北航研究生数值分析编程大作业1
数值分析大作业
一、算法设计方案
1、矩阵初始化
矩阵[]501501?=ij a A 的下半带宽r=2,上半带宽s=2，设置矩阵[][]5011++s r C ，
在矩阵C 中检索矩阵A 中的带内元素ij a 的方法是：j s j i ij c a ,1++-=。这样所需要的存储单元数大大减少，从而极大提高了运算效率。
2、利用幂法求出5011λλ，
幂法迭代格式：
0111111n
k k k k k
k T k k k u R y u u Ay y u ηηβ------?∈??=?=??=??=?
非零向量 当1210/-≤-k k βββ时，迭代终止。
首先对于矩阵A 利用幂法迭代求出一个λ，然后求出矩阵B ，其中
I A B λ-=(I 为单位矩阵）
，对矩阵B 进行幂法迭代，求出λ'，之后令λλλ+'=''，比较的大小与λλ''，大者为501λ，小者为1λ。
3、利用反幂法求出ik
s λλ,
反幂法迭代格式：
0111111n
k k k k k
k T k k k u R y u Au y y u ηηβ------?∈??=?=??=??=?
非零向量 当1210/-≤-k k βββ时，迭代终止，1s k λβ=。
每迭代一次都要求解一次线性方程组1-=k k y Au ，求解过程为：
（1）作分解LU A =
对于n k ,...,2,1=执行
[]
[]
s k n r k k k i c c c c c n s k k k j c c
c c k s k
s k t k s k r i t t s t i k s k i k s k i j
s j t k s j r k t t s t k j s j k j s j k <+++=-=++=-=+++----=++-++-++-++----=++-++-++-∑∑);,min(,...,2,1/)(:),min(,...,1,:,1,11),,1max(,1,1,1,11),,1max(,1,1,1
（2）求解y Ux b Ly ==,（数组b 先是存放原方程组右端向量，后来存放中间向量y)
)
1,...,2,1(/)(:/:)
,...,3,2(:,1),min(1.1.11),1max(,1--=-
===-=+++-++-+--=++-∑∑n n i c x c b x c b x n i b c b b i s t n s i i t t s t i i i n
s n n t
i r i t t s t i i i
使用反幂法，直接可以求得矩阵按模最小的特征值s λ。
求与数)39,...,2,1(401
5011=-+=k k k λλλμ最接近的特征值ik λ，对矩阵I
A k μ-实行反幂法，即可求出对应的k k ik k k μλλβλ+==,/1。
4、求出A 的条件数和行列式
根据max 2()s
cond A λλ=，其中分子分母分别对应按模最大和最小的特征值。 det()A 的计算：由于A LU =,其中L 为下三角矩阵，且对角线元素为1，故det()1L =，所以有A LU U ==，又U 为上三角矩阵，故det()U 为对其对角线上各元素的乘积，最后可得det()det()A U =。
二、程序源代码
（1）定义所需要的函数：
#include
#include
#include
#define N 501
#define R 2
#define S 2
int min(int a,int b); // 求最小值
int max(int a,int b,int c); // 求最大值
double Fan_two(double x[N]);//计算二范数
void FenjieLU(double (*C)[N]);//解线性方程组的LU分解过程
void Solve(double (*C)[N], double *b,double *x);//解线性方程组的求解过程double PowerMethod(double C[][N],double u[N],double y[N],double bta,double D);//幂法
double InversePowerMethod(double C[][N],double u[N],double y[N],double bta,double D);//反幂法
};
（2）程序的主函数，Main.cpp代码如下：
void main()
{
double C[R+S+1][N];
double u[N];
double y[N];
double miu[39];
double C1[R+S+1][N];
double bta = 1.0;
double Namda1,Namda501,NamdaS;
double Namda[39];
double CondA2;
double detA = 1.0;
double D = 1.0e-12;
int i, j, k;
FILE * fp;
fp = fopen("Namda.txt","w");
//对数组进行初始化//
int i, j;
for (i = 0; i < N; i++)
{
u[i] = 1;
}
for (i = 0;i< R + S + 1;i++)
{
for (j = 0;j< N;j++)
{
if (i==0||i==4)
{
C[i][j]=-0.064;
}
else if (i==1||i==3)
{
C[i][j]=0.16;
}
else if (i==2)
{
C[i][j]=(1.64-0.024*(j+1))*sin(0.2*(j+1))
-0.64*exp(0.1/(j+1));
}
}
}
//幂法求Namda1//
Namda1 = PowerMethod(C, u, y, bta, D);
printf("\n================================================\n"); printf("Namda1 = %12.11e", Namda1);
printf("\n================================================\n"); //幂法求Namda501//
bta = 1.0;
for (i = 0; i < R + S + 1; i++)
{
for (j = 0; j < N; j++)
{
if (i == 2)
C1[i][j] = C[i][j] -Namda1;
else
C1[i][j] = C[i][j];
}
}
Namda501 = algorism.PowerMethod(C1, u, y, bta, D) +Namda1;
printf("\n================================================\n"); printf("Namda501 = %12.11e", Namda501);
printf("\n================================================\n"); //反幂法求NamdaS//
bta = 1.0;
NamdaS = InversePowerMethod(C, u, y, bta, D);
printf("\n================================================\n");
printf("NamdaS = %12.11e", NamdaS);
printf("\n================================================\n");
//反幂法求Namda[k]//
printf("\n================================================\n");
for (k = 0; k < 39; k++)
{
miu[k] = Namda1 + (k + 1) * (Namda501 - Namda1) / 40.0;
bta = 1.0;
for (i = 0; i < R + S + 1; i++)
{
for (j = 0; j < N; j++)
{
if (i == 2)
C1[i][j] = C[i][j] - miu[k];
else
C1[i][j] = C[i][j];
}
}
Namda[k] = InversePowerMethod(C1, u, y, bta, D) + miu[k];
fprintf(fp,"与%12.11e最接近的特征值为:%12.11e\n",miu[k],Namda[k]);
}
printf("求与miu[k]最接近的Namda[k]的计算结果已经输出到文件Namda.txt 中");
printf("\n================================================\n");
//求A的谱范数//
printf("\n================================================\n");
printf("A的谱范数为:%12.11e", sqrt(Namda501));
printf("\n================================================\n");
//求A的条件数//
CondA2 = fabs( Namda1 / NamdaS);
printf("\n================================================\n");
printf("A的谱范数的条件数Cond(A)2为:%12.11e",CondA2);
printf("\n================================================\n");
//求det(A)2的值//
for (j = 0; j < N; j++)
detA *= C[2][j];
printf("\n================================================\n");
printf("行列式A的值为:%12.11e",detA);
printf("\n================================================\n");
fclose(fp);
_getch();
return;
}
（3）成员函数的实现
int min(int a,int b)
{
return a < b ? a : b;
}
int max(int a,int b,int c)
{
int temp;
temp = a > b ? a : b;
return temp > c ? temp : c;
}
double Fan_two(double x[N])
{
double sum = 0.0;
int i;
for (i = 0; i < N; i++)
{
sum += pow(x[i],2);
}
return sqrt(sum);
}
void FenjieLU(double (*C)[N])
{
double sum = 0;
int i, j, k,t;
for (k = 0; k < N; k++)
{
j = k;
i = k + 1;
while (1)
{
if (j == min(k + S + 1, N))
break;
for (t = max(0, k - R, j - S); t <= k - 1; t++)
{
sum += C[k-t+S][t] * C[t-j+S][j];
}
C[k-j+S][j] = C[k-j+S][j] - sum;
sum = 0.0;
j++;
if (k == N-1)
break;
if (i == min(k + R + 1, N))
break;
for (t = max(0, i - R,k - S); t <= k - 1; t++)
{
sum += C[i-t+S][t] * C[t-k+S][k];
}
C[i-k+S][k] = (C[i-k+S][k] - sum) / C[S][k];
sum = 0;
i++;
}
}
}
void Solve(double (*C)[N], double *b,double *x)
{
double sum = 0;
int i, t;
sum = 0;
for (i = 1; i < N; i++)
{
for (t = max(0, i - R); t <= i - 1; t++)
{
sum += C[i-t+S][t] * b[t];
}
b[i] = b[i] - sum;
sum = 0;
}
x[N-1] = b[N-1] / C[S][N-1];
for (i = N - 2; i >= 0; i--)
{
for (t = i+1; t <= min(i + S, N - 1); t++)
{
sum += C[i-t+S][t] * x[t];
}
x[i] = (b[i] - sum) / C[S][i];
sum = 0;
}
}
double PowerMethod(double C[][N],double u[N],double y[N],double bta,double D) {
double ita;
double sum = 0;
double temp = 0.0;
int i,j,k = 0;
while (fabs(bta - temp) / fabs(bta) > D)
{
temp = bta;
ita = Fan_two(u);
for (i = 0; i < N; i++)
{
y[i] = u[i] / ita;
}
for (i = 0; i < N; i++)
{
for (j = max(0,i - R); j < min(i + S + 1,N); j++)
{
sum += C[i - j + S][j] * y[j];
}
u[i] = sum;
sum = 0;
}
for (i = 0; i < N; i++)
{
sum += y[i] * u[i];
}
bta = sum;
sum = 0;
k++;
}
return bta;
}
double InversePowerMethod(double C[][N],double u[N],double y[N],double bta,double D)
{
double TC[R+S+1][N];
double ty[N];
double ita;
double sum = 0;
double temp = 0.0;
int i,j,k = 0;
FenjieLU(C);
while (abs(1/bta - 1/temp) / abs(1/bta) > D)
{
temp = bta;
ita = Fan_two(u);
for (i = 0; i < N; i++)
{
y[i] = u[i] / ita;
}
//用到临时存储数组TC[][]和ty[][]是因为函数Solve执行过程中会改变A[][]和y[][]
for (i = 0; i < R + S + 1; i++)
{
for (j = 0; j < N; j++)
TC[i][j] = C[i][j];
}
for (i = 0; i < N; i++)
ty[i] = y[i];
Solve(C, y, u);
for (i = 0; i < R+S+1; i++)
{
for (j = 0; j < N; j++)
C[i][j] = TC[i][j];
}
for (i = 0; i < N; i++)
y[i] = ty[i];
for (i = 0; i < N; i++)
{
sum += y[i] * u[i];
}
bta = sum;
sum = 0;
k++;
}
bta = 1.0 / bta;
return bta;
}
三、程序运行结果
下图为主程序运行结果
的结果输出在Namda.txt文件中，结果如下：其中
ik
四、分析迭代初始向量对计算结果的影响
选择不同的初始向量[]
u N可能会得到不同的特征值。
选取[]{1,0,0,,0}
u N=???时，运行结果如下：
选取[]{1,1,1,,1}u N =???时，运行结果如下：
选取[]{1,1,1,,0,0,0}u N =???时（i
选取[]{0,0,0,,1,1,1}u N =???时（i
通过以上类似的实验可以大致看出这样的规律：
1λ的值趋近于 1.07001136150001e -+有两种情况：
（1）当[]u N 的元素中，1的个数较多时;
（2）在1的个数相同的条件下，1的分布越靠中后段，
观察λ1对应的特征向量可以发现：
（1）随着i的增加，特征向量元素的绝对值不断增大，即绝对值较大的数集中于中后位置。因此，如果初始向量的非零元素集中在中后段，该初始向量会更容易逼近对应的特征向量，得到的结果也越准确。
对于，初始向量的非零元素集中在前半段的情况进行实验，会发现当算法中不考虑给定的精度水平，强制性执行足够高次数（大约在300多次以上）的迭代，运算结果也会趋近于 1.07001136150001
-+。这就说明，程序之前没有得到准确
e
结果的原因，是因为迭代次数不够。当迭代次数在100到200次左右时，每一次迭代所造成的相对误差小于给定的精度水平，因此，如果由精度水平来控制循环迭代的次数，程序将错误地判断已经收敛，但实际上，当继续迭代到300次以上时，运算结果会突然变化，直至最终稳定在 1.07001136150001
-+。
e
由此，可以得出结论，当迭代次数足够高（300次以上）时，得到的结果会趋于稳定，不同的初始向量和选定的精度水平，决定着程序是否出现以及何时出现假收敛。当所选取初始向量的非零元素越多，以及非零元素的位置越靠后时，收敛会更加迅速、准确。
北航数值分析大作业一
《数值分析B》大作业一 SY1103120 朱舜杰 一．算法设计方案： 1.矩阵A的存储与检索 将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] . 由于C语言中数组角标都是从0开始的，所以在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素a ij的方法是： A的带内元素a ij=C中的元素c i-j+2,j 2.求解λ1，λ501，λs ①首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。λmin即为λs； 如果λmax>0,则λ501=λmax；如果λmax<0,则λ1=λmax。 ②使用带原点平移的幂法（mifa（）函数），令平移量p=λmax，求 出对应的按摸最大的特征值λ，max， 如果λmax>0,则λ1=λ，max+p；如果λmax<0,则λ501=λ，max+p。 3.求解A的与数μk=λ1+k（λ501-λ1）/40的最接近的特征值λik （k=1,2，…，39）。 使用带原点平移的反幂法，令平移量p=μk，即可求出与μk最接近的特征值λik。 4.求解A的（谱范数）条件数cond（A）2和行列式d etA。 ①cond（A）2=|λ1/λn|，其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和 最小特征值。
②矩阵A的行列式可先对矩阵A进行LU分解后，detA等于U所有对角线上元素的乘积。 二．源程序 #include 数值分析第二次大作业 史立峰 SY1505327 一、 方案 （1）利用循环结构将sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)() {i j i j ij i j i j a +≠+==(i,j=1,2,……,10)进行赋值，得到需要变换的 矩阵A ； （2）然后，对矩阵A 利用Householder 矩阵进行相似变换，把A 化为上三角矩阵A (n-1)。 对A 拟上三角化，得到拟上三角矩阵A (n-1)，具体算法如下： 记A(1)=A ，并记A(r)的第r 列至第n 列的元素为()n r r j n i a r ij ,,1,;,,2,1) ( +==。 对于2,,2,1-=n r 执行 1. 若 ()n r r i a r ir ,,3,2) ( ++=全为零，则令A(r+1) =A(r),转5；否则转2。 2. 计算 () ∑+== n r i r ir r a d 1 2 )( ()( )r r r r r r r r r r d c a d a c ==-=++则取,0sgn ) (,1)(,1若 )(,12r r r r r r a c c h +-= 3. 令 () n T r nr r r r r r r r r R a a c a u ∈-=++) ()(,2)(,1,,,,0,,0 。 4. 计算 r r T r r h u A p /)(= r r r r h u A q /)(= r r T r r h u p t /= r r r r u t q -=ω T r r T r r r r p u u A A --=+ω)()1( 5. 继续。 （3）使用带双步位移的QR 方法计算矩阵A (n-1)的全部特征值，也是A 的全部特征值，具体算法如下： 1. 给定精度水平0>ε和迭代最大次数L 。 2. 记n n ij n a A A ?-==][) 1()1()1(，令n m k ==,1。 《数值分析》计算实习题目 第一题： 1. 算法设计方案 （1）1λ，501λ和s λ的值。 1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1，然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2，比较两值大小，数值小的为所求最小特征值λ1，数值大的为是所求最大特征值λ501。 2)使用反幂法求λs ，其中需要解线性方程组。因为A 为带状线性方程组，此处采用LU 分解法解带状方程组。 （2）与140k λλμλ-5011=+k 最接近的特征值λik 。 通过带有原点平移的反幂法求出与数k μ最接近的特征值 λik 。 （3）2cond(A)和det A 。 1）1=n λλ2cond(A)，其中1λ和n λ分别是按模最大和最小特征值。 2）利用步骤（1）中分解矩阵A 得出的LU 矩阵，L 为单位下三角阵,U 为上三角阵，其中U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。 由于A 的元素零元素较多，为节省储存量，将A 的元素存为6×501的数组中，程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A 中的元素。 2.全部源程序 #include 北京航空航天大学 数值分析大作业八 学院名称自动化 专业方向控制工程 学号 学生姓名许阳 教师孙玉泉 日期2014 年11月26 日 一．题目 关于x , y , t , u , v , w 的方程组(A.3) ???? ?? ?=-+++=-+++=-+++=-+++79 .0sin 5.074.3cos 5.007.1cos sin 5.067.2cos 5.0y w v u t x w v u t y w v u t x w v u t (A.3) 以及关于z , t , u 的二维数表（见表A-1）确定了一个二元函数z =f (x , y )。 表A-1 二维数表 t z u 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 0 -0.5 -0.34 0.14 0.94 2.06 3.5 0.2 -0.42 -0.5 -0.26 0.3 1.18 2.38 0.4 -0.18 -0.5 -0.5 -0.18 0.46 1.42 0.6 0.22 -0.34 -0.58 -0.5 -0.1 0.62 0.8 0.78 -0.02 -0.5 -0.66 -0.5 -0.02 1.0 1.5 0.46 -0.26 -0.66 -0.74 -0.5 1. 试用数值方法求出f (x , y ) 在区域}5.15.0,8.00|), {≤≤≤≤=y x y x D （上的近似表达式 ∑∑===k i k j s r rs y x c y x p 00 ),( 要求p (x , y )以最小的k 值达到以下的精度 ∑∑==-≤-=10020 7210)],(),([i j i i i i y x p y x f σ 其中j y i x i i 05.05.0,08.0+==。 2. 计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,8 ; j =1,2,…,5) 的值，以观察p (x , y ) 逼 近f (x , y )的效果，其中j y i x j i 2.05.0,1.0**+==。 航空航天大学 《数值分析》计算实习报告 第一大题 学院：自动化科学与电气工程学院 专业：控制科学与工程 学生姓名： 学号： 教师： 电话： 完成日期： 2015年11月6日 航空航天大学 Beijing University of Aeronautics and Astronautics 实习题目： 第一题 设有501501?的实对称矩阵A ， ??? ???? ?????????=5011A a b c b c c b c b a 其中，064.0,16.0),501,,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1 .0-==???=--=c b i e i i a i i 。矩阵A 的特征值为)501,,2,1(???=i i λ，并且有 ||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤ 1.求1λ，501λ和s λ的值。 2.求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,,2,1(???=k k i λ。 3.求A 的(谱数)条件数2)A (cond 和行列式detA 。 说明： 1.在所用的算法中，凡是要给出精度水平ε的，都取12-10=ε。 2.选择算法时，应使矩阵A 的所有零元素都不储存。 3.打印以下容： （1）全部源程序； （2）特征值），，39,...,2,1(,s 5011=k k i λλλλ以及A det ,)A (cond 2的值。 4.采用e 型输出实型数，并且至少显示12位有效数字。 一、算法设计方案 1、求1λ，501λ和s λ的值。 由于||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤，可知绝对值最大特征值必为1λ和501 λ其中之一，故可用幂法求出绝对值最大的特征值λ，如果λ=0，则1λ=λ，否则 501λ=λ。将矩阵A 进行一下平移： I -A A'λ= （1） 对'A 用幂法求出其绝对值最大的特征值'λ，则A 的另一端点特征值1λ或501λ为'λ+λ。 s λ为按模最小特征值，||min ||501 1i i s λλ≤≤=，可对A 使用反幂法求得。 2、求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,...,2,1(=k k i λ。 计算1)1,2,...,50=(i i λ-k μ，其模值最小的值对应的特征值k λ与k μ最接近。因此对A 进行平移变换： )39,,2,1k -A A k k ==（I μ （2） 对k A 用反幂法求得其模最小的特征值'k λ，则k λ='k λ+k μ。 3、求A 的(谱数)条件数2)(A cond 和行列式detA 。 由矩阵A 为非奇异对称矩阵可得： | | )(min max 2λλ=A cond （3） 其中max λ为按模最大特征值，min λ为按模最小特征值，通过第一问我们求得的λ和s λ可以很容易求得A 的条件数。 在进行反幂法求解时，要对A 进行LU 分解得到。因L 为单位下三角阵，行 列式为1，U 为上三角阵，行列式为主对角线乘积，所以A 的行列式等于U 的行列式，为U 的主对角线的乘积。 数值分析第三次大作业 一、算法的设计方案： （一）、总体方案设计： x y当作已知量代入题目给定的非线性方程组，求（1）解非线性方程组。将给定的(,) i i 得与(,)i i x y 相对应的数组t[i][j],u[i][j]。 （2）分片二次代数插值。通过分片二次代数插值运算，得到与数组t[11][21],u[11][21]]对应的数组z[11][21]，得到二元函数z=(,)i i f x y 。 （3）曲面拟合。利用x[i],y[j],z[11][21]建立二维函数表，再根据精度的要求选择适当k 值，并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s]。 （4）观察和(,)i i p x y 的逼近效果。观察逼近效果只需要重复上面（1）和（2）的过程，得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,)i i f x y ，再与对应的(,)i i p x y 比较即可，这里求解 (,)i i p x y 可以直接使用（3）中的C[r][s]和k 。 （二）具体算法设计： （1）解非线性方程组 牛顿法解方程组()0F x =的解* x ，可采用如下算法： 1）在* x 附近选取(0) x D ∈，给定精度水平0ε>和最大迭代次数M 。 2）对于0,1, k M =执行 ① 计算() ()k F x 和()()k F x '。 ② 求解关于() k x ?的线性方程组 () ()()()()k k k F x x F x '?=- ③ 若() () k k x x ε∞∞ ?≤，则取*()k x x ≈，并停止计算；否则转④。 ④ 计算(1) ()()k k k x x x +=+?。 ⑤ 若k M <，则继续，否则，输出M 次迭代不成功的信息，并停止计算。 （2）分片双二次插值 给定已知数表以及需要插值的节点，进行分片二次插值的算法： 设已知数表中的点为： 00(0,1,,) (0,1,,)i j x x ih i n y y j j m τ=+=???=+=?? ，需要插值的节点为(,)x y 。 1) 根据(,)x y 选择插值节点(,)i j x y ： 若12h x x ≤+ 或12 n h x x ->-，插值节点对应取1i =或1i n =-， 一、问题分析及算法描述 编写程序，分别用列主元的Gauss 消去法和LU 分解法求解下面线型代数方程组AX=b 的解，其中A 为N ×N 矩阵，N=50，其中第i(i ≥1)行、第j(i ≥1)列元素 a ij =1 i+j ?1， 右端向量b 的第i(i ≥1)个分量为 b i = 10 i+j ?1N j=1. 列主元素Gauss 消去过程中，要用到两种初等行变换。第一种，交换两行的位置；第二种，用一个数乘某一行加到另一行上。在第k 次消元之前，先对增广矩阵 A (k),b (k) 作第一种行变换，使得a ik (k) 中绝对值最大的元素交换到第k 行的主对角线位置上，然后再使用第二种行变换进行消元。如此往复，最后得到一个上三角系数矩阵，并回代求解解向量。由于每次消元前选取了列主元素，因此与顺序Guass 消元法相比，可提高数值计算的稳定性，且其计算量与顺序Guass 消元法相同。列主元的Gauss 消去法要求系数矩阵A 非奇异。 LU 分解法，即通过一系列初等行变换将系数矩阵A 分解成一个下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，进一步通过求解两个三角矩阵得出解向量。若L 为单位下三角矩阵，U 是上三角矩阵，则称为Doolittle 分解；若L 为下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵，则称为Crout 分解。若系数矩阵A 的前n-1阶顺序主子式不为零，则Doolittle\Crout 分解具有唯一性。若在每步行变换中选取主元，可提高数值计算稳定性。本算例中采用选主元的Doolittle 分解。 通过分析可知，本算例中待求解线型方程组系数矩阵为非奇异矩阵，且其前n-1阶顺序主子式不为零。方程组的解向量为x = 10,10,?,10 T 。满足列主元高斯消去法以及LU 分解法的基本使用条件。为了验证上述两种方法对本算例的适用性，笔者利用Microsoft Visual C++6.0编写了该算例的列主元高斯消去法以及LU 分解法的程序代码，并进行了运算求解。 目标：使用带双步位移的QR 分解法求矩阵10*10[]ij A a =的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知：sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+== (i,j=1,2, (10) 算法： 以上是程序运作的逻辑，其中具体的函数的算法，大部分都是数值分析课本上的逻辑，在这里特别写出矩阵A 的实特征值对应的一个特征向量的求法： ()[]()() []()[]()111111I 00000 i n n n B A I gause i n Q A I u Bu u λλ-?-?-=-?-?? ?-=????→=??????→= ?? ? 选主元的消元 检查知无重特征值 由于=0i A I λ- ，因此在经过选主元的高斯消元以后，i A I λ- 即B 的最后一行必然为零，左上方变 为n-1阶单位矩阵[]()()11I n n -?-，右上方变为n-1阶向量[]()11n Q ?-，然后令n u 1=-，则 ()1,2,,1j j u Q j n ==???-。 这样即求出所有A所有实特征值对应的一个特征向量。 #include 《数值分析A》计算实习题目第一题 一．算法设计方案： 1.矩阵A的存储与检索 将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] . 由于C语言中数组角标都是从0开始的，所以在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素a ij的方法是： A的带内元素a ij=C中的元素c i-j+2,j 2.求解λ1，λ501，λs ①首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。λmin即为λs； 如果λmax>0,则λ501=λmax；如果λmax<0,则λ1=λmax。 ②使用带原点平移的幂法（mifa（）函数），令平移量p=λmax，求出对应的按摸最大的特征值λ，max， 如果λmax>0,则λ1=λ，max+p；如果λmax<0,则λ501=λ，max+p。 3.求解A的与数μk=λ1+k（λ501-λ1）/40的最接近的特征值λik （k=1,2，…，39）。 使用带原点平移的反幂法，令平移量p=μk，即可求出与μk最接近的特征值λik。 4.求解A的（谱范数）条件数cond（A）2和行列式d etA。 ①cond（A）2=|λ1/λn|，其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和最小特征值。 ②矩阵A的行列式可先对矩阵A进行LU分解后，detA等于U所有 对角线上元素的乘积。 二．源程序(VS2010环境下，C++语言) #include 《数值分析A》 一、算法设计方案 整个程序主要分为四个函数，主函数，拟上三角化函数，QR分解函数以及使用双步位移求解矩阵特征值、特征向量的函数。因为在最后一个函数中也存在QR分解，所以我没有采用参考书上把矩阵M进行的QR分解与矩阵Ak的迭代合并的方法，而是在该函数中调用了QR分解函数，这样增强了代码的复用性，减少了程序长度；但由于时间关系，对阵中方法的运算速度没有进行深入研究。 1.为了减少QR分解法应用时的迭代次数，首先对给定矩阵进行拟上三角化处理。 2.对经过拟上三角化处理的矩阵进行QR分解。 3.注意到计算特征值与特征向量的过程首先要应用前面两个函数，于是在拟上三角化矩阵的基础上对QR分解函数进行了调用。计算过程中，没有采用goto语句，而是根据流程图采用其他循环方式完成了设计，通过对迭代过程的合并，简化了程序的循环次数，最后在计算特征向量的时候采用了列主元高斯消去法。 二、源程序代码 #include 北京航空航天大学2020届研究生 《数值分析》实验作业 第九题 院系：xx学院 学号： 姓名： 2020年11月 Q9:方程组A.4 一、 算法设计方案 （一）总体思路 1.题目要求∑∑=== k i k j s r rs y x c y x p 00 ),(对f(x, y) 进行拟合，可选用乘积型最小二乘拟合。 ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表由方程组与表A-1得到。 2.),(* * j i y x f 与1使用相同方法求得，),(* * j i y x p 由计算得出的p(x,y)直接带入),(* * j i y x 求得。 1. ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表的获得 对区域D ={ （x,y)|1≤x ≤1.24,1.0≤y ≤1.16}上的f (x , y )值可通过xi=1+0.008i ，yj=1+0.008j ，得到),(i i y x 共31×21组。将每组带入A4方程组，即可获得五个二元函数组，通过简单牛顿迭代法求解这五个二元数组可获得z1~z5有关x,y 的表达式。再将 ),(i i y x 分别带入z1~z5表达式即可获得f(x,y)值。 2.乘积型最小二乘曲面拟合 2.1使用乘积型最小二乘拟合，根据k 值不用，有基函数矩阵如下： ????? ??=k i i k x x x x B 0000 ， ????? ??=k j j k y y y y G 0000 数表矩阵如下： ???? ? ? ?=),(),(),(),(0000j i i j y x f y x f y x f y x f U 记C=[rs c ]，则系数rs c 的表达式矩阵为： 11-)(-=G G UG B B B C T T T ）（ 通过求解如下线性方程，即可得到系数矩阵C 。 UG B G G C B B T T T =)()( 2.2计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,31 ; j =1,2,…,21) 的值 ),(**j i y x f 的计算与),(j i y x f 相同。将),(**j i y x 代入原方程组，求解响应) ,(* *ij ij u t 进行分片双二次插值求得),(**j i y x f 。),(* *j i y x p 的计算则可以直接将),(**j i y x 代入所求p(x,y)。 二、 源程序 ********* 第三次数值分析大作业Q9************ integer::i, j, K1, L1, n, m dimension X(31), Y(21), T(6), U(6), Z(6, 6), UX(11, 21), TY(11, 21), FXY(11, 21), C(6, 6) dimension z1(31, 21), z2(31, 21), z3(31, 21), z4(31, 21), z5(31, 21) dimension X1(8), Y1(5), FXY1(8, 5), PXY1(8, 5), UX1(8, 5), TY1(8, 5) 《数值分析》计算实习作业 （第二题） 算法设计方案： 1、对矩阵A 赋值，取计算精度ε=1×10-12； 2、对矩阵A 进行拟上三角化，得到A (n-1)，并输出A (n-1)； 对矩阵A 的拟上三角化，通过直接调用子函数inftrianglize(A)来实现；拟上三角化得到的矩阵A (n-1)输出至文件solution.txt 中。 3、对A (n-1)进行QR 分解并输出Q 、R 及RQ 矩阵； QR 分解通过直接调用子函数QRdescom(A,Q,R, n)实现。 4、运用QR 方法求所有的特征值，并输出； (1)初始时令m=n ，在m>2的条件下执行； (2)判断如果|A mm-1|<ε，则得到一个特征值，m=m-1，转(4)；否则转(3)； (3)判断如果|A m-1m-2|<ε，则得到两个特征值，m=m-2，转(4)； (4)判断如果m ≤2，转(6)；否则转(5)； (5)执行相似迭代，转(2)； k k T k k k k k k k k k k Q A Q A R Q M I D A D tr A M ==+-=+1)2)det(( (6)求出最后的一个或两个特征值； (7)输出全部的特征值至文件solution.txt 中。 5、输出QR 分解法迭代结束之后的A (n-1)至文件solution.txt 中； 6、通过反幂法求出所有实特征值的特征向量并输出。 首先令B=(A-λi I)，其中λi 是实特征值；反幂法通过调用子函数Bpowmethod(B,x1)实现，最终λi 对应的特征向量就是x1；最后将所有的实特征值的特征向量输出。 一、算法设计方案 1.使用牛顿迭代法，对原题中给出的i x i 08.0=，j y j 05.05.0+=， (010 ,020i j ≤≤≤≤)的11*21组j i y x ,分别求出原题中方程组的一组解，于是得到一组和i i y x ,对应的j i t u ,。 2.对于已求出的j i t u ,，使用分片二次代数插值法对原题中关于u t z ,,的数表进行插值得到 ij z 。于是产生了z=f(x,y)的11*21个数值解。 3.从k=1开始逐渐增大k 的值，并使用最小二乘法曲面拟合法对z=f(x,y)进行拟合，得到每次的σ,k 。当7 10-<σ时结束计算，输出拟合结果。 4.计算)5,,2,1,8,,2,1)(,(),,(* ***???=???=j i y x p y x f j i j i 的值并输出结果，以观察),(y x p 逼近),(y x f 的效果。其中j y i x j i 2.05.0,1.0* *+==。 二、算法实现方案 1、求(,)f x y ： （1）Newton 法解非线性方程组 0.5cos 2.670.5sin 1.07(1)0.5cos 3.740.5sin 0.79 t u v w x t u v w y t u v w x t u v w y +++-=??+++-=? ? +++-=??+++-=?， 其中，t, u, v ,w 为待求的未知量，x, y 为代入的已知量。 设(,,,)T t u v w ξ=，给定精度水平12110ε-=和最大迭代次数M ，则解该线性方程组的迭代格式为： *(0)(0)(0)(0)(0)(k+1) ()()1()(,,,)()()0,1,T k k k t u v w F F k ξξξ ξξξ-?=?'=-??= ? 在附近选取初值， 迭代终止条件为()(1) () 1/k k k ξξ ξε-∞ ∞ -≤，若k M >时仍未达到迭代精度，则迭代计算失 败。 其中，雅可比矩阵 0.5*cos(t) + u + v + w - x - 2.67t + 0.5*sin(u) + v + w - y - 1.07()0.5*t + u + cos(v) + w - x - 3.74t + 0.5*u + v + sin(w) - y - 0.79F ξ???? ? ?=?????? ， 北航数值分析计算实习 报告一 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 北京航空航天大学 《数值分析》计算实习报告 第一大题 学 院：自动化科学与电气工程学院 专 业： 控制科学与工程 学 生 姓 名： 学 号： 教 师： 电 话： 完 成 日 期： 2015年11月6日 北京航空航天大学 Beijing University of Aeronautics and Astronautics 实习题目： 第一题 设有501501?的实对称矩阵A ， 其中，064.0,16.0),501,,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1.0-==???=--=c b i e i i a i i 。矩阵A 的特征值为)501,,2,1(???=i i λ，并且有 1.求1λ，501λ和s λ的值。 2.求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,,2,1(???=k k i λ。 3.求A 的(谱范数)条件数2)A (cond 和行列式detA 。 说明： 1.在所用的算法中，凡是要给出精度水平ε的，都取12-10=ε。 2.选择算法时，应使矩阵A 的所有零元素都不储存。 3.打印以下内容： （1）全部源程序； （2）特征值），，39,...,2,1(,s 5011=k k i λλλλ以及A det ,)A (cond 2的值。 4.采用e 型输出实型数，并且至少显示12位有效数字。 一、算法设计方案 1、求1λ，501λ和s λ的值。 由于||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤，可知绝对值最大特征值必为1λ和501λ其中之 一，故可用幂法求出绝对值最大的特征值λ，如果λ=0，则1λ=λ，否则501λ=λ。将矩阵A 进行一下平移： I -A A'λ= （1） 对'A 用幂法求出其绝对值最大的特征值'λ，则A 的另一端点特征值1λ或501λ为 'λ+λ。 s λ为按模最小特征值，||min ||501 1i i s λλ≤≤=，可对A 使用反幂法求得。 2、求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,...,2,1(=k k i λ。 计算1)1,2,...,50=(i i λ-k μ，其模值最小的值对应的特征值k λ与k μ最接近。因此对A 进行平移变换： )39,,2,1k -A A k k ==（I μ （2） 对k A 用反幂法求得其模最小的特征值'k λ，则k λ='k λ+k μ。 北航数值分析作业第一题： 一、算法设计方案 1.要求计算矩阵的最大最小特征值，通过幂法求得模最大的特征值，进行一定 判断即得所求结果； 2.求解与给定数值接近的特征值，可以该数做漂移量，新数组特征值倒数的绝 对值满足反幂法的要求，故通过反幂法即可求得； 3.反幂法计算时需要方程求解中间过渡向量，需设计Doolite分解求解； 4.|A|=|B||C|，故要求解矩阵的秩，只需将Doolite分解后的U矩阵的对角线相 乘即为矩阵的Det。 算法编译环境：vlsual c++6.0 需要编译函数：幂法，反幂法，Doolite分解及方程的求解 二、源程序如下： #include 数值分析第二题 梁进明 SY0906529 算法设计方案。 一．矩阵的QR 分解。把矩阵A 分解为一个正交矩阵Q 与一个上三角矩阵R 的乘积，称为矩阵A 的 正三角分解，简称QR 分解。QR 分解的算法如下： 记1A A =，并记[]r ij n n Ar a ?=，令1Q I =（n 阶单位矩阵） 对于r=1,2,…,n-1执行 (1) 若(1,2,...,)r ir a i r r n =++全为零，则令1r r Q Q +=，1r r A A +=转(5);否则转(2) (2) 计算 2r d = ()sgn()r r rr r c a d =-(若() 0r rr a =,则取r r c d =) 2() r r r r rr h c c a =- (3) 令()()()1,(0,...,0,,,...,)r r r T n r rr r r r nr u a c a a R +=-∈ (4) 计算 11//r r r T r r r r r T r r r r T r r r r Q u Q Q u h p A u h A A u p ωω++==-==- (5) 继续 当此算法执行完后就得到正交矩阵n Q Q =和上三角矩阵n R A =且有A QR =。 二．矩阵的 拟上三角化。对实矩阵A 的拟上三角化具体算法如下： 记(1) A A =，并记()r A 的第r 列到第n 列的元素为(1,2,...,;,1,...,)r ij a i n j r r n ==+。 对于1,2,...,2r n =-执行 （1） 若() (2,3,...,)r ir a i r r n =++全为零，则令(1) ()r r A A +=,转(5);否则转(2)。 （2） 计算 《数值分析A》计算实习题目二 姓名 学号 数值分析第二次大作业 一、算法设计方案 首先构造矩阵A，利用Householder矩阵对矩阵A作相似变换，把A化为拟上三角矩阵A（n-1），算法如课本P61。 使用QR分解法对矩阵A（n-1）进行QR分解，算法如课本P59, 进而求出所得矩阵的Q、R、RQ矩阵。 然后对A（n-1）进行带双步位移的QR分解求矩阵的全部特征值，采用以下几步进行： 第一步：判断是否a m,m-1(k)<=ε ,若不是,则进入第四步。若是，则a m,m-1(k)为特征值，m=m-1，若m=1，则进入第二步，若m=2进入第三步，否则转第四步。 第二步：m=1，则a11(k)为特征值，转向结束步。 第三步：m=2,则可以求出A的两个特征值s1和s2，转向结束步。 第四步：判断是否a m-1,m-2(k)<=ε，若不是，进入第五步。若是，则得到A的两个特征值s1和s2，令m=m-2，若m=1，进入第二步，若m=2进入第三步，否则进入第一步。 第五步：判断是否达到循环上限，若达到，则结束，否则进入第六步。 第六步：对A进行双步位移QR分解，这里的算法如课本P64，分解后转向计数步。 计数步：对循环次数进行计数，并转向第一步。 结束步：显示所求得的特征值。 最后对实特征值利用列主元高斯消元法求解其对应的特征向量，算法如课本p17. 二、源程序代码 #include 北航数值分析大作业第一题幂法与反幂法 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 《数值分析》计算实习题目 第一题： 1. 算法设计方案 （1）1λ，501λ和s λ的值。 1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1，然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2，比较两值大小，数值小的为所求最小特征值λ1，数值大的为是所求最大特征值λ501。 2)使用反幂法求λs ，其中需要解线性方程组。因为A 为带状线性方程组，此处采用LU 分解法解带状方程组。 （2）与140 k λλμλ-5011=+k 最接近的特征值λik 。 通过带有原点平移的反幂法求出与数k μ最接近的特征值 λik 。 （3）2cond(A)和det A 。 1）1=n λλ2cond(A)，其中1λ和n λ分别是按模最大和最小特征值。 2）利用步骤（1）中分解矩阵A 得出的LU 矩阵，L 为单位下三角阵,U 为上三角阵，其中U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。 由于A 的元素零元素较多，为节省储存量，将A 的元素存为6×501的数组中，程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A 中的元素。 2.全部源程序 #include 北航数值分析大作业第二题
北航数值分析大作业第一题幂法与反幂法
北航数值分析报告大作业第八题
北航数值分析计算实习报告一
北航数值分析报告第三次大作业
北航数值分析第一次大作业(高斯gauss lu分解)
北航数值分析大作业第二题精解
北航数值分析课程第一次大作业讲解
北航数值分析第二次大作业--QR分解
BUAA数值分析大作业三
北航数值分析大作业第二次
北航数值分析大作业3
北航数值分析计算实习报告一
北航数值分析作业第一题题解
北航数值分析大作业 第二题 QR分解
北航数值分析第二次大作业--QR分解
北航数值分析大作业第一题幂法与反幂法