一次函数复习专题
【基础知识回顾】 一、 一次函数的定义:
一般的:如果y= ( ),那么y 叫x 的一次函数
特别的:当b= 时,一次函数就变为y=kx(k ≠0),这时y 叫x 的 【名师提醒:正比例函数是一次函数,反之不一定成立,是有当b=0时,它才是正比例函数】
二、一次函数的同象及性质:
1、一次函数y=kx+b 的同象是经过点(0,b )(-b
k
,0)的一条 ,
正比例函数y= kx 的同象是经过点 和 的一条直线。 【名师提醒:因为一次函数的同象是一条直线,所以画一次函数的图象只需选取 个特殊的点,过这两个点画一条直线即可】
2、正比例函数y= kx(k ≠0),当k >0时,其同象过 、 象限,此时时y 随x 的增大而 ;当k<0时,其同象过 、 象限,时y 随x 的增大而 。
3、 一次函数y= kx+b ,图象及函数性质
①、k >0 b >0过 象限
②、k >0 b<0过 象限
y 随x 的增大而
y随x的增大而
③、k<0 b>0过象限
④、k<0 b>0过象限
4、若直线l1:y= k1x+ b1与l2:y= k2x+ b2平行,则k1 k2,若k1≠k2,则l1与l2
【名师提醒:y随x的变化情况,只取决于的符号与无关,而直线的平移,只改变的值的值不变】
三、用待定系数法求一次函数解析式:
关键:确定一次函数y= kx+ b中的字母与的值
步骤:1、设一次函数表达式
2、将x,y的对应值或点的坐标代入表达式
3、解关于系数的方程或方程组
4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中
四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组
1、一次函数与一元一次方程:一般地将x= 或y 代入y= kx+ b 中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。
2、一次函数与一元一次不等式:kx+ b>0或kx+ b<0即一次函数图象位于x 轴上方或下方时相应的x的取值范围,反之也成立
3、一次函数与二元一次方程组:两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解,反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标
【名师提醒:1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决
2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方
程组解的问题】
五、一次函数的应用
一般步骤:1、设定问题中的变量2、建立一次函数关系式
3、确定自变量的取值范围
4、利用函数性质解决问题
5、作答【名师提醒:一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式(组)相联系,经常涉及交点问题,方案设计问题等】
【重点考点例析】
考点一:一次函数的图象和性质
例1 (2015?大庆)对于函数y=-3x+1,下列结论正确的是()
A.它的图象必经过点(-1,3)
B.它的图象经过第一、二、三象限
C.当x>1时,y<0
D.y的值随x值的增大而增大
对应训练
1.(2015?徐州)下列函数中,y随x的增大而减少的函数是()
A.y=2x+8 B.y=-2+4x C.y=-2x+8 D.y=4x
考点二:一次函数的图象和系数的关系
例2 (2015?莆田)如图,一次函数y=(m-2)x-1的图象经过二、三、四象限,则m的取值范围是()
A.m>0 B.m<0 C.m>2 D.m<2
点,下列判断中,正确的是()
A.y1>y2B.y1<y2
C.当x1<x2时,y1<y2D.当x1<x2时,y1>y2
对应训练
2.(2015?眉山)若实数a,b,c满足a+b+c=0,且a<b<c,则函数y=cx+a 的图象可能是()
A.B.
C.
D.
3.(2015?福州)A,B两点在一次函数图象上的位置如图所示,两点的坐标分别为A(x+a,y+b),B(x,y),下列结论正确的是()
A.a>0 B.a<0 C.b=0 D.ab<0
考点三:一次函数解析式的确定
例4 (2015?常州)已知一次函数y=kx+b(k、b为常数且k≠0)的图象经过
对应训练
4.(2013?重庆)已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,-2),则这个正比例函数的解析式为()
A.y=2x B.y=-2x C.y= 1
2x D.y=-
1
2x
考点四:一次函数与方程(组)、不等式(组)的关系
例5 (2015?黔西南州)如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x<ax+4的解集为()
A.x<3
2
B.x<3 C.x>
3
2
D.x>3
例6 (2015?荆州)体育课上,20人一组进行足球比赛,每人射点球5次,已知某一组的进球总数为49个,进球情况记录如下表,其中进2个球的有x人,进3个球的有y人,若(x,y)恰好是两条直线的交点坐标,则这两条直线的解
A.y=x+9与y=2
3
x+
22
3
B.y=-x+9与y=
2
3
x+
22
3
C.y=-x+9与y=- 2
3
x+
22
3
D.y=x+9与y=-
2
3
x+
22
3
对应训练
5.(2015?武汉)直线y=2x+b经过点(3,5),求关于x的不等式2x+b≥0的解集.
6.(2015?青岛)如图,一个正比例函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P,则这个正比例函数的表达式是.
考点五:一次函数综合题
例7 (2015?绥化)如图,直线MN与x轴,y轴分别相交于A,C两点,分别过A,C两点作x轴,y轴的垂线相交于B点,且OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根.
(1)求C点坐标;
(2)求直线MN的解析式;
(3)在直线MN上存在点P,使以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角
(1)C(0,6);
(2)∴直线MN的解析式为y=-3
4
x+6;
(3)∵A(8,0),C(0,6),
对应训练
7.(2015?齐齐哈尔)如图,平面直角坐标系中,直线l分别交x轴、y轴于A、
的两个根,点C在x轴负半轴上,且AB:AC=1:2
(1)求A、C两点的坐标;
(2)若点M从C点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连接AM,设△ABM的面积为S,点M的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)点P是y轴上的点,在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
考点六:一次函数的应用
例8 (2015?株洲)某生物小组观察一植物生长,得到植物高度y(单位:厘米)
与观察时间x(单位:天)的关系,并画出如图所示的图象(AC是线段,直线CD平行x轴).
(1)该植物从观察时起,多少天以后停止长高?
(2)求直线AC的解析式,并求该植物最高长多少厘米?
对应训练
8.(2015?湛江)周末,小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发1小时后到达南亚所(景点),游玩一段时间后按原速前往湖光岩.小明离家1小时50分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩,如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象.
(1)求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间;
(2)若妈妈在出发后25分钟时,刚好在湖光岩门口追上小明,求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式.
【聚焦山东中考】
1.(2015?菏泽)一条直线y=kx+b,其中k+b=-5、kb=6,那么该直线经过()A.第二、四象限B.第一、二、三象限
C.第一、三象限D.第二、三、四象限
个点,当x1<x2<0时,y1<y2,则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(2015?潍坊)一次函数y=-2x+b中,当x=1时,y<1,当x=-1时,y>0.则b的取值范围是.
4.(2015?泰安)把直线y=-x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第一象限,则m的取值范围是()
A.1<m<7 B.3<m<4 C.m>1 D.m<4
5.(2015?威海)甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A,B两地出发,相向而行.图中l1,l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s(km)与行驶时间t(h)的函数关系.则下列说法错误的是()
A.乙摩托车的速度较快
B.经过0.3小时甲摩托车行驶到A,B两地的中点
C.经过0.25小时两摩托车相遇
D.当乙摩托车到达A地时,甲摩托车距离A地50
3km
6.(2015?临沂)某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元.当该机器生产数量至少为10台,但不超过70台时,每台成本y与生产数量x之间是一次函
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求该机器的生产数量;
(3)市场调查发现,这种机器每月销售量z(台)与售价a(万元∕台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机
1
(3)通过观察(1)(2)中的两个函数表达式可知,当两直线互相垂直时,它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系,
∴过原点且与直线y=-1
5
x垂直的直线l5的函数表达式为y=5x.
∴x=0时,y=4,y=0时,x=8,
∴
41
82 BO
AO
==,
当t秒时,QO=FQ=t,则EP=t,∵EP∥BO,
∴
1
2 BO EP
AO AP
==,
∴AP=2t,
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,∴点P运动的速度是每秒2个单位长度;
(2)如图1,当PQ=PE时,矩形PEFQ为正方形,
则∵OQ=FQ=t,PA=2t,
∴QP=8-t-2t=8-3t,
∴8-3t=t,
解得:t=2,
综上所述,当t=4时,S矩形PEFQ的最大值为:16.
【备考真题过关】
一、选择题
1.(2015?湖州)若正比例函数y=kx的图象经过点(1,2),则k的值为()
A.-1
2
B.-2 C.
1
2
D.2
2.(2015?陕西)如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A(2,m),B (n,3),那么一定有()
A.m>0,n>0 B.m>0,n<0 C.m<0,n>0 D.m<0,n<0
的图象过()
A.第一、二、四象限B.第一、三、四象限
C.第二、三、四象限D.第一、二、三象限
4.(2015?黔东南州)直线y=-2x+m与直线y=2x-1的交点在第四象限,则m 的取值范围是()
A.m>-1 B.m<1 C.-1<m<1 D.-1≤m≤1 5.(2015?十堰)张师傅驾车从甲地到乙地,两地相距500千米,汽车出发前油箱有油25升,途中加油若干升,加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶,已知油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)之间的关系如图所示.以下说法错误的是()
A.加油前油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)的函数关系是y=-8t+25
B.途中加油21升
C.汽车加油后还可行驶4小时
D.汽车到达乙地时油箱中还余油6升
6.(2015?天门)小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛,小文步行一段时间后,小亮骑自行车沿相同路线行进,两人均匀速前行.他们的路程差s(米)与小文出发时间t(分)之间的函数关系如图所示.下列说法:①小亮先到达青少年宫;②小亮的速度是小文速度的2.5倍;③a=24;④b=480.其中正确的是()
A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④
二、填空题
7.(2015?资阳)在一次函数y=(2-k)x+1中,y随x的增大而增大,则k的取
初二一次函数与几何题 1、 平面直角坐标系中,点A 的坐标为(4,0),点P 在直线y=-x-m 上,且AP=OP=4,则m 的值是多少 2、如图,已知点A 的坐标为(1,0),点B 在直线y=-x 上运动,当线段AB 最短时,试求点B 的坐标。 3、如图,在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点B 好将矩形OABC 分为面积相等的两部分,试求b 的值。 4、如图,在平面直角坐标系中,直线y= 2x —6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ,点C 在x 轴上,若△ABC 是等腰三角形,试求点C 的坐标。 5、在平面直角坐标系中,已知A (1,4)、B (3,1),P 是坐标轴上一点,(1)当P 的坐标为多少时,AP+BP 取最小值,最小值为多少 当P 的坐标为多少时,AP-BP 取最大值,最大值为多少 ~ 6、如图,已知一次函数图像交正比例函数图像于第二象限的A 点,交x 轴于点B (-6,0),△AOB 的面积为15,且AB=AO ,求正比例函数和一次函数的解析式。 A B C ( x y x [ A B O
7、已知一次函数的图象经过点(2,20),它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1,求这个一次函数的表达式。 8、已经正比例函数Y=k1x的图像与一次函数y=k2x-9的图像相交于点P(3,-6) 求k1,k2的值 ( 如果一次函数y=k2x-9的图象与x轴交于点A 求点A坐标 9、正方形ABCD的边长是4,将此正方形置于平面直角坐标系中,使AB在x轴负半轴上,A点的坐标是(-1,0), (1)经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E,求四边形AECD的面积; (2)若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线L的解析式。 10、在平面直角坐标系中,一次函数y=Kx+b(b小于0)的图像分别与x轴、y轴和直线x=4交于A、B、C,直线x=4与x轴交于点D,四边形OBCD的面积为10,若A的横坐标为-1/2,求此一次函数的关系式 11、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y轴交于点A,且OA=OB:求这个一次函数解析式 12、如图,A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点,点P(2,m)在第一象限,直线PA 交y轴于点C(0,2),直线PB交y轴于点D,S AOP=6. ; 求:(1)△COP的面积 (2)求点A的坐标及m的值; (3)若S BOP =S DOP ,求直线BD的解析式
一次函数培优专题 一、选择: 1.(莆田)如图1,在矩形MNPQ 中,动点R 从点N 出发,沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止.设点R 运动的路程为x ,MNR △的面积为y ,如果y 关于x 的函数图象如图2所示,则当9x =时,点R 应运动到( ) A .N 处 B .P 处 C .Q 处 D .M 处 2.(重庆綦江)如图1,在直角梯形ABCD 中,动点P 从点B 出发,沿BC ,CD 运动至点D 停止.设点P 运动的路程为x ,△ A BP 的面积为y ,如果y 关于x 的函数图象如图2所示,则△BCD 的面积是( ) A .3 B .4 C .5 D .6 3.(黔东南州)如图,在凯里一中学生耐力测试比赛中,甲、乙两学生测试的路程s (米)与时间t (秒)之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ,下列说法正确的是( ) A 、乙比甲先到终点 B 、乙测试的速度随时间增加而增大 C 、比赛进行到29.4秒时,两人出发后第一次相遇 D 、比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快 4.(兰州)函数y =x -2+ 3 1 -x 中自变量x 的取值范围是 A .x ≤2 B .x =3 C . x <2且x ≠3 D .x ≤2且x ≠3 5.(遂宁)已知整数x 满足-5≤x ≤5,y 1=x+1,y 2=-2x+4对任意一个x ,m 都取y 1,y 2中的较小值,则m 的最大值是 (图1) 图 1 D 图2
A.1 B.2 C.24 D.-9 6.(凉山州)若0ab <,则正比例函数y ax =与反比例函数b y x = 在同一坐标系中的大致图象可能是( ) 6.(牡丹江)如图,平面直角坐标系中,在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿 A B C D A →→→→运动一周,则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致 是( ) 7.(安徽)已知函数y kx b =+的图象如图,则2y kx b =+的图象可能是【 】 8.(日照)如图,点A 的坐标为(-1,0),点B 在直线y =x 上运动,当线段AB 最短时,点B 的坐标为 ( ) A.(0,0) B.(22,2 2 -) C.(- 21,-2 1 ) D.(-22,-22) 9.(重庆)如图,在矩形ABCD 中,AB=2,1BC =,动点P 从点B 沿路线B C D →→作匀速运动,那么ABP △的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是( ) D C P B A x x x x B . A . B . C . D . A B C D
利用一次函数解决实际问题 在利用一次函数解决实际问题时,会经常遇到这样的问题,在有的题目中,不论自变量x 怎样变化, y 和x 的关系始终保持一次函数关系,而有的题目中,当自变量x 发生变化时,随着x 的取值范围不同, y 和x 的函数关系也不同,它们之间或者不再是一次函数,或者虽然还是一次函数,但函数的解析式发生了变化.这种变化反映在函数图像上时的主要特征,就是由一条直线变成几条线段或射线,我们把这类函数归类为分段函数.请同学们注意,这类函数在自变量的整个取值范围内不是一次函数,但把它适当分为几段后,每段内一般来说还仍然是一次函数。因此,解这类分段函数的基本思路是:首先按照实际问题的意义,把x 的取值范围适当分为几段,然后,根据每段中的函数关系分别求解. 请同学们完成下面的习题: 1.商店在经营某种海产品中发现,其日销量y(kg)和销售单价x (元)/千克之间的函数关系如图所示. ①写出y 与之间的函数关系式并注明x 的取值范围; ②当单价为32元/千克时,日销售量是多少千克? ③当日销售量为80千克时,单价是多少? 2 某城市为鼓励居民节约用水,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费,月用水量不超过20cm 3时,按2元/立方米计费;月用水量超过20cm 3时,超过的部分按2.6元/立方米计费.设每户家庭的月用水量为x cm 3时,应交水费y 元, ①试求出0≤x≤20和x >20时,y 与x 之间的函数关系式. ②小明家第二季度交纳水费的情况如下: 第1题 第2题
小明家这个季度共用水多少立方米? 3. 我国征收个人所得税的起点由1600元提高到2000元,即月收入超过2000元的部分为全月应纳税所得额.全月应纳税所得额的划分和相应的税率如下表所示.设某人的月工资收入为x(元),月缴纳个人所得税为y(元), ①试求出y与x间的函数关系式并注明x的取值范围. ②如果某人月工资为3000元,问此人依法缴纳个人所得税后,他的实际收入是多少元? 4.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6 cm AD=10cm,动点M从点B出发,以每秒1cm 的速度沿BA-AD-DC 运动,当M运动到点C时,点M停止运动.设点M的运动时间为t(s),△BMC的面积为S(cm2). ①点M分别到达点A、点D、点C时,点M的运动时间; ②求S与t之间的函数关系式,并注明t的取值范围; ③当t=6s时,求△BMC的面积; ④当△BMC的面积是20cm2时,求点M的运动时间. B C M 第4题
一次函数应用题 初一( )班 姓名: 学号: . 1、一次时装表演会预算中票价定位每张100元,容纳观众人数不超过2000人,毛利润y (百元)关于观众人数x (百人)之间的函数图象如图所示,当观众人数超过1000人时,表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元(不列入成本费用)请解答下列问题:⑴求当观众人数不超过1000人时,毛利润y (百元)关于观众人数x (百人)的函数解析式和成本费用s (百元)关于观众人数x (百人)的函数解析式; ⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润,那么要售出多少张门票?需支付成本费用多少元? (注:当观众人数不超过1000人时,表演会的毛利润=门票收入—成本费用;当观众人数超过1000人时,表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费) 2、转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气,某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染,该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关,现经过试验得到下列数据: 通过电流强度(单位:A ) 1 1.7 1.9 2.1 2.4 氧化铁回收率(%) 75 79 88 87 78 如图建立直角坐标系,用横坐标表示通过的电流强度,纵坐标表示氧化铁的回收率. (1) 将试验所得数据在如图所示的直角坐标系中用点表示;(注:该 图中坐标轴的交点代 表点(1,70)) (2) 用线段将题(1)中所画的点从左到右顺次连接,若用此图象来模拟氧化铁回收率y 关 于通过电流x 的函数关系,试写出该函数在1.7≤x ≤2.4时的表达式; (3) 利用(2)所得函数关系,求氧化铁回收率大于 85%时,该装置通过的电流应该控制的范围(精确到0.1A ). O x (A ) y (%) (2,70) (1,70) 75 80 85
巩固练习 一、选择题: 1.已知y与x+3成正比例,并且x=1时,y=8,那么y与x之间的函数关系式为()(A)y=8x (B)y=2x+6 (C)y=8x+6 (D)y=5x+3 2.若直线y=kx+b经过一、二、四象限,则直线y=bx+k不经过() (A)一象限(B)二象限(C)三象限(D)四象限 3.直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是() (A)4 (B)6 (C)8 (D)16 4.若甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2, 如图,所挂物体质量均为2kg时,甲弹簧长为y1,乙 弹簧长为y2,则y1与y2的大小关系为() (A)y1>y2(B)y1=y2 \ (C)y1