概率论与数理统计试题库
《概率论与数理统计》试题（1）
一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）
⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）
⑸ 样本方差2n S
=
n
121
)(X X
n
i i
-∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ）
二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生；
（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。
三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为
2101
31111115651530
X
P
-- 求2
Y X =的分布列.
五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||
1()2
x f x e -=
，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差.
六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1
()(1)
,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，
的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.
《概率论与数理统计》试题（1）评分标准
一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。 二 解 （1）ABC
（2）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ；
（3）A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ； （4）ABC ABC ABC ；
（5）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC 每小题4分；
三 解 设A =‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,x y a x y --，则
0,0,0x a y a x y a <<<<<+<，不等式构成平面域S .------------------------------------5分
A 发生0,0,
222
a a a
x y x y a ?<<<<<+< 不等式确定S 的子域A ，----------------------------------------10分
所以
1
()4
A P A ==的面积S 的面积 -----------------------------------------15分
四 解 Y 的分布列为
1491
71115
30530
Y
P
. Y 的取值正确得2分，分布列对一组得2分；
五 解 ||102x EX x e dx +∞
--∞=
?=?，
（因为被积函数为奇函数）--------------------------4分 2
2||2012
x x DX EX x e dx x e dx +∞+∞---∞===?? 20
02x x x e
xe dx +∞+∞
--=-+?
2[] 2.x x xe
e dx +∞+∞
--=-+=?
----------------------------------------10分
六 解 X ～b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分
(1430)P X ≤≤≈Φ-Φ---------------------------10分 (2.5)( 1.5)=Φ-Φ-
=0.994+0.933--1
0.927=.--------------------------------------------------15分
七 解 11
11
(,
,;)(1
)(1)n
i i i n
x n
x n
n i L x x p p
p p p =--=∑=-=-∏ ----------5分
1ln ln (
)ln(1),n
i
i L n p X
n p ==+--∑
1ln 0,1n
i i X n
d L n dp p p
=-=--∑ --------------------------------10分 解似然方程
1
1n
i i n X n p p
=-+=
-∑， 得p 的极大似然估计
1
p X
=。--------------------------------------------------------------------15分
《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发
生的概率为__________.
2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2
X Y =在区间)4,0(内的概率
密度为=)(y f Y _________.
4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2
)1(-=>e X P ，则
=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________.
5． 设总体X 的概率密度为
?????<<+=其它,
0,
10,)1()(x x x f θ
θ 1->θ.
n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.
解：1．3.0)(=+B A B A P
即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=
所以 1.0)(=AB P
9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．λλ
λ
λλ---=
=+==+==≤e X P e e
X P X P X P 2
)2(,
)1()0()1(2
由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22
即 0122
=--λλ 解得 1=λ，故
16
1)3(-=
=e X P . 3．设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()
F x ，密度为(
)X f x 则
2
()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y
=≤=
≤
=≤-
-
因为~(0,2)X U ，所以(0X F =
，即()
Y X F y F
= 故
04,()()0,.
Y Y X y f y F y f <<'===
?
其它
另解 在(0,
2)上函数2y x =
严格单调，反函数为(
)h y 所以
04,()0,.
Y X y f y f <<==?其它
4．2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ=
{min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y ≤=->1(1)(1)P X P Y =->>
41e -=-. 5．似然函数为 11
1
(,,;)(1)(1)(,,)n
n
n i
n
i L x x x x x θθθθθ==
+=+∏
1
ln ln(1)ln n
i
i L n x
θθ
==++∑
1
ln ln 01n
i i d L n
x d θθ==++∑
解似然方程得θ的极大似然估计为
1
111ln n
i i x n θ
==-∑.
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.
（D ）若C B ?，则A 与C 也独立. （ ） 2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.
（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ） 3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是
（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.
（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ） 4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为
(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)
1
111
69183
X Y P αβ
若,X Y 独立，则,αβ的值为
（A ）21,99αβ==. （A
）12
,99αβ==.
（C ） 11,66αβ== （D ）51
,1818
αβ=
=. （ ） 5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ 为来自X 的样本，则下列结论中
正确的是
（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ）
解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.
事实上由图 可见A 与C 不独立.
2．~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤
1(2)(2)1[2(2)1]2[1=-Φ
+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.
3．由不相关的等价条件知应选（B ）. 4．若,X Y 独立则有
(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======
1121
()()()3939
αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β= 故应选（A ）.
5．1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.
三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为
0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’
则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ 0.90.950.10.020.857.=?+?= （2） ()0.90.95
(|)0.9977()0.857
P AB P B A P A ?=
==. 四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事
件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：X 的概率分布为 3323()()()
0,1,2,3.5
5
k
k
k
P X k C k -===
即
01232754368125125125125
X
P
X 的分布函数为
0,0,27,
01,12581
(),12,125117,23,1251, 3.
x x F x x x x
EX =?
= 2318
35525
DX =??=.
五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均
匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密 （1）(,)X Y 的概率密度为 2,(,)(,)0,
.
x y D
f x y ∈?=?
?其它
22,01
()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞
-≤≤?==?
??
其它
（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞
=
-?
其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-?-=?
?其它
2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤?=??其它.
当 0z <或1z >时()0Z f z =
01z ≤≤时 00
()222z z
Z f z dx x z ===?
故Z 的概率密度为
2,01,
()0,Z z z f z ?≤≤?=???其它.
Z 的分布函数为
200,00,0,
()()2,01,01,1, 1.
1,
1z z
Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞
=≤≤=≤≤????>?>???
?
或利用分布函数法
1
0,
0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z d x d
y z z ?
=≤=+≤=≤≤???>?
?? 2
0,
0,,01,1, 1.
z z z z ?
2,
01,()()0,
Z Z z z f z F z ≤≤?'==?
?其它.
六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相
互独立，且均服从2
(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域2
2
{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =
.
1）{,)}(,)D
P X Y D f x y dxdy ∈=
??
22
2228
8
1
1
1248x y r D
e dxdy e
rdrd πθππ
+-
-
=
=
?????
222
112
28
8
8
2
1
1()8
r r r
e
d e
e e ---
-
=-
-=-=-?
；
（2
）228
18x y EZ E e
dxdy π
+-
+∞-∞-∞
==
??
22
228
80
1
184r r re
rdrd e r dr πθπ
-
-
+∞+∞=
=??
?
222
8
8
8
r r r re
e
dr dr +∞
---+∞+∞-∞
=-+=
=?
?
. 七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2~(,)X N μσ，今抽取容量为16的
样本，测得样本均值10x =，样本方差20.16s =. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设20:0.1H σ≤（显著性水平为0.05）. （附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===
222
0.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===
解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为
/2/2(((X t n X t n αα--+- 0.02510,0.4,16,
0.05,(15) 2.132X s n t α=====
所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）
（2）20:0.1H σ≤的拒绝域为22
(1)n αχχ≥-.
22
1515 1.6240.1
S χ==?=，2
0.05(15)24.996χ= 因为 22
0.052424.996(15)χχ=<=，所以接受0H .
《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
（1） 设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且
()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的
概率为___________.
（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2
个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________. （3） 设随机变量X 的概率密度为2,01,
()0,x x f x <
?其它,
现对X 进行四次独立重复观
察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2
EY =___________. （4） 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为
(,)(1,0)(1,1)(2,0)
(2,1)
0.40.2X Y P a
b
若0.8EXY =，则Cov(,)X Y =____________.
（5） 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2
S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则
a =____________.
（注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 2
0.005(16)34.2χ=）
解：（1）()()()P ABC ABC P ABC P ABC +=+
因为 A 与C 不相容，B 与C 不相容，所以,A C B C ??，故ABC C = 同理 A B C A B
=. ()()()0.20.50.50.45
P A B C A B C P C
P A B +
=+=+?=. （2）设A =‘四个球是同一颜色的’，
1B =‘四个球都是白球’，2B =‘四个球都是黑球’ 则 12A B B =+. 所求概率为 22212()()
(|)()()()
P AB P B P B A P A P B P B =
=
+ 2222
3322122222555533
(),()100100
C C C C P B P B C C C C =?==?=
所以 21
(|)2
P B A =.
（3）~(4,),Y B p
其中 10.5220
1
(0.5)24
p P
X x d x x =≤===?
，
113341,444
44
E Y D Y =?
==??=， 22
15()144
EY DY EY =+=+=.
（4）(,)X Y 的分布为
这是因为 0.4a b +=，由0.8EXY = 得 0.220.8b += 0.1,0.3
a b ∴==
0.620.4 1.4EX =+?=，0.5EY =
故 c o v (,)0.8
0.7X
Y E X Y E X E Y =-=-=.
（5）2
2
16(){4}0.014
S P S a P a >=>= 即 2
0.01(16)4a χ=
，亦即 432a = 8a ∴=.
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
（1）设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有 （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤
（C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥ （ ） （2）设随机变量X 的概率密度为
2
(2)4
(),
x f x x +-
=
-∞<<∞
且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取
（A ）1/2, 1.a b == （B ）2,a b =
（C ）1/2,1a b ==-. （D ）2,a b == （ ） （3）设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为 01
0.40.6
X P
01
0.40.6
Y P
则有
（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==
（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == （ ） （4）对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于
（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3
().EX （ ） （5）设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的 置信度为1α-的置信区间为
（A ）
/2
/2(x u x u αα-+ （B ）
1/2
/2(x u x u αα--+
（C
）(x u x u α
α-+ （D
）/2/2(x u x u αα-+ （ ）
解 （1）由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥
()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C. （2
）22
(2)4
()x f x +-
=
=
即
~(
2)X N - 故当
a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.
（3）()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=?+?= 应选C.
（4）[()]E E EX EX = 应选C.
（5）因为方差已知，所以μ的置信区间为
/(,
)X u X u αα-+
应选D.
三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的
箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。 解：设A =‘从箱中任取2件都是一等品’ i B =‘丢失i 等号’ 1,2,3i =. 则 11223
3()()(|)
()(|)()(
|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++
2225542229991312
21059
C C C C C C =?+?+?=；
所求概率为111()(|)3
(|)()8
P B P A B P B A P A ==.
四、（10分）设随机变量X 的概率密度为
1,02,
()0,
.ax x f x +≤≤?=?
?其它 求（1）常数a ； （2）X 的分布函数()F x ； （3）(13).P X <<
解：（1）2
22
001()(1)()222
a f x dx ax dx x x a +∞-∞
==+=+=+?
?
∴ 1
2
a =-
（2）X 的分布函数为
00,0,()()(1)
,02,
21, 2.
x x
x u F x f u du du x x -∞
==-≤≤??
>???? 20,
0,,02,41,
2.x x x x x
?
=-≤≤??
>?? （3）32
1
11(13)()(1)24
x P x f x dx dx <<=
=-=?
?.
五、（12分）设(,)X Y 的概率密度为
0,
,(,).0,
x y x e f x y -<
?其它 求（1）边缘概率密度(),()X Y f x f y ； （2）(1)P X Y +<； （3）Z X Y =+的概率密度()Z f z .
00
,0,0.x x x e dy x +∞
-≤??
=?>??
?0,0,,0.
x x xe x -≤?=?>?
0,0(,),0.
x y
y f x y dx e dx y +∞+∞--∞≤??
==?>????
0,0,,0.
y
y e y -≤?=?>?
（2）1
120
1
(1)(,)y x y
x y P X Y f x y dxdy e dx dy --+
=????
????
1
11
12
20
()12y y e e e dy e
e -
---=-?=-+?
.
（3）()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞
=
-?
,0,2,
(,)0,.
x e x x z x f x z x -?><≤?-=???其它
z≤时()0
Z
f z=
z>时2
2
()
z
z x z
z
Z
f z e dx e e
-
--
==-
?
2
0,0,
()
,0.
z
Z
z
z
f z
e e z
-
-
≤
??
=?
?->
?
六、（10分）（1）设~[0,1]
X U，~[0,1]
Y U且X与Y独立，求||
E X Y
-；
（2）设~(0,1),~(0,1)
X N Y N且X与Y独立，求||
E X Y
-.
|(,)||
Y f x y x y dxdy
+∞+∞
-∞-∞
=-
??
111
000
()()
x
x
x y dxdy y x dxdy
=-+-
????
1
3
=；
（2）因,X Y相互独立，所以~(0,2)
Z X Y N
=-
~(0,1)
N
=
=||
E X Y
-=
七、（10分）设总体的概率密度为
101,
,
(;)
.
0,
x
x
f x
θ
θ
θ
-<<
?
=?
?其它
(0)
θ>
试用来自总体的样本
12
,,,
n
x x x
，求未知参数θ的矩估计和极大似然估计.
解：先求矩估计
1
101
EX x dx
θ
θ
μθ
θ
===
+
?
1
1
1
μ
θ
μ
∴=
-
故θ的矩估计为
1
X
X
θ=
-
再求极大似然估计
11
11
1
(,,;)()
n
n
n i n
i
L x x x x x
θθ
θθθ
--
=
==
∏
1
ln ln(1)ln
n
i
i
L n x
θθ
=
=+-∑
1
ln
ln0
n
i
i
d L n
x
dθθ=
=+∑
所以θ的极大似然估计为
1
11ln n
i i x n θ
==-∑.
《概率论与数理统计》期末试题（4）与解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
（1） 设()0.5P A =,()0.6P B =,(|)0.8P B A =，则,A B 至少发生一个的概率为_________.
（2） 设X 服从泊松分布，若26EX =，则(1)P X >=___________.
（3） 设随机变量X 的概率密度函数为1
(1),02,
()40
,x x f x ?+<
独立观测，以Y 表示观测值大于1的观测次数，则DY =___________.
（4） 元件的寿命服从参数为
1
100
的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为_____________.
（5） 设测量零件的长度产生的误差X 服从正态分布2(,)N μσ，今随机地测量16个零
件，得
16
1
8i
i X
==∑，16
21
34i i X ==∑. 在置信度0.95下，μ的置信区间为___________.
0.050.025((15) 1.7531,(15)
2.1315)t t == 解：（1）()()()
0.8(|)1()0.5
P BA P B P AB P B A P A -===
- 得 ()0.2P AB = ()()()() 1.10.20.9P A B P A P B P AB =+-=-= .
（2）222
~(),6()X P EX DX EX λλλ==+=+ 故 2λ=. (1)1(1)1(0)(1)P X P X P X P X >=-≤=-=-=
2
2
21213e e
e ---=--=-.
（3）~(8,)Y B p ，其中21
15
(1)(1)48
p P X x dx =>=+=?
5315
8888
DY =??
=. （4）设第i 件元件的寿命为i X ，则1
~(),1,2,3,4,5100
i X E i =. 系统的寿命为Y ，所
求概率为
125(100)(100,100,,100)P Y P X X X >=>>> 5155
1[(100)][11].P X e e --=>=-+= （5）μ的置信度1α-下的置信区间为
/2/2(((X t n X t n αα--+- 162
22
1
10.5,[16]2, 1.4142,1615i i X S X X S n ===-===∑
0.025(15) 2.1315.t =
所以μ的置信区间为（0.2535,1.2535-）.
二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ） 中，每小题3分，共15分）
（1）,,A B C 是任意事件，在下列各式中，不成立的是 （A ）()A B B A B -= .
（B ）()A B A B -= .
（C ）()A B AB AB AB -= .
（D ）()()()A B C A C B C =-- . （ ）
（2）设12,X X 是随机变量，其分布函数分别为12(),()F x F x ，为使
12()()()F x aF x bF x =+是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值
中应取
（A ）32,55a b =
=-. （B ）22
,33a b ==. （C ）13,22a b =-=. （D ）13
,22
a b ==. （ ）
（3）设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数为()Y F y =
（A ）(53)X F y -. （B ）5()3X F y -.
（C ）3(
)5X y F +. （D ）31()5
X y
F --. （ ） （4）设随机变量12,X X 的概率分布为
101
111424
i X P
- 1,2
i =. 且满足12(0)1P X X ==，则12,X X 的相关系数为1
2
X X ρ=
（A ）0. （B ）
14. （C ）1
2
. （D ）1-. （ ） （5）设随机变量1
~[0,6],~(12,)4
X U Y B 且
,X Y 相互独立，根据切比 雪夫不等式有(33)P X Y X -<<+
（A ）0.25≤. （B ）512≤. （C ）0.75≥. （D ）5
12
≥. （ ）
解：（1）（A ）：成立，（B ）：()A B A B A B -=-≠ 应选（B ）
（2）()1F a b +∞==+. 应选（C ） （3）()()(35)((3)/5)Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=>- 331(
)1()55
X y y
P X F --=-≥=- 应选（D ） （4）12(,)X X 的分布为
12120,0,0EX EX EX X ===，所以12cov(,)0X X =， 于是 1
2
0X
X ρ=. 应选（A ）
（5）(33)(||3)P X Y X P Y X -<<+=-<
()0E Y X EY EX -=-= 921
()3
44
D Y X DY DX -=+=+= 由切比雪夫不等式
21
5
4(||3)1912
P Y X -<≥-= 应选（D ）
三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为λ的泊松分布，而进入
超市的每一个人购买A 种商品的概率为p ，若顾客购买商品是相互独立的， 求一天中恰有k 个顾客购买A 种商品的概率。
解：设B =‘一天中恰有k 个顾客购买A 种商品’ 0,1,k = n C =‘一天中有n 个顾客进入超市’ ,1,n k k =+
则 ()()()(|n
n n n k
n
k
P B P C B P C P B C
∞
∞
====∑
∑ (1)!n
k
k n k n
n k
e C
p p n λλ∞-
-==
-∑
()(1)!()!k n k
n k n k p e p k n k λλλ-∞--==--∑
()!
k p
p e k λλ-= 0,1,k = .
四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参
数μ之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生 的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列. （2）
EY 和DY .
((2)
0.977,(1)0.8
Φ=Φ= 解：（1）~(100,)Y B p ，其中8472
(6084)(
)p P X σ
-=<≤=Φ
6072
12
(
)2()1σ
σ
--Φ=Φ-
由 967224
0.023(96)1()1(
)
P X σσ
-=
>=-Φ=-Φ 得 24
(
)0.977σ
Φ=，即
24
2σ
=，故
12
1σ
=
所以 2(1)10.6826p =Φ-=.
故Y 的分布列为100100()(0.6826)(0.3174)k
k k P Y k C -==
（2）1000.682668.26EY =?=，68.260.317421.6657DY =?=.
五、（10分）设(,)X Y 在由直线21,,0x x e y ===及曲线1
y x
=
所围成的区域 上服从均匀分布，
（1）求边缘密度()X f x 和()Y f y ，并说明X 与Y 是否独立. （2）求(2)P X Y +≥. 解：区域D 的面积 22
11
1ln 2e e D S dx x x
=
==?
(,)X Y 的概率密度为
1
,(,),
(,)20,x y D f x y ?∈?=???其它.
（1）1201
,
1,()(,)2
0,.x X dy x e f x f x y dy +∞-∞
?≤≤?=
=???
??
其它
21
,1,20,
.
x e x
?≤≤?
=???其它
2211
211,1,21,
1,()(,)20,e y Y dx y e dx e y f y f x y dx -+∞--∞
?≤≤???
<≤=
=???
??
???
其它
2
221(1),1211,
1220,
e y e e y y --?-≤≤??
?-<≤=?
???
?其它
（2）因(,)()()X Y f x y f x f y ≠?，所以,X Y 不独立. （3）2
(2)1(2)1(,)x y P X Y P X Y f x y dxdy +<+≥=-+<=-
??
1113
110.752244
=-
?=-==.
六、（8分）二维随机变量(,)X Y 在以(1,0),(0,1),(1,0)-为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求Z X Y =+的概率密度。
1,(,),
(,)0,.
x y D f x y ∈?=?
?其它
设Z 的概率密度为()Z f z ，则 ()(,)Z f z f z y y dy +∞-∞
=-?
1,01,211(,)
0,y y z f z y y ?≤≤-<
-=???其它
当 1z <-或1z >时()0Z f z = 当 11z -<≤时1
20
1()2
z Z z f z dy ++==?
所以Z 的密度为
1
,||1,()20,.
Z z z f z +?
=???其它
解2：分布函数法，设Z 的分布函数为()Z F z ，则
()()()(,)Z x y z
F z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=
??
12
0,1,0,1(1),11,11,41, 1.1,1D z z z dxdy z z z z ?≤-?≤-??+??=-<<=-<
≥???≥?
??
故Z 的密度为
1
,||1,()()2
0,
.
Z Z z z f z F z +?
'==???其它
七、（9分）已知分子运动的速度X 具有概率密度
2
2(),0,0,()0,0.x x f x x αα-?>>=≤?
12,,,n x x x 为X 的简单随
机样本
（1）求未知参数α的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计。
解：（1）先求矩估计
2
3
()10
x
EX dx α
μ-+∞==?
2
2
2
()()0
x
x xe
dx α
α
+∞--+∞=
?
=
X α
∴=
再求极大似然估计
2
2
(
)11
(,,;)i
x n
n i L X X α
α-==
32
2
14()n n
n
n x x απ--= 2
2
1
1
n
i i x e
α=-
∑?
2
22
12
1
1
ln 3ln ln(4)ln()n
n
n
n i
i L n x x x
απ
α
-==-++-
∑
2
31
l n 320n i i L n x d αααα==-+∑
得α的极大似然估计
α
=
（2）对矩估计
E EX α
α==
= 所以矩估计
2
X α=
是α的无偏估计.
八、（5分）一工人负责n 台同样机床的维修，这n 台机床自左到右排在一条直
线上，相邻两台机床的距离为a （米）。假设每台机床发生故障的概率均为
1
n
，且相互独立，若Z 表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走 的路程，求EZ .
解：设从左到右的顺序将机床编号为1,2,,n
X 为已经修完的机器编号，Y 表示将要去修的机床号码，则 11
(),(),,1,2,,P X i P Y j i j n n n
==
=== 2
1
(,)()()P X i Y j P X i P Y j n ====== ||Z i j a =- 于是 11
||(,)n n
i j EZ i j aP X i Y j ===
-==∑∑
211
1||n n i j i j a n
===
-?
∑∑ 2111()()n i
n i j j i a i j j i n ===+??=-+-????
∑∑∑
2(1)
.3n a n
-=
概率论与数理统计考试试卷
2011 ~2012 学年第一学期《概率论与数理统计》考试试题A卷班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： --------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 ----------------------- ---- 线 -------------------------------------------- ----- （答题不能超出密封线） 使用班级（老师填写）：数学09-1,3班可以普通计算器 题号一二三四五六七八九总分得分 阅卷 人 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填 在括号中） （本大题共 11 小题，每小题2分，总计 22 分） 1、设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是(C ). A.P) B.,其中P(B)>0 C. D. 2、为一列随机事件,且,则下列叙述中错误的是(D ). A.若诸两两互斥,则 B.若诸相互独立,则 C.若诸相互独立,则 D. 3、设有个人,,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均 等的,则此个人中至少有某两个人生日相同的概率为( A ). A. B. C. D. 4、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且则的值为( B ）. A. B. C. D.. 解：由于X服从参数为的泊松分布，故.又故，因此 5、设随机变量X的概率密度函数为的密度函数为(B ). A. B. C. D. 解：这里，处处可导且恒有，其反函数为，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y的密度函数为 6、若,且X,Y相互独立,则( C ). A. B.
历年自学考试01297概率论与数理统计试题和答案
全国2012年4月自学考试概率论与数理统计（二）试题 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设A ，B 为随机事件，且A ?B ，则AB 等于（ ） A. A B B. B C. A D. A 2. 设A ，B 为随机事件，则P （A-B ）=（ ） A. P （A ）-P （B ） B. P （A ）-P （AB ） C. P （A ）-P （B ）+ P （AB ） D. P （A ）+P （B ）- P （AB ） 3. 设随机变量X 的概率密度为f （x ）= ?? ???<<其他，，，0, 6331 x 则P ｛3
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
7月全国自考概率论与数理统计(二)试题及答案解析
1 全国2018年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计（二）试题 课程代码：02197 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设事件A 与B 互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则有（ ） A.P(A ?B)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.A=B D.P(A|B)=P(A) 2.某人独立射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多击中一次的概率为（ ） A.0.002 B.0.008 C.0.08 D.0.104 3.设事件{X=K}表示在n 次独立重复试验中恰好成功K 次，则称随机变量X 服从（ ） A.两点分布 B.二项分布 C.泊松分布 D.均匀分布 4.设随机变量X 的概率密度为f(x)=???<<-其它,02 x 1),x 2x 4(K 2 则K=（ ） A.165 B.21 C.43 D.54 5. 则F(1,1) =（ ） A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7 6.设随机向量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=????? <<<<--; ,0,4y 2,2x 0),y x 6(81 其它 则P （X<1,Y<3）=（ ）
2 A.8 3 B.8 4 C.8 5 D.87 7.设随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E （XY ）=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8.设X 1, X 2, …,X n ，…为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为 21的指数分布，则当n 充分大时，随机变量Y n =∑=n 1i i X n 1的概率分布近似服从（ ） A.N （2，4） B.N （2，n 4） C.N （n 41,21） D.N （2n,4n ） 9.设X 1,X 2,…，X n (n ≥2)为来自正态总体N （0，1）的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，则有（ ） A.)1,0(N ~X n B.nS 2~χ2(n) C.)1n (t ~S X )1n (-- D.)1n ,1(F ~X X )1n (n 2i 2i 21 --∑= 10.若θ)为未知参数θ的估计量，且满足E （θ)）=θ，则称θ)是θ的（ ） A.无偏估计量 B.有偏估计量 C.渐近无偏估计量 D.一致估计量 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设P （A ）=0.4，P （B ）=0.5，若A 、B 互不相容，则P （AB ）=___________. 12．某厂产品的次品率为5%，而正品中有80%为一等品，如果从该厂的产品中任取一件来检验，则检验结果是一等品的概率为___________. 13．设随机变量X~B （n,p ），则P （X=0）=___________.
全国2019年4月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题
2019年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(经管类)04183 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。 1.设()0.6P B =，()0.5P A B =，则()P A B -= A. 0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 2.设事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =,()0.8P A B =，则()P B = A. 0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 3.甲袋中有3个红球1个白球，乙袋中有1个红球2个白球，从两袋中分别取出一个球，则两个球颜色相同的概率的概率是 A. 16 B. 14 C. 13 D. 512 4.设随机变量X 则P{X>0}= A. 14 B. 12 C. 34 D. 1 5.设随机变量X 的概率为,02()0,cx x f x ≤≤?=?? 其他，则P{X ≤1}= A. 14 B. 12 C. 23 D. 34 6.已知随机变量X~N(-2,2)，则下列随机变量中，服从N(0,1)分布的是 A. 1(2) 2X - B. 1(2)2X + C. 2)X - D. 2)X + A. 0.1 B.0.4 C.0.5 D.0.7 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2,则D(3X-2Y)= A. 8 B.16 C.28 D.44 9.设123,,x x x 是来自总体X 的样本，若E(X)=μ(未知)，123132 x ax ax μ=-+是μ的无偏估计，则常数a= A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
10.设12,,,(1)n x x x n >为来自正态总体2(,)N μσ的样本，其中2,μσ均未知，x 和2s 分别是样本均值和样本方差，对于检验假设0000=H H μμμμ≠：，：，则显著性水平为α的检验拒绝域为 A. 02(1)x n αμ??->-???? B. 02x αμ??->??? ? C. 02(1)x n αμ??-≤-???? D. 02x αμ??-≤??? ? 二、填空题：本大题共15小题，每小题2分，共30分。 11.设A,B,C 是随机事件，则“A,B,C 至少有一个发生”可以表示为 . 12.设P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(A|B)=0.4,则P(B|A)= . 13.袋中有3个黄球和2个白球，今有2人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率为 . 14.已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，则λ= . 15.设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则P{X ≥1}= . P{X=Y}= . 17.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,01,02,(,)0,, c x y f x y ≤≤≤≤?=??其他 则常数c= . 18.设随机变量X 服从区间[1,3]上的均匀分布，Y 服从参数为2的指数分布，X,Y 相互独立，f(x,y)是(X,Y)的概率密度，则f(2,1)= . 19.设随机变量X,Y 相互独立，且X~B(12,0.5),Y 服从参数为2的泊松分布，则E(XY)= . 20.设X~B(100,0.2), 204 X Y -=，由中心极限定理知Y 近似服从的分布是 . 21.已知总体X 的方差D(X)=6, 123,,x x x 为来自总体X 的样本，x 是样本均值，则D(x )= . 22.设总体X 服从参数是λ的指数分布，12,, ,n x x x 为来自总体X 的样本，x 为样本 均值，则E(x )= . 23.设1216,, ,x x x 为来自正态总体N(0,1)的样本，则2221216x x x +++服从的分布是 .
高等教育自学考试概率论与数理统计经管类试题及答案
2009年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(经管类)试题 课程代码：04183 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A ，B 为两个互不相容事件，则下列各式错误．．的是（ ） A ．P(AB)=0 B ．P(A ∪B)=P(A)+P(B) C ．P(AB)=P(A)P(B) D ．P(B-A)=P(B) 2．设事件A ，B 相互独立，且P(A)=31 ，P(B)>0，则P(A|B)=( ) A ．151 B ． 5 1 C ． 15 4 D ．3 1 3．设随机变量X 在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量X 的概率密度f (x )为( ) A ．?? ???≤≤-=.,0; 21,3 1 )(其他x x f B ．? ??≤≤-=.,0; 21,3)(其他x x f C ．? ??≤≤-=.,0; 21,1)(其他x x f D ． ?? ???≤≤--=.,0; 21,31 )(其他x x f 4．设随机变量X ~ B ?? ? ??31,3，则P{X ≥1}=( ) A ．271 B ．27 8 C ． 27 19 D ． 27 26 5 则P{XY=2}=( ) A ．5 1 B ． 10 3
C ． 2 1 D ． 5 3 6．设二维随机变量(X ，Y)的概率密度为 ? ??≤≤≤≤=,,0; 10,10,4),(其他y x xy y x f 则当0≤y ≤1时，(X ，Y)关于Y 的边缘概率密度为f Y ( y )= ( ) A ．x 21 B ．2x C ．y 21 D ．2y 7．设二维随机变量(X 则E(XY)=( ) A ．91- B ．0 C ． 91 D ．3 1 8．设总体X ~ N(2,σμ)，其中μ未知，x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的一个样本，则以下关 于μ的四个估计：)(41?43211x x x x +++=μ，321251 5151?x x x ++=μ ，2136 261?x x +=μ，147 1 ?x =μ中，哪一个是无偏估计？( ) A ．1?μ B ．2?μ C ．3?μ D ．4?μ 9．设x 1, x 2, …, x 100为来自总体X ~ N(0，42)的一个样本，以x 表示样本均值，则x ~( ) A ．N(0，16) B ．N(0，0.16) C ．N(0，0.04) D ．N(0，1.6) 10．要检验变量y 和x 之间的线性关系是否显著，即考察由一组观测数据(x i ，y i )，i =1，2，…，n ， 得到的回归方程x y 1 0???ββ+=是否有实际意义，需要检验假设( ) A ．0∶,00100≠=ββH H ∶ B ．0∶,0∶1110≠=ββH H
概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
概率论与数理统计期末考试题及答案
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??
自考概率论与数理统计第八章真题
07.4 10.设总体X 服从正态分布N （μ，1），x 1，x 2，…，x n 为来自该总体的样本，x 为样本均值，s 为样本标准差，欲检验假设H 0∶μ=μ0，H 1∶μ≠μ0，则检验用的统计量是（ ） A.n /s x 0μ- B.)(0μ-x n C. 1 0-μ-n /s x D.)(10μ--x n 23.设样本x 1，x 2，…，x n 来自正态总体N （μ，9），假设检验问题为H 0∶μ=0，H 1∶μ≠0，则在显著性水平α下，检验的拒绝域W=___________。 24.设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率，H 0为原假设，则P {拒绝H 0｜H 0真}= ___________。 07.7 25．设总体X~N （μ,σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本.对假设检验问题 2 212020::σσσσ≠?=H H ，在μ未知的情况下，应该选用的检验统计量为___________. 9．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） A ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 B ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 C ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 D ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 24．设总体X~N （μ,σ2 ）,x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的体本，且2 4 1 2 4 1 )(,4 1 σ∑∑==-= i i i i x x x x 则 服 从自由度为____________的2χ分布. 27．假设某校考生数学成绩服从正态分布，随机抽取25位考生的数学成绩，算得平均成绩 61=x 分，标准差s=15分.若在显著性水平0.05下是否可以认为全体考生的数学平均成 绩为70分？（附：t 0.025(24)=2.0639） 08.1 23.当随机变量F~F(m,n )时,对给定的.)),((),10(ααα=>< 一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析： 题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下： 由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的 概率论与数理统计 答案 一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ） 二．1．0.85、2. n =5、3. 2 ()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4 三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5 分 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 302415=C C 种方法----------------------------------------------------7 分 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故 125 72625360)(== B P --------------------------------------------------10分 四．解：（1） ?? ∞∞-==+=3 04ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）? ==+=<10 212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 （3）3 300()()[ln(1)]1Ax E xf x dx dx A x x x ξ∞-∞= ==-++?? 13(3ln 4)1ln 4ln 4 =-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为 ??? ? ??29.032.039.02 1 0--------------------------------2分 η的边缘分布为 ??? ? ??28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 （2）ξη?的分布列为 概率论与数理统计（经管类）综合试题一 （课程代码 4183） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设 ()0,()0 P A P B >>，则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞-∞ =? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k ===，且0b >，则参数b 的 值为 ( D ). A. 12 B. 13 C. 1 5 D. 1 《概率论与数理统计》复习资料 第一章 随机事件与概率 1．事件的关系 φφ=Ω-??AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =?=? （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =??=?? （3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ??=??=? （4）B A AB B A B A ?==? 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） （4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -= （6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=? （8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率 （1） 定义：若0)(>B P ，则) () ()|(B P AB P B A P = （2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==n i i i B A P B P A P 1)|()()( （4） Bayes 公式： ∑== n i i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =? （注意独立性的应用） 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、 若A 与自身独立，则（ ） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0< 模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶 3 发，事件表示“击中i发”，i = 0， 1， 2， 3。那么事件 表示 ( )。 ( A ) 全部击中； ( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中； ( D ) 击中 3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为( )。 ( A ) ； ( B ) ； (C) ； (D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中 0 < p < 1 ，n = 1， 2,…，那么，对于任一实数x，有等于 ( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时每人需用台秤的概率 为，则4人中至多1人需用台秤的概率为： __________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于 ___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为 20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为 10% ,瘦者患高血压病的概率为5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量, 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？ ( 分别取和 0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在 100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下： . 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥= 10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域） 概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5)1(=≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。 （按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、 若A 与自身独立，则（ ） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<自考概率论与数理统计基础知识.
概率论与数理统计试卷及答案
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