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空间解析几何数学竞赛辅导

一. 向量代数

1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量

),,(12121221z z y y x x M M ---=→

2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→

，则（1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→

（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→

→

（3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→

→?b a

（1）>

→→→→→b a b a b a ,cos |||| （2）332211b a b a b a b a ++=?→→

其中><→

→b a ,为向量→

→

b a ,的夹角，且π>≤≤<→

→b a ,0

注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。

4、向量的外积→

→

?b a （遵循右手原则，且→

→

⊥?a b a 、→

→

⊥?b b a ）

b b b a a a k j i

b a →

→

→=? （1）3

2211//b a b a b a b a b a ==?

=?→

→

λ （2）00332211=++?=??⊥→

→→

→

b a b a b a b a b a

（3）几何意义： ||a b ?代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ；

平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为

212131

3111

|||0|22

ABC

j k S

AB AC x x y y x x y y =?=---- 21

3112x x y y x x y y --=--的绝对值

也可以写成1

1223

1121

ABC

x y S

x y x y =的绝对值。

5. 混合积：(,,)()a b c a b c =??。 (1)注意：(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b ==

(2)坐标表示：1

223

(,,)()x y z a b c a b c x y z x y z =??=, 其中， ()111,,a x y z =，()222,,b x y z =, ()333,,c x y z =。

(3)几何意义：(,,)a b c 的绝对值表示以,,a b c 为三条邻边的平行六面体

的体积。

,,a b c 共面的充要条件是(,,.)0a b c =。

空间不共面的四点111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,333(,,)C x y z ,

444(,,)D x y z 构成的四面体的体积为

11212121

2231

3131

3341

111

166

y z x x y y z z x y z V x x y y z z x y z x x y y z z x y z ---=

=------的绝对值。（它实际是以,,AB AC AD 为邻边的平行六面体的体积的六分之一）

例1 设径矢1r OA =, 2r OB =,

3r OC =, 证明 133221r r r r r r R

?+?+?=垂直于平面.

证明 :由于 R AB ?=)(12r r -?[)()()(133221r r r r r r ?+?+?]

=)()()()()()(131321211132322212r r r r r r r r r r r r r r r r r r ---++ =0)()(321321=-r r r r r r ,

所以 R AB ⊥.同理可证 R AC ⊥.所以 R ⊥平面.

例2．设P 是球内一定点，A ，B ，C 是球面上三个动点.

2/CPA B PC APB π=∠=∠=∠. 以，，为棱作平行六面体，

记与P 相对的顶点为Q ，求Q 点的轨迹.（见北京大学2007考研题）

二．直线与平面方程 (一)、平面

1、平面的点法式方程

已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→

，则平面方程为

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A

注意：法向量为),,(C B A n =→

垂直于平面

2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→

3、求平面方程的主要方法（1）过直线??

?=+++=+++00

2222

1111D z C y B x A D z C y B x A 的平面方程可设为

0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ

如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理例（1）在过直线?

??=++=+++020

4z y x z y x 的平面中找出一个平面，使原点到它

的距离最长。

（2）平面过OZ 轴，且与平面0=-z y 的夹角为060，求该平面方程

（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角）（3）求过点)1,0,1(-M 和直线1

0122-=

-=-z y x 的平面方程（4）过直线??

?=+-=-+083042z y z x 作平面，使它平行于直线?

??=--=--0604z y y x

(5)过平面02=+y x 和6324=++z y x 的交线作切于球面4222=++z y x 的平面

（6）求由平面0173,0122=++=+-y x z x 所构成的两面角的平分面方程（2）利用点法式求平面方程

注意：（i ）任何垂直于平面的向量→

n 均可作为平面的法向量（）和平面0=+++D Cz By Ax 平行的平面可设为01=+++D Cz By Ax （）如存在两个向量),,(321a a a a =→

、),,(321b b b b =→

和平面平行（或在平

面内），则平面的法向量为3

321

b b b a a a k j i

b a n →

→

=?= 例1（1）已知两直线为111111--=-=-z y x ，2

1113-=

--=-z y x ，求过两直线的平面方程

（2）求过)1,3,8(-A 和)2,7,4(B 两点，且垂直于平面02153=--+z y x 的平面

（3）一平面垂直于向量)2,1,2(且与坐标面围成的四面体体积为9，求平面方程

（4）已知球面0642222=-+-++z y x z y x 与一通过球心且与直线

?=-=0

z y x 垂直的平面相交，求它们的交线在xoy 面上的投影例2．已知椭球面

122

222

2=++c

z b y a x )(b a c <<，试求过x 轴且与椭球面的交线是圆的平面方程。

解平面过x 轴，从而过原点，得0D =。设法向量(,,)n A B C =，

由平面过

x 轴得(,,)n A B C =与(1,0,0)i =垂直，得0A =，平面

方程：0By Cz +=。又

0y =与0z =都不符合题意，所以

0,0B C ≠≠。不妨令B

z y ky C

=，它与椭球面的交线为 22222222

222222

11x y z x c b k y a b c a b c z ky z ky ??+++=+=???????==??

（1）

由于交线圆的圆心在原点，且该圆过点(,0,0),(,0,0)a a -，故该圆的方程也可表示为

222222211

x k

x y z a y a a z ky z ky

?+?++=+=???

?=??=?

(2)

比较（1）和（2）得

222222

21c b k k c k b c a ++=?=±，

所求平面方程为：

0±=。

(3)轨迹法求方程

方法：（i ）设平面上任一一点),,(z y x M （）列出含有z y x ,,的方程化简的平面方程

例求由平面013=++-z y x 和023=--+z y x 所构成的二面角的平分面的方程

（二）、直线 1、直线的对称式方程

过点),,(000z y x P 且方向向量为),,(321v v v v =→

直线方程

2010v z z v y y v x x -=-=- 注意：方向向量),,(321v v v v =→

和直线平行 2、直线的一般方程??

?=+++=+++0

22221111D z C y B x A D z C y B x A ，注意该直线为平面

01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的交线

3、直线的参数方程??

??+=+=+=t

v z z t v y y t v x x 302010

4、求直线方程的主要方法

(1)把直线的一般方程化为点向式方程方法：已知直线方程为???=+++=+++0

22221111D z C y B x A D z C y B x A ，则该直线的方向向量

为

),,(3212

111

v v v C B A C B A k

j i v ==→

→

在直线上任取一点),,(000z y x ，则直线方程为3

2010v z z v y y v x x -=-=- 例化直线的一般方程??

?=--+=-++0

1320

52z y x z y x 为标准方程

(2)根据直线的方向向量求直线方程

例（1）过点)2,1,0(M ，且平行于两相交平面013=++-z y x 和

023=--+z y x 的直线方程

（2求过点)0,4,2(M ，且与直线?

??=--=-+0230

12z y z x 平行的直线方程

（3）求过点)2,0,1(-M ，且与平面0643=+-+z y x 平行，又与直线

4213z

y x =+=-垂直的直线方程注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂直均可确定直线的方向向量 (3)利用直线和直线的位置关系求直线方程注意：（1）两直线平行，则3

2211n m n m n m ==，其中),,(321m m m 和),,(321n n n 为直线的方向向量

（2）两直线302010m z z m y y m x x -=-=-和3

2111n z z n y y n x x -=-=-相交，则 03

32101010

1=---=

?n n n m m m z z y y x x 且

2211n m n m n m ≠≠ （3）两直线

302010m z z m y y m x x -=-=-和3

2111n z z n y y n x x -=-=-异面，其中公垂线的方向向量为),,(3213

1321

v v v n n n m m m k

j i

v ==→

→

，则两异面直线的距离为