坐标确定出直线AB 解析式，求出原点O 到直线AB 的距离d ，再利用两点间的距离公式求出AB 的长，即可确定出三角形AOB 的面积；

（3）利用余弦定理表示出cos ∠AOB ，求出OA 与OB 的长，再由AB 的长，代入计算即可求出值．

【解答】解：（1）由方程组{x ?2y ?5=0

x 2

+y 2=50， 消去x 得y 2+4y ﹣5=0，解得：y 1=1，y 2=﹣5， ∴{x =7y =1或{

x =?5

y =?5

， 则点A ，B 的坐标分别为（7，1），（﹣5，﹣5）； （2）由（1）知直线AB 的方程为x ﹣2y ﹣5=0， ∵圆O 的圆心为坐标原点O ，半径为5√2，

∴原点O 到直线AB 的距离为d=√5

=√5，

又AB=√[7?(?5)]2+[1?(?5)]2

=6√5，

则△AOB 的面积为S=12×6√5×√5

=15；

（3）∵OA=5√2，OB=5√2，AB=6√5，

∴cos ∠AOB=OA 2+OB 2?AB 2

2OA?OB

=﹣4

5．

【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，

两点间的距离公式，余弦定理，以及直线与圆交点坐标，熟练掌握公式及定理是

解本题的关键．

17．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，点D为BC中点，点E 为BD中点，点F在AC1上，且AC1=4AF．

（1）求证：平面ADF⊥平面BCC1B1；

（2）求证：EF∥平面ABB1A1．

【分析】（1）欲证平面ADF⊥平面BCC1B1，可先证AD⊥平面BCC1B1，CD⊥AB，因AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC，故只须证CC1⊥AD，这个可以根据直三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥平面ABC得到；

（2）欲证EF∥平面ABB1A1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABB1A1内一直线平行，连结CF延长交AA1于点G，连结GB．根据中点条件及AC1=4AF可知EF∥GB，又EF?平面ABBA1，GB?平面ABBA1，满足定理所需条件，从而得出答案．

【解答】证明：（1）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以CC1⊥平面ABC，

而AD?平面ABC，所以CC1⊥AD．…（2分）

又AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC，

因为BC∩CC1=C，BC?平面BCC1B1，CC1?平面BCC1B1，

所以AD⊥平面BCC1B1，…（5分）

因为AD?平面ADF，

所以平面ADF⊥平面BCC1B1．…（7分）

（2）连结CF延长交AA1于点G，连结GB．

因为AC1=4AF，AA1∥CC1，所以CF=3FG，

又因为D为BC中点，点E为BD中点，所以CE=3EB，

所以EF∥GB，…（11分）

而EF?平面AB1A1B，GB?平面AB1A1B，

所以EF∥平面ABB1A1．…（14分）

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．

18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；

法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，

（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA ⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．

【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2√2，0），（3﹣2√2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C

为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2√2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为√32+(t?1)2=3，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．

法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0

x=0，y=1有1+E+F=0

y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，

即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组

{x?y+a=0

(x?3)2+(y?1)2=9，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由

已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．

在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=a2?2a+1

2

①，

由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②

由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．

【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．

19．（16分）如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD 的张角∠CAD=45°．

（1）求BC的长度；

（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的张角分别为∠APB=α，∠DPC=β，问点P在何处时，α+β最小？

【分析】（1）作AN ⊥CD 于N ，问题转化为求△ACD 边CD 上的高．设AN=x ，只要建立起关于x 的方程，则问题可解．

（2）利用（1）设出BP 为t ，直接求出α、β的正切值，然后求出∠ADB 的正切值，利用基本不等式求解表达式的最小值，推出BP 是值即可． 【解答】解：（1）如图作AN ⊥CD 于N ． ∵AB ∥CD ，AB=9，CD=15，∴DN=6，NC=9． 设AN=x ，∠DAN=θ，

∵∠CAD=45°，∴∠CAN=45°﹣θ． 在Rt △ANC 和Rt △AND 中， ∵tanθ=6x

，tan （45°﹣θ）=9

x

∴9x =tan （45°﹣θ）=1?tanθ1+tanθ

∴9x =1?6

x

1+

6，化简整理得x 2﹣15x ﹣54=0， 解得x 1=18，x 2=﹣3（舍去）． BC 的长度是18 m ．

（2）设BP=t ，所以PC=18﹣t ，

tanα=9t

，tanβ=1518?t ，

所以tan （α+β）=tanα+tanβ

1?tanαtanβ

=9t +1518?t 1?9t ×1518?t

=﹣6

t?45+1350t+27

=﹣6

t+27+1350

t+27

?72

≥

6

2√1350?72

当且仅当t+27=1350

t+27

，即t=15√6?27时，α+β最小．

P在距离B15√6?27时，α+β最小．

【点评】考查了解三角形的实际应用．解这类题的关键是建立数学模型，设出恰当的角．考查两角和与差的三角函数，考查计算能力．

20．（16分）已知圆M：（x﹣1）2+y2=1，A（1

2

，

5

2

），B（0，t），C（0，t﹣4）（其

中0＜t＜4）．

（1）过点A的直线l被圆M截得的弦长为√3，求直线l的方程；

（2）若直线PB，PC都是圆M的切线，且点P在y轴右侧，求△PBC面积的最小值．

【分析】（1）分类讨论：斜率不存在时成立；斜率存在时，先求弦心距，再利用弦长可求斜率，从而可求方程；

（2）由于BC 长度一定，故求△PBC 面积的最小值，即求P 的横坐标的最小值，利用PB ，PC 是圆的切线，可求P 的坐标，根据已知，可求其最小值．

【解答】解：（1）①当l ⊥x 轴时，l 的方程为x=1

2

，满足题意．

②当l 与x 轴不垂直时，设l ：y ﹣52=k （x ﹣12），即kx ﹣y +5+k

2=0．

所以圆心M 到l 的距离d=|k+5?k

2|

√k 2+1

，

又直线被圆所截弦长为√3，则d=√12

?(√3

2)2

=1

2

，

所以|k+5?k

2|√2=12

，解得：k=﹣125，所以l ：12x +5y ﹣372=0．

综上，直线l 的方程为x=1

2

，或24x +10y ﹣37=0．

（2）设PB 的斜率为k ，则PB ：y=kx +t ，即kx ﹣y +t=0． 因为PB 与圆M 相切，所以

√k 2+1

=1，得k=1?t 2

2t ．

所以PB ：y=1?t 2

2t x +t ． 同理可得PA ：y=1?(t?4)2

2(t?4)

x +t ﹣4．

由

{

y =1?t 2

2t

x +t

y =1?(t?4)

22(t?4)x +t ?4.解得x P =

2t 2?8t

t ?4t+1

．

由2xp =t 2?4t+1t 2?4t =1+1t 2?4t

． 因为0＜t ＜4，所以0＞t 2﹣4t ≥﹣4，所以

2

xp ≤34，x P ≥8

3

． 当t=2时，x P =83，此时S △ABC =16

3

．

所以△PBC 面积的最小值为16

3

．

【点评】本题以圆为载体，考查圆的切线方程，考查直线与圆的位置关系，有一定的综合性．