2011届上学期“温州八校”期末数学（文科）试卷

命题学校：苍南中学 审题学校：瑞安中学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．已知x x x f 2)(2-=，且{}0)(<=x f x A ，{}0)(>'=x f x B ，则B A 为（ ）

A ．φ

B ．{}10<

C ．{}21<

D ．{}2>x x

2．若0<

的是（ ） A ．22b a > B ．b a > C ．

a

b

a 11>

- D ．

b

a

11>

3．已知α是平面，b a ,是两条不重合的直线，下列说法正确的是（ ）

A ．“若αα⊥⊥b a b a 则,,//”是随机事件

B ．“若αα//,,//b a b a 则?”是必然事件

C ．“若βαγβγα⊥⊥⊥则,,”是必然事件

D ．“若αα⊥=⊥b P b a a 则,, ”是不可能事件

4．若0x 是方程x x

=)21

(的解，则0x 属于区间（ ）

A ．(23

,1) B ．(

12

,

23

) C ．(

13

,

12

) D ．(0,

13

)

5．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）

A ．3

4

9m B ．

3

3

7m C ．

3

2

7m D ．

3

2

9m

6．若i 为虚数单位，已知),(12R b a i

i bi a ∈-+=

+，则点),(b a 与圆22

2

=+y x 的关系为（ ）

A ．在圆外

B ．在圆上

C ．在圆内

D ．不能确定

7．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，

设命题p ：A

c C

b B

a

sin sin sin =

=

，

命题q ： ABC ?是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件．

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

8．已知函数12++=bx ax y 在(]+∞,0单调，则b ax y +=的图象不可能．．．

是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．如图是网络工作者用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第一行；数字2,3出现在第二行；数字6,5,4（从左到右）出现在第三行；数字7,8,9,10出现在第四行，依此类推2011

出现在（ ）

A ．第63行，从左到右第5个数

B ．第63行，从左到右第6个数

C ．第63行，从左到右第57个数

D ．第63行，从左到右第58个数

10．过双曲线

)0,0(12

22

2>>=-

b a b

y a

x 的一个焦点F 引它到渐进线的垂线，垂足为M ，延

长FM 交y 轴于E ，若ME FM 2=，则该双曲线离心率为（ ）

A ．2

3 B ．

2

6 C ． 3 D ．3

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11.右图是2010年广州亚运会跳水比赛中，八位评委为某运动员打出的分数的茎叶图，去掉

一个最高分和一个最低分后，这位运动员的平均得分为 12．已知函数?

??≤+>+=0),3(20

,2log )(2x x f x x x f ，则=-)5(f

13．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的n 的值为

14. 甲、乙、丙、三个人按任意次序站成一排，则甲站中间的概率为

15. 从原点O 向圆03422=+-+y y x 作两条切线，切点为B A ,,则OB OA ?的值为 16．若不等式组??

?

??≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域被直线2+=kx y 分为面积相等的两部分，

则k 的值为

17．设函数a ax x g a ax x x f 2)(,3)(2-=++-=，若不存在．．．R x ∈0，使得0)(0

0)(0

三、解答题：本大题共5个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18. (本题满分14分)已知函数x x x f cos sin 2)(+=，且()x x f x f x g sin 7)()()(+'?=

（1）当??

?

?

?

?∈2,

0πx 时，函数)(x g 的值域；

（2）已知A ∠是ABC ?的最大内角，且12)(=A g ,求A ∠

19．(本题满分14分)如图，在直角ABC ?中，

BC AB C 2,90=?=∠，F E 、为线段

AB AC 、上的点,BC EF //,将AEF ?沿直线EF 翻折成EF A '?，使平面⊥'EF A 平面BCE ,

且T A B A '='2,//FT 平面EC A '? （1） 问E 点在什么位置？

（2） 求直线FC 与平面BC A '所成角的正弦值。

20. (本题满分14分)已知数列{}n a 满足：

),1(1111*

2

3

2

1

N n n n a a a a n

∈≥=+

+++ ，

(1)求2011a

（2）若1+=n n n a a b ，n S 为数列{}n b 的前n 项和，存在正整数n ，使得2

1->λn S ，求实数λ

的取值范围。

21．(本题满分15分)如图，在由圆O ：12

2

=+y x 和椭圆C ：

)1(12

2

2>=+a y

a

x 构成的

“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为3

6，直线l 与圆O 相切于点M ，与椭圆C 相交于两点A ，

B.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）是否存在直线l ，使得2

2

1OM

OB OA =

?，若存在，求此时

直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

22．(本题满分15分)已知函数3

()||[0 2]f x x ax x a x =-+∈，，

（1）当a =-1时，求函数f (x )的最大值；

（2）当函数f (x )的最大值为0时，求实数a 的取值范围。

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分) 已知函数x x x f cos sin 2)(+=，且()x x f x f x g sin 7)()()(+'?=

（1）当??

?

?

?

?∈2,

0πx 时，函数)(x g 的值域；

（2）已知A ∠是ABC ?的最大内角，且12)(=A g ,求A ∠

1

9．(本题满分14分) 如图，在直角ABC ?中，BC AB C 2,90=?=∠，

F E 、为线段AB AC 、上的点,BC EF //,将AEF ?沿直线EF 翻折成EF A '?，使平面⊥'EF A 平面B C E ,且

T A B A '='2,//FT 平面EC A '?

（3） 问E 点在什么位置？

（4） 求直线FC 与平面BC A '所成角的正弦值。

解：取C A '的中点记为S ,连接ES 、TS ，易得ST EF //，

由平面 EFTS 平面ES EC A ='?,//FT 平面EC A '?,得//FT ES , 四边形EFTS 为平行四边形，得ST EF =，而BC ST 21=,

所以E 为AC 中点。…………7分

2

1．(本题满分15分)如图，在由圆O ：12

2

=+y x 和椭圆C ：

)1(12

2

2>=+a y

a

x 构成的“眼

形”结构中，已知椭圆的离心率为3

6，直线l 与圆O 相切于点M ，与椭圆C 相交于两点A ，

B.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）是否存在直线l ，使得2

2

1OM

OB OA =

?，若存在，求此时

直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

解：（1）解得：32

=a ，所以所求椭圆C 的方程为13

2

2

=+y

x

…………5分

（2）假设存在直线l ，使得2

2

1OM OB OA =?

易得当直线l 垂直于x 轴时，不符合题意，故设直线l 方程为b kx y +=， 由直线l 与圆O 相切，可得12

2

+=k b ……（1） …………7分

22．(本题满分15分)已知函数3()||[0 2]f x x ax x a x =-+∈，， （1）当a =-1时，求函数f (x )的最大值；

（2）当函数f (x )的最大值为0时，求实数a 的取值范围。 解：（1）当a =-1时，3()|1|[0 2]f x x x x x =+-∈，，

当0

3

f x x x x '=-+=-+

>，

当1+-=-+='x x x x x f 又函数f (x )是连续函数，所以f (x )在[0，2]上是增函数，…………4分

∴函数f (x )的最大值f (x )max = f (2)=10 …………6分

（2）1°当a ≤0时，f (0)=0，当00，此时不符合题设，…………8分

2°当a >0时，322()f x x ax a x =-+，22

()32(3)()f x x ax a x a x a '=--=+-，

∵0≤x ≤2 ∴3x +a >0

（i ）当a ≥2时，()0f x '≤，故f (x )在[0，2]上是减函数，

∴此时f (x )max = f (0)=0，符合题设 …………11分

（ii ）当0?<<

故 f (x )在[0，a ]上是减函数，在在[a ，2]上是增函数 ∴此时f (x )max =max{f (0)，f (2)}=0，

又f (0)=0，∴f (2)≤0，即82|2|0a a -+≤，82(2)0a a -+≤，

2

240a a +-≥，

解之得11a a ≤--≥