频率抽样设计法
第7章 FIR 数字滤波器的设计方法
IIR 数字滤波器最大缺点：不易做成线性相位，而现代图像、语声、数据通信对线性相位的要求是普遍的。正是此原因，使得具有线性相位的FIR 数字滤波器得到大力发展和广泛应用。
1． 线性相位FIR 数字滤波器的特点
FIR DF 的系统函数无分母，为∑∑-=--=-==
1
1
)()(N n n N i i
i z n h z
b z H ，系统频
率响应可写成：∑-=-=
10
)()(N n jwn
jw
e
n h e H ，令)(jw e H ＝)()(w j e w H Φ，H(w)
称为幅度函数，)(w Φ称为相位函数。这与模和幅角的表示法有所不同，H(w)为可正可负的实数，这是为了表达上的方便。如某系统频率响应
)(jw e H ＝w j we 34sin -，如果采用模和幅角的表示法，w 4sin 的变号相当
于在相位上加上)1(ππj e =-因，从而造成相位曲线的不连贯和表达不方便，而用)()(w j e w H Φ这种方式则连贯而方便。
线性相位的FIR 滤波器是指其相位函数)(w Φ满足线性方程：
)(w Φ＝βα+-w （βα,是常数）
根据群时延的定义，式中α表示系统群时延，β表示附加相移。线性相位的FIR 系统都具有恒群时延特性，因为α为常数，但只有β＝0的FIR 系统采具有恒相时延特性。 问题：并非所有的FIR 系统都是线性相位的，只有当它满足一定条件时才具有线性相位。那么应满足什么样的条件？从例题入手。
例题：令h(n)为FIR 数字滤波器的单位抽样相应。N n n ≥<或0时h(n)=0，并假设h(n)为实数。
（a ） 这个滤波器的频率响应可表示为)()()(w j jw e w H e H Φ=（这是按幅
度函数和相位函数来表示的，不是用模和相角的形式），)(w H 为实数。（N 要分奇偶来讨论）
（1） 当h(n)满足条件)1()(n N h n h --=时，求)(w H 和)(w Φ（π≤≤w 0）
（2） 当h(n)满足条件)1()(n N h n h ---=时，求)(w H 和)(w Φ（π≤≤w 0）
（b ） 用)(k H 表示h(n)的N 点DFT
（1） 若h(n)满足)1()(n N h n h ---=，证明H(0)=0； （2） 若N 为偶数，证明当)1()(n N h n h --=时，H(N/2)=0。
解：（a ）∑-=-=
1
)()(N n jwn
jw
e
n h e H
（1）)1()(n N h n h --=，当N 为奇数时，
+--++-+=---?----)11(1)1(0)11()1()1()0()(N jw jw N jw jw jw e N h e h e N h e h e H
2
123
)
1()2
1(])[(---=-----++=∑N jw
N n n N jw jwn
e
N h e
e
n h
2
1)2
1
(
2
30
)2
1
(
)2
1
()2
1(])[(-----=-----
--++=
∑N jw
N jw N n n N jw N n jw e
N h e
e
e
n h
)
(})2
1
()]21(cos[)(2{))(2
30
)
2
1(w H e N h N n w n h e
w j N n N jw Φ-=--=-+--
=∑
其
中幅度函数：
)
(w H ＝
∑-=-+--
230
)2
1
()]21(cos[)(2N n N h N n w n h 21'--=N n n 令得到 )(w H ＝)2
1
('cos )21'(21
2
1
'-+-+
∑
---
=N h wn N n h N n 'n n -=令得到
)
(w H ＝
∑∑-=-=--=-+--2
1
211
cos )21
(2)21(cos )21(
2N n N n wn n N h N h wn n N h ∑-==2
1
0cos )(N n wn
n a ，
)2
1
(
)0(-=N h a ，
21
,,2,1),21(
2)(-=--=N n n N h n a 。
所以=)(jw e H ∑-=--2
1
2
1co s )(N n w N j wn n a e
，得出)(w H ∑-==2
10
co s )(N n wn n a ，
w N w 21)(--=Φ。得出第一类FIR DF 的特点：
? 恒相时延，相位曲线是过原点的曲线； ? 可通过h(n)灵活设计幅度函数的零点位置；
? 幅度函数对频率轴零点偶对称)()(w H w H -=，对π点偶对称
)2()(w H w H -=π。
（1）)1()(n N h n h --=，当N 为偶数时，
)(jw e H ∑-=----+=120
)1(])[(N n n N jw jwn e e n h
∑-=----
=120
)
2
1()]2
1
(cos[)(2N n N jw N n w n h e
)()(w H e w j Φ= 其
中
)
(w H ＝
∑∑-=-=--=--
12
120
]21
)2(cos[)(2)]21(cos[)(2N n N n w n N w n h N n w n h 2
'n N
n -=
令得
到
)
(w H ＝
∑∑==-=--2
1
2
1
')]21
(cos[)()]21'(cos[)'2(
2N
n N n n w n b n w n N h ， 所以
=
)(jw e H ∑=---2
1
2
1)]21
(cos[)(N
n w N j n w n b e
，得出
)(w H ∑=-=2
1
)]21
(cos[)(N n n w n b ，w N w 2
1
)(--
=Φ。
第二类FIR DF 的特点：
? 恒相时延，相位曲线是过原点的直线；
? 幅度函数对频率轴零点偶对称)()(w H w H -=；
? 幅度函数对频率轴π点奇对称)2()(w H w H --=π。由)(w H 的连续
性，
π点一定是幅度函数的零点。即π=w 时，
)(0)(0)]2
1
(cos[z H H n w ?=?=-π在z=-1处有零点；因此这类
滤波器不适合高通或带阻滤波器。 （2）)1()(n N h n h ---=，当N 为奇数时
推导省略，结果是
)(w H ∑-==2
11
sin )(N n wn n c ，)2
1
(
2)(n N h n c --=
w N w 2
1
2
)(--
=
Φπ
。 第三类FIR DF 的特点： ? 恒群时延，有
2π附加相移，相位曲线是截距为2
π、斜率为21--N 的
直线；
? 幅度函数对零频点奇对称)()(w H w H --=，零频是)(w H 的零点； ? 对π奇对称)2()(w H w H --=π，π也是)(w H 的零点。 （2）)1()(n N h n h ---=，当N 为偶数时
推导省略，结果是
)(w H ∑=-=2
1)]21
(sin[)(N
n n w n d ，)2(2)(n N h n d -=
w N w 2
1
2
)(--
=
Φπ
。 第四类FIR DF 的特点： ? 恒群时延，有
2π附加相移，相位曲线是截距为2
π、斜率为21--N 的
直线；
? 幅度函数对零频点奇对称)()(w H w H --=，零频是)(w H 的零点； ? 对π偶对称)2()(w H w H -=π。 （b ）k N
w jw
e H k H π2|
)()(==
（1）0|)()0(==w jw e H H ，当)1()(n N h n h ---=，不论N 为奇数还是偶数，)(jw
e H 中都含有)(sin ?w 项，0|)(0==w jw e H ，所以0)0(=H 。 （2）)1()(n N h n h --=，N 为偶数
=
)(jw
e H ∑-=----
121
2
1)]2
1
(cos[)(2N
n w
N j N n w n h e
，
π==w jw e H N H |)()2/(，因为（21--
N n ）是2
1
的奇数倍，因此)2
1
(cos[--
N n w ＝0，即0)2/(=N H 。 问题：FIR DF 线性相位的条件是什么？ 总结四种FIR DF 的特点：
◆ 当h(n)为实数且偶对称时，FIR DF 为恒相时延，相位曲线是一条过原
点、以21
--
N 为斜率的直线。信号通过这类滤波器后，各种频率分量的时延都是21-N 。当N 为奇数时，时延2
1
-N 是整数，是采样间隔
的整数倍，采样点时延后仍是采样点。但当N 为偶数时，时延2
1
-N 不
是整数，采样点时延后就不在采样点位置上了，这在某些应用场合会带来一些意外的问题。同时，N 为偶数时，π点是幅度的零点，不能做高通、带阻滤波器。一般情况下，第一类FIR DF 特别适合做各种滤波器。 ◆ 当h(n)为实数且奇对称时，FIR DF 仅是恒群时延。相位曲线是一条截
距为π／2，以2
1
--N 为斜率的直线。信号通过该滤波器产生的时延也是
2
1
-N 个采样周期，但另外对所有频率分量均有一个附加的90度的相移。单边带调制及正交调制正需要这种特性。因此这种滤波器特别适合做希尔伯特滤波器以及微分器。
FIR 滤波器的极点都在原点上，而h(n)是因果稳定的有限长序列，因此H(z)在有限z 平面上是稳定的。线性相位FIR DF 的零点有自己的特点：它们必定是互为倒数的共轭对。证明如下：)1()(n N h n h --±= （线性相位）
)()(1)1(---±=z H z z H N （z 变换的性质）
如果i z 是一个零点，代入上式有
)()(1
)
1(---±=i N i i z H z z H ＝0
0≠i z
0)(1=∴-i z H 必有，则1-i z 也是零点。
因为零极点总是成共轭对出现（有理分式特性）， 所以*i z ，*1)(-i z 也是零点。
所以i z ，*i z ，1-i z ，*1)(-i z 都是零点。
2． 窗函数设计法
因为∑-=-=
1
)()(N n n
z
n h z H ，对FIR 系统而言，冲击响应就是系统函数的系数。
因此设计FIR 滤波器的方法之一可以从时域出发，截取有限长的一段冲击响应作为H(z)的系数，冲击响应长度N 就是系统函数H(z)的阶数。只要N 足够长，截取的方法合理，总能满足频域的要求。一般这种时域设计、频域检验的方法要反复几个回合才能成功。
2.1 设计原理
设计目标：设计一个线性相位的FIR DF ； 已知条件：要求的理想频率响应)(jw d e H 。
)(jw d e H 是w 的周期函数，周期为π2，可以展开成傅氏级数)(jw d e H ＝
∑∞
-∞
=-n jwn d
e n h
)(，其中)(n h d 是与理想频响对应的理想单位抽样响应序列。
但不能用来作为设计FIR DF 用的h(n)，因为)(n h d 一般都是无限长、非因果的，物理上无法实现。
分析：为了设计出频响类似于理想频响的滤波器，可以考虑用h(n)来近似
)(n h d 。
窗函数的基本思想：先选取一个理想滤波器（它的单位抽样响应是非因果、无限长的），再截取（或加窗）它的单位抽样响应得到线性相位因果FIR 滤波器。这种方法的重点是选择一个合适的窗函数和理想滤波器。 例1：设截止频率为c w 的理想FIR 低通滤波器，其理想频响是
)(jw
d e H ????
?≤<≤?=-παw w w w e
c c w
j ,
0,1，其中α称为采样延时。对应的)(n h d 由下式求出：
注意：)(n h d 关于α对称，这对设计线性相位的FIR DF 很重要。 为了从)(n h d 中得到FIR 滤波器，可以对)(n h d 进行截取，如果要得到一个线性相位、因果的FIR 滤波器，则设截取后得到的h(n)的长度为M ，
h(n)一定满足
这种操作称为“加窗”。h(n)可看作是)(n h d 和)(n w 的乘积
)()()(n w n h n h d =
其中
根据)(n w 的不同定义，可得到不同的窗函数。在上例中
称为矩形窗。
在频域中，因果FIR 滤波器响应)(jw e H 由)(jw d e H 和窗响应)(jw e W 的周期卷积得到。即)(jw e H )()(jw jw d e W e H *=。矩形窗的窗谱 )
(jw e W ＝
2
1
1
)2/sin()2/sin(11)(-----=-∞
-∞
=-=--==∑∑N jw
jw
jwN N n jwn
n jwn
N
e w wN e
e e
e
n R
，它的幅度函
数为
)2/s i n (
)2/s
i n (
)(w wM w W =。
当
w
很小时，
2
/)2/s i n (2/)2/s
i n ()(wN wN N w wN w W ==
，这是一个][sin ?c 函数，每隔N
/2π正负交替一次。
由卷积定义得到)(jw
e H ?
--=
π
π
θθθπ
d e W e H w j j d )()(21
)
(
??-?
=--=-------c
c
c
c
w w N jw
w w N w j N j d w W e
d w N w e
e
θθπθ
θθπθθ
)(21
]
2/)sin[(]
2/)sin[(212
12
1
)(21
卷积结果如图7-8所示。
比较加矩形窗后的低通频谱和理想低通频谱可得到以下结论： ◆ 加窗使过渡带变宽，过渡带的带宽取决于窗谱的主瓣宽度。矩形窗情况
下的过渡带宽是N /4π。N 越大，过渡带越窄、越陡； ◆ 过渡带两旁产生肩峰，肩峰的两侧形成起伏振荡。肩峰幅度取决于窗谱
主瓣和旁瓣面积之比。矩形窗情况下是8.95％，与N 无关。
工程上习惯用相对衰耗来描述滤波器，相对衰耗定义为
])0(/)(lg[20])(/)(lg[20)(0
H w H e H e H w A j jw ==
这样两个肩峰点的相对衰耗分别是0.74dB 和-21dB 。其中（-0.0895）对应的点的值定义为阻带最小衰耗。
以上的分析可见，滤波器的各种重要指标都是由窗函数决定，因此改进滤波器的关键在于改进窗函数。
窗函数谱的两个最重要的指标是：主瓣宽度和旁瓣峰值衰耗。旁瓣峰值衰耗定义为：
旁瓣峰值衰耗＝20lg(第一旁瓣峰值／主瓣峰值) 为了改善滤波器的性能，需使窗函数谱满足：
◆ 主瓣尽可能窄，以使设计出来的滤波器有较陡的过渡带； ◆ 第一副瓣面积相对主瓣面积尽可能小，即能量尽可能集中在主瓣，外泄
少，使设计出来的滤波器的肩峰和余振小。
但上面两个条件是相互矛盾的，实际应用中，折衷处理，兼顾各项指标。
2.2 几种常用的窗口函数
1． 矩形窗
)()(n R n w N = 2． 三角窗
???
???
?-≤≤----≤
≤-=12
1
1222
1
01
2)(N n N N n N n N n n w
它是由两个长度为N ／2的矩形窗进行线性卷积而得到。 3． 汉宁（hanning ）窗，也称升余弦窗 10]1
2cos 1[21)(-≤≤--=
N n N n n w π 它的思路是：通过矩形窗谱的合理叠加减小旁瓣面积。上式可写成
)
(][2
121)(21)(1212n R e e n R n w N N n
j N n
j
N ---+?-=ππ
对应的频谱为
)(25.0)(25.0)(5.0)()1
2()1
2(-+
--
--=N w j R N w j R jw R jw e
W e
W e W e W π
π
式中)(jw
R e W 是矩形窗谱。当N 较大时，2π近似等于N π
2，这样
)(jw e W 可看作是三个不同位置矩形窗谱的叠加。叠加付出的代价是主瓣增
宽一倍，得到的好处是旁瓣峰值衰耗由-13dB 增加到-31dB 。 4． 海明（hamming ）窗
10)1
2cos(
46.054.0)(-≤≤--=N n N n
n w π 海明窗是海宁窗的修正，系数稍作变动使叠加后效果更好。 5． 布莱克曼（Blackman ）窗
10)1
4cos(08.0)12cos(
5.042.0)(-≤≤-+--=N n N n
N n n w ππ 是5个矩形窗谱的叠加。
6． 凯塞（Kaiser ）窗
10)(/])11
2(
1[)(020-≤≤---=N n I N n
I n w ββ
相关参数见书上的表。
2.3窗口法的设计步骤和实例
窗口法的基本思想：根据给定的滤波器技术指标，选择滤波器长度N 和窗函数)(n w ，使其具有最窄宽度的主瓣和最小的旁瓣。 窗口法的设计步骤：
◆ 给定理想频响函数)(jw d e H ；
◆ 根据指标选择窗函数。确定窗函数类型的主要依据是过度带宽和阻带最
小衰耗的指标； ◆ 由)(jw d e H 求)(n h d ，加窗得)()()(n w n h n h d ?=
◆ 检验。由)(n h 求)(jw
e H ，求)(jw
e H 是否在误差容限之内。 例1：书上354［例7-1］
例2：用窗口法设计一个满足下列指标的线性相位低通FIR 滤波器：
dB R w p p 25.0,2.0==π（通带波动）
（p w 为通带截止频率） dB A w s s 50,3.0==π（阻带最小衰减）
解：海明窗和布莱克曼窗均可提供大于50dB 的衰减。选择海明窗，因为过
渡带窄些，从而具有较小的阶数。 （1） 给定理想频响)(jw d e H
设?????≤<≤=-π
τw w w w e e H c c jw jw
d ,0,)(，根据已知的条件可近似出
π25.02/)(=+=s p c w w w 。
因此
)
()]
(sin[)(τπτ--=n n w n h c d ，要使设计的FIR 滤波器为线性相位，
则τ为
2
1
-N 。 （2） 确定窗的形状，根据过渡带宽确定N
选择海明窗，其阻带最小衰减为-53dB 。所要求的过渡带宽π1.0=-=?p s w w w 。海明窗过渡带宽满足N
w π
6.6=?，得出=N 66。τ＝
2
1
-N ＝32.5 （3） 确定FIR 滤波器的h(n)
)
()]65
2cos(46.054.0[)5.32()]5.32(3.0sin[)()()(n R n
n n n w n h n h N d πππ-?--=
?=
时域和频域的图形如下：
2.4 线性相位FIR 高通、带通、带阻滤波器的设计
P355~359自学
3. 频率抽样设计法
总结窗函数法：
（1） 从时域角度出发，用)(n h 来近似)(n h d ，从而)(jw
e H 逼近
)(jw d e H 。
（2） )(n h 有限长，)(n h d 无限长，存在截取，用什么样的窗来截取会有
不同的过渡带、阻带最小衰减。相对而言，三角形窗、海明窗、汉宁窗效果比矩形窗好，因为它们在边缘处不是陡然下降的。
目的：设计FIR DF ，只要能求出)(jw e H 或)(z H 或)(n h 即可。注意：所设计的滤波器的两个重要指标：过渡带带宽和阻带最小衰减。 已知：理想DF 特性)(jw d e H 。
思路：(a) )(jw d e H →)(n h d →)(n h →)(jw e H (窗函数法)
(b) )(jw d e H →)(k H d →)(k H →)(jw e H (频率抽样法)
步骤：
（1）)(|)(2k H e H d N
k w jw
d ==π；给定理想频响)(jw d
e H
（2）令)(k H ＝)(k H d ，)(k H 为实际FIR DF 的)(jw
e H 的抽样值，即
)(k H ＝)(k H d ＝N
k w jw d e H π2|)(=，k=0，1，…，N-1（确定采样点
数，对理想频响采样得H(k)）；
（3） 已知)(k H 求)(z H 或)(jw e H ，用内插公式得到FIR 系统函数
根据IDFT 有∑-=-=10
)(1)(N k nk N W k H N n h ， 对于FIR 系统，有∑-=-=
1
)()(N n n
z
n h z H ，结合两式得：
∑-=-----=
1
1
1)
(1)(N k k N N
z
W
k H N
z z H （＊） 从上式可看出：当采样点数N 已知后，k
N W -便是常数，只要采样值)(k H 确
定，则系统函数)(z H 就可确定，要求的FIR 滤波器就设计出来了。上式形式的FIR 滤波器很容易以频率采样型结构实现。
频率采样法的步骤可归纳为：
（1） 给定理想频响)(jw d e H ；
（2） 确定采样点数，对理想频响采样得)(k H ； （3） 代入（＊）式中，即得FIR 系统函数。 下面讨论频率采样法设计出来的FIR DF 的性能。
3.1 线性相位FIR DF 的约束条件
若)(2|
)()(k j k k
N
w jw
d e H e H k H Φ===π，其中k H 、)(k Φ分别是对幅度
函数)(w H 和相位函数)(w Φ的第k 个抽样。
因为)(n h 是实数，所以)(k H 一定满足共轭偶对称式（3-59）：
??
?-Φ-=Φ=-)
()(k N k H H k
N k （1）
又因为线性性，)(n h 满足对称性，所以对一般滤波用的第1、2类FIR 滤波器，必须满足条件：
N N k w N k k N
w )
1(|21)(2--
=--
=Φ=ππ （2） 对于正交网络、微分器（第3、4类FIR 滤波器，必须满足条件：
N N k w N k k N
w )
1(2|212
)(2--
=--
=
Φ=πππ
π （3） 综合以上条件，只有当)(k H 满足式（1），)(k Φ满足式（2）、（3）之一时，才有线性相位。如果理想频响)(jw d e H 给得不好或采样点位置安排得不恰当，都将得不到线性相位。只有当)(jw d e H 满足上面的约束条件时，对[0，
π]区间上抽取一半频率样点，而其余的一半根据约束条件强行推出。
3.2 FIR DF 的频率响应
根据设计出来的)(z H ，可得出频响
)(jw
e H ∑-=----=
1
/21)
(1N k jw
N
k j jwN
e
e
k H N
e π
＝∑-=-----?1
)2
1)(2()]
2(21sin[)]2(2sin[
1)(N k N k N w j e
k N
w k N w N N k H πππ ＝
∑-=-
Φ1
)2()(N k k N
w k H π 其中：)2(k N w π-Φ＝)
21)(2()]
2(21sin[)]2(2sin[
1-----?N k N w j e
k N
w k N w N N
πππ。上式是由离散谱求连续谱的内插公式，)(w Φ是内插函数，它的图形近似sinc[.]。滤波器频谱)(jw e H 等于以理想谱抽样值)(k H 为权值的、以
k N
π
2为中心位置的N 个sinc[.]函数之和。由采样点恢复出来的谱)(jw e H 与理想谱)(jw d e H 相比，在采样点上是完全吻合的，这是由sinc[.]函数特点决定的，它在
k N
π2（0≠k ）处的幅度都是零，一个样点扥诶插函数对其它样点的值没有任何干扰。但在两样点之间，)(jw
e H 的值是各样点的内插函数在该处值的叠加，与)(jw d e H 相比可能有误差。采样点之间频谱误差的大小与样点的疏密有关，更与相邻两个样点值变化的大小有关。理想频谱曲线越光滑平坦，样值变化越小，则误差越小；采样点越密，相当于相邻样值的变化越小，误差越小。如果理想频响曲线变化剧烈，甚至有不连续点，则内插所恢复的值与理想值的误差就很大，在不连续点旁边就会出现由sinc[.]函数造成的肩峰和振荡，这和窗口法是一样的。
3.3 改善滤波器性能的措施
如果给出的理想低通滤波器在通带的频谱)(jw
d e H 等于1而阻带为0，
则不论样点N 取得如何密，在临界频率处总有两个幅度突变的样点，它们之间的落差为1。于是阻带边缘产生反冲和阻尼振荡，其最大幅度取决于sinc[.]函数，是个固定的值。这样设计出来的滤波器的阻带最小衰耗固定为-20dB ，与矩形窗一样。
◆ 增加采样点数N 不能改善阻带最小衰耗。改善阻带衰耗的唯一办法是
加宽过渡带。具体方法是：在通、阻带交界处人为地安排一到几个过渡点，其值介于零和1之间，这样可减小样点间的落差，使过渡平缓，反冲减小，阻带最小衰耗增大。经验表明：每多加一个过渡点，过渡带宽增加N /2π，最优情况下阻带衰耗可增大20～30dB 。
◆ 兼顾过渡带宽和阻带最小衰减。增加采样点，同时在通、阻带交界处安
排过渡点。
◆ 频率采样法特别适用于设计窄带选频滤波器。（回顾窄带选频滤波器的
特点）因为这时只有少数几个非零值的)(k H ，计算量大为降低。但由于频率抽样点的分布必须符合一定规律，在规定通、阻带截止频率方面不够灵活。比如当截止频率c w 不是N /2π整数倍时会产生较大逼近误差，因而该方法的应用不及窗口法普遍。 其中：???-=-===1
,...,1),(0
,0)()(*
/2N k k N H k e H k H N
k j π（画出在单位圆上的采样可知） )(jw
e H ＝
∑-=-
Φ1
)2()(N k k N
w k H π )2(k N w π-Φ＝)
21)(2()]
2(21sin[)]2(2sin[
1-----?N k N w j e
k N
w k N w N N
πππ（P113式3-93，3-95）
得
)(jw
e H ＝
∑-=-----?
??1
12
1)]
2(21sin[)]2(2sin[
1
)(N k k N
N j w
N j k N w k N w N e
e
N k H πππ，式中k N
N j w N j
e
e
π12
1
---?只与相位有关，)]
2(21sin[)]2(2sin[
k N
w k N w N ππ--与幅度有关。下面画出)]
2(21sin[)]
2(2sin[
k N
w k N w N ππ
--的图形。因为对k 求和，所以共有N 项sin()sin()，分
别为：
]21sin[]2sin[
w w N
，)]2(21sin[)]
2(2sin[N w N w N ππ--，。。。，))]
1(2(21sin[))]1(2(2sin[----N N
w N N w N ππ。
在k N π2点上，只有一个抽样值，即在抽样点上，)(jw e H 在k N
w π2=上就等于)(k H ，在两个抽样点的频率之间的值为各抽样函数的加权值。 对)(jw d e H 的一个周期进行抽样，抽样点间间隔为N
π
2，因为具有对称性，所以考虑半个周期π~0即可。
结论：用)(jw d e H →)(k H d →)(k H →)(jw
e H ，)(jw
e H 在k N
w π2=上与)(jw d e H 在k N
w π
2=
上一样，在其他w 值处的值是N 个抽样函数的加权叠加而成。 线性相位：（只要是FIR DF ，就容易设计成相位线性） 对于线性相位滤波器，有
1,...,1,0),1()(-=--±=N n n N h n h
其中正号对应1型2型，负号对应3型4型滤波器。这样)(k H 可表示成 )(k H ＝)
()2(
k H j r e N
k H ∠π
（1）N n N h n h ),1()(--=为奇数，则
)(jw
e H ＝w N j
e
w H 2
1
)(--，其中)(w H 关于π=w 对称，即)(w H ＝
)2(w H -π，令k N
w π
2=
时有 )(jw
e H ＝k k j k j k N
j e H e k N
H e H θθππ
==)2(
)(2 )(w H ＝)2(w H -π
k N k H H k N N
H k N H k N H -=?-=-=?)](2[)22()2(
ππππ （2）
N n N h n h ),1()(--=为偶数，则
)(w H ＝－
)2(w H -πk N k H H --=?
最后可计算)()(k H IDFT n h =。从而得出H(z)或)(jw e H 。也可以根据对称性对内插公式进行化简得出H(z)或)(jw e H 的计算公式。如书上（7-111）式和（7-112）式。
频率抽样设计法的基本思想：给定理想滤波器)(jw d e H ，先选择滤波器长度N ，然后对)(jw d e H 在0到2π上的N 个等间隔频率上采样，根据式子
)(jw
e H ∑-=----=
1
/21)
(1N k jw
N
k j jwN
e e
k H N
e π，通过对样本)(k H 的内插，得到实
际响应)(jw e H 。脉冲响应h(n)可根据)()(k H IDFT n h =得出。如图所示：
图：频率采样技术图解
从上图可以看出：
◆ 在采样频率上的逼近误差为零，即在采样点上，理想滤波器和实际滤波
器的相应幅度值一样；
◆ 其余频率上的逼近误差取决于理想响应的形状：理想响应的轮廓越陡，
则逼近误差越大；
◆ 靠近带的边缘的误差越大，在带内的误差越小。 例1：用频率抽样设计法设计一个满足下列指标的线性相位低通FIR 滤波器：
dB R w p p 25.0,2.0==π（通带波动）
（p w 为通带截止频率） dB A w s s 50,3.0==π（阻带最小衰减）
解：选择抽样点数为N=20。则在p w 、s w 处分别有一个抽样样本，对应的
3,2==k k 。即22022.0?=
=ππp w ，320
23.0?==π
πs w 。 因此在通带［p w w ≤≤0］上有3个样本点，在阻带［π≤≤w w s ］上有7个样本点。因为N=20，5.92
1
=-=
N α，这是一个2型线性相位滤波器。 例2：设计一个线性相位FIR 数字低通滤波器，π5.0=c w
（1） 取N ＝33，不加过渡点； （2） 取N ＝33，加一个过渡点； （3） 取N ＝65，加二个过渡点。
解：（1）采样频率间隔为33/2/2ππ=N ，c w 的位置在
25.8)33/2/(5.0=ππ，即8=k 和9=k 之间，其对称点位置是)(k N -，
频率采样法设计高通FIR数字滤波器(范本)
课程设计任务书 学生姓名：胡双印专业班级：通信1005班指导教师：刘新华工作单位：信息工程学院题目:数字高通FIR滤波器设计 要求完成的主要任务: 1.在数字信号处理平台上（PC机﹑MATLAB仿真软件系统）进行软件仿真设计，并进行调试和数据分析。 2. 利用MATLAB仿真软件系统结合频率取样法设计一个数字高通FIR滤波器。 课程设计的目的： 1．理论目的 课程设计的目的之一是为了巩固课堂理论学习，并能用所学理论知识正确分析信号处理的基本问题和解释信号处理的基本现象。 2．实践目的 课程设计的目的之二是通过设计具体的图像信号变换掌握图像和信号处理的方法和步骤。 时间安排： 指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签字：年月日
目录 摘要............................................................................................................................ I Abstrct ........................................................................................................................... II 1 引言. (1) 1.1MATLAB介绍 (1) 1.2MATLAB信号处理工具箱函数介绍 (1) 1.3滤波器的介绍 (2) 2 FIR数字滤波器设计原理 (3) 3 FIR数字滤波器设计方法 (4) 3.1窗函数法 (4) 3.2频率取样法 (5) 4 频率采样法实际FIR高通滤波器 (7) 4.1设计原理 (7) 4.2设计步骤 (9) 5 MATLAB环境下设计FIR数字高通滤波器 (9) 5.1设计要求 (9) 5.2 FIR数字高通滤波器程序设计 (10) 5.3调试结果 (11) 5.4 高通FIR数字滤波器的进一步设计 (12) 6 高通FIR数字滤波器性能测试 (14) 6.1高通FIR数字滤波器性能测试程序 (14) 6.2 性能测试结果 (15) 7 FDATOOL工具箱设计高通FIR滤波器 (16) 7.1 FDATOOL工具箱 (16) 7.2 FIR滤波器参数设置 (17) 8心得体会 (19) 参考文献 (20) 附件：MATLAB程序 (21)
频率采样法设计FIR数字滤波器
实验八频率采样法设计FIR数字滤波器 一、实验目的 掌握频率取样法设计FIR数字滤波器的原理及具体方法。 二、实验设备与环境 计算机、MATLAB软件环境 三、实验基础理论 1.基本原理 频率取样法从频域出发，把理想的滤波器等间隔取样得到，将作为实际设计滤波器的 ,N-1 得到以后可以由来唯一确定滤波器的单位脉冲响应， ()D_Dd___________e??________________求得 其中为内插函数 由求得的频率响应来逼近。 如果我们设计的是线性相位FIR滤波器，则的幅度和相位一定满足线性相位滤波器的约束条件。 我们将表示成如下形式
当为实数，则 由此得到 即以k=N/2为中心呈偶对称。再利用线性条件可知，对于1型和2型线性相位滤波器 对于3型和4型线性相位滤波器 其中，表示取小于该数的最大的整数。 2.设计步骤 （1）由给定的理想滤波器给出和。 （2）由式求得。 （3）根据求得和。 四、实验内容 1.采用频率采样设计法设计FIR数字低通滤波器，满足以下指标 （1）取N=20，过渡带没有样本。 （2）取N=40，过渡带有一个样本，T=0.39。 （3）取N=60，过渡带有两个样本，T1=0.5925，T2=0.1009。 （4）分别讨论采用上述方法设计的数字低通滤波器是否能满足给定的技术指标。
实验代码与实验结果 （1）N=20 过渡带没有样本 N=20; alpha=(N-1)/2; l=0:N-1; wl=(2*pi/N)*l; Hrs=[1,1,1,zeros(1,15),1,1]; *对理想幅度函数取样得到取样样本Hdr=[1,1,0,0];wdl=[0,0.25,0.25,1]; *用于绘制理想函数幅度函数的曲线k1=0:floor((N-1)/2); k2=floor((N-1)/2)+1:N-1; angH=[-alpha*(2*pi)/N*k1,alpha*(2*pi)/N*(N-k2)]; H=Hrs.*exp(j*angH); *计算H(k) h=ifft(H,N); *计算h(n) w=[0:500]*pi/500; H=freqz(h,1,w); *计算幅度响应 [Hr,wr]=zerophase(h); *计算幅度函数 subplot(221); plot(wdl,Hdr,wl(1:11)/pi,Hrs(1:11),'o'); axis([0,1,-0.1,1.1]); xlabel('\omega(\pi)'); ylabel('Hr(k)'); subplot(222); stem(l,h,'filled'); axis([0,N-1,-0.1,0.3]); xlabel('n');ylabel('h(n)'); subplot(223); plot(wr/pi,Hr,wl(1:11)/pi,Hrs(1:11),'o'); axis([0,1,-0.2,1.2]); xlabel('\omega(\pi)'); ylabel('Hr(w)'); subplot(224); plot(w/pi,20*log10((abs(H)/max(abs(H))))); axis([0,1,-50,5]); grid;xlabel('\omega(\pi)'); ylabel('dB');
抽样设计技术
第三章抽样设计技术 【案例素材】大学生通讯市场调研 随着社会信息化进程的加快,高新科技产品成为消费热点,手机作为其代表之一,大学生也作为一个潜在的消费群体,两者越来越多的受到关注。粗略观察得知，大学生手机族的消费动力处于一个较高水平。由于中国移动、中国联通和小灵通逐渐成为了通讯市场的主流，大学生的移动通讯产品的占有率高达百分之九十多。越来越多的手机厂商把目光投向了校园这一潜在的巨大市场。为了了解手机在大学生中的普遍情况、使用效果以及消费情况，掌握手机在大学的销售情况和市场前景，调研项目组确定以大学生通讯市场调研为主题，了解在校大学生对通讯产品的使用情况, 对各产品市场满意度、占有率进行调研。 面对这个调研项目，调研项目组应当如何选定开展调查工作的最好方法呢？ 【任务导向】 当我们决定采用直接调研来收集有关市场信息之后，需要解决的问题是所需的资料从什么对象那里获得，而解决这个问题也就是确定调查对象的整体性质与数量，决定进行普查或者抽查的问题。普查需要调研人员对总体的每一个单位都进行调查，这种方法的优点在于保
证了调研结果的代表性，但需要花费的组织工作量大、成本较高，确定整体的数量比较困难。一般来说，在市场调研中，调查总体对象多、范围广，并且受到经费、时间的制约，多数情况会采取抽样调查。本章将围绕案例素材的解决方案，介绍抽样调查的相关技术，需要读者关注以下问题： 1、如何定义调研的总体及成员 2、如何确定样本的规模 3、如何选择调查样本 在此基础上，学习本章内容之后，读者应当选择一个市场调研的项目，就调查总体界定、抽样方式的选择、抽样工作的实施等问题，制定一个可行的时实施方案。 第一节抽样方法的选择 面对调研项目，项目组需要做的工作是确定调研的方式，这项工作的关键在于选择全面调查或非全面调查，尽管许多时候需要多种调查方式结合进行，但抽样调查是采用最多的方式。项目组面对“大学生通讯市场调研”项目，就抽样方法的选择问题展开了系列的工作。 一、选择抽查方式，开展调研工作 项目组长：我们现在要进行大学生通讯市场调研，大家考虑是选
抽样技术课后习题参考答案金勇进
第二章习题 2.1判断下列抽样方法是否是等概的： （1）总体编号1~64，在0~99中产生随机数r ，若r=0或r>64则舍弃重抽。 （2）总体编号1~64，在0~99中产生随机数r ，r 处以64的余数作为抽中的数，若余数为0则抽中64. （3）总体20000~21000，从1~1000中产生随机数r 。然后用r+19999作为被抽选的数。 解析：等概抽样属于概率抽样，概率抽样具有一些几个特点：第一，按照一定的概率以随机原则抽取样本。第二，每个单元被抽中的概率是已知的，或者是可以计算的。第三，当用样本对总体目标进行估计时，要考虑到该样本被抽中的概率。 因此（1）中只有1~64是可能被抽中的，故不是等概的。（2）不是等概的【原因】（3）是等概的。 2.2抽样理论和数理统计中关于样本均值y 的定义和性质有哪些不同？ 300户进行，现得到其日用电平均值=y 9.5（千瓦时），=2s 206.试估计该市居民用电量的95%置信区间。如果希望相对误差限不超过10%，则样本量至少应为多少？ 解：由已知可得，N=50000，n=300，5.9y =，2062=s 该市居民用电量的95%置信区间为 [])(y [2 y V z N α±=[475000±1.96*41308.19] 即为（394035.95，555964.05） 由相对误差公式 y ) (v u 2y α≤10% 可得%10*5.9206*n 50000 n 1*96.1≤- 即n ≥862
欲使相对误差限不超过10%，则样本量至少应为862 2.4某大学10000名本科生，现欲估计爱暑假期间参加了各类英语培训的学生所占的比例。随机抽取了两百名学生进行调查，得到P=0.35，是估计该大学所有本科生中暑假参加培训班的比例的95%置信区间。 解析：由已知得：10000=N 200=n 35.0=p 02.0==N n f 又有：35.0)()(===∧p p E p E 0012.0)1(11)(=---=∧p p n f p V 该大学所有本科学生中暑假参加培训班的比例95%的置信区间为：])()([2 ∧ ∧ ±P V Z P E α 代入数据计算得：该区间为[0.2843，0.4157] 2.5研究某小区家庭用于文化方面（报刊、电视、网络、书籍等）的支出，N=200，现抽取一个容量为20的样本，调查结果列于下表： 编号 文化支出 编号 文化支出 1 200 11 150 2 150 12 160 3 170 13 180 4 150 14 130 5 160 15 100 6 130 16 180 7 140 17 100 8 100 18 180 9 110 19 170 10 240 20 120 估计该小区平均的文化支出Y ,并给出置信水平95%的置信区间。 解析：由已知得：200=N 20=n 根据表中数据计算得：5.14420120 1 ==∑=i i y y ∴ 该小区平均文化支出Y 的95%置信区间为：])(y [2 y V z α ±即是：[132.544 ,156.456] 故估计该小区平均的文化支出Y =144.5,置信水平95%的置信区间为[132.544 ,156.456]。 2.6某地区350个乡为了获得粮食总产量的估计，调查了50个乡当年的粮食产量，得到 y =1120（吨），225600S =，据此估计该地区今年的粮食总产量，并给出置信水平95%的 置信区间。 解析：由题意知：y =1120 1429.0350 50 n === N f 225600S =?160=s
[问题]简述抽样设计的原则
1[问题]：简述抽样设计的原则 [正确答案] 一个优秀的抽样设计应该满足下列四条标准，也就是进行抽样设计的四个原则： 1)目的性原则 2)可测性原则 3)可行性原则 4)经济性原则 2[问题]：简述概率抽样的分类。 [正确答案] 概率抽样分为等概率抽样（随机抽样）和不等概率抽样。还可分为： 1.简单随机抽样 2.系统抽样 3.分层抽样 4.整群抽样 5.多段抽样 3[问题]：简述概率抽样的概念 [正确答案] 概率抽样：是依据概率论的原理，按照随机原则进行的抽样，因而它能够避免抽样过程中的人为误差，它使总体中每一个体都有一个已知不为零的被选机会进入样本，而保证样本具有代表性 4[问题]：简述简单随机抽样的概念。
[正确答案] 简单随机抽样（纯随机抽样）：是一种特殊的等概率抽样方法，总体中每一个体均有同等被选机会，而且样本中每一个体是被单独得选出的。是一种元素抽样。分重复抽样和不重复抽样。 5[问题]：简述系统抽样的概念和具体方法 [正确答案] 系统抽样（或等距抽样，机械抽样）是简单随机抽样的一个变种 具体做法是： （A）将总体的所有个体前后排列起来。 （B）计算抽样距离。抽样距离K=N/n（N为总体包含个体数；n为样本所含个体数）； （C）在头K个个体中，用完全随机的方式抽取一个个体，设其所在的位置的序号是k。 （D）自k开始，每隔K个个体抽取一个个体，即陆续抽取的个体所在位置序号为k，k+K，k+2K…k+（n-1）K。 6[问题]：简述系统抽样的特点 [正确答案] 系统抽样的特点： 1)与简单随机抽样相比，更易实施，工作量较少； 2)样本在总体中的分布更平均，故而抽样误差小于或至少等于简单随机抽 样，即较其更精确。 3)系统抽样的样本个体在每一层的相对应位置上，而分层抽样则是由每层随
用频率采样法设计FIR数字滤波器
用频率采样法设计FIR 数字滤 波器 信号、系统与信号处理实验Ⅱ 实验报告 实验名称：用频率采样法设计FIR 数字滤波器 一、实验目的 掌握频率取样法设计FIR 数字滤波器，加深过渡点对滤波器性能影响的认 识。 二、实验内容与要求 ( 1)编写好一个设计线性相位FIR 高通滤波器的程序，已知wc=0.8 ， N=64，要求在屏幕上显示出h(n) 值，画出|H(e^jw)| 及20lg(|H(e^jw)) 的曲线。 ( 2)实验时，设置0 个过渡点， 1 个过渡点， 2 个过渡点，比较设计所得的|H(e^jw)| 及20lg(|H(e^jw)) 的曲线。
三、实验程序与结果 (1)0个过渡点clear all ; N=64; wc=0.8*pi; k=0:N-1; phase=(-pi*k*(N-1)/N)+pi/2; HK=[zeros(1,26),ones(1,13),zeros(1,25)];
HK1=HK.*exp(j*phase); hn=ifft(HK1,N) figure(1); freqz(hn,1,512); [H,W]=freqz(hn,1,512); figure(2); subplot(3,1,1); stem(k,hn); title( 'h(n)' ) subplot(3,1,2); plot(W/pi,abs(H)); title( '|H(eiw)|' ) subplot(3,1,3); plot(W/pi,20*log10(abs(H))); title( '20lg|H(eiw)|' );
(2)1个过渡点 clear all ; N=64; wc=0.8*pi; k=0:N-1; phase=(-pi*k*(N-1)/N)+pi/2; HK=[zeros(1,25),0.5,ones(1,13),0.5,zeros(1,24)]; HK1=HK.*exp(j*phase); hn=ifft(HK1,N); figure(1); freqz(hn,1,512); [H,W]=freqz(hn,1,512); figure(2); subplot(2,1,1); plot(W/pi,abs(H)); title( '|H(eiw)|' ) subplot(2,1,2); plot(W/pi,20*log10(abs(H))); title( '20lg|H(eiw)|' );
抽样技术简答题及答案
抽样技术各类简答题参考答案 习题一 1.请列举一些你所了解的以及被接受的抽样调查。 略 2. 抽样调查基础理论及其意义； 答：大数定律，中心极限定理，误差分布理论，概率理论。 大数定律是统计抽样调查的数理基础，也给统计学中的大量观察法提供了理论和数学方面的依据；中心极限定理说明，用样本平均值产生的概率来代替从总体中直接抽出来的样本计算的抽取样本的概率，为抽样推断奠定了科学的理论基础；认识抽样误差及其分布的目的是希望所设计的抽样方案所取得的绝大部分的估计量能较好的集中在总体指标的附近，通过计算抽样误差的极限是抽样误差处于被控制的状态；概率论作为数学的一个分支而引进统计学中，是统计学发展史上的重要事件。 3.抽样调查的特点。 答：1）随机抽样；2）以部分推断总体；3）存在抽样误差，但可计算，控制；4）速度快、周期短、精度高、费用低；5）抽样技术灵活多样；6）应用广泛。 4.样本可能数目及其意义； 答：样本可能数目是在容量为N的总体中抽取容量为n的样本时，所有可能被抽中的不同样本的个数，用A表示。 意义：正确理解样本可能数目的概念，对于准确理解和把握抽样调查误差的计算，样本统计量的抽样分布、抽样估计的优良标准等一系列理论和方法问题都有十分重要的帮助。 5. 影响抽样误差的因素； 答：抽样误差是用样本统计量推断总体参数时的误差，它属于一种代表性误差，在抽样调查中抽样误差是不可避免的，但可以计算，并且可以被控制在任意小的范围内；影响 抽样误差的因素：1)有样本量大小,抽样误差通常会随着样本量的大小而增减，在某 些情形下，抽样误差与样本量大小的平方根成反比关系；2)所研究现象总体变异程度 的大小，一般而言，总体变异程度越大则抽样误差可能越大；3）抽样的方式方法， 如放回抽样的误差大于不放回抽样，各种不同的抽样组织方式也常会有不同的抽样误 差。 在实际工作中，样本量和抽样方式方法的影响是可以控制的，总体变异程度虽不可以 控制，但却可通过设计一些复杂的抽样技术而将其影响加以控制。 习题二 三简答题 1 概率抽样与非概率抽样的区别 答：概率抽样是指在抽取样本单元时，每个总体单元有一个非零的入样概率，并且样本单元的抽取应遵循一定的随机化程序。 2 普查与抽样调查的区别 答：普查是对总体的所有单元进行调查；抽样调查仅对总体中的部分单元进行调查。 3何谓抽样效率，如何评价设计效果？ 答：两个抽样方案的抽样方差之比为抽样效率。当某个估计量的方差比另一估计量的方差小时，则称方差小的估计量效率比较高，因方差的大小与样本容量有直接的关系，因此比
抽样技术 概念
目录第一章预备知识 第二章基本概念 第三章简单随机抽样 第四章分层随机抽样 第五章不等概率抽样 第六章多阶段抽样 第七章整群抽样 第八章系统抽样 第九章非概率抽样
第一章预备知识 作为抽样技术的基础知识或预备知识，本章简要地介绍调查原理、排列组合、概率统计等方面的有关知识。 一、调查概论 调查的重要性：有利于制定政策、投资决策、科学研究、机构管理以及司法实践等；与此同时，许多学科的进步和发展也同样离不开调查。 （一）（一）调查本质上是一种测量活动 测量活动具有6个要素：测量主体、测量客体、测量对象、测量法则、测量工具、测量结果（数字/符号）。 测量得到的数据大体分为三种类型：分类型数据、顺序型数据以及数值型数据。 测量的方法分为：直接测量和间接测量。 （二）（二）真值、测量值与误差 误差公理：任何调查结果都可能具有误差，而且误差始终存在于一切科学试验和调查过程中 。根据误差的来源分类：调查主体误差、调查客体误差、调查工具误差、调查法则误差、调查环境误差。 误差公理：任何调查结果都可能具有误差，而且误差始终存在于一切科学试验和调查过程中。 根据误差的来源分类：调查主体误差、调查客体误差、调查工具误差、调查法则误差、调查环境误差。 根据误差的性质分类：系统误差、随机误差和粗大误差。 根据误差的计量尺度分类：绝对误差和相对误差。 绝对误差δ、（调查）估计值x以及真实值μ之间的关系：δ＝x-μ。 相对误差r、绝对误差δ以及真实值μ之间的关系：r=δ/μ。 实际常用的真值分类：理论真值、约定真值以及相对真值。 实际常用的测量值分类：单次测量值、算术平均值、加权平均值、中位数和众数。 （三）（三）信度、效度与精度 信度表示测量结果中的随机误差大小的程度。 信度的表示方法：测量值的方差（或标准差）或者样本平均数的方差（或标准差）。 衡量信度的三种方法：再测信度、复本信度和折半信度。 衡量信度的三种方法；再测信度、复本信度和折半信度。 效度表示测量结果中的系统误差大小的程度，是测量结果的“有效性” 的反映。 效度分类：内容效度、准则效度和结构效度。 效度含义：（1）测量的特征即为研究的目标特征；（2）该特征被准确地测量。 效度的表示方法：B(x)=｜x-μ｜或者B(E x)=｜E x-μ｜。 精度是信度与效度的综合，但它还与信度与效度之外的因素有关。 精度的表示方法：均方误差MSE(x)=V(x)+ () 2 B Ex u - 效度的表示方法： μ - =x x B) (或者μ - =x E x E B) (。 精度表示信度与效度的综合，但它还与信度与效度之外的因素有关。 精度的表示方法：均方误差 2 ()()() MSE x V x B Ex =+ 信度、效度与精度之间的关系：对于测量或调查来说，信度高的效度未必高，反过来效度高的信度未必高，但精度高的信度和效度肯定高。 二、排列组合 （一）（一）两条基本原理 加法原理和乘法原理。
频率抽样设计法
第7章 FIR 数字滤波器的设计方法 IIR 数字滤波器最大缺点：不易做成线性相位，而现代图像、语声、数据通信对线性相位的要求是普遍的。正是此原因，使得具有线性相位的FIR 数字滤波器得到大力发展和广泛应用。 1． 线性相位FIR 数字滤波器的特点 FIR DF 的系统函数无分母，为∑∑-=--=-== 1 1 )()(N n n N i i i z n h z b z H ，系统频 率响应可写成：∑-=-= 10 )()(N n jwn jw e n h e H ，令)(jw e H ＝)()(w j e w H Φ，H(w) 称为幅度函数，)(w Φ称为相位函数。这与模和幅角的表示法有所不同，H(w)为可正可负的实数，这是为了表达上的方便。如某系统频率响应 )(jw e H ＝w j we 34sin -，如果采用模和幅角的表示法，w 4sin 的变号相当 于在相位上加上)1(ππj e =-因，从而造成相位曲线的不连贯和表达不方便，而用)()(w j e w H Φ这种方式则连贯而方便。 线性相位的FIR 滤波器是指其相位函数)(w Φ满足线性方程： )(w Φ＝βα+-w （βα,是常数） 根据群时延的定义，式中α表示系统群时延，β表示附加相移。线性相位的FIR 系统都具有恒群时延特性，因为α为常数，但只有β＝0的FIR 系统采具有恒相时延特性。 问题：并非所有的FIR 系统都是线性相位的，只有当它满足一定条件时才具有线性相位。那么应满足什么样的条件？从例题入手。
例题：令h(n)为FIR 数字滤波器的单位抽样相应。N n n ≥<或0时h(n)=0，并假设h(n)为实数。 （a ） 这个滤波器的频率响应可表示为)()()(w j jw e w H e H Φ=（这是按幅 度函数和相位函数来表示的，不是用模和相角的形式），)(w H 为实数。（N 要分奇偶来讨论） （1） 当h(n)满足条件)1()(n N h n h --=时，求)(w H 和)(w Φ（π≤≤w 0） （2） 当h(n)满足条件)1()(n N h n h ---=时，求)(w H 和)(w Φ（π≤≤w 0） （b ） 用)(k H 表示h(n)的N 点DFT （1） 若h(n)满足)1()(n N h n h ---=，证明H(0)=0； （2） 若N 为偶数，证明当)1()(n N h n h --=时，H(N/2)=0。 解：（a ）∑-=-= 1 )()(N n jwn jw e n h e H （1）)1()(n N h n h --=，当N 为奇数时， +--++-+=---?----)11(1)1(0)11()1()1()0()(N jw jw N jw jw jw e N h e h e N h e h e H 2 123 ) 1()2 1(])[(---=-----++=∑N jw N n n N jw jwn e N h e e n h 2 1)2 1 ( 2 30 )2 1 ( )2 1 ()2 1(])[(-----=----- --++= ∑N jw N jw N n n N jw N n jw e N h e e e n h ) (})2 1 ()]21(cos[)(2{))(2 30 ) 2 1(w H e N h N n w n h e w j N n N jw Φ-=--=-+-- =∑
基于频率抽样法的FIR数字低通滤波器的设计
基于频率抽样法的FIR 数字低通滤波器的设计 1 设计目的 熟悉频率采样法的理论及其应用；掌握频率采样法设计FIR 数字滤波器的方法。了解FIR 数字滤波器的频率特性和相位特性，观察过渡带取样点对滤波器幅频特性的影响。掌握用频率采样法设计线性相位FIR 低通数字滤波器的方法，并掌握该方法的matlab 编程和仿真。 2 FIR 数字滤波器设计的原理 2.1频率抽样设计法 FIR 低通滤波器的设计一般方法有两种，即频率抽样法和窗函数法，频率抽样法设计不同于窗函数法，窗函数是从时域出发，把理想的()d h n 用一定形状得窗函数截取成有限长的()h n ，以此()h n 来近似理想的()d h n ，这样得到的频率响应()jw H e 逼近于所要求的理想的频率响应()jw d H e 。 频率抽样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应()jw d H e 加以等间隔抽样，即2()| ()jw d d w k N H e H k π ==然后以此()d H k 作为实际FIR 数字滤波器的频率特性 的抽样值()H k ，即令2()()()| 0,1,,1jw d d w k N H k H k H e k N π====-，知道() H k 后，由DFT 定义，可以用频域的这N 个抽样值()H k 来唯一确定有限长序列()h n ，而由()X z 的内插公式知道，利用这N 个频域抽样值()H k 同样可求得FIR 滤波器的系统函数()H z 及频率响应()jw H e 。这个()H z 或()jw H e 将逼近()d H z 或 ()jw d H e ，()H z 和()jw H e 的内插公式为 1 1 01() ()1N N k k N z H k H z N W z ----=-= -∑ （2.1） 10 2()()()N jw k H e H k w k N π -==Φ- ∑ （2.2） 其中()w Φ是内插函数1() 2 sin( )12()sin() 2 N jw wN w e w N --Φ= （2.3） 将式（2.3）代入（2.2）式，化简后可得
《抽样技术》第四版习题答案
第2章 2.1 解：()1 这种抽样方法是等概率的。在每次抽取样本单元时，尚未被抽中的编号 为1～64的这些单元中每一个单元被抽到的概率都是 1100 。 ()2这种抽样方法不是等概率的。利用这种方法，在每次抽取样本单元时，尚未被抽中 的编号为1～35以及编号为64的这36个单元中每个单元的入样概率都是2 100 ，而尚未被抽中的编号为36～63的每个单元的入样概率都是 1100 。 ()3这种抽样方法是等概率的。在每次抽取样本单元时，尚未被抽中的编号为20 000～ 21 000中的每个单元的入样概率都是 1 1000 ，所以这种抽样是等概率的。 2.3 解：首先估计该市居民日用电量的95%的置信区间。根据中心极限定理可知，在大 _ y E y y -= 近似服从标准正态分布， _ Y 的195%α-=的置信区 间为y z y z y y α α??-+=-+? ?。
而()2 1f V y S n -= 中总体的方差2S 是未知的，用样本方差2s 来代替，置信区间 为,y y ?? -+???? 。 由题意知道，_ 2 9.5,206y s ==，而且样本量为300,50000n N ==，代入可以求得 _ 21130050000 ()2060.6825300 f v y s n --= =?=。将它们代入上面的式子可得该市居民日用电量的95%置信区间为7.8808,11.1192????。 下一步计算样本量。绝对误差限d 和相对误差限r 的关系为_ d rY =。 根据置信区间的求解方法可知 _ ___ 11P y Y r Y P αα? ???-≤≥-?≤≥-???? 根据正态分布的分位数可以知道1P Z αα??? ≤≥-???? ，所以()2_2rY V y z α?? ?= ??? 。也就是2 _2 _2 22 /221111r Y r Y S n N z S n N z αα?? ?????? ????? ???-=?=+ ? ????? ?? ???? 。 把_ 2 9.5,206,10%,50000y s r N ====代入上式可得，861.75862n =≈。所以样本量至少为862。 2.4 解：总体中参加培训班的比例为P ，那么这次简单随机抽样得到的P 的估计值p 的方差()()111f N V p P P n N -= --， 在大样本的条件下近 似服从标准正态分布。在本题中，样本量足够大，从而可得P 的195%α- =的置信区间为 2p z p z αα?-+?。 而这里的()V p 是未知的，我们使用它的估计值
采用频率采样法的FIR滤波器
吹管乐滤波去噪 ——基于频率采样法的FIR滤波器 学生姓名：焦阳指导老师：胡双红 摘要本课程设计主要内容是设计利用频率采样法设计一个FIR滤波器，对一段吹管乐进行滤波去噪处理并根据滤波前后的波形和频谱分析滤波性能。本课程设计仿真平台为MATLAB7.0，开发工具是M语言编程。首先在网上找到一段笛子独奏，加入一单频噪声，对信号进行频谱分析以确定所加噪声频率，设计滤波器进行滤波去噪处理，比较滤波前后的波形和频谱并进行分析。由分析结果可知，滤波器后的音频信号与原始信号基本一致，即设计的FIR滤波器能够去除信号中所加单频噪声，达到了设计目的。 关键词滤波去噪；FIR滤波器；频率采样法；MATLAB 1 引言 滤波去噪[1]是信号处理中一种非常基本但十分重要的技术。利用滤波可以从复杂的信号中提取所需的信号，一直不需要的信号。滤波器就是这样一种可以在时域和频域对信号进行滤波处理的系统。通常情况下，有用信号和干扰信号是在不同频段上的，于是通过对滤波器的频率特性精心设计就能达到滤波的目的。本课程设计是采用频率采样法设计频率抽样型滤波器，从而对吹管乐信号滤波去噪。通过对比滤波前后的波形图及回放滤波前后的吹管乐信号，来判断滤波器对噪声信号确实有滤除作用。 1.1 课程设计目的 （1）熟悉使用MATLAB； （2）了解FIR滤波器原理及结构； （3）利用所学数字信号处理想干知识用MATLAB设计一个FIR滤波器； （4）提高自己动手能力； （5）对加噪声的语音信号进行滤波去噪处理，比较滤波前后的时域波形和频谱并进行分析；
1.2 课程设计要求 （1）滤波器指标必须符合工程设计； （2）设计完后应检查其频率响应曲线是否满足指标； （3）处理结果和分析结论应该一致，而且应符合理论； （4）独立完成课程设计并按要求编写课程设计报告； 1.3 设计平台 本课程设计仿真平台为MATLAB7.0。MATLAB的名称源自Matrix Laboratory，1984年由美工Mathworks公司推向市场。它是一种科学计算软件，专门以矩阵的形式处理数据。MATLAB将高性能的数值计算和可视化集成在一起，并提供了大量的内置函数，从而被广泛地应用于科学计算、控制系统、信号处理等领域的分许、仿真和设计工作。1993年MathWorks公司从加拿大滑铁卢大学购得MAPLE软件的使用权，从而以MAPLE为“引擎”开发了符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）[2]。 2 设计原理 用网上找一段吹管乐，绘制波形并且观察其频谱，给定相应技术指标，用频率采样法设计的一个满足指标的频率采样型FIR滤波器，对该信号进行滤波去噪处理，比较滤波前后的波形和频谱进行分析。 2.1 FIR滤波器的设计 FIR（Finite Implse Response）[3]滤波器：有限长单位冲激响应滤波器，又称为非递归型滤波器，是数字信号处理系统中最基本的元件，他可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位抽样响应是有限长的，因而滤波器是稳定的系统。因此，FIR滤波器在通信、图像处理、模式识别等领域都有着广泛的应用。 有限长单位冲激响应（FIR）滤波器有以下特点： （1）系统的单位冲激响应h（n）在有限个n值处不为0； （2）系统函数H（z）在|z|>0处收敛，极点全部在z=0处（因果系统）； （3）结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。 2.2 频率采样型结构 把一个有限长序列（长度为N点）的z变换H（z）在单位圆上作N等分抽样，就得
实验四 用频率取样法设计FIR数字滤波器
实验报告 哈尔滨工程大学教务处制
实验四 用频率取样法设计FIR 数字滤波器 一、实验目的 1、掌握频率取样法设计线性相位FIR 数字滤波器的方法，并用Matlab 工具编程实现。 2、熟悉频率取样理论，熟悉内插函数及其应用。 3、观察过渡带取样点或优化数值对滤波器幅频特性的影响。 二、 实验原理 频率采样法就是根据频域采样理论，由滤波特性指标构造希望逼近的滤波器频响函数H d (e jω)，对其在[0,2π]上采样得到。 ()() 20,1,,1j d d k N H k H e k N ωπ ω===-L 然后，就可求出单位脉冲响应h (n )，或是系统函数H (z )。这样，h (n )或是H (z )就是滤波器的设计结果。 ()()()()()1 100,1,,110,1,,1 1N N k k N h n IDFT H k n N H k z H z k N N W z ----===--= =--∑L L ()()() Frequency Sampling 2N 0,1,,1j j d d k H e H k H e k N ωωπ ω= ??????→==-L ()()() j k H k A k e θ= 三、 实验内容 1.用频率取样法设计一个线性相位低通数字滤波器，N=15，[0,π]之间的幅度取样值如下，求出其单位脉冲响应h[k]及幅频和相频特性曲线。尝试增加过渡点，观察并分析过渡点对滤波器性能的影响。 1, k 0,1,2[k]0.5, 30, H k =?? ==??? O t her s /3 1,()/30,d A ωπωπωπ
(抽样检验)抽样设计技术最全版
（抽样检验）抽样设计技术
第三章抽样设计技术 【案例素材】大学生通讯市场调研 随着社会信息化进程的加快,高新科技产品成为消费热点,手机作为其代表之壹,大学生也作为壹个潜在的消费群体,俩者越来越多的受到关注。粗略观察得知，大学生手机族的消费动力处于壹个较高水平。由于中国移动、中国联通和小灵通逐渐成为了通讯市场的主流，大学生的移动通讯产品的占有率高达百分之九十多。越来越多的手机厂商把目光投向了校园这壹潜在的巨大市场。为了了解手机在大学生中的普遍情况、使用效果以及消费情况，掌握手机在大学的销售情况和市场前景，调研项目组确定以大学生通讯市场调研为主题，了解在校大学生对通讯产品的使用情况,对各产品市场满意度、占有率进行调研。 面对这个调研项目，调研项目组应当如何选定开展调查工作的最好方法呢？ 【任务导向】 当我们决定采用直接调研来收集有关市场信息之后，需要解决的问题是所需的资料从什么对象那里获得，而解决这个问题也就是确定调查对象的整体性质和数量，决定进行普查或者抽查的问题。普查需要调研人员对总体的每壹个单位都进行调查，这种方法的优点在于保证了调研结果的代表性，但需要花费的组织工作量大、成本较高，确定整体的数量比较困难。壹般来说，在市场调研中，调查总体对象多、范围广，且且受到经费、时间的制约，多数情况会采取抽样调查。本章将围绕案例素材的解决方案，介绍抽样调查的相关技术，需要读者关注以下问题： 1、如何定义调研的总体及成员 2、如何确定样本的规模
3、如何选择调查样本 在此基础上，学习本章内容之后，读者应当选择壹个市场调研的项目，就调查总体界定、抽样方式的选择、抽样工作的实施等问题，制定壹个可行的时实施方案。 第壹节抽样方法的选择 面对调研项目，项目组需要做的工作是确定调研的方式，这项工作的关键在于选择全面调查或非全面调查，尽管许多时候需要多种调查方式结合进行，但抽样调查是采用最多的方式。项目组面对“大学生通讯市场调研”项目，就抽样方法的选择问题展开了系列的工作。 壹、选择抽查方式，开展调研工作 项目组长：我们当下要进行大学生通讯市场调研，大家考虑是选用全面调查仍是非全面调查？ 调查员：我觉着没有必要进行全面调查，只要访问部分大学生就能够了解他们的通讯消费情况了，普查的话会花费更多的时间、投入更多的人力，再说我们也没有太多的经费呀。 项目组长：你说得有壹定道理，我们能够采取非全面调查的方式，而且，选择抽查的方式比较好。 调查员：为什么呢？如果采取典型调查或重点调查的方式不是更容易操作吗？ 项目组长：假如我们有针对的选择壹些同学进行访谈，会造成俩方面问题。壹是访谈对象选取带有很大的主观性，二是这俩类方式调查的对象数量通常较少，这样的话，使调查资料很难反映大学生整体的消费情况。 调查员：也就是说调查资料的代表性不够好吗？
抽样技术重点复习概念
调查：通过使用明确的概念、方法和程序，依据专门设计的调查方案知道的方式，从一个总体全部或部分单元中搜集感兴趣的指标信息，并将这些信息综合整理成数据系列的有关活动。 抽样调查：是调查应用最常见的模式，是一种非全面的调查，它是指从研究对象的全体（总体）中抽取一部分单元作为样本，根据对所抽取的样本进行调查，获得有关总体目标量的了解。这是广义的抽样调查的概念 抽样调查步骤：调查目标确定、抽样框选择、抽样方案设计、问卷设计、数据收集、数据编码和录入、审核与插补、参数估计、数据分析和调查结果的表述、数据分布、撰写调查报告 简单随机抽样：也称纯随机抽样，是从抽样框内的N个抽样单元中随机的、一个一个的抽取n个单元作为样本，在每次抽选中，所有未入样的待选单元入选样本的概率都想等，这n个被抽中的单元就构成了简单随机样本。简单随机样本也可以一次从总体（抽样框）中同时抽出，这时全部可能样本中的每一个样本被抽中的概率也需要相等。 分层抽样：是将抽样单元按某种特征或某种规划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本，将各层的样本结合起来，对总体的目标量进行估计。 分层随机抽样：如果每层中的抽样都是独立地按照简单随机抽样进行的，那么这样的分层抽样称为分层随即抽样，所得的样本称为分层随即样本。 整群抽样：将总体中的若干个基本单元合并为组，这样的组称为群。抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有基本单元全部实施调查，这样的抽样方法称为整群抽样。 多阶段抽样：采用类似整群抽样的方法，首先抽取群，但不是调查群内的所有基本单元，而是再进一步抽样，从选中的群中抽取出若干个基本单元进行调查，因为取得这些接受调查的基本单元需要两个步骤，所以将这种抽样方式成为两阶段抽样。这里，群是初级抽样单元，第二阶段抽取的是基本抽样单元。将这种方法推广，使抽样的段数增多，就称为多阶段抽样。 系统抽样：将总体中的所有单元（抽样单元）按一定顺序排列，在规定的范围内随机抽取一个单元作为初始单元，然后按事先规定好的规则确定其他样本单元，这种抽样方法称为系统抽样。 简单估计：在没有总体其他相关辅助变量信息可以利用的情况下，用样本特征直接估计总体特征，且样本特征与预估的总体特征除了写法之分外，完全同形同构，简单易记，因此有简单线性估计的名称，简称为简单估计。 比率估计：设对有两个调查变量Y 和X 的总体进行简单随机抽样，分别以y，x表示样本总值，以y,x表示样本均值，以 // R y x y x ==为样本比率，用 R作为总体比率R的估计称为的比率估计 回归估计：在简单随机抽样下，总体均值和总体总值Y的回归估计量定义为： ()() tr y y X x y x X ββ =+-=-- lr lr Y N y =其中Y,X分别为调查变量、辅助变量的样本均值,X是辅助变量的总体均值,β称为回归系数。 不等概抽样：如果总体中每个单元进入样本的可能性是不相等的，则这种随机抽样方式就称为不等概率随机抽样，简称不等概率抽样。 非抽样误差：除抽样误差以外的，由于各种原因引起的误差。 非抽样误差的分类：抽样框误差（由不完善的抽样框引起的误差）；无回答误差（由于种种原因没有从被调查单元获得调查结果，造成调查数据的缺失）；计量误差（所获得的调查数据与其真值之间不一致造成的误差）
抽样调查基本原理与样本设计
抽样调查的类型 概率抽样：依据概率论的基本原理，按照随机原则进行，避免抽样过程中的人为误差。 非概率抽样：依据研究者的主观意愿、判断、是否方便等抽取对象，误差较大，样本代表性无法保证。 简单随机抽样 系统抽样 概率抽样分层抽样 整群抽样 多阶段抽样 抽样方法 偶遇抽样 非概率抽样判断抽样 定额抽样 滚雪球抽样 非概率抽样方法 1、偶遇抽样/方便抽样/自然抽样 “碰到谁就选谁”。 这种抽样方式表面上看与简单随机抽样一样。实则不然。因为它不能保证总体中的每一个元素都有同样的被抽取机
会。那些最先碰到、最容易碰到、最方便碰到的对象具有比其他对象大得多的机会被抽中。
因此，不能用偶遇抽样得到的样本来推论总体。 在人大东门过街天桥上拦截过往人群而开展的各式调查，以及在当代商场拦截顾客而进行的有关化妆品、服装等各式商品的调查，都属于这样的抽样。来自这种抽样的结果，当然，也不能用来推论“全国”、“北京市”，哪怕是“人大附近”的任何群体的情况。 有些话题因为比较敏感、涉及隐私等原因，很多人不愿意接受调查。但总会有一些人比较“积极”，“志愿”配合，接受调查。这种调查，也属于方便调查，其结果也不能用于推断总体。 这种抽样方式常常用来作为试验问卷的手段。 2、判断抽样/目标抽样/立意抽样/主观抽样 研究者依据自己研究的目标和主观的分析来选择和确定研究对象的抽样方法。 这种抽样首先要确定抽样标准。 比如，为了体现某个群体的先进性，我们在调查时刻意去收集这个群体中那些特别先进的成员进行调查。 由于标准的确定带有较大的主观性，故，用这种方法得到结果与研究者的经验、对研究对象的熟悉程度等有较大关系。所得结果不能用于推论总体。
《抽样技术》第四版习地的题目答案详解
第2章 2.1解：()1这种抽样方法是等概率的。在每次抽取样本单元时，尚未被抽中的编号 。 为1～64的这些单元中每一个单元被抽到的概率都是1 100 ()2这种抽样方法不是等概率的。利用这种方法，在每次抽取样本单元时，尚未被抽中 ，而尚未被的编号为1～35以及编号为64的这36个单元中每个单元的入样概率都是2 100 。 抽中的编号为36～63的每个单元的入样概率都是1 100 ()3这种抽样方法是等概率的。在每次抽取样本单元时，尚未被抽中的编号为20 000～21 000中的每个单元的入样概率都是1 ，所以这种抽样是等概率的。 1000 2.2解：
2.3 解：首先估计该市居民日用电量的95%的置信区间。根据中心极限定理可知，在 _ y E y y -= 近似服从标准正态分布， _ Y 的 195%α-=的置信 区间为 y z y z y y α α??-+=-+? ?。 而()2 1f V y S n -= 中总体的方差 2S 是未知的，用 样本方差2s 来代替，置信区间为,y y ?? -+???? 。 由题意知道，_ 2 9.5,206y s ==，而且样本量为300,50000n N ==，代入可以求得 _ 21130050000 ()2060.6825300 f v y s n --= =?=。将它们代入上面的式子可得该市居民日用电量的95%置信区间为7.8808,11.1192????。 下一步计算样本量。绝对误差限d 和相对误差限r 的关系为_ d rY =。 根据置信区间的求解方法可知 _ ___ 11P y Y r Y P αα? ???-≤≥-? ≤≥-???? 根据正态分布的分位数可以知道1P Z αα??? ≤≥-???? ，所以()2_2r Y V y z α?? ?= ??? 。