2019-2020学年江西省赣州市兴国县九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年江西省赣州市兴国县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）

1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．

C．D．

2．（3分）不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）

A．摸出的是3个白球

B．摸出的是3个黑球

C．摸出的是2个白球、1个黑球

D．摸出的是2个黑球、1个白球

3．（3分）下列关于抛物线y＝2x2﹣3的说法，正确的是（）

A．抛物线的开口向下

B．抛物线的对称轴是直线x＝1

C．抛物线与x轴有两个交点

D．抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x﹣2）2﹣3

4．（3分）反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（）

A．3B．5C．6D．8

5．（3分）如图，⊙O的弦AB⊥OC，且OD＝2DC，AB＝2，则⊙O的半径为（）

A．1B．2C．3D．9

6．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口25万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至9万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意可列方程（）

A．25（1﹣2x）＝9B．25（1﹣x）2＝9C．9（1+2x）＝25D．25（1+x）2＝9

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．（3分）已知函数y＝（k+2）x是反比例函数，则k＝．

8．（3分）已知：如图，△ABC的面积为16，点D、E分别是边AB、AC的中点，则△ADE的面积为．

9．（3分）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为．

10．（3分）如图，正六边形ABCDEF中的边长为6，点P为对角线BE上一动点，则PC的最小值为．

11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为cm．

12．（3分）在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝秒时，

⊙P与坐标轴相切．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（6分）（1）计算：+（﹣2）

（2）解方程：x（x﹣3）+2x﹣6＝0

14．（6分）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9．

（1）求CD的长；

（2）求证：△ABE∽△ACB．

15．（6分）已知x1和x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k+2＝0的两个不同的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．

16．（6分）如图，△ABC是⊙O内接三角形，点D是BC的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）如图1，画出弦AE，使AE平分∠BAC；

（2）如图2，∠BAF是△ABC的一个外角，画出∠BAF的平分线．

17．（6分）2019年6月，习近平总书记对垃圾分类工作作出重要指示．实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．兴国县某校为培养学生垃圾分类的好习惯，在校园内摆放了几组垃圾桶，每组4个，分别是“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其它垃圾”（如图，分别

记为A、B、C、D）．小超同学由于上课没有听清楚老师的讲解，课后也没有认真学习教室里张贴的“垃圾分类常识”，对垃圾分类标准不是很清楚，于是先后将一个矿泉水瓶（简记为水瓶）和一张擦了汗的面巾纸（简记为纸巾）随机扔进了两个不同的垃圾桶．说明：矿泉水瓶属于“可回收物”，擦了汗的面巾纸属于“其它垃圾”．（1）小超将矿泉水瓶随机扔进4个垃圾桶中的某一个桶，恰好分类正确的概率是；

（2）小超先后将一个矿泉水瓶和一张擦了汗的面巾纸随机扔进了两个不同的垃圾桶，请用画树状图或列表的方法，求出两个垃圾都分类错误的概率．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．以点C为中心，△ABC 逆时针旋转90°；

（1）画出旋转后的图形，并写出点B′的坐标；

（2）求点A经过的路径的长（结果保留π）．

19．（8分）如图，AC是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°．（1）求∠BAC的度数；

（2）若P A＝4，求点O到弦AB的距离．

20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于点B（a，4）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（9分）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：

售价x（元/

…50607080…

千克）

…100908070…

销售量y（千

克）

（1）求y与x的函数关系式；

（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？

（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？

22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．

（1）试猜想直线DH与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AE＝AH，EF＝4，求DF的值．

六、（本大题共12分）

23．（12分）如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；

（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2019-2020学年江西省赣州市兴国县九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）

1．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；

B、不是中心对称图形，本选项错误；

C、不是中心对称图形，本选项错误；

D、是中心对称图形，本选项正确．

故选：D．

2．【解答】解：A．摸出的是3个白球是不可能事件；

B．摸出的是3个黑球是随机事件；

C．摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件；

D．摸出的是2个黑球、1个白球是随机事件，

故选：A．

3．【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣3，

∴a＝2，该抛物线的开口向上，故选项A错误；

抛物线的对称轴是直线x＝0，故选项B错误；

当y＝0时，0＝2x2﹣3，△＝02﹣4×2×（﹣2）＝16＞0，则该抛物线与x轴两个交点，故选项C正确；

抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x+2）2﹣3，故选项D错误；

故选：C．

4．【解答】解：如图，当x＝2时，y＝，

∵2＜y＜3，

∴2＜＜3，

解得4＜k＜6，

所以k＝5符合题意．

故选：B．

5．【解答】解：设OD＝2a，则CD＝a，OA＝3a，

∵AB⊥OC，OC为半径，

∴AD＝BD＝AB＝，

在Rt△ODA中，由勾股定理得：（3a）2＝（2a）2+（）2，

a＝1（负数舍去），

OA＝3×1＝3，

故选：C．

6．【解答】解：设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：25（1﹣x）2＝9，

故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．【解答】解：∵函数y＝（k+2）x为反比例函数，

∴k2﹣5＝﹣1且k+2≠0．

解得k＝2．

故答案是：2．

8．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE∥BC，DE＝BC，

∴△ADE∽△ABC，

∵，

∴，

∵△ABC的面积为16，

∴△ADE的面积为4，

故答案为：4．

9．【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，

∴圆锥的母线长为＝5，

则圆锥的底面周长为2×3×π＝6π，

则该圆锥的侧面积为：×6π×5＝15π，

故答案为：15π．

10．【解答】解：当CP⊥BE时，PC的值最小，此时PC＝BC?sin60°＝6×＝3，故答案为3．

11．【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，

∴△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°，

∴BD＝BC＝12cm，

∴△BCD为等边三角形，

∴CD＝BC＝CD＝12cm，

在Rt△ACB中，AB＝＝13，

△ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42（cm），故答案为：42．

12．【解答】解：设⊙P与坐标轴的切点为D，

∵直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（4，m），

∴x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝2，x＝4时，y＝2，

∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），

∴AB＝2，AC＝2，OB＝OC＝2，

∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，

①当⊙P与x轴相切时，

∵点D是切点，⊙P的半径是1，

∴PD⊥x轴，PD＝1，

∴△BDP是等腰直角三角形，

∴BD＝PD＝1，PB＝，

∴AP＝AB﹣PB＝，

∵点P的速度为每秒个单位长度，

∴t＝1；

②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，

∵PB＝，

∴AP＝AB+PB＝3，

∵点P的速度为每秒个单位长度，

∴t＝3；

③当点P只与y轴相切时，

∵PB＝，

∴AP＝AC+PB＝5，

∵点P的速度为每秒个单位长度，

∴t＝5．

综上所述，则当t＝1或3或5秒时，⊙P与坐标轴相切，故答案为：1或3或5．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．【解答】解：（1）原式＝3+2﹣2

＝2+；

（2）原方程可变形为：x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0

（x﹣3）（x+2）＝0

x﹣3＝0或x+2＝0，

解得：x1＝3，x2＝﹣2．

14．【解答】（1）解：∵AE＝4，AC＝9

∴CE＝AC﹣AE＝9﹣4＝5；

∵AB∥CD，

∴△CDE∽△ABE；

∴＝，

∴CD＝＝＝，

（2）证明：∵＝＝，＝＝

∴＝，

∵∠A＝∠A，

∴△ABE∽△ACB；

15．【解答】解：（1）∵方程有两个不同的实数根，∴△＝22﹣4（k+2）＞0，

解得：k＜﹣1，

∴k的取值范围是k＜﹣1．

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得

x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+2，

∵x1+x2﹣x1x2＜﹣1，

∴﹣2﹣（k+2）＜﹣1，

∴﹣2﹣（k+2）＜﹣1，

解得：k＞﹣3，

又由（1）k＜﹣1，

∴﹣3＜k＜﹣1，

∵k为整数，

∴k的值为﹣2．

16．【解答】解：（1）如图1所示，AE即为所求；

（2）如图2所示，射线AH即为所求．

17．【解答】解：（1）∵共有四个垃圾桶，

∴恰好分类正确的概率是；

故答案为：；

（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两个垃圾都分类错误的情况有7种：BA，BC，CA，CB，DA，DB，DC，∴P（两个垃圾都分类错误）＝．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；

（2）∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，

∴点A经过的路径的长为＝．

19．【解答】解：（1）∵P A，PB分别是⊙O的切线

∴P A＝PB，∠OAP＝90°，

又∵∠APB＝60°

∴△ABP为等边三角形，

∴∠BAP＝60°

∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°；

（2）连接OP，交AB于点D．

∵△ABP为等边三角形，

∴BA＝PB＝P A＝4，

∵P A，PB分别是⊙O的切线，

∴∠APO＝∠BPO，

∴OP⊥AB，

∴AD＝AB＝2，

∵∠ODA＝90°，∠BAC＝30°，

∴OA＝2 OD，

∵OD2+AD2＝OA2，

∴OD2+（2）2＝（2OD）2，

解得：OD＝2，

即：点O到弦AB的距离为2．

20．【解答】解：（1）将A（﹣2，0）代入y＝x+b，得：0＝﹣2+b，解得：b＝2，

∴一次函数的表达式为y＝x+2；

当y＝4时，a+2＝4，

解得：a＝2，

∴点B的坐标为（2，4）．

将B（2，4）代入y＝，得：4＝，

解得：k＝8，

∴反比例函数的表达式为y＝．

（2）∵MN∥AO，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点A的坐标为（﹣2，0），∴MN＝2．

设点M的坐标为（m，m+2），则点N的坐标为（m﹣2，m+2）或（m+2，m+2）．

∵点N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴（m﹣2）（m+2）＝8或（m+2）（m+2）＝8，

解得：m1＝2，m2＝﹣2（舍去），m3＝2﹣2，m4＝﹣2﹣2（舍去），

∴点M的横坐标为2或2﹣2．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得

，

解得．

故y与x的函数关系式为y＝﹣x+150；

（2）根据题意得

（﹣x+150）（x﹣20）＝4000，

解得x1＝70，x2＝100＞90（不合题意，舍去）．

故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；

（3）w与x的函数关系式为：

w＝（﹣x+150）（x﹣20）

＝﹣x2+170x﹣3000

＝﹣（x﹣85）2+4225，

∵﹣1＜0，

∴当x＝85时，w值最大，w最大值是4225．

∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．22．【解答】（1）解：直线DH与⊙O相切，理由如下：

如图1，连接OD，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠ODB＝∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴DH⊥OD，

∴DH是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接AD，

∵＝，

∴∠E＝∠B，

又∵∠B＝∠C，

∴∠E＝∠C，

∴DC＝DE

又∵DH⊥AC，

∴HE＝CH，

设AE＝AH＝x，则EH＝2x，AC＝3x，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

又AB＝AC，

∴BD＝CD，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，OD＝＝，

∴△AEF∽△ODF，

∴＝

∵EF＝4，

∴DF＝6．

六、（本大题共12分）

23．【解答】解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，

由对称性得：D（3，0），

设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），

把A（0，3）代入得：3＝3a，

a＝1，

∴抛物线的解析式；y＝x2﹣4x+3；

（2）如图2，∵△AOE的面积是定值，所以当△OEP面积最大时，四边形AOPE面积最大，设P（m，m2﹣4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，

∴∠AOE＝45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，

∴AE＝OA＝3，

∴E（3，3），

易得OE的解析式为：y＝x，

过P作PG∥y轴，交OE于点G，

∴G（m，m），

∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，

∴S四边形AOPE＝S△AOE+S△POE，

＝×3×3+PG?AE，

＝+×3×（﹣m2+5m﹣3），

＝﹣+，

＝﹣（m﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴当m＝时，S有最大值是；

（3）分四种情况：

①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，

易得△OMP≌△PNF，

∴OM＝PN，

∵P（m，m2﹣4m+3），

则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，

解得：m＝（舍）或，

∴P的坐标为（，）；

②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，如图3，

同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，

解得：m1＝（舍）或m2＝，

③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，

如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，

∴PN＝FM，

则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，

解得：x＝或（舍）；

P的坐标为（，）；

④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，

解得：m＝或（舍）

P的坐标为：（，）；

综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．