概率复习2

一、填空

1、设甲、乙两人向同一目标射击，设A 表示甲击中，B 表示乙击中，至少有一人击中应表示为 ，两人同时击中表示为 ，恰好有一人击中表示为 。

2、将一枚均匀硬币抛三次，事件i A =“第i 次出现正面朝上”1,2,3,i = 则事件“三次均是正面朝上”应表示为 ，事件“三次中至少有一次正面朝上”应表示为 ，事件“仅第一次正面朝上”应表示为 .

3、设A=“甲外出”，B=“乙外出”，则“甲、乙都外出”应表示为 ；“至少有一人外出”应表示为 ；“恰一人外出” 应表示为 。

4、设A 、B 为两个事件，若()0.2,()0.3,()0.4,P A P B P AB ===则()P A B ?= .

5、.设A,B 为两个事件，若已知概率P(A)=0.4,P(B)=0.3，若事件A,B 互斥，则概率P(A+B)= 。

6、.设A 、B 为两个事件，若()0.2,()0.3,()0.4,P A P B P A B ==+=则()P AB = .

7、设离散型随机变量X 的分布律为

则=c _______ ，1

P(X<)=2

()=D X _______.

8、设离散型随机变量X 的分布律为

则 =c _______ ，3

P(0

， 方差()=D X _______.

9、设离散型随机变量X 的概率分布如下：

X -1 0 1 P

a

0.4

2a

则______.a =1

P(X )=2

≥

，()=D X 10、随机变量~(3)X P ，则{}P X k == ，()E X =

11、随机变量~B(10,0.3)X ，则{}P X k == ，()E X =

12、已知~(1,5)X U ，则随机变量X 的概率密度为 ，E (X )= .

13、已知随机变量,X Y 相互独立，且2~(3,2),~(4,16),X N Y U 则()_____.E XY =(2)_______.D X Y -=

14、设随机变量

X ，Y 相互独立，且

~(10,0.6)X B ，~(3)Y P ，则

()2________.E X Y -=()2_______.

D X Y -= 15、设12,,n X X X 来自正态分布2(,)N μσ的样本，则2σ的点估计量为 . 16、设12,,n X X X 来自正态分布2(,)N μσ的样本，则μ的点估计量为 .

17、设总体21216(2),,,X

N X X X ，4是来自该总体的样本，则 ()=_____.E X

X -1 0 1 P c 0.4 c X 0 1 2 P

1c 2c c 3

18、设总体21216(2),,,X

N X X X ，4是来自该总体的样本，则 ()=_____.D X

19、设12,,n X X X 来自正态总体2(,)N μσ的样本，~X S

n

μ- .

20、设12,,n X X X 来自正态总体2(,)N μσ的样本，~______.X n

μ

σ-

21、设12,,

n X X X 来自正态总体2(,)N μσ的样本，

2

2

(1)~________n S σ

-

22、设随机变量X 的概率密度为

2,01()0,x x f x <

?其它

，令Y 表示对X 的三次独立重复试验观测中事件}2

1

{≤X 发生的次数，则{2}P Y ==

二、计算

1、市场上供应的某种商品由甲厂、乙厂、及丙厂生产，甲厂占40%，乙厂占30%，丙厂占30%，甲厂的正品率为80%，乙厂的正品率为70%，丙厂的正品率为90%，求： （1）从市场上任买一件这种商品是正品的概率； （2）从市场上已买一件正品是甲厂生产的概率；

2、某厂有三个组生产同一种鞋子,各组产品分别占总产量的25%、35%、40%，各组生产的鞋子的不合格率分别是4%、5%、和2%，三组生产的鞋子放在一起，从中任取一双，（1）求取到不合格鞋子的概率；（2）若取到的是一双不合格的鞋子，问它是由第一组生产的可能有多大？

3、某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%,各厂的产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件，

（1）求取到的是次品的概率；

（2）经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率。

4、三人向同一目标射击，击中率分别为111

643

、、，如果三人各射击一次，求目标被击中的概率。

5、加工某一零件，共需三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为20%、10%、15%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。

6、甲、乙、丙三人向同一目标射击，命中率分别为0.6、0.5、0.7，求： （1）甲、乙、丙三人均击中目标的概率；（2）目标被击中的概率。

7、口袋里装有3个黑球与2个白球，任取3个球，求

（1）取到白球个数X 的概率分布；（2）3

(1)2

P X -≤≤；（3）()E X ；（4）()D X .

8．某小组3名男生与2名女生，任选3人去参观，设X 表示所选的男生数，则 （1）X 的概率分布。（2）(11)P X -≤≤（3）()E X (4)()D X 。

9、袋中有5个红球3个白球，由其中任取3个，X 表示取到3个球中白球的个数。求（1）X 的

概率分布 （2）概率1

()2

P X ≤ （3）数学期望()E X (4)()D X 。

10．设随机变量X 的概率密度为,

02;()0,.

x x f x c

?≤≤?=???其他

试求：（1）常数c ；（2）(1)P X ≤（3）()E X ;（4）()D X

11、设某随机变量X 的密度函数为()???≤≤=其它,

010,2x ax x f

(1) 求常数a ; (2) 求112P X ?

?-≤≤???

? （3）)(X E ; (4)()D X .

12、已知随机变量X 的概率密度为?

??<<=其他,01

0,)(x cx x f

求：（1）常数c ；（2）12P X ?

?≤????

；（3）)(X E ; (4)()D X .

13、在总体21216(10,2),,

X N X X X ，为总体的样本，X 为样本均值，求{}1011P X ≤≤.

14.已知总体X 服从正态分布~(50,28)X N ，127,,,X X X 是总体X 的一个样本，X 为样本均值，

求概率(52)P X <。

15.已知总体X 服从正态分布()2,15N ，821,,,X X X 是总体X 的一个样本，X 为样本均值，求概率

{}

16≥X P 。

16.已知总体2~(,0.3)X N μ，测得一组样本观测值

12.6 13.4 12.8 13.2

试求总体均值μ的0.95的置信区间。(1.96)0.975(1.65)0.95(1.28)0.9Φ=Φ=Φ=，，

17已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为（单位：cm ）

115 120 131 115 109 115 115 105 110

假设标准差=7cm σ，置信度为95%，试求总体均值μ的置信区间.((1.96)0.975(1.65)0.95(1.28)0.9Φ=Φ=Φ=，，)

18、某正态总体的标准差=3cm σ，从中抽取40个个体，其样本平均值642x cm =，试给出总体期望值μ的95%的置信区间。((1.96)0.975(1.65)0.95(1.28)0.9Φ=Φ=Φ=，，)

19某药厂生产一种抗菌素，已知在正常情况下，每瓶抗菌素的某项主要指标，服从均值为23.0的正态分布。某日开工后，测得5瓶的数据经过计算得：21.8x =，0.3674s =。问改日生产是否正常。(0.05)α= （0.0250.0250.050.05(4) 2.7764,(5) 2.5706,(4) 2.1318,(5) 2.0150t t t t ====）

20、某工厂采用自动包装机分装产品,假定每包产品的重量服从正态分布,每包标准重量为1000克，某日随机抽查9包，测得样本平均重量为986克，样本标准差是24克.试问在=0.05α的显著性水平下, 能否认为这天自动包装机工作正常?（0.0250.0250.050.05(9) 2.2622,(8) 2.306,(9) 1.8331,(8) 1.8595t t t t ====）

21、某工厂生产的某种零件直径X mm （）服从正态分布2(,)N μσ，其中2σ未知，现从某日生产的零件中抽取16只，经计算22,0.12,x mm s mm == 能否认为该日生产的零件直径均值μ为21mm ？=0.05α（）

（0.0250.0250.050.05(16) 2.1199,(15) 2.1315,(15) 1.7531,(16) 1.7459t t t t ====）

概率知识点总结

概率知识点总结 随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。 随机试验：对随机现象进行的观察或实验统称为随机试验。 样本点：随机试验的每个可能出现的实验结果称为这个试验的一个样本 样本空间：所有样本点组成的集合称为这个试验的样本空间。 随机事件：如果在每次试验的结果中，某事件可能发生，也可能不发生， 则这一事件称为随机事件。 &必然事件：某事件一定发生，则为必然事件。 9、不可能事件：某事件一定不发生，则为不可能事件。 10、基本事件：有单个样本点构成的集合称为基本事件。 11、任一随机事件都是样本空间的一个子集，该子集中任一样本点发生, 则该事件发生。利用集合论之间的关系和运算研究事件之间的关系和运算。 事件的包含A 互不相容事件（互斥事件） AI B 1、 确定性现象：在一定条件下必然出现的现象。 2、 3、 概率论：是研究随机现象统计规律的科学。 4、 5、 占 八 6、 7、 事件的并（和） AUB 事件的交（积） AI B 事件的差A B A A B A B

(7)完备事件组：事件A,A 2,L ,A n 两两互不相容，且AUAUL U A n (8)事件之间的运算规律：交换律、结合律、分配率、 De Morgan 定理 12、概率 P( ) 1 , P( ) 0 如果 A I ,A 2,L ,A n 两两互不相容，则 P (AUAUL U A n ) P (A i ) P(A 2)L P (AJ 如果A,B 是任意两个随机事件，则P(A B) P(A) P(AB) P (AUB) P(A) P (B) P (AB) n P(A)P(A j )P(A k ) L ( 1)n1 P(A ,A 2L A n ) 1 i j k n 12、古典概型 每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间是有限集 每次试验中，每一个结果发生的可能性相同 P(A) A 包含的基本事件数 I 丿试验的基本事件总数 13、条件概率：P HB)篇为事件B 发生的条件下’事件A 发生的条件 概率 力口法公式：P (AUB) P (A) P (B) P (AB)，若 A, B 互斥，贝 Jp( AUB) P (A) P(B) (6)对立事件(互逆事件) AUB AI B ，记 B A 如果 B A ，贝J P(A B) P(A) P(B) P (AUBUC) P (A) P (B) P(C) P (AB) P (AC) P (BC) P (ABC) n P(A 1 UAUL U AJ P(A) i 1 1 i j P(A) P(A j )

概率世界

概率世界 事物是所有存在中我们能够测量或感知的表现出来的特性，还有些存在的未知部分是我们至今未知的。 事物的本质是概率，世界的一切是随机概率构成的复杂体。所有事物的存在，发展，都是由小概率构成的，并由这些数量巨大的小概率构成一个运动方向或发展趋势，达到一定的复杂程度后，事物便有了一定的相对稳定的特性和状态，在一定时空状态下，表现出一定的存在方式。其实，这个空间状态也是由各个事物共同构成的，所有的事物对于我们研究的某个特定事物来说就是所研究特定事物的存在环境和外在条件。而概率形成的一个方向则表现为某种方向和方式的能量。事物运动状态的变化总是伴随着能量的变化，其原因是概率束的方向或概率子能量发生了变化。各概率子之间并没有必然联系，概率束的形成都是随机发生的，是微小概率的一个结果，如果可以从新演绎这个过程，在外部一切条件不存在的条件下，每次概率演变的结果几乎都不一样，然而我们现实生活中经常出现周期重复性事件的发生，这是由于外在条件的结果，各事物之间互为条件或环境。在一个事物状态形成之前，由于随机概率性，并不能超前确定会形成怎样一种结果或状态，虽然这个结果状态在产生之前确定，但在事物总会达到某一状态，然后再在此状态基础上，在内部微小概率子的作用下向前演变发展，当然，这个状态只是相对稳定而绝对不稳定的，在演变过程中也可能返回过去发生过的某一状态（好像回到了过去），这样事件的发生便有了重复的可能。从某种意义上说，已经发生、存在了的就是相对确定的，概率为1，没有发生会准备发生的则是不确定的。一切事物在绝对意义上都是不稳定的，都在不确定概率下向前演变。 现代物理学认为速度变大，时间将变慢。本人认为时间是不存在的，只是存在于人们头脑中的一个概念，试图用其来标度事物发展的方向，因为直观上看有很多重复现象，也因此才有了周期，但这都是条件概率导致的，根本原因是事物之间的普遍联系，互为变化发展的外在条件，作为外在条件的事物有了引导该事物向前发展方向的能力。关于物体大小，质量的关系，在《新宇宙观》中有表述。现在物理学正把我们引入一个误区里，我们在其中迷失，我们需要从一个新的视角研究世界。经典的绝对时间观认为没有运动就无法察觉时间，没有物质运动的周期性和均匀性就无法计量时间，这是一种典型的用自己证明自己的过程，细想

复习课概率教案

《走进概率》复习教案 第一课 一、复习目标 【知识目标】 1、回顾本章内容，用所学的概率知识去解决某些现实问题，再自我归纳和总结实验频率与理论概率的关系。 2、能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率，能用试验或 模拟试验的方法，估计一些复杂的随机事件发生的概率。 【能力目标】 学会与人合作，进一步发展学生合作交流的意识和能力。 【情感态度价值观】 形成解决问题的一些策略，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新精神。 二、复习重、难点 【重点】运用列举法计算简单事件发生的概率 【难点】用所学的概率知识去解决某些现实问题，理解实验频率和 理论概率的关系。 三、复习过程 知识指导与梳理：

用频率估计概率 （一）知识回顾 1、什么是必然事件，不可能事件，随机事件 （以问答的方式完成） 在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。 在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。 【活动】（1）你能举出一些 必然事件、不可能事件、随机事件吗 （2）你能说出几个与必然事件、随机事件、不可能 事件 相联系的成语吗 必然事件： 种瓜得瓜，种豆得豆。 随机事件： 海市蜃楼，守株待兔。 不可能事件: 画饼充饥，拔苗助长。 归纳：必然事件的概率是 1 ,不可能事件的概率是0,随机 概 率

事件的概率是0-1 。 2、我们是如何求随机事件的概率的 ★用列举法求概率 如何用列举法求概率在什么条件下适用P(A) = M/N得到事件的概率 ※当事件要经过一步完成时列举出所有可能情况，用列举法。 ※当事件要经过两步完成时用列表法。 ※当事件要经过三步及三步以上或取出不放回去时用树形图法。 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率为:P (A)= M/N 【应用举例】 列举法： 1、求下列事件的概率。 (1)太阳从东边升起。 (2)掷一枚硬币正面朝上的概率。 (3)在四选一的选择题中正确答案的概率。 (4)一个骰子掷出7点的概率是—。 2、一副扑克除大王外共52张，在看不见牌的情况下，随机抽一张，是黑桃的概率是__ 4 _ 3、一个口袋中装有4个红球，3个白球，2个黑球，除颜色外其他都相

概率复习题

第一章复习题解答 1. 某科技馆在某一星期里（7天）曾接待过3位专家来访.求这3位专家在同一天来访的概率. 解：A=“三位专家同一天来访”，则17 3()0.02047 C P A ==。 2.设B A ,是两随机事件，且()0.3,P A B -= （1）若B A ,互不相容，求()P A ； （2）若B A ,独立，1.0)(=B P ,求()P A ； （3）若(|)0.4P B A =，求()P A ； （4）若()0.7P A B ?=，求)(B P . 解：（1）()()()P A B P A P AB -=- ; 因为B A 、互不相容，所以()0P AB =，()()0.3P A P A B =-= （2）因为B A ,独立，所以)()()(B P A P AB P =. ) (9.01.0)()()()()()()()(3.0A P A P A P B P A P A P AB P A P B A P =?-=-=-=-=所以，.3 1 )(= A P （3）()() 0.4(|)()() P AB P A B P B A P A P A -== = ()0.3()0.750.40.4 P A B P A -= == （4）0.7()()()()()P A B P B P AB P B P A B =+=+=+- ()0.7()0.70.30.4P B P A B =--=-= 3.设某地区成年居民中肥胖者占10%, 不胖不瘦者占82%, 瘦者占8%, 又知肥胖者患高血压的概率为20%, 不胖不瘦者患高血压病的概率为10%, 瘦者患高血压病的概率为5%. （1）求该地区居民患高血压病的概率；

销售成功的平均概率法则

销售平均法则”——给它的定义是“拜访的客户越多，成交的比率越大”。理解一下：据一位销售人员电话拜访实际记录，电话拜访100位客户他获约客户为36人，那么成功比率为36%;拜访次数200位客户他获约客户为89人，那么成功比率为44.5%;拜访次数500位客户他获约客户为285人，那么成功比率为57%。 在学习、在成长过程中，我们会发现自己知道的越来越多，但却也发现并不一定能力会越来越强，至少表现得不一定会更加的好，业绩也不一定会更有色。这就是成人学习与成长的知、行、信。我们知道了很多很多的知识，但却没有去使用它，让它为你产生效益，所以就叫“没用”;或者用了一段时间以后就扔了，叫做“不灵”了;从此不在相信它了，叫做“遗忘”。 那么，今天要提到的这个法则，仍然没有什么特别的。因为笔者从知道到应用，再到深信，再到运用升华，再到深信，使自己获益巨大。它伴随我从销售到销售管理生涯一直十余年。不仅如此，我的团队、我的同行、学生和我一样，都悟出了心态、用出了业绩。今天推荐给更多的同仁，很想提示一下：你可以怀疑，但不要轻视。因为怀疑你会去深入，而轻视则会丢置! 很早的时候，一些销售大师就发现了这个销售规律，那就是“销售平均法则”——给它的定义是“拜访的客户越多，成交的比率越大”。理解一下：据一位销售人员电话拜访实际记录，电话拜访100位客户他获约客户为36人，那么成功比率为36%;拜访次数200位客户他获约客户为89人，那么成功比率为44.5%;拜访次数500位客户他获约客户为285人，那么成功比率为57%。你会发现，同样的一个人，销售成交的比率却能提升。反过来，“拜访的客户越少，成交的比率越小”，同样是你，销售成交的比率却在降低。 从上述定义中，我们可以延伸出第一个实用意义。无论你的销售能力是多好多差，你都可以完成你想要的目标，只是付出的程度不同罢了;再就是你愿不愿付出和能不能付出事情了。拿笔者举例，在刚“出道”时，销售技巧肯定差极了，经常因为不自信的表情和动作把客户“吓跑”，用成交率来衡量是极低的。 一次，团队定目标时，主管说:你是退伍军人，是不是要多定一点?因为面子就允下了，甚至和老前辈相近持平。而销售水平的差别就是：他们访问100位客户可以成交客户18位，我访问100位客户可以成交客户只能是7位。一起入公司的新伙伴问我是不是在当地有关系或有亲戚，我开玩笑说：有!我在寻找以前“失散的亲人”!所以在后来只能拼命的访问客户，在努力之下终于感动了上帝，达到了预定目标。 后来在销售分析会上居然得出了我的成交比率为15.6%，快赶上老前辈们了。当然，先不要看我的业绩，就我的客户拜访量就已经居全公司首位了!所以当我们销售的质量(包括技巧、条件)即使是在一定的水平下，要想达到更高的目标，完全是有理可循的。不要说太难了或者自己还不行，其实是你不愿意达到那个目标或者是觉得这个目标不值得自己付出而已!后来,知道了平均法则的定义，我就将自己的每一次突破记录下来分析。列出当前的销售成交率(销售水平)，再根据自己要突破的目标，根据比例制定拜访总量，分解为每天的量来完成。就

概率知识点总结及题型汇总-统计概率知识点总结

概率知识点总结及题型汇总 一、确定事件：包括必然事件和不可能事件 1、在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%；如：从一包红球中，随便取出一个球，一定是红球。 2、在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。不可能事件是指一定不能发生的事件，或者说发生的可能性是0，如：太阳从西边出来。这是不可能事件。 3、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0 二、随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．一个随机事件发生的可能性的大小用概率来表示。 三、例题：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不可能事件，哪些是确定事件？ ①一个玻璃杯从一座高楼的第10层楼落到水泥地面上会摔破； ②明天太阳从西方升起；③掷一枚硬币，正面朝上； ④某人买彩票，连续两次中奖；⑤今天天气不好，飞机会晚些到达． 解：必然事件是①；随机事件是③④⑤；不可能事件是②．确定事件是①② 三、概率 1、一般地，对于一个随机事件A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性 都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = m n ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．

统计概率知识点归纳总结归纳大全

统计概率知识点归纳总结大全 1.了解随机事件的发生存在着规律性与随机事件概率的意义. 2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率、 3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 4.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. 5.掌握离散型随机变量的分布列、 6.掌握离散型随机变量的期望与方差、 7.掌握抽样方法与总体分布的估计、 8.掌握正态分布与线性回归、 考点1、求等可能性事件、互斥事件与相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤: （1） 计算一次试验的基本事件总数n ; （2） 设所求事件A,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; （3） 依公式()m P A n =求值; （4） 答,即给问题一个明确的答复、 (2)互斥事件有一个发生的概率:P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例:对立事件的概率:P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1、 (3)相互独立事件同时发生的概率:P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例:独立重复试验的概率:P n (k )＝k n k k n p p C --)1(、其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式 [(1-P)+P]n 展开的第k+1项、

(4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: ① 求概率的步骤就是: 第一步,确定事件性质???????等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种、 第二步,判断事件的运算???和事件积事件 即就是至少有一个发生,还就是同时发生,分别运用相加或相乘事件、 第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -?=???+=+???=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复、 考点2离散型随机变量的分布列 1、随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示、 ②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量、 ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量、 2、离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念与性质 一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,ξ取每一个值i x (=i 1,2,……)的概率P(i x =ξ)=i P ,则称下表、

概率复习题58340

一、口袋类问题： .1一盒子中装有20个大小相同的弹子球，其中红球10个，白球6个，黄求4个，一小孩随手拿出4 个，求至少有3个红球的概率为___; 2.一个口袋中装有大小形状相同的2个白球3个黑球，现从中任取两个球，求：（1）两个球都是白球的概率；(2)两球恰好颜色不同的概率。 14.一个袋中装有分别标记着1,2,3,4,5数字的5个球。 （）从中一次取出3个球，试求3个球中最大数字为4的概率； （2）从袋中每次取出1个球，取出后放回， 连续取三次，试求取出的3个球中最大数字为4的概率。 5.盒内有大小相同9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球。规定取出1个红色球1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分。现从盒内任取3个球。（1）求取出的3个球颜色互不相同的概率；(2)求取出的3个球得分之和是正数的概率。 6.从5张100元，2张300元，2张400元的奥运预赛门票中任取3张。则所取3张中至少有2张价格相同的概率为___; 7.甲袋中装有白球3个，黑球5个，乙袋内装有白球4个，黑球6个，现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋，求甲袋中白球没有减少的概率。 7.从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P （A ）＝0.96.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p; (2)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P （B ）。 .8箱内有大小相同的6个红球和4个黑球，从中每次取1个球记下颜色后再放回箱中，则前3次恰有1次取到黑球的概率为__;{}{}472,4,10==-a a a a n n 9.在等差数列中，现从 的前项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好 为两个正数和一个负数的概率为__; {}{}7 10.1(13__; -?=??=n n n a S n n S n n 口袋内有大小相等的两个红球和一个 白球，有放回地摸取一个球，数列a 满 第次摸到红球） 足：，如果为 （第 次摸到白球）数列a 的前项和，那么的概率为

概率初步知识点总结

概率初步知识点总结 一、可能性： 1. 必然事件：有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件; 2.不可能事件：有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件; 3.确定事件：必然事件和不可能事件都是确定的; 4.不确定事件：有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。 5.一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。. 二、概率： 1.概率的意义：表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事件的概率。 2.必然事件发生的概率为1，记作P(必然事件)=1;不可能事件发生的概率为0，记作P(不可能事件)=0;如果A为不确定事件，那么0 3.一步试验事件发生的概率的计算公式是P=k/n，n为该事件所有等可能出现的结果数，k为事件包含的结果数。两步试验事件发生的概率的发生的概率的计算方法有两种，一种是列表法，另一种是画树状图，利用这两种方法计算两步实验时，应用树状图或列表将简单的两步试验所有可能的情况表示出来，从而计算随机事件的概率。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 ②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。平面直角坐标系的构成 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平

最新统计概率知识点归纳总结大全

统计概率知识点归纳总结大全 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： （1） 计算一次试验的基本事件总数n ; （2） 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; （3） 依公式()m P A n =求值; （4） 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.

概率初步章节复习

实验中学 九年级数学备课教案 课题25.2 课型新授课课时 2 教学三维目标知识与技能 1．理解随机事件的定义，概率的定义。 2．计算简单事件概率（古典概率类型）的方法，主要是列举法（包括列表法和画树形图法）。 3利用频率估计概率（试验概率）。 过程与方法： 情感、态度 与价值观： 1.积极参与活动，提高学习兴趣及求知欲。 2.养成实事求是的态度及独立思考的习惯。 教学重点 1．计算简单事件概率（古典概率类型）的方法，主要是列举法（包括列表法和画树形图法）。 2．利用频率估计概率（试验概率）。 教学难点体会随机观念和概率思想，逐步学习利用列举法分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。 教学准备多媒体 教学过程： 二次备课 二、事件的概念 1．必然事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次实验 中会发生的事件是必然事件。 2．不可能事件 在每次试验中发生的事件是不可能是事件。 3．随机事件：在一定条件下，发生的事件。

考点1.知道什么是随机事件、必然事件、不可能事件. 例1、下列事件中，是必然事件的是（ ） A.购买一张彩票中奖一百万 B.打开电视机，任选一个频道，正在播新闻 C.在地球上，上抛出去的篮球会下落 D.掷两枚质地均匀的骰子，点数之和一定大于6 变式训练（1）下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ） A 水中捞月 B 拔苗助长 C 守株待兔 D 瓮中捉鳖 解析:选D.“瓮中捉鳖”事件的发生概率为1，是一定能发生的，故此事件为必然事件 （2）下列事件是确定事件的是（ ） A 太平洋中的水常年不干 B 男生比女生高 C 计算机随机产生的两位数是偶数 D 星期天是晴天 解析 选A ，因为“太平洋中的水常年不干”是确定事件，而“B 男生比女生高 C 计算机随机产生的两位数是偶数 D 星期天是晴天”是随机事件。 考点2.对概率意义的理解. 例2.在一场足球比赛前，甲教练预言说：“根据我掌握的情况，这场比赛我们队有60％的机会获胜”意思最接近的是（ ） A.这场比赛他这个队应该会赢 B.若两个队打100场比赛，他这个队会赢60场 C.若这两个队打10场比赛，这个队一定会赢6场比赛. D.若这两个队打100场比赛，他这个队可能会赢60场左右. 变式训练：气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说法正确的是（ ） Ａ．本市明天将有80%的地区降水 Ｂ．本市明天将有80%的时间降水 Ｃ．明天肯定下雨 Ｄ．明天降水的可能性比较大 考点3.直接列举求简单事件的概率. 例3一个袋中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是（ ） 变式训练：小明家里的阳台地面，水平铺设着仅黑白颜色不同的18块方砖(如图)，他从房间里向阳台抛小皮球，小皮球最终随机停留在某块方砖上。 （1）求小皮球分别停留在黑色方砖与白色方砖上的概率； （2）上述哪个概率较大？要使这两个概率相等， 应改变第几行第几列的哪块方砖颜色？怎样改变？ 解析： 1112 (9323) A B C D

北师大版数学七年级下册6.3等可能时间的概率练习题(word无答案)

6.3等可能时间的概率练习 一、选择题 1．某地气象局预报称：明天A地区降水概率为80%，这句话指的是（） A．明天A地区80%的时间都下雨 B．明天A地区的降雨量是同期的80% C．明天A地区80%的地方都下雨 D．明天A地区下雨的可能性是80% 2．在相同条件下重复试验，若事件A发生的概率是，下列陈述中，正确的是（）A．事件A发生的频率是 B．反复大量做这种试验，事件A只发生了7次 C．做100次这种试验，事件A一定发生7次 D．做100次这种试验，事件A可能发生7次 3．必然事件的概率是（） A．0 B．0.5 C．1 D．不能确定 4．袋中有3个红球，4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是（） A．B．C．D． 5．在九张质地都相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，在看不到数字的情况下，从中任意抽取一张卡片，则抽到的数字是奇数的概率是（）A．B．C．D． 6．在配紫色游戏中，转盘被平均分成“红”、“黄”、“蓝”、“白”四部分，转动转盘两次，配成紫色的概率为（）

A．B．C．D． 7．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“陕”、“西”、“美”、“丽”的4个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，小航从中任取两球，则取出的两个球上的汉字恰能组成“陕西”或“美丽”的概率是（） A．B．C．D． 8．两个不透明的袋中都各装有一个红球和一个黄球两个球，它们除了颜色外都相同．现随机从两个袋中各摸出一个球，两个球的颜色是一红一黄的概率是（）A．B．C．D． 9．有一个质地均匀的骰子，6个面上分别写有1，1，2，2，3，3这6个数字．连续投掷两次，第一次向上一面的数字作为十位数字，第二次向上一面的数字作为个位数字，这个两位数是奇数的概率为（） A．B．C．D． 10．现有4条线段，长度依次是1，2，3，4，从中任选3条，能组成三角形的概率是（）A．B．C．D．1 11．现有规格接近的三把钥匙和相应的三把锁，能一次性打开三把锁的概率是（）A．B．C．D． 二、填空题 12．在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则n＝． 13．某同学遇到一道不会做的选择题，在四个选项中有且只有一个是正确的，则他选对的概率是． 14．小明掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，得到的点

认识概率知识讲解

认识概率知识讲解 LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】

认识概率--知识讲解 【学习目标】 1.通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确的判断； 2.理解概率的定义，通过具体情境了解概率的意义； 3.理解频率与概率的关系，能利用频率与概率的关系解决实际问题. 【要点梳理】 要点一、确定事件与随机事件 1.不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． 2.必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 3.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 要点诠释： （1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型. （2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 要点二、频率与概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率.

事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即， 其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存 在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附 近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的 稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率 m 会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事 n 件发生的频率作为其概率的估计值. 要点诠释： ①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； ③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 【典型例题】 类型一、确定事件与随机事件 1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件哪些是必然事件哪些是随机事件

概率的知识归纳与题型总结

概率的知识归纳与题型总结 一、概率知识点框架图 二、考试内容分析 概率重点考查的内容是利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；。 应用概率知识要解决的题型主要是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值得概率及期望、方差的求解计算； 三、题型分类、 考点1 考查等可能 ．．．事件概率计算 在一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A包含的结果有m个，那么 ()m P A n =。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。求解等可能性事件的概率时，先确定本事件包含的有利事件数和本试验的基本事件总数，然后代入概率公式即可. 常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。 例1：(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理) 某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目。测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．

（I ）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；（1 10 P = ） （II ）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望ξE . （35 E ξ= ） 练习：A 、B 两点之间有6条网线并联，他们能通过的信息量分别为1，1，2，2，3，3。先从中任取三条网线，设可通过的信息量为ξ，当可通过的信息量6≥ξ时，则保证信息畅通。 （1）求线路信息畅通的概率；（0.7P =） （2）求线路可通过信息量的数学期望.(6E ξ=) 考点2 互斥事件有一个发生的概率 不可能同时发生．．．．的两个事件 A B 、叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A B +，用概率的加法公式 ()()()P A B P A P B +=+计算。事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响．．．． ，则A B 、叫做相互独立事件，它们同时发生．．．． 的事件为B A ?。用概率的法公式()()()B P A P B A P ?=?计算。考试常结合考试竞赛、工作 等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。 必有一个发生．．．．．．的两个互斥事件A 、B 叫做互为对立事件。即A B =或B A =。至少、至多问题常使用“正难则反．．．． ”的策略求解.用概率的减法公式()1(A)P A P =-计算其概率。考试中常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识 别及其概率计算进行考查。 例2 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 1 6 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 （Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；(125 216 P = ) （Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. (2527 P =)

概率复习题-答案

<概率论>试题 一、填空题 1．设A、B、C是三个随机事件。试用A、B、C分别表示事件 1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生 3）A、B、C不多于一个发生 2．设A、B为随机事件，，，。则 ＝ 3．若事件A和事件B相互独立, ，则 4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量分布律为则 A=______________ 7. 已知随机变量X的密度为,且,则 ________ ________ 8. 设～,且,则_________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是 11.设，，则

12.用（）的联合分布函数F（x,y）表示 13.用（）的联合分布函数F（x,y）表示 14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。 15.已知，则＝ 16.设，且与相互独立，则 17.设的概率密度为，则 ＝ 18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N （0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）= 19.设，则 20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充 分大时,近似有～或～。特别是， 当同为正态分布时，对于任意的，都精确有～或 ～. 21.设是独立同分布的随机变量序列,且， 那么依概率收敛于.

统计和概率知识点总结

数据的收集、整理与描述 1、全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2、抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3、总体：要考察的全体对象称为总体。 4、个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。 5、样本：被抽取的所有个体组成一个样本。 6、样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。 7、样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 8、总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。 9、频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 10、频率：频数与数据总数的比为频率。 11、组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。 数据的分析 1、平均数：一般地，如果有n 个数 ,,,,21n x x x 那么，)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。 2、加权平均数：如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次 （这里n f f f k =++ 21）。那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为 n f x f x f x x k k ++=2211，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21 叫做权。 3、中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 4、众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode ）。 5、极差：组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。 6、在一组数据,,,,21n x x x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，

统计概率知识点归纳总结大全

统计概率知识点归纳总结大全 1?了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. 2?了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率? 3?了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 4.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. 5.掌握离散型随机变量的分布列. 6?掌握离散型随机变量的期望与方差. 7.掌握抽样方法与总体分布的估计. &掌握正态分布与线性回归. 考点1.求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识： (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A) = card(耳=m; card (I) n 等可能事件概率的计算步骤： (1)计算一次试验的基本事件总数n; (2)设所求事件A,并计算事件A包含的基本事件的个数m； (3)依公式p(A) 求值； n (4)答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A+ B) = P(A)+ P(B); 特例：对立事件的概率：P(A) + P(A) = P(A + A) = 1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ? B)= P(A) ? P(B); 特例：独立重复试验的概率：P n(k) = c；；p k(1_p)2.其中P为事件A在一次试验中发

生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ①求概率的步骤是: 第一步，确定事件性质'等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种 第二步，判断事件的运算和事件 积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件 第三步，运用公式 等可能事件：P(A)=m i n 互斥事件：P(A ::B) =P(A) ：：?P(B) 独立事件：P(A B)=P(A)，P(B) n次独立重复试验：P n(k)=C：p k(1 _p)n± 求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复 考点2离散型随机变量的分布列 1?随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母E、n等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量? 2?离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量?可能取的值为花,X2，”，x i，”，?取每一个值N (i =1 , 2,,,)的概率P (二xj =R，贝V称下表?