四川省2017年高考理科数学试题及答案

四川省2017年高考理科数学试题及答案

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={}22(,)1x y x y +=│，B={}(,)x y y x =│，则A

B 中元素的个数为

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0 2．设复数z 满足(1+i)z=2i ，则∣z ∣=

A ．12

B ．22

C ．2

D ．2

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是

A ．月接待游客量逐月增加

B ．年接待游客量逐年增加

C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3

的系数为 A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80

5． 已知双曲线C ：22221x y a b

-= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆

22

1123

x y += 有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22

143

x y -= 6．设函数f(x)=cos(x+3

π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为?2π

B ．y=f(x)的图像关于直线x=

83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=

6π D ．f(x)在(2

π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，

则输入的正整数N 的最小值为

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A ．π

B ．3π4

C ．π2

D ．π4

9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为

A ．-24

B ．-3

C ．3

D ．8

10．已知椭圆C ：22

221x y a b

+=，（a>b>0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为

A ．63

B ．

33 C ．23 D ．13 11．已知函数211()2()x x f x x x a e

e --+=-++有唯一零点，则a= A ．12- B ．13 C ．12 D ．1

12．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，

则λ+μ的最大值为

A．3 B．22C ．5D．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x，y满足约束条件

y0

20

x

x y

y

-≥

?

?

+-≤

?

?≥

?

，则z34

x y

=-的最小值为__________．

14．设等比数列{}n a满足a1 + a2 = –1, a1– a3 = –3，则a4 = ___________．

15．设函数

10

()

20

x

x x

f x

x

+≤

?

=?

>

?

，，

，，

则满足

1

()()1

2

f x f x

+->的x的取值范围是_________。

16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所称角的最小值为45°；

④直线AB与a所称角的最小值为60°；

其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27,b=2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥ AC,求△ABD的面积．

18．（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年

六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温

[10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：

瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？

19．（12分）

如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD ，AB=BD ．

（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．

20．（12分）

已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．

（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；

（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程．

21．（12分）

已知函数()f x =x ﹣1﹣alnx ．

（1）若()0f x ≥ ，求a 的值；

（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21

111++1+)222

n ()(1)(﹤m ，求m 的最小值． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =??=?

（t 为参数），直线l 2的参数方程为

2,,x m m m y k =-+???=??

（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cosθ+sinθ)-2=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数f （x ）=│x+1│–│x–2│．

（1）求不等式f （x ）≥1的解集；

（2）若不等式f （x ）≥x 2

–x +m 的解集非空，求m 的取值范围．

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参考答案

一、选择题：

1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 9．A 10．A

11．C 12．A

11、【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：

221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )

4442(e e )

2(e e )

x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++

∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴，

由题意，()f x 有唯一零点，

∴()f x 的零点只能为1x =，

即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=， 解得12a =． 12、【解析】由题意，画出右图．

设BD 与C 切于点E ，连接CE ．

以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，

则C 点坐标为(2,1)．

∵||1CD =，||2BC =． ∴22125BD =+=．

∵BD 切C 于点E ．

∴CE ⊥BD ．

∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．

12||||2222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ???====△

即C 的半径为255

． ∵P 在C 上．

∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．

设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：

()A O D x y

B P g

C E

00225cos 5215sin 5x y θθ?=+????=+??

而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．

∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+= ∴0151cos 25

x μθ==+，0215sin 5y λθ==+． 两式相加得：

222515sin 1cos 55

2552(

)()sin()55

2sin()3λμθθθ?θ?+=+++=+++=++≤ (其中5sin 5?=，25cos 5?=) 当且仅当π2π2

k θ?=

+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3． 二、填空题： 13． 1- 14． 8- 15．1,4??-+∞ ???

16．②③ 16、【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．

不妨设图中所示正方体边长为1，

故||1AC =，2AB =，

斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持

不变，

B 点的运动轨迹是以

C 为圆心，1为半径的圆．

以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为

y 轴正方向， CA 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．

则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，

直线a 的方向单位向量(0,1,0)a =，||1a =．

B 点起始坐标为(0,1,0)，

直线b 的方向单位向量(1,0,0)b =，||1b =．

设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'，