2011届上学期“温州八校”期末数学(文科)试卷
命题学校:苍南中学 审题学校:瑞安中学
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
1.已知x x x f 2)(2-=,且{}0)(<=x f x A ,{}0)(>'=x f x B ,则B A 为( )
A .φ
B .{}10< C .{}21< D .{}2>x x 2.若0< 的是( ) A .22b a > B .b a > C . a b a 11> - D . b a 11> 3.已知α是平面,b a ,是两条不重合的直线,下列说法正确的是( ) A .“若αα⊥⊥b a b a 则,,//”是随机事件 B .“若αα//,,//b a b a 则?”是必然事件 C .“若βαγβγα⊥⊥⊥则,,”是必然事件 D .“若αα⊥=⊥b P b a a 则,, ”是不可能事件 4.若0x 是方程x x =)21 (的解,则0x 属于区间( ) A .(23 ,1) B .( 12 , 23 ) C .( 13 , 12 ) D .(0, 13 ) 5.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为( ) A .3 4 9m B . 3 3 7m C . 3 2 7m D . 3 2 9m 6.若i 为虚数单位,已知),(12R b a i i bi a ∈-+= +,则点),(b a 与圆22 2 =+y x 的关系为( ) A .在圆外 B .在圆上 C .在圆内 D .不能确定 7.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c , 设命题p :A c C b B a sin sin sin = = , 命题q : ABC ?是等边三角形,那么命题p 是命题q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件. C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 8.已知函数12++=bx ax y 在(]+∞,0单调,则b ax y +=的图象不可能... 是( ) A . B . C . D . 9.如图是网络工作者用来解释网络运作的蛇形模型:数字1出现在第一行;数字2,3出现在第二行;数字6,5,4(从左到右)出现在第三行;数字7,8,9,10出现在第四行,依此类推2011 出现在( ) A .第63行,从左到右第5个数 B .第63行,从左到右第6个数 C .第63行,从左到右第57个数 D .第63行,从左到右第58个数 10.过双曲线 )0,0(12 22 2>>=- b a b y a x 的一个焦点F 引它到渐进线的垂线,垂足为M ,延 长FM 交y 轴于E ,若ME FM 2=,则该双曲线离心率为( ) A .2 3 B . 2 6 C . 3 D .3 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。 11.右图是2010年广州亚运会跳水比赛中,八位评委为某运动员打出的分数的茎叶图,去掉 一个最高分和一个最低分后,这位运动员的平均得分为 12.已知函数? ??≤+>+=0),3(20 ,2log )(2x x f x x x f ,则=-)5(f 13.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的n 的值为 14. 甲、乙、丙、三个人按任意次序站成一排,则甲站中间的概率为 15. 从原点O 向圆03422=+-+y y x 作两条切线,切点为B A ,,则OB OA ?的值为 16.若不等式组?? ? ??≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域被直线2+=kx y 分为面积相等的两部分, 则k 的值为 17.设函数a ax x g a ax x x f 2)(,3)(2-=++-=,若不存在...R x ∈0,使得0)(0 0)(0 三、解答题:本大题共5个小题,共72分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18. (本题满分14分)已知函数x x x f cos sin 2)(+=,且()x x f x f x g sin 7)()()(+'?= (1)当?? ? ? ? ?∈2, 0πx 时,函数)(x g 的值域; (2)已知A ∠是ABC ?的最大内角,且12)(=A g ,求A ∠ 19.(本题满分14分)如图,在直角ABC ?中, BC AB C 2,90=?=∠,F E 、为线段 AB AC 、上的点,BC EF //,将AEF ?沿直线EF 翻折成EF A '?,使平面⊥'EF A 平面BCE , 且T A B A '='2,//FT 平面EC A '? (1) 问E 点在什么位置? (2) 求直线FC 与平面BC A '所成角的正弦值。 20. (本题满分14分)已知数列{}n a 满足: ),1(1111* 2 3 2 1 N n n n a a a a n ∈≥=+ +++ , (1)求2011a (2)若1+=n n n a a b ,n S 为数列{}n b 的前n 项和,存在正整数n ,使得2 1->λn S ,求实数λ 的取值范围。 21.(本题满分15分)如图,在由圆O :12 2 =+y x 和椭圆C : )1(12 2 2>=+a y a x 构成的 “眼形”结构中,已知椭圆的离心率为3 6,直线l 与圆O 相切于点M ,与椭圆C 相交于两点A , B. (1)求椭圆C 的方程; (2)是否存在直线l ,使得2 2 1OM OB OA = ?,若存在,求此时 直线l 的方程;若不存在,请说明理由. 22.(本题满分15分)已知函数3 ()||[0 2]f x x ax x a x =-+∈,, (1)当a =-1时,求函数f (x )的最大值; (2)当函数f (x )的最大值为0时,求实数a 的取值范围。 三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分) 已知函数x x x f cos sin 2)(+=,且()x x f x f x g sin 7)()()(+'?= (1)当?? ? ? ? ?∈2, 0πx 时,函数)(x g 的值域; (2)已知A ∠是ABC ?的最大内角,且12)(=A g ,求A ∠ 1 9.(本题满分14分) 如图,在直角ABC ?中,BC AB C 2,90=?=∠, F E 、为线段AB AC 、上的点,BC EF //,将AEF ?沿直线EF 翻折成EF A '?,使平面⊥'EF A 平面B C E ,且 T A B A '='2,//FT 平面EC A '? (3) 问E 点在什么位置? (4) 求直线FC 与平面BC A '所成角的正弦值。 解:取C A '的中点记为S ,连接ES 、TS ,易得ST EF //, 由平面 EFTS 平面ES EC A ='?,//FT 平面EC A '?,得//FT ES , 四边形EFTS 为平行四边形,得ST EF =,而BC ST 21=, 所以E 为AC 中点。…………7分 2 1.(本题满分15分)如图,在由圆O :12 2 =+y x 和椭圆C : )1(12 2 2>=+a y a x 构成的“眼 形”结构中,已知椭圆的离心率为3 6,直线l 与圆O 相切于点M ,与椭圆C 相交于两点A , B. (1)求椭圆C 的方程; (2)是否存在直线l ,使得2 2 1OM OB OA = ?,若存在,求此时 直线l 的方程;若不存在,请说明理由. 解:(1)解得:32 =a ,所以所求椭圆C 的方程为13 2 2 =+y x …………5分 (2)假设存在直线l ,使得2 2 1OM OB OA =? 易得当直线l 垂直于x 轴时,不符合题意,故设直线l 方程为b kx y +=, 由直线l 与圆O 相切,可得12 2 +=k b ……(1) …………7分 22.(本题满分15分)已知函数3()||[0 2]f x x ax x a x =-+∈,, (1)当a =-1时,求函数f (x )的最大值; (2)当函数f (x )的最大值为0时,求实数a 的取值范围。 解:(1)当a =-1时,3()|1|[0 2]f x x x x x =+-∈,, 当0 3 f x x x x '=-+=-+ >, 当1 ∴函数f (x )的最大值f (x )max = f (2)=10 …………6分 (2)1°当a ≤0时,f (0)=0,当0 2°当a >0时,322()f x x ax a x =-+,22 ()32(3)()f x x ax a x a x a '=--=+-, ∵0≤x ≤2 ∴3x +a >0 (i )当a ≥2时,()0f x '≤,故f (x )在[0,2]上是减函数, ∴此时f (x )max = f (0)=0,符合题设 …………11分 (ii )当0?<<<<,, 故 f (x )在[0,a ]上是减函数,在在[a ,2]上是增函数 ∴此时f (x )max =max{f (0),f (2)}=0, 又f (0)=0,∴f (2)≤0,即82|2|0a a -+≤,82(2)0a a -+≤, 2 240a a +-≥, 解之得11a a ≤--≥