三角函数知识点汇总
1三角函数的概念
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、角的概念与推广
1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角：
与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2
k k k Z π
βπβπ<<+∈
第二象限角的集合：{|
22,}2
k k k Z π
βπβππ+<<+∈
第三象限角的集合：3{|22,}2
k k k Z π
βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{|
222,}2
k k k Z π
βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2
k k Z π
ββπ=+∈
终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2
k k Z π
ββ=∈ 要点诠释：
要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系.
三角函数的概念
角的概念的推广、弧度制
正弦、余弦的诱导公式
同角三角函数的基本关系式
任意角的三角函数
考点二、弧度制
1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α=
?，扇形面积21
122
S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）.
2．角度制与弧度制的换算：
180π=o ；18010.017451()57.305718'180
rad rad rad π
π
=
≈=≈=o o
o o ；
要点诠释：
要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数
1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α=
, cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r
x
α=，csc r y α=
2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线.
3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是
{|,}2
k k Z π
ααπ≠+
∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈.
4. 三角函数值在各个象限内的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式
1. 平方关系：2
2
2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α.
2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α
α
α=
α=
α
α
. 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α=
要点诠释：
①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.
②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2
2
1sin cos =α+α，
221sec tan tan 45=α-α==o L ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法
及方程思想的运用. 考点五、诱导公式
1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.
2.
απ
±2
，
απ
±2
3的三角函数值等于α的互余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. 要点诠释：
诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为090o o
:角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是2
π
的奇数倍、偶数倍）”这个口诀进行记忆.
同角三角函数基本关系式和诱导公式
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【考点梳理】
考点一、同角三角函数基本关系式
1．平方关系：2
2
2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α.
2．商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α
α
α=
α=
α
α
. 3．倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α=
要点诠释：
①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.
②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2
2
1sin cos =α+α，
221sec tan tan 45=α-α==o L ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法
及方程思想的运用. 考点二、诱导公式
sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .πααπααπαα+=-+=-+= sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .αααααα-=--=-=- sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .
πααπααπαα-=-=--=-
sin()cos ,
2
cos()sin .2π
ααπαα-=-= sin()cos ,2cos()sin .2
πααπ
αα+=+=-3sin()cos ,
23cos()sin .
2πααπαα-=--=- 3sin()cos ,2
3cos()sin .2π
ααπαα+=-+=
要点诠释：
（1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇变”是指所涉及的轴上角为
2π
的奇数倍时（包括4组：απ±2，
απ±23）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于改变函数名称.
“偶不变”是指所涉及的轴上角为
2
π
的偶数倍时（包括5组：απαπααπ-±-+2,,,2k ）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题.
（2）诱导公式的引申：
sin()(1)sin ,cos()(1)cos ,tan()tan .()
k k k k k k Z πααπααπαα+=-+=-+=∈ 3正弦、余弦的图象和性质
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【考点梳理】 考点一、“五点法”作图
在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)，(
,1)2
π
，
(,0)π，3(
,-1)2
π
，(2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质
应用
三角函数的图象与性质
正弦函数的图象与性质 余弦函数的 图象与性质
正切函数的 图象与性质
值域[1,1]
-[1,1]
-(,)
-∞+∞
图
象
奇
偶性
奇函数偶函数奇函数
单调性
单调增区间:
[2,2]
22
k k
ππ
ππ
-+(k Z
∈)
单调减区间:
3
[2,2]
22
k k
ππ
ππ
++
k Z
∈)
单调增区间:
[2,2]
k k
πππ
-(k Z
∈)
单调减区间: (k Z
∈)
[2,2]
k k
πππ
+(k Z
∈)
单调增区间：
(,)
22
k k
ππ
ππ
-+(
k Z
∈)
周期性
2
Tπ
=2
Tπ
=Tπ
=
对称性对称中心: (,0)
kπ,k Z
∈
对称轴:
2
x k
π
π
=+，k Z
∈
对称中
心:(,0)
2
k
π
π+,k Z
∈
对称轴: x kπ
=, k Z
∈
对称中
心:(,0)
2
kπ
,k Z
∈
对称轴：无
最值
2,
2
x k k z
π
π
=+∈时，
max
1
y=；
3
2,
2
x k k z
π
π
=+∈时，
min
1
y=-
2,
x k k z
π
=∈时，
max
1
y=；
2,
x k k z
ππ
=+∈时，
min
1
y=-
无
要点诠释：
①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域．
②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题.
考点三、周期
一般地，对于函数()
f x，如果存在一个不为0的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有(+)=()
f x T f x，那么函数()
f x就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的
最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）. 要点诠释：
应掌握一些简单函数的周期：
①函数sin()y A x ω?=+或cos()y A x ω?=+的周期2T π
ω
=
；
②函数tan()y A x ω?=+的周期T π
ω
=
；③函数sin y x =的周期=T π； ④函数tan y x =的周期=T π.
三角函数的性质及其应用
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【考点梳理】
考点一、函数sin()y A x ω?=+(0A >,0ω>)的图象的作法
1.五点作图法：
作sin()y A x ω?=+的简图时，常常用五点法，五点的取法是设t x ω?=+，由t 取0、2π
、π、32
π、
2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
2．图象变换法：
（1）振幅变换:把sin y x =的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 （2）相位变换:把sin y A x =的图象上所有点向左(?>0)或向右(?<0)平行移动|?|个单位，得到 sin()y A x ?=+的图象； （3）周期变换:把sin()y A x ?=+的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω 1 倍（纵坐标不变），可得到sin()y A x ω?=+的图象. （4）若要作sin()y A x b ?=++，可将sin()y A x ?=+的图象向上(0)b >或向下(0)b <平移b 个单 位，可得到sin()y A x b ?=++的图象．记忆方法仍为“左加右减，上正下负，纵伸(A>1)横缩(ω>1)”。 要点诠释： 由sin y x =的图象利用图象变换作函数sin()y A x ω?=+的图象时要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量有区别. 考点二、sin()y A x ω?=+的解析式 1. sin()y A x ω?=+的解析式 sin()y A x ω?=+(0A >, 0ω>)，[0,)x ∈+∞表示一个振动量时，A 叫做振幅，2T π ω = 叫做周期， 12f T ω π = = 叫做频率，x ω?+叫做相位，0x =时的相位?称为初相. 2. 根据图象求sin()y A x ω?=+的解析式 求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)? ω -. 求解步骤是先由图象求出A 与T ，再由2T π ω=算出ω，然后将第一零点代入0x ω?+=求出?. 要点诠释： 若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数sin()y A x ω?=+(0A >,0ω>)的性质 1. 定义域: x R ∈,值域:y ∈[-A,A]. 2．周期性: 2T π ω = 3. 奇偶性:2 k π ?π=+ 时为偶函数；k ?π=时为奇函数，k Z ∈. 4．单调性:单调增区间:[ ω ?π πω ?π π-+-- 22, 22k k ] , k Z ∈ 单调减区间:[ ω ?π πω ?π π-+-+ 232, 22k k ] , k Z ∈ 5. 对称性:对称中心( ω? π-k ,0)， k Z ∈；对称轴x= ω ? π π-+ 2 k ，k Z ∈ 6．最值: 当22 x k π ω?π+=+ 即22 k x π π? ω + -= 时，y 取最大值A 当22 x k π ω?π+=- 即22 k x π π? ω - -= 时，y 取最小值-A ．(k Z ∈). 要点诠释： ①求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为sin()y A x ω?=+，要特别注意A 、ω的正负，再把x ω?+看作一个整体，并结合基本三角函数的图象和性质解出即可；利用单调性比较三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； ②整体代换和数形结合是三角函数学习中重要的思想方法，在学习中，很多三角函数的问题都是通过整体代换并观察基本三角函数的图象而得到的。 三角函数的最值与综合应用 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、三角函数的最值 求三角函数的值域，除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下常用方法： 1. 涉及正、 余弦函数以及sin cos )a b θθθ?+=+，其中tan b a ?= ，都可以考虑利用有界性处理. 2. 22 sin sin cos cos y a x b x x x C =+++型，经过降次、整理， 得到sin 2cos2)y A x B x C x C ?=++= ++，其中tan B A ?= ，再利用有界性处理. 3. 形如2 sin sin y a x b x c =++或2 cos sin y a x b x c =++的函数求最值时都可以通过适当变换，通过 配方来求解. 4. 形如sin cos x x ±，sin cos x x ?在关系式中时，可考虑换元法处理，如令sin cos t x x =+，则 21 sin cos 2 t x x -?=，把三角问题化归为代数问题解决. 5. 形如sin cos a x c y b x d +=+型的函数的最值，可考虑数形结合（常用到直线斜率的几何意义）. 6. 形如a x x +型或能确定所给函数在某些区间上单调，可考虑利用单调性求解. 要点诠释： 三角函数的最值问题，其本质是对含有三角函数的符合函数求最值，因此求函数最值的方法都能使 三角函数的最值 三角函数在实际生活中的应用 三角函数的最值与综合应用 用．当然也要掌握上述的特殊的方法. 考点二、sin()y A x ω?=+(0A >,0ω>)的性质 1. 定义域: x R ∈,值域:y ∈[-A,A]. 2．周期性: 2T π ω = 3. 奇偶性:2 k π ?π=+ 时为偶函数；k ?π=时为奇函数，k Z ∈. 4．单调性:单调增区间:[ ω ?π πω ?π π-+-- 22, 22k k ] , k Z ∈ 单调减区间:[ ω ?π πω ?π π-+-+ 232, 22k k ] , k Z ∈ 5. 对称性:对称中心( ω? π-k ,0)， k Z ∈；对称轴x= ω ? π π-+ 2 k ，k Z ∈ 6．最值: 当22 x k π ω?π+=+ 即22 k x π π? ω + -= 时，y 取最大值A 当22 x k π ω?π+=- 即22 k x π π? ω - -= 时，y 取最小值-A ．(k Z ∈). 要点诠释： 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性. 考点三、用三角函数解决一些简单的实际问题 三角函数的知识产生于测量、航海和天文学，还在机械制造、电工学、物理学等学科中有着广泛的应用.对于测量中的问题，要理解有关仰角、俯角、方位角、方向角的概念；对几何问题，特别是立体几何中的问题，要依据题意，画出示意图或立体直观图，将问题归结到三角形中去处理.一般情况下，只要构成三角形就可直接应用三角函数的概念和解三角形的知识解决问题，对于一些较为复杂的应用题则需综合应用代数、立体几何或解析几何知识来解.此外，有些应用题在解答过程中使用三角代换可以简化解题过程，使对数值的处理更为方便. 三角恒等变换 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、两角和、差的正、余弦公式 ()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±=m ()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ αβαβ ±±±= - 要点诠释： 1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2 ±≠ +∈、、π αβαβπ 2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角 ()±αβ的正切值化简。 考点二、二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式 222,,S C T ααα： sin 22sin cos ααα= 2()S α； ααα22sin cos 2cos -=2()C α； 22tan tan 21tan α αα = -2()T α。 要点诠释： 1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(2 24 Z k k k ∈+≠+ ≠ππ αππ α和时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α＝α2sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍， 24 α α是的二倍，332α α是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公 式的关键。 考点三、二倍角公式的推论 降幂公式：ααα2sin 2 1 cos sin = ； 22cos 1sin 2α α-= ； 22cos 1cos 2α α+=. 万能公式：α α α2 tan 1tan 22sin +=； α α α2 2tan 1tan 12cos +-=. 半角公式：2cos 12 sin α α -± =； 2cos 12 cos α α +± =； α α α cos 1cos 12 tan +-± =. 其中根号的符号由2 α 所在的象限决定. 要点诠释： (1)半角公式中正负号的选取由 2 α 所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如 2 3α 可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。 (3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z) 正切还有另外两个半角公式：Z k k k ∈≠-=+≠+= ),(sin cos 12tan ),2(cos 1sin 2 tan παα α αππαααα ，这两 个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦的表达式。