【步步高】(浙江专用)2017年高考数学 专题四 平面向量 阶段滚动
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一、选择题
1.“φ=π”是“曲线y =sin(2x +φ)过坐标原点”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
2.(2015·云南昆明、玉溪统考)下列函数中,在其定义域内既是偶函数又在(-∞,0)上单调递增的函数是( ) A .f (x )=x 2
B .f (x )=2|x |
C .f (x )=log 21|x |
D .f (x )=sin x
3.已知函数y =f (x )的图象关于x =1对称,且在(1,+∞)上单调递增,设a =f (-1
2),b
=f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c
4.已知函数f (x )=
1
ln(x +1)-x
,则y =f (x )的图象大致为( )
5.(2015·内江期末)已知f (x )=???
?
?
(1-2a )x +3a ,x <1,ln x ,x ≥1
的值域为R ,那么a 的取值范围
是( ) A .(-∞,-1] B .(-1,1
2)
C .[-1,1
2
)
D .(0,1
2
)
6.已知α是第四象限角,sin(5π2+α)=1
5
,那么tan α等于( )
A .-265
B .-2 6
C .2 6 D.265
7.已知函数f (x )=3sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R .在曲线y =f (x )与直线y =1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π
3,则f (x )的最小正周期为( )
A.π2
B.2π
3
C .π
D .2π 8.函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π
2)的部分图象如图
所示,为了得到g (x )=cos 2x 的图象,则只要将f (x )的图象( ) A .向右平移π
6个单位长度
B .向右平移π
3个单位长度
C .向左平移π
3个单位长度
D .向左平移π
6个单位长度
二、填空题
9.函数f (x )=ax +1-2a 的区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a 的取值范围是________. 10.函数f (x )=log 2x ·log 2(2x )的最小值为________.
11.已知角α终边上的一点P (-4,3),则cos(π
2
+α)sin(-π-α)
cos(11π2-α)sin(9π2+α)
的值为________.
12.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BC =3BE ,DC =λDF ,若AE →·AF →
=1,则λ的值为________.
13.规定记号“?”表示一种运算,即a ?b =ab +a +b (a ,b 为非负实数),若1?k =3,则k 的值为________;函数f (x )=k ?x 的值域为________.
14.(2015·甘肃天水秦安第二中学第五次检测)已知关于x 的方程x 2
+(a +1)x +a +2b +1=0的两个实根分别为x 1,x 2,且0
的取值范围是__________________. 15.若△ABC 的内角满足sin A +2sin B =2sin C ,则cos C 的最小值是________. 三、解答题
16.已知函数f (x )=x 2
-4ax +2a +6(a ∈R ). (1)若函数的值域为[0,+∞),求a 的值;
(2)若函数的值域为非负数,求函数g (a )=2-a |a +3|的值域.
17.(2015·菏泽期中)已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为R (x )万元,且R (x )=?????
10.8-1
30
x 2(0 3x 2 (x >10). (1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本) 18.设函数f (x )= 22cos(2x +π4 )+sin 2 x . (1)求f (x )的最小正周期; (2)设函数g (x )对任意x ∈R ,有g (x +π2)=g (x ),且当x ∈[0,π2]时,g (x )=1 2 -f (x ),求 g (x )在区间(-π,0]上的解析式. 19.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a ≠b ,c =3,cos 2 A -cos 2 B =3sin A cos A -3sin B cos B . (1)求角 C 的大小; (2)若sin A =4 5,求△ABC 的面积. 20.已知向量a=(sin x,3 4 ),b=(cos x,-1). (1)当a∥b时,求cos2x-sin 2x的值; (2)设函数f(x)=2(a+b)·b,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a =3,b=2,sin B= 6 3 ,求f(x)+4cos(2A+ π 6 )(x∈[0, π 3 ])的取值范围. 答案解析 1.A [当φ=π时,y =sin(2x +π)=-sin 2x , 此时曲线过坐标原点;但曲线y =sin(2x +φ)过坐标原点时,φ=k π(k ∈Z ), ∴“φ=π”是“曲线y =sin(2x +φ)过坐标原点”的充分而不必要条件,故选A.] 2.C [函数f (x )=x 2 是偶函数,但在区间(-∞,0)上单调递减,不合题意;函数f (x )=2 |x | 是偶函数,但在区间(-∞,0)上单调递减,不合题意;函数f (x )=log 21 |x |是偶函数,且在 区间(-∞,0)上单调递增,符合题意;函数f (x )=sin x 是奇函数,不合题意.故选C.] 3.B [∵函数图象关于x =1对称, ∴a =f (-12)=f (5 2 ), 又y =f (x )在(1,+∞)上单调递增, ∴f (2) 2 ) 4.B [(特殊值检验法)当x =0时,函数无意义,排除选项D 中的图象, 当x =1 e -1时, f (1e -1)= 1 ln(1e -1+1)-(1e -1)=-e<0, 排除选项A 、C 中的图象,故只能是选项B 中的图象.] 5.C [要使函数f (x )的值域为R , 只需??? ?? 1-2a >0, ln 1≤1-2a +3a , ∴????? a <12, a ≥-1, ∴-1≤a <1 2 ,故选C.] 6.B [sin(5π2+α)=sin(2π+π 2+α) =sin(π2+α)=cos α=1 5, 因α是第四象限角,所以sin α<0, 则sin α=-1-cos 2 α=-265 , tan α=sin α cos α=-26,故选B.] 7.C [因为f (x )=2sin(ωx +π 6), 所以由f (x )=2sin(ωx +π 6 )=1得 ωx +π6=π6+2k π或ωx +π6=5π 6+2m π(m ,k ∈Z ), 所以由相邻交点距离的最小值为π3 得 ω·π3=5π6-π6,ω=2,T =2π ω =π.选C.] 8.D [由图象可知A =1,T =4×(2π3-5π12)=π 4×4=π, 于是ω=2,f (x )=sin(2x +φ), 而图象经过点(5π12,0),又|φ|<π 2, 因此5π6+φ=π,得φ=π 6, 即f (x )=sin(2x +π 6). 又g (x )=cos 2x =sin(2x +π2)=sin[2(x +π6)+π 6], 所以将f (x )的图象向左平移π 6 个单位即可得到g (x )的图象.] 9.(1 3 ,1) 解析 当a =0时,函数f (x )=1在(-1,1)上没有零点,所以a ≠0. 根据零点存在性定理可得f (-1)f (1)<0, 即(-3a +1)·(1-a )<0, 所以(a -1)(3a -1)<0,解得1 3 所以实数a 的取值范围是(1 3,1). 10.-14 解析 显然x >0, ∴f (x )=log 2x ·log 2(2x ) =12log 2x ·log 2(4x 2) =1 2log 2x ·(log 24+2log 2x ) =log 2x +(log 2x )2 =(log 2x +12)2-14≥-1 4. 当且仅当x =22时,f (x )min =-14 . 11.-3 4 解析 cos(π 2+α)sin(-π-α) cos(11π2-α)sin(9π2 +α) =-sin α·sin α -sin α·cos α=tan α. 根据三角函数的定义,可知tan α=y x =-3 4 , 所以cos(π 2+α)sin(-π-α) cos(11π2-α)sin(9π2+α) =tan α=-3 4. 12.2 解析 如图,AE →=AB →+BE →=AB →+13BC → , AF →=AD →+DF →=AD →+1λDC →=BC →+1λAB →, 所以AE →·AF →=(AB →+13BC →)·(BC →+1λAB → ) =(1+13λ)AB →·BC →+1λAB →2+13 BC →2 =(1+13λ)×2×2×cos 120°+4λ+4 3=1,解得λ=2. 13.1 [1,+∞) 解析 ∵a ?b =ab +a +b (a ,b 为非负实数), ∴1?k =k +1+k =3(k 为非负实数),解得k =1. 函数f (x )=k ?x =1?x =x +1+x , 设f 1(x )=x ,则f 1(x )在[0,+∞)上为增函数. 设f 2(x )=x +1,则f 2(x )在[0,+∞)上也为增函数. 由此可得f (0)=1为f (x )的最小值, 所以f (x )=x +1+x 的值域为[1,+∞). 14.(-1,-1 4 ) 解析 由方程x 2 +(a +1)x +a +2b +1=0的二次项系数为1>0,故函数f (x )=x 2 +(a +1)x +a +2b +1的图象开口方向向上.又∵方程x 2 +(a +1)x +a +2b +1=0的两根满足0 x 2>1,则??? ? ? f (0)>0,f (1)<0, 即???? ? a +2 b +1>0,2a +2b +3<0, 其对应的平面区域如下图中阴影部分: b a 表示阴影区域上一点与原点连线的斜率,由图可知b a ∈(-1,-1 4 ). 15. 6-2 4 解析 由已知sin A +2sin B =2sin C 及正弦定理可得a +2b =2c . cos C = a 2+ b 2-c 2 2ab =a 2+b 2-(a +2b 2) 2 2ab =3a 2 +2b 2 -22ab 8ab ≥26ab -22ab 8ab =6-2 4, 当且仅当3a 2 =2b 2 即a b = 23 时等号成立. 16.解 (1)∵函数的值域为[0,+∞), ∴Δ=16a 2 -4(2a +6)=0, ∴2a 2 -a -3=0, ∴a =-1或a =3 2 . (2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负. ∴Δ=16a 2 -4(2a +6)=8(2a 2 -a -3)≤0. ∴-1≤a ≤3 2. ∴a +3>0, ∴g (a )=2-a |a +3|=-a 2 -3a +2 =-(a +32)2+174(a ∈[-1,3 2]). ∵二次函数g (a )在[-1,3 2]上单调递减, ∴g (3 2)≤g (a )≤g (-1), 即-19 4 ≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为[-19 4,4]. 17.解 (1)当0 W =xR (x )-(10+2.7x )=8.1x -x 3 30 -10; 当x >10时,W =xR (x )-(10+2.7x ) =98-1 0003x -2.7x . ∴W =????? 8.1x -x 3 30-10(0 3x -2.7x (x >10). (2)①当0 10=0,得x =9, 可知当x ∈(0,9)时,W ′>0,当x ∈(9,10]时,W ′<0, ∴当x =9时,W 取极大值,即最大值, 且W max =8.1×9-130 ×93 -10=38.6. ②当x >10时,W =98-(1 000 3x +2.7x )≤98-2 1 000 3x ·2.7x =38, 当且仅当1 0003x =2.7x ,即x =100 9 时,W =38, 故当x =100 9时,W 取最大值38(当1 000x 取整数时,W 一定小于38). 综合①②知,当x =9时,W 取最大值, 故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大. 18.解 (1)f (x )= 22cos(2x +π4 )+sin 2x = 22(cos 2x cos π4-sin 2x sin π4)+1-cos 2x 2 =12-1 2 sin 2x . 故f (x )的最小正周期为π. (2)当x ∈[0,π2]时,g (x )=12-f (x )=1 2sin 2x , 故①当x ∈[-π2,0]时,x +π2∈[0,π 2], 由于对任意x ∈R ,g (x +π 2)=g (x ), 从而g (x )=g (x +π2)=12sin[2(x +π 2)] =12sin(π+2x )=-1 2 sin 2x . ②当x ∈(-π,-π2)时,x +π∈(0,π 2 ),从而 g (x )=g (x +π)=12sin[2(x +π)]=12 sin 2x . 综合①②得g (x )在(-π,0]上的解析式为 g (x )=????? 12sin 2x ,x ∈(-π,-π2 ),-12sin 2x ,x ∈[-π 2 ,0]. 19.解 (1)由题意得 1+cos 2A 2-1+cos 2B 2=32sin 2A -32sin 2B , 即 32sin 2A -12cos 2A =32sin 2B -1 2 cos 2B , sin(2A -π6)=sin(2B -π 6). 由a ≠b ,得A ≠B . 又A +B ∈(0,π),得2A - π6+2B -π 6 =π, 即A +B =2π3,所以C =π 3 . (2)由c =3,sin A =45,a sin A =c sin C ,得a =8 5 . 由a 5 , 故sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =4+33 10, 所以△ABC 的面积为S =12ac sin B =83+18 25. 20.解 (1)∵a ∥b ,∴3 4cos x +sin x =0, ∴tan x =-3 4 . ∴cos 2 x -sin 2x =cos 2 x -2sin x cos x sin 2x +cos 2 x = 1-2tan x 1+tan 2 x =8 5 . (2)f (x )=2(a +b )·b =2sin(2x +π4)+3 2 , 由正弦定理a sin A =b sin B ,可得sin A =2 2 , 又∵A ∈(0,π),a 4 . ∴f (x )+4cos(2A +π6)=2sin(2x +π4)-1 2, ∵x ∈[0,π3],∴2x +π4∈[π4,11π 12]. ∴ 32-1≤f (x )+4cos(2A +π6)≤2-12 . 即f (x )+4cos(2A +π6)的取值范围是[32-1,2-12]. 高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ,那么 ( A ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r (辽宁3) 若向量a 与b 不共线,0≠g a b ,且?? ??? g g a a c =a -b a b ,则向量a 与c 的夹角为( D ) A .0 B . π6 C . π3 D . π2 (辽宁6) 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后,得到函数(1)2y f x =+-的图象,则向量a =( A ) A .(12)--, B .(12)-, C .(12)-, D .(12), (宁夏,海南4) 已知平面向量(11) (11)==-,,,a b ,则向量13 22 -=a b ( D ) A.(21)--, B.(21)-, C.(10)-, D.(12), (福建4) 对于向量,,a b c 和实数λ,下列命题中真命题是( B ) A .若=0g a b ,则0a =或0b = B .若λ0a =,则0λ=或=0a C .若2 2 =a b ,则=a b 或-a =b D .若g g a b =a c ,则b =c (湖北2) 将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ,a 平移,则平移后所得图象的解析式为 ( A ) A.π2cos 234x y ?? =+- ??? B.π2cos 234x y ?? =-+ ??? C.π2cos 2312x y ?? =-- ??? D.π2cos 2312x y ?? =++ ??? (湖北文9) 设(43)=,a , a 在 b 上的投影为2 ,b 在x 轴上的投影为2,且||14≤b ,则b 为( B ) A .(214), B .227? ?- ???, C .227??- ??? , D .(28), (湖南4) 设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线,则必有( A ) A .⊥a b B .∥a b C .||||=a b D .||||≠a b (湖南文2) 若O E F ,,是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( B ) A .EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B .EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C .EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D .EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r (四川7) 设A {a ,1},B {2,b },C {4,5},为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同,则a 与b 满足的关系式为 ( A ) (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a (天津10) 设两个向量22 (2cos )λλα=+-,a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ,b ,其中m λα,,为实数.若2=a b ,则 m λ 的取值范围是( A ) A.[-6,1] B.[48], C.(-6,1] D.[-1,6] (浙江7)高考数学平面向量试题汇编
2020高考数学专题复习----立体几何专题