曲线运动与万有引力知识点总结与经典题

一、曲线运动

1、运动的合成与分解按平行四边形法则进行。

2、船过河所需最短时间（v 船垂直于河岸）

t v v s d s t v s v t ?+=+===

2

222d 水船水河实水水船

河宽

3、船要通过最短的路程（即船到达河对岸）则v 船逆水行驶与水平成α角

合

河宽水

船合船

水

v d v v v v v =

-==

t cos 2

2α 4、平抛运动是匀变速曲线运动： F 合=G ； a=g 平抛运动可以分解为

动

竖直方向的自由落体运动水平方向的匀速直线运 （1）水平位移g

h

v t v x

20

0== （2）竖直位移2

2

1gt y =

（3）通过的合位移222022)gt 2

1

()t V (y x s +=+=

（4）水平速度0v v x ==

t

x

（5）竖直速度gt v y ==gh 2 （6）合速度22

022)(gt v v v v y x t +=+=

（7）夹角 0

y v v tg x

y

tg =

β=α

（8）飞行时间由下落的高度决定：g

h t 2=

（9）实验求0v ：

a 、已知抛出点时：

b 、不知抛出点时：

t x v g

h 2t 0=

=

212t

s s a -= g y y t 122

-=∴ ，t x v =0

5、匀速圆周运动是变加速曲线运动：0≠合F ，v F ⊥合，0≠a ，v a ⊥

（1）线速度V=s/t=2πr/T=2πrf=2πrn=ωr ，线速度是矢量，单位：米/秒（m/s ）

（2）角速度ω=θ/t =2π/T= 2πf=2πn=V/r ，角速度是矢量，单位：弧度/秒（rad/s ）

（3）向心加速度m

F v R T R R v a 合向=====ωπ

ω222)2(，向心加速度是矢量，单位：m/s 2 （4）向心力R f m R T

m R m R mv ma F 222

222

44ππω=====向合 （向心力是效果力，是沿半径方向的合力，用来改变速度方向，产生向心加速度，作圆周

运动之用。向心力不改变速度的大小。） （5）周期与频率： T=2πr/v=2π/ω=1/f=1/n

（6）皮带传动时线速度相等：21v v = 即：2211R R ωω= （7）同轴转动角速度相等：21ωω= 即：

2

211R v R v = 二、万有引力定律-天体运动

1、开普勒周期定律： 22

3

22131T R

T R = (只适用同一个中心天体)

2、万有引力定律：2

21r

m m G

F =引（r 是两个质点间的距离，G=6.67?10-11Nm 2/kg 2

叫做万有引力恒量是卡文迪许用扭秤装置第一次精确测定。） 3、天体运动

天体运动所需向心力是由天体间的万有引力充当（提供）。

4、人造地球卫星：R 是地球半径，m R 6104.6?=，M 是地球质量，m 为卫星质量

(1) 解题基本思路：

① 在任何情况下总满足条件：万有引力=向心力．

即：r 4r r m r 22

222T

m m v ma Mm G πω==== 其中r=R+h (R 是地球半径,h 是卫星距离地球表面高度)

② 在地球近地表面： R 4R R m R M 222

22

T

m m v m G πω===

(2）人造卫星绕地球近地面飞行的速度：

R mv R GMm 22

=∴

s km R

GM

v /9.7== s m gR v /k 97?== s

/km 97v ?=叫第一宇宙速度，是人造卫星绕地球表面运转的最大速度，也是发射卫星时的最小速度。 5、宇宙速度：

第一宇宙速度 V 1=7.9km/s （环绕速度） 第二宇宙速度 V 2=11.2km/s （脱离速度）

第三宇宙速度 V 3=16.7km/s （逃逸速度） 6、万有引力定律的应用：

灵活运用2

R GMm mg =，即2

gR

GM =和公式r T

m r mv r GMm 22

224π==，是解决天体问题的关键。

特别是2gR GM

=叫黄金代换式，常常应用此式解题。

（1）测定地球表面重力加速度g ： mg R

GMm =2 2

R GM g

=

∴ （2）测量离地球表面高度为h 处的重力加速度g

2

)

(h R GMm mg +=

,

2)(h R GM g +=∴ （3）测量中心天体的质量：r T m r GMm ?=2224π, 2

324GT

r M π=∴中心 (4) 测量中心天体的密度：323323

233

44球球R GT r R GT r V

M πππρ=== （T 为公转周期） 若卫星绕中心天体表面运行，则r=R 球

, ∴2

3GT π

ρ=

7、V 、ω、T 、a 与距离r 的关系

（1）r

v r GM v r v m r Mm G 1,2

2

∝==即得 （r 越大，卫星线速度v 越小。） （2）3

3

2

21

,r r

GM r m r Mm G

∝==ωωω即得（r 越大, 卫星角速度ω越小）

（3）3

322

2

4,2r T GM r T r T m r Mm G ∝=??

? ??=即得ππ（r 越大，T 越大） （4）2

221

,r a r GM a ma r Mm G

∝==即得（r 越大，向心加速度a 越小）

8、有关地球同步卫星的问题：（三个值一定）

⑴ 周期一定，即s h T 8640024==。

⑵ 轨道一定，地球同步卫星定点于赤道上空，其轨迹在赤道平面，作圆周运动。

⑶ 高度一定：)(4)(22

2

h R T

m h R GMm +=+π ，

m

R GMT

h 732

2

10634??=-=∴π

一、曲线运动的基本概念中几个关键问题

① 曲线运动的速度方向：曲线切线的方向。

② 曲线运动的性质：曲线运动一定是变速运动，即曲线运动的加速度a ≠0。

③ 物体做曲线运动的条件：物体所受合外力方向与它的速度方向不在同一直线上。 ④ 做曲线运动的物体所受合外力的方向指向曲线弯曲的一侧。 二、运动的合成与分解

①合成和分解的基本概念。 (1)合运动与分运动的关系：

①分运动具有独立性。

②分运动与合运动具有等时性。 ③分运动与合运动具有等效性。

④合运动运动通常就是我们所观察到的实际运动。

(2)运动的合成与分解包括位移、速度、加速度的合成与分解，遵循平行四边形定则。

(3)几个结论：①两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。②两个直线运动的合运动，不一定是直线运动(如平抛运动)。③两个匀变速直线运动的合运动，一定是匀变速运动，但不一定是直线运动。 ②船过河模型

(1)处理方法：小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动，即在静水中的船的运动（就是船头指向的方向），船的实际运动是合运动。

(2)若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图甲所示，此时过河时间：

θ

sin 1v d v d t ==

合 (3)若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图乙所示，此时过河时间1

v d

t =

(d 为河宽)。因为在垂直于河岸方向上，位移是一定的，船头按这样的方向，在垂直于河岸方向上的速度最大。

③绳端问题

绳子末端运动速度的分解，按运动的实际效果进行可以方便我们的研究。 例如在右图中，用绳子通过定滑轮拉物体船，当以速度v 匀速拉绳子时，求船的速度。

船的运动(即绳的末端的运动)可看作两个分运动的合成：

a)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。即为v ； b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。这样就可以求得船的速度为α

cos v , 当船向左移

动，α将逐渐变大，船速逐渐变大。虽然匀速拉绳子，但物体A 却在做变速运动。 ④平抛运动

1．运动性质

a)水平方向：以初速度v 0做匀速直线运动．

b)竖直方向：以加速度a=g 做初速度为零的匀变速直线运动，即自由落体运动． c)在水平方向和竖直方向的两个分运动同时存在，互不影响，具有独立性． d)合运动是匀变速曲线运动． 2．平抛运动的规律

以抛出点为坐标原点，以初速度v 0方向为x 正方向，竖直向下为y 正方向，如右图所示，则有： 分速度 gt v v v y x ==,0 合速度0

222

tan ,v gt t g v v o =

+=

θ 分位移22

1,gt y vt x == 合位移22y x s +=

★ 注意：合位移方向与合速度方向不一致。 3．平抛运动的特点

a)平抛运动是匀变速曲线运动，故相等的时间速度的变化量相等．由△v=gt ，速度的变化必沿竖直方向，如下图所示．

任意两时刻的速度，画到一点上时，其末端连线必沿竖直方向，且都与v 构成直角三角形． b)物体由一定高度做平抛运动，其运动时间由下落高度决定，与初速度无关．由公式2

2

1gt h =

。可得g

h

t 2=

,落地点距抛出点的水平距离t v x 0=由水平速度和下落时间共同决定。 4．平抛运动中几个有用的结论

①平抛运动中以抛出点0为坐标原点的坐标系中任一点P(x 、y )的速度方向与竖直方向的夹角为α，则

y x 2tan =

α；其速度的反向延长线交于x 轴的2

x

处。 ②斜面上的平抛问题：从斜面水平抛出，又落回斜面经历的时间为： θtag g

v t 0

2= 三、圆周运动

1．基本公式及概念 1）向心力：

定义：做圆周运动的物体所受的指向圆心的力，是效果力。 方向：向心力总是沿半径指向圆心，大小保持不变，是变力。 ★匀速圆周运动的向心力，就是物体所受的合外力。

★向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力

★匀速圆周运动：物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力，向心力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，这是物体做匀速圆周运动的条件。

★变速圆周运动：在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心．合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和)提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向．合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。

2）运动参量：

线速度：T R t

x

v /2π==

角速度：T t /2/π?ω==

周期(T) 频率(f) f

T 1=

向心加速度：r T

r r v a 222)2(π

ω===

向心力：r T

m r m r mv ma F 2

22)2(

/πω====

2．竖直平面的圆周运动问题的分析方法

竖直平面的圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况。在最高点和最低点，合外力就是向心力。 （1）如右图所示为没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：

①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力。

即 r

v

m mg 2

0=

式中的v 0小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度gr v =

②能过最高点的条件：v>v 0，此时绳对球产生拉力F

③不能过最高点的条件：v

最高点的临界速度v 0＝0

②右图中(a)所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力的情况： 当0

当v ＝gr ，F N =0。

当v>gr 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度 的增大而增大．

③右图(b)所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况与硬杆对小球的弹力类似。

3．对火车转弯问题的分析方法

在火车转弯处，如果、外轨一样高，外侧轨道作用在外侧轮缘上的弹力F ′指向圆心，使火车产生向

心加速度，由于火车的质量和速度都相当大，所需向心力也非常大，则外轨很容易损坏，所以应使外轨高于轨．如右图所示，这时支持力N不再与重力G平衡，它们的合力指向圆心．如果外轨超出轨高度适当，可以使重力G 与支持力的合力，刚好等于火车所需的向心力．

另外，锥摆的向心力情况与火车相似。

4．离心运动

①做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只足由于向心力作用，使它

不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如下图所示．

②当产生向心力的合外力消失，F=0，物体便沿所在位置的

切线方向飞}II去，如右图A所示．

③当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，，即合外力不足提

供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动．如右图B所示．