一、中考数学压轴题
1.如图,一张半径为3cm 的圆形纸片,点O 为圆心,将该圆形纸片沿直线l 折叠,直线l 交O 于A B 、两点.
(1)若折叠后的圆弧恰好经过点O ,利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l (不写作法,保留作图痕迹),并求此时线段AB 的长度. (2)已知M 是
O 一点,1cm OM =.
①若折叠后的圆弧经过点M ,则线段AB 长度的取值范围是________. ②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ,则线段AB 的长度为_________cm . 2.如图所示,在平面直角坐标系中,点(),C m m 在一三象限角平分线上,点(),0B n 在x 轴上,且m=2n -+2n -+4,点A 在y 轴的正半轴上;四边形AOBC 的面积为6 (1)求点A 的坐标;
(2)P 为AB 延长线上一点,//PQ OC ,交CB 延长线于Q ,探究OAP ∠、ABQ ∠、
Q ∠的数量关系并说明理由;
(3)作AD 平行CB 交CO 延长线于D ,BE 平分CBx ∠,BE 反向延长线交CO 延长线于,若设ADO α∠=,F β∠=,试求2αβ+的值.
3.在平面直角坐标系中,抛物线2
4y mx mx n =-+(m >0)与x 轴交于A ,B 两点,点B 在点A 的右侧,顶点为C ,抛物线与y 轴交于点D ,直线CA 交y 轴于E ,且
:3:4??=ABC BCE S S .
(1)求点A ,点B 的坐标;
(2)将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后,点B 与点A 重合,点O 恰好落在y 轴上,
①求直线CE 的解析式; ②求抛物线的解析式.
4.已知:如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,()2,0C .直线26y x =+与x 轴交于点A ,交y 轴于点B .过C 点作直线AB 的垂线,垂足为E ,交y 轴于点D . (1)求直线CD 的解析式;
(2)点G 为y 轴负半轴上一点,连接EG ,过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H .设点G 的坐标为()0,t ,线段AH 的长为d .求d 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)
(3)过点C 作x 轴的垂线,过点G 作y 轴的垂线,两线交于点M ,过点H 作HN GM ⊥于点N ,交直线CD 于点K ,连接MK ,若MK 平分NMB ∠,求t 的值.
5.如图,AB ∥CD ,定点E ,F 分别在直线AB ,CD 上,平行线AB ,CD 之间有一动点P . (1)如图1,当P 点在EF 的左侧时,∠AEP ,∠EPF ,∠PFC 满足数量关系为 ,如图2,当P 点在EF 的右侧时,∠AEP ,∠EPF ,∠PFC 满足数量关系为 . (2)如图3,当∠EPF =90°,F P 平分∠EFC 时,求证:EP 平分∠AEF ; (3)如图4,QE ,QF 分别平分∠PEB 和∠PFD ,且点P 在EF 左侧. ①若∠EPF =60°,则∠EQF = .
②猜想∠EPF 与∠EQF 的数量关系,并说明理由;
6.如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC ?的斜边AB 在y 轴上,边AC 与x 轴交于点
D ,A
E 平分BAC ∠交边BC 于点E ,经过点A D E 、、的圆的圆心
F 恰好在y 轴上,
⊙F 与y 里面相交于另一点G . (1)求证:BC 是⊙F 的切线 ;
(2)若点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -,求⊙F 的半径及线段AC 的长; (3)试探究线段AG AD CD 、、三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.
7.综合与实践
4A 纸是我们学习工作最常用的纸张之一, 其长宽之比是2:1,我们定义:长宽之比是
2:1的矩形纸片称为“标准纸”.
操作判断:
()1如图1所示,矩形纸片2()ABCD AD AB =
是一张“标准纸”,将纸片折叠一次,使点
B 与D 重合,再展开,折痕EF 交AD 边于点,E 交B
C 边于点F ,若1,AB =求CF 的
长,
()2如图2,在()1的基础上,连接,BD 折痕EF 交BD 于点O ,连接,BE 判断四边形
BFDE 的形状,并说明理由.
探究发现:
()3如图3所示,在(1)和(2)的基础上,展开纸片后,将纸片再折叠一次,使点A 与点C 重
合,再展开,痕MN 交AD 边于点M ,BC 交边于点,N 交BD 也是点O .然后将四边形
ENFM 剪下,探究纸片ENFM 是否为“标准纸”,说明理由.
8.如图,90EOF ∠=?,矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上,4AB =,
3BC =,矩形ABCD 沿射线OD 方向,以每秒1个单位长度的速度运动.同时点P 从点A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动,当点P 到达点C 时,
矩形ABCD 也停止运动,设点P 的运动时间为()t s ,PDO △的面积为S . (1)分别写出点B 到OF 、OE 的距离(用含t 的代数式表示); (2)当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时,求S 与t 之间的函数关系式;
(3)设点P 到BD 的距离为h ,当1
5
h OD =
时,求t 的值; (4)若在点P 出发的同时,点Q 从点B 以每秒4
3
个单位长度的速度向终点A 运动,当点
Q 停止运动时,点P 与矩形ABCD 也停止运动,设点A 关于PQ 的对称点为E ,当
PQE 的一边与CDB △的一边平行时,直接写出线段OD 的长.
9.如图,已知正方形ABCD 中,4,BC AC BD =、相交于点O ,过点A 作射线
AM AC ⊥,点E 是射线AM 上一动点,连接OE 交AB 于点F ,以OE 为一边,作正方形OEGH ,且点A 在正方形OEGH 的内部,连接DH . (1)求证:EDO EAO ???;
(2)设BF x =,正方形OEGH 的边长为y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;
(3)连接AG ,当AEG ?是等腰三角形时,求BF 的长.
10.如图,在菱形ABCD 中,AB a ,60ABC ∠=?,过点A 作AE BC ⊥,垂足为
E ,A
F CD ⊥,垂足为F .
(1)连接EF ,用等式表示线段EF 与EC 的数量关系,并说明理由;
(2)连接BF ,过点A 作AK BF ⊥,垂足为K ,求BK 的长(用含a 的代数式表示); (3)延长线段CB 到G ,延长线段DC 到H ,且BG CH =,连接AG ,GH ,AH . ①判断AGH 的形状,并说明理由; ②若1
2,(33)2
ADH
a S
==
+,求sin GAB ∠的值.
11.问题提出
(1)如图①,在ABC 中,2,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积.
问题探究
(2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且
2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值.
问题解决
(3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值.
12.如图,已知抛物线y =2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-(),B 33,0()两点,与
y 轴交于点C 0,3().
(1)求抛物线的解析式及顶点M 坐标;
(2)在抛物线的对称轴上找到点P ,使得PAC 的周长最小,并求出点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、C 重合).过点
D 作D
E //PC 交x 轴于点E .设CD 的长为m ,问当m 取何值时,
PDE
ABMC 1
S
S 9
=四边形. 13.附加题:在平面直角坐标系中,抛物线2
1y ax a
=-与y
轴交于点A ,点A 关于x 轴的对称点为点B , (1)求抛物线的对称轴;
(2)求点B 坐标(用含a 的式子表示); (3)已知点11,
P a ??
???
,(3,0)Q ,若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点,结合函数图像,求a 的取值范围.
14.在△ABC 中,∠BAC =90°,点D 是BC 上一点,将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ,边AE 交BC 于点F .
(1)如图①,当AE ⊥BC 时,写出图中所有与∠B 相等的角: ;所有与∠C 相等的角: .
(2)若∠C -∠B =50°,∠BAD =x °(0<x ≤45) . ① 求∠B 的度数;
②是否存在这样的x 的值,使得△DEF 中有两个角相等.若存在,并求x 的值;若不存在,请说明理由. 15.如图,抛物线2
14
y x bx c =
++与x 轴交于点A (-2,0),交y 轴于点B (0,5
2
-
).直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ,与抛物线的另一个交点是D .
(1) 求抛物线2
14
y x bx c =
++与直线32y kx =+的解析式;
(2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点,过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点. ①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ,问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;
②作PN ⊥AD 于点N ,设△PMN 的周长为m ,点P 的横坐标为x ,求m 关于x 的函数关系式,并求出m 的最大值.
16.在平面直角坐标系中,直线4
(0)3
y x b b =-
+>交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,10AB =.
(1)如图1,求b 的值;
(2)如图2,经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ,与
x 轴交于点R ,//CD OA ,交AB 于点D ,设线段CD 长为d ,求d 与n 的函数关系式;
(3)如图3,在(2)的条件下,点F 在第四象限,CF 交OA 于点E ,45AEF ∠=?,点
P 在第一象限,PH OA ⊥,点N 在x 轴上,点M 在PH 上,MN 交PE 于点G ,
PH EN =,过点E 作EQ CF ⊥,交PH 于点Q , 32==EQ EF PM ,
∠=∠OBR HNM ,BC CR =,点G 的坐标为1927,55??
???
,连接FN ,求EFN 的面
积.
17.已知AM //CN ,点B 为平面内一点,AB ⊥BC 于B . (1)如图1,直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系; (2)如图2,过点B 作BD ⊥AM 于点D ,求证:∠ABD =∠C ;
(3)如图3,在(2)问的条件下,点E 、F 在DM 上,连接BE 、BF 、CF ,BF 平分∠DBC ,BE 平分∠ABD ,若∠FCB +∠NCF =180°,∠BFC =5∠DBE ,求∠EBC 的度数.
18.如图,抛物线25y ax bx =+-交x 轴于点A 、B (A 在B 的左侧),交y 轴于点
C ,且OB OC =,()2,0A -.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P 为第四象限抛物线上一点,过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ,设P 点横坐标为t ,线段PD 的长度为d ,求d 与t 的函数关系式.(不要求写出t 的取值范围) (3)在(2)的条件下,F 为BP 延长线上一点,且45PFC ∠=?,连接OF 、CP 、
PB ,FOB ?的面积为
3600
169
,求PBC ?的面积. 19.如图,四边形AOBC 是正方形,点C 的坐标是(82,0).
(1)正方形AOBC 的边长为 ,点A 的坐标是 ;
(2)将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45?,点A ,B ,C 旋转后的对应点为A ',
B ',
C ',求点A '的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积;
(3)动点P 从点O 出发,沿折线OACB 方向以1个单位/秒的速度匀速运动,同时,另一动点Q 从点O 出发,沿折线OBCA 方向以2个单位/秒的速度匀速运动,运动时间为t
秒,当它们相遇时同时停止运动,当OPQ △为等腰三角形时,求出t 的值(直接写出结果即可).
20.在△ABC 中∠B=45°,∠C=30°,点D 为BC 边上任意一点,连接AD ,将线段AD 绕A 顺时针旋转90°,得到线段AE ,连接DE .
(1)如图1,点E 落在BA 的延长线上时,∠EDC= (度)直接填空. (2)如图2,点D 在运动过程中,DE ⊥AC 时,AB=4 ,求DE 的值.
(3)如图3,点F 为线段DE 中点,AB=2a ,求出动点D 从B 运动到C ,点F 经过的路径长度.
21.如图1,以AB 为直径作⊙O ,点C 是直径AB 上方半圆上的一点,连结AC ,BC ,过点C 作∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ,过点D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E .
(1)如图1,连结AD ,求证:∠ADC =∠DEC . (2)若⊙O 的半径为5,求CA ?CE 的最大值. (3)如图2,连结AE ,设tan ∠ABC =x ,tan ∠AEC =y , ①求y 关于x 的函数解析式; ②若
CB BE =4
5
,求y 的值. 22.如图1,在ABC 中,BD 平分ABC ∠,CD 平分ACB ∠. (1)若80A ∠=?,则BDC ∠的度数为______; (2)若A α∠=,直线MN 经过点D .
①如图2,若//MN AB ,求NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示); ②如图3,若MN 绕点D 旋转,分别交线段,BC AC 于点,M N ,试问在旋转过程中
NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变?若不变,求出NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示),若改变,请说明理由:
③如图4,继续旋转直线MN ,与线段AC 交于点N ,与CB 的延长线交于点M ,请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系(用含α的代数式表示).
23.在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 为反比例函数()4
x 0x
y =>的图像上两点,A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1,将()4
x 0x
y =>的图像绕原点O 顺时针旋转90°,A 点的对应点为A’,B 点的对应点为B’.
(1)点A’的坐标是 ,点B’的坐标是 ;
(2)在x 轴上取一点P ,使得PA+PB 的值最小,直接写出点P 的坐标. 此时在反比例函数()4
x 0x
y =
>的图像上是否存在一点Q ,使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等,若存在,求出点Q 的横坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AB’,动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动;动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动.当其中一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t 秒,试探究:是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值.若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.
24.发现来源于探究.小亮进行数学探究活动,作边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形AEFG (a>b ),开始时,点E 在AB 上,如图1.将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转.
(1)如图2,小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转,连接BE 、DG ,当点G 恰好落
在线段BE 上时,小亮发现DG ⊥BE ,请你帮他说明理由.当a=3,b=2时,请你帮他求此时DG 的长.
(2)如图3,小亮旋转正方形AEFG ,点E 在DA 的延长线上,连接BF 、DF .当FG 平分∠BFD 时,请你帮他求a :b 及∠FBG 的度数.
(3)如图4,BE 的延长线与直线DG 相交于点P ,a=2b .当正方形AEFG 绕点A 从图1开始,逆时针方向旋转一周时,请你帮小亮求点P 运动的路线长(用含b 的代数式表示). 25.如图,在平面直角坐标系xoy 中,直线1
22
y x =-+与x 轴交于点B ,与y 轴交于点,C 抛物线2
y ax bx c =++的对称轴是直线3
,2
x =与x 轴的交点为点,A 且经过点B C 、两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M 为抛物线对称轴上一动点,当BM CM -的值最小时,请你求出点M 的坐标;
(3)抛物线上是否存在点N ,过点N 作NH x ⊥轴于点,H 使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似?若存在,请直接写出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.
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一、中考数学压轴题 1.A
解析:(1)图见解析,33cm ;(2)①25cm 42cm AB ≤≤26 【解析】 【分析】
(1)连接AO ,直线l 垂直平分PO .13
cm 22
OH PO ==,在Rt △AHO 中即可求解; (2)①分两种情况求解;
②过O 作弦AB 的垂直与圆交于点D ,与弧AB 交于点C ,与AB 交于点E ,过M 作OM 的
垂线,两条垂线的交点为O',连接AO ,得到OO'垂直平分AB ,O'为弧ABM 所在圆的圆心,10cm OO '=,在Rt △ADO 中即可求解; 【详解】
(1)如图,直线l 为所求,连接AO .
∵点P 与点O 关于直线l 对称, ∴直线l 垂直平分PO . ∴13
cm 22
OH PO =
=. 在Rt AHO ?中, ∵222AH HO AO +=, ∴2233
cm AH AO HO =-=
. 在
O 中,
∵PO AB ⊥,PO 为半径, ∴233cm AB AH ==. (2)如图1:
∵弧AB 翻折与M 重合,OM=1, ∴DM=1,
在Rt△ADO 中,AO=3,DO=2, ∴5AD = 如图2:
∵弧AB 翻折与M 重合,OM=1, ∴MD=2,DO=1, 在Rt△ADO 中,AO=3, ∴22AD =, ∴2542AB ≤≤, 故答案为2542AB ≤≤;
(3)如图3:过O 作弦AB 的垂线与圆O 交于点C ,与AB 交于点D ,连接OM ,过点M 作OM 的垂线,两条垂线的交点为O',连接AO ,
∴OO'垂直平分AB ,O'为弧ABM 所在圆的圆心, ∵折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M , ∴MO'=3,CO=EO',在Rt△OO'M 中,OM=1, ∴'10OO =, 在Rt△ADO 中,10
DO =AO=3, ∴26AD =, ∴26AB =
26 【点睛】
本题考查圆的翻折,垂径定理,圆的切线,解直角三角形;熟练用垂径定理,在直角三角形中求边,分类讨论折叠的情况是解题的关键.
2.A
解析:(1)A (0,1)
(2)结论:∠ABQ+∠OAB﹣∠Q=135°.
(3)α+2β=45°.
【解析】
【分析】
(1)利用二次根式的性质求出m、n的值,求出B、C两点坐标,由S四边形AOBC=
S△OBC+S△AOC,推出
1
2
×2×4+
1
2
×OA×4=6,求出OA即可;
(2)如图2中,结论:∠ABQ+∠OAB﹣∠Q=135°.根据三角形内角和定理,三角形的外角的性质即可解决问题;
(3)由AD∥BC,推出∠ADC=∠DCB=α,由BE平分∠CBx,推出∠CBE=∠EBx,由
∠CBE=∠F+∠OCB=α+β,推出∠OBF=∠EBx=α+β,由OC平分∠AOB,可得∠COB=45°=∠F+∠OBF=α+(α+β),由此即可解决问题;
【详解】
解:(1)由题意
20
20
n
n
-≥
?
?
-≥
?
,
,得
,
解得n=2,
∴m=4,B(2,0),C(4,4).如图:
∵S四边形AOBC=S△OBC+S△AOC,
∴1
2
×2×4+
1
2
×OA×4=6,
∴OA=1,
∴A(0,1).
(2)结论:∠ABQ+∠OAB﹣∠Q=135°.如图:
理由如下:
∵OC∥PQ,
∴∠Q=∠OCB,
∵∠ABQ=∠1+∠OCB=∠1+∠Q,∠1=180°﹣∠OAB﹣∠AOC=180°﹣∠OAB﹣45°=135°﹣∠OAB,
∴∠ABQ=∠Q+135°﹣∠OAB,
∴∠ABQ+∠OAB﹣∠Q=135°.
(3)如图:
∵AD∥BC,
∴∠ADC=∠DCB=α,
∵BE平分∠CBx,
∴∠CBE=∠EBx,
∵∠CBE=∠F+∠OCB=α+β,
∴∠OBF=∠EBx=α+β,
∵C(4,4),
∴OC平分∠AOB,
∴∠COB=45°=∠F+∠OBF=α+(α+β),
∴α+2β=45°.
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性
质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于压轴题.
3.A
解析:(1) A (
12,0) B (72,0);(2) ①233y x =-+,②24316373
y x x =
-+
. 【解析】 【分析】
(1)根据抛物线的解析式可得对称轴为x =2,利用:3:4??=ABC BCE S S 得出CA :CE =3:4,由△AOE ∽△AGC 可得
1
3
=AO AG ,进而求得OA 、OB 的长,即可求得点A 、点B 的坐标; (2)根据旋转的性质求出C 点坐标,利用C 点坐标和△AOE ∽△AGC 可求得E 点坐标,,分别利用待定系数法即可求得直线CE 和抛物线的解析式. 【详解】
解:(1)∵抛物线的解析式为2
4(0)=-+>y mx mx n m ,
∴对称轴为直线422-=-
=m
x m
, 如图,设对称轴与x 轴交于G ,则//CG y 轴,2OG =,
∴△AOE ∽△AGC , ∴
=AO AE
AG AC
, ∵:3:4ABC
BCE
S S
=, ∴CA :CE =3:4 ,则3
1
AE AC =, ∴
1
3
==AO AE AG AC , ∴1142=
=OA OG ,3342
==AG OG ,
则23==AB AG ,72
=+=OB OA AB , ∴A (
12,0), B (7
2
,0); (2)如图,设O 旋转后落在点Q 处,过点C 作CP y ⊥轴于点P ,
由旋转的性质得:△BCO ≌△ACQ , ∴BO =AQ =7
2
,CO =CQ , ∴OQ =222271
()()2322=
-=-=AQ AO
∵CP y ⊥轴, ∴1
32
=
=OP OQ ∴点C 的坐标为(2,3)-,则3CG =由(1)得△AOE ∽△AGC ,1
3
==OE AE CG AC , ∴3OE =
E 的坐标为3, ①设CE 的解析式为y kx b =+,分别代入C (2,3)-,E 3
(0,
3
得: 233
3k b b ?+=??=
??,解得:2333k b ?=????=??
,
∴CE
的解析式为33
y x =-+
; ②将A (
1
2
,0),
C (2,分别代入24y mx mx n =-+得:
1204
48m m n m m n ?-+=???-+=?
,解得:9m n ?=????=??
,
∴抛物线解析式为2y x x =+
. 【点睛】
本题考查了二次函数的综合、旋转的性质、相似三角形的性质和求一次函数的解析式,正确的理解题意,熟练运算“数形结合思想”是解题的关键.
4.C
解析:(1)112y x =-+;(2)1d t =-+;(3
)65
t -= 【解析】 【分析】
(1)根据互相垂直两直线斜率积为-1,设出直线CE 的解析式,再将点C 坐标代入即可求解;
(2)过点E 作EM ⊥y 轴于点M ,过点E 作EN x ⊥轴于点N ,通过解直角三角形可证
EDM ≌EAN ,ENH ≌EMG ,得到AN =DM ,HN =GM ,进而得到AH DG =,再
根据CE 解析式求出D 点坐标,即可找出d 与t 之间的函数关系式;
(3)过点B 作BT CM ⊥于点T ,在直线BT 上截取TL NK =,证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形,得MN MT =,再进一步证明ENH ≌EMG ,利用全等三角形的性质通过角度计算,得出△BML 为等腰三角形且BM BL =,再用含有t 的代数式表示BM ,最后在Rt △BMG 中利用勾股定理建立等式,求出t 的值. 【详解】
解:(1)∵CE ⊥AB , ∴设直线CE 的解析式为:1
2
y x c =-
+, 把点C (2,0)代入上述解析式,得1c =, ∴直线CD 的解析式为:1
12
y x =-
+; (2)过点E 作EM ⊥y 轴于点M ,过点E 作EN x ⊥轴于点N ,
令26 1
1
2
y x
y x
=+
?
?
?
=-+
??
,
解得
2
2
x
y
=-
?
?
=
?
,
∴()
2,2
E-,
易证EDM≌EAN,ENH≌EMG,
∴AN=DM ,HN=GM,
∴AH DG
=,
由直线CE的解析式
1
1
2
y x
=-+,可求点D(0,1)
∴DG=1—t,
∴1
d t
=-+;
(3)过点B作BT CM
⊥于点T,在直线BT上截取TL NK
=,
易证四边形BGMT与四边形HNMC均为矩形,
由(2)问可知1t
AH GD
==-,则6t
HC=-
∴6t
BG MT
==-,
∴MN MT
=,
∵90
KNM LTM
∠=∠=?,
∴ENH≌EMG,
∴L
NKM
∠=∠,
设KMNα
∠=,则KMB KMNα
∠=∠=,
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲
(A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 六年级数学总复习易错题 一、填空题 1. A=2 x 3X a, B=3X a x 7,已知A与B的最大公约数是15,那么 a=(),A与B的最小公倍数是()。 2. 有一个放大镜,在这个放大镜下,一条线段其长度是原来的3倍,在这个放大镜下,正方形面积是原来的()倍,正方体的体积是原来的()倍。 3. 小红1/5小时行3/8千米,她每小时行()千米,行1千米用()小时。 4. 一台榨油机6小时榨油300千克。照这样计算,1小时榨油 ()千克,榨1千克油需()小时。 5. 把3米长的绳子平均分成4段,每段长()米,每段占3米的()。 6. 一个长方体的长、宽、高的比是3:2: 1,已知长方体的棱长 总和是144厘米,它的体积是()立方厘米。 7. 甲数是乙数的60%甲数比乙数少()%乙数比甲数多() 8. 甲班人数比乙班多1/4,则乙班人数比甲班少()。9.水结成冰后,体积比原来增加1/11,冰化成水后,体积减少()。 10. 一项工程投资20万元,比计划节约5万元。节约() %。 11. 男生人数的3/4与女生人数的4/5 一样多,男女生人数的比是 。 12. 一个长方形的周长36分米,宽是长的4/5,长方形的面积是 平方分米。 13. 在一个减法算式里,被减数、减数与差的和是180,减数与差的比是4: 5,被减数是(),差是()。 14. 一本书若定价每本10元,获得的纯利润是25%如果想使获得的纯利润是40%则每本书应定价()元。 15. 一个两位数,十位上的数字是m个位上的数字是n,用含有 字母的式子表示是()。 16. —个两位小数,它的近似值是4.0,这个数最大是(), 最小是()。 二、判断题 1. 大于90°的角都是钝角。() 2. 只要能被2除尽的数就是偶数。() 3.12/15不能化成有限小数。( 4. 能被3整除的数一定能被9整除。 5. 两个锐角之和一定是钝角。( 6. 在比例中,如果两个内项互为倒数, () 7. x+y=ky (k 一定)则x、y不成比例。( 8. 正方形、长方形、平行四边形、圆都是轴对称图形。( ) 9. 比例尺就是前项是1的比。() 10.1千克的金属比1千克的棉花重。( 11.1/100和1%TE是分母为100的分数,它们表示的意义相同。 () 12. 圆锥的体积比圆柱体积小2/3。( ) () ) 那么两个外项也互为倒数18. 比例尺大的,实际距离也大。( 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m . 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC, 数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 小学六年级数学易错题(选择题)_题型归纳 二、选择题: 1、自然数a除以自然数b,商是10,那么a和b的最大公约数是( )。 A、a B、b C、10 2、一个三角形,经过它的一个顶点画一条线段把它分成两个三角形,其中一个三角形的内角和是( )。 A、180 B、90 C、不确定 3、从甲地开往乙地,客车要10小时,货车要15小时,客车与货车的速度比是( )。 A、2:3 B、3:2 C、2:5 4、用3根都是12分米长的铁丝围成长方形、正方形和圆形,则围成的( )面积最大。 A、长方形 B、正方形 C、圆形 5、在除法算式mn=ab中,(n0),下面式子正确的是( )。 A、a>n B、n>a C、n>b 6、过平行四边形的一个顶点向对边可以作( )条高。 A、1 B、2 C、无数 7、用三根同样长的铅丝分别围成圆、正方形和长方形,( )的面积最小。 A、圆 B、正方形 C、长方形 8、甲数与乙数的比值为0.4,乙数与甲数的比值为( ) A.0.4 B.2.5 C. 2/5 9、加工一批零件,经检验有100个合格,不合格的有25个,这批零件的合格率是( ) A、75% B、80% C、100% 10、小数点右边第三位的计数单位是( ) A、百分位 B、千分位 C、0.01 D、0.001 11、等底等高的圆柱体比圆锥体体积( ) A、大 B、大2倍 C、小 12、如果4X=3Y,那么X与Y( ) A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 13、0.70.3如果商是2那么余数是( ) A、1 B、0.1 C、0.01 D、10 14、做一批零件,如果每人的工效一定,那么工人的人数和用的时间( ) A。成正比例B。成反比例C。不成比例 15、两根同样长的绳子,一根剪去3/7,另一根剪去3/7米,第( )根剪去的长一些。 A、第一根长 B、第二根长 C、一样长 D、无法判断 16、一根绳子,剪成两段,第一段长3/7米,第二段占全长的3/7,第( )段长一些。 A、第一段长 B、第二段长 C、一样长 D、无法判断六年级数学总复习易错题整理
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