二项式系数的性质教案1

二项式系数的性质教案1

教学目标

1．掌握二项式系数性质，并会应用其解决一些简单问题．

2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．

3．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．

教学重点与难点

二项式系数的性质及应用．

教学过程设计

师：二项式定理的内容是什么？

(教师板书)

师：上一节课，我们已经学会了如何将二项式展开及求展开式中指定项或指定项系数、二项式系数的方法．今天，我们来研究一下二项式系数的性质．二项展开式中的二项式系数指的是谁？共有多少个？

师：要研究它的一般规律，我们先通过杨辉三角看看n为特殊值时，二项展开式中二项式系数有什么特点？(出示幻灯片，内容如下)(从特殊到一般的思想由此引发)

杨辉三角：

(引导学生猜想，猜想是发现的开始)

生：第一项与第末项二项式系数相等．

(诱导一下)

师：这位同学找的是等量关系，是否完善呢？(用笔尖指杨辉三角中的二项式系数)

生：第二项与倒数第二项的二项式系数相等，第三项与倒数第三项的二项式系数相等

……．

师：你能把你的想法概括成一句话吗？

生：……

师：在研究等差数列性质时，我们也发现了首末两项，第二项与倒数第二项，……它们和相等的规律，当时我们使用了什么术语呢？(学生顿悟)

生：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等．

师：有一定理由，当n取1～6时，均可验证此规律正确，但如果就肯定它正确，未免太草率．谁能论证一下这个结论是否正确呢？

师：由此“猜想”得到证明，可以写成性质形式．(板书)

性质1 在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等．即：

师：发现了这个性质对解题的帮助体现在哪儿呢？我们来看两个小题．(出示幻灯片)

1．求(a＋b)6展开式中的倒数第三项的二项式系数．

2．若(a＋b)n的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，则n=？

师：谁愿意回答这两个题目．(给学生1～2分钟考虑一下)

现第五项就是倒数第三项，所以n＋1=7，即n=6．

(此时，给出这两个小题，可使学生及时的理解性质1，并学会简单应用，有利于知识的巩固、概念的记忆)

师：再看杨辉三角，找特点．

生：二项式系数先增加后减小．

师：有最值吗？

生：有，中间位置可能最大．

师：能再具体一些吗？是哪些项二项式系数最大？

(学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，积极参与)

未必简捷，只要正确就要鼓励他往下说，以免打消学生的积极性)

师：这个猜想是否正确呢？我可以告诉大家是正确的，但对它的严格证明，不是本节课的重点，有兴趣的同学可在课下研究证明．(板书)

性质2 二项式系数最大的项：

(性质2的证明不给出，有利于突出本节课的重点，使内容合理，紧凑)

师：性质2记忆一定要准确，如有疑问时，可以依靠杨辉三角，使特点法验证，下面我们再来看两个小题．(出示幻灯片)

3．分别指出(a＋b)20与(x＋5y)15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并分别求出其最大的二项式系数(用组合数表示)

4．已知(a＋b)n的展开式中第十项和第十一项的二项式系数最大，求n的值．

(以上两个小题也是对性质2的巩固)

师：目前我们已经发现了二项式系数的两个性质，二项式系数还有没有其它规律呢？在排列组合中，我们做过这样一个题目：(出示幻灯片)

已知集合A={0，1，2｝，求它的所有子集的个数．

师：当时，我们是怎么做的呢？

生：是，刚才求的就是二项式系数的和．(学生呼应，达到前后知识的联系，前一节中出这个题的一个目的就是为这一节作铺垫)

再相加，但如果集合A中元素个数很多，我们该如何计算呢？二项式系数的和是否也有规律呢？

(学生思考，诱导一下)

师：不妨再从杨辉三角中挖掘．

生：2n，对吗？

师：大家是否也同意这个同学的想法呢？如果认可，请给予例1(板书)严格地证明．

师：例1是一个等式，可以通过证明等式的几条途径来考虑．

(诱导一下)

师：现在我们学习的是二项式定理，等号的两边都可以从这个角度来考虑．(将2n 换成(1＋1)n)

学生甲：(板演)

师：还有没有其它方法呢？这个等式与二项式定理(黑板上有)比较一下有什么发现呢？

生：将二项式定理中的a，b都取成1，因为二项式定理对a，b取任意值都是成立的．

生：(板演)

在二项展开式中，

令a=1，b=1，得

师：第二种方法是赋值法，是解决与二项展开系数有关问题的重要手段．我们已经发现并证明了二项式系数的三个性质，它还有一个性质，也是很常用的，我直接给出，大家看看怎样证明．(板书)

例2 证明在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

师：先翻译成数学语言．(容易发现目标，减少盲目性)

(鼓励学生继续往下进行)

(到了这一步，由于有例1的铺垫，学生很容易想到赋值法)

生：(板演)

证明：在二项展开式

中令a=1，b=－1，得

师：例1与例2是二项式系数(或组合数)的两个常用的性质，它们的证明方法和结论都有相当重要的意义．

(例1、例2体现了由一般到特殊的思想)

师：例2得到了奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．下面我们来看两个小题：(出示幻灯片)(考查一下学生是否会算)

5．求(a＋b)10的展开式中的各项的二项式系数和及奇数项的二项式系数和．

学生甲：算5题(a＋b)10展开式中各项二项式系数和为1024，奇数项二项式系数和为512．

(以上两个小题训练，加深学生对例1、例2结论的记忆，遇到问题时，可直接转化为简单的数学语言或得到具体值)

师：现在我们要来解决一个问题．(板书)

练习已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为32，求展开式中哪项二项式系数最大，并求该项．

生：(板演)

(此题不难，可由学生独立完成，自我检查)

师：今天这堂课的关键是利用杨辉三角形直观性发现并证明二项式系数的性质．(由学生叙述这四个性质)我们可以把第一个性质简记为二项式系数对称规律，性质2简记为最大二项式系数规律，后两个性质所采取的方法——赋值法是解决与二项展开系数有关问题的重要手段．

师：今天课下的作业是课本P257练习：1，2，3；P258：9，10，补充三

2)已知：(1－2x)5=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．

3)若二项式(x3＋x－2)n的展开式中，只有第六项系数最大，则展开式中的常数项是什么？

课堂教学设计说明

这份教案的教学过程可简记为以下几个环节：

1．提出问题：寻求二项式系数的性质；

2．观察杨辉三角发现二项式系数的特点；

3．得三个猜想(性质1，2，例1)并逐一证明(除性质2)，证明后紧跟小练习；

4．用赋值法，证明例2；

5．练习，加强记忆；

6．小结、作业．

我之所以这样设计这堂课，主要有以下几个原因：

第一，二项式定理这部分内容比较枯燥，需要记忆的知识点也比较多，更要求教师不断地挖掘规律简化学生的记忆负担．但即使如此，学生的学习仍处于被动状态，所以这节课，我想充分发挥学生的积极性，化被动为主动，因此我引入了杨辉三角，利用它图表的直观性很容易发现规律，这个规律是由学生自己发现的，当然也就容易记忆．

第二，以往我们处理二项式系数的性质这一节时，总是将性质用定论的形式直接呈现在学生面前，然后自己再说出证明方法，紧接着就是上例题做练习．这样，似乎是开门见山，直截了当，节约时间，但忽视了很重要的一点．数学教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养．长此以往，学生的数学素质很难得到提高．

第三，分别在得到性质1，2，例1，例2后马上出几个小题加以巩固，题目的深浅是根据学生的程度不同而定的．但我觉得一定得有，否则四个结论全出来后，学生再见题目，会有手足无措的感觉，效果不佳．

第四，性质2的证明是本节的难点，本教案回避了这一点，没有给予证明，因为本教案是为普通班设计的．而“好班”对性质2应给予证明，性质2，证明如下：

最好，再补充下面一个例题：

例3 求(1＋2x＋x2)10·(1－x)5的展开式中各项系数的和．

解：原式=(1＋x)20·(1－x)5

=(a0＋a1x＋a2x2＋…＋a20x20)·(b0＋b1x＋b2x2＋…＋b5x5)

=C0＋C1x＋C2x2＋…＋C25x25．

由于展开式(1＋2x＋x2)10·(1－x)5=C0＋C1x＋C2x2＋C3x3＋…＋C25x25中对于任意的x均成立，

则令x=1，得C1＋C2＋…＋C25=0，

所以(1＋2x＋x2)10·(1－x)5的展开式中各项系数和为零．

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利

高中数学教案——二项式定理 第二课时

课 题： 10．4二项式定理(二) 教学目的： 1 2.展开式中的第1+r 项的二项式系数r n C 与第1+r 项的系数是不同的概念 教学重点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用教学难点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，

（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、讲解范例： 例1．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数； （2）求9 1 ()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==， ∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵9 1()x x -的展开式的通项是9921991()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-， ∴923r -=，3r =， ∴3x 的系数339(1)84C -=-，3 x 的二项式系数3984C =． 例2．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数 分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开 解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x 02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+?22224(3)4C x x ++?3234444(3)44C x x C -+?+?， 显然，上式中只有第四项中含x 的项， ∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=??-C （法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 4 4)4()1(+-=x x ) (4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +?+?+?+? ∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．

高中数学_杨辉三角“与二项式系数的性质教学设计学情分析教材分析课后反思

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 授课人： 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 【教学任务分析】 (1) “杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和 才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感. (2) 本节内容以二项式定理为基础，研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩 固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位. 【教学目标】 （1）知识和技能：

掌握二项式系数的性质; 会应用二项式系数的性质解决一些简单问题. (2) 过程和方法： 通过对问题的尝试、探究, 加强对学生观察、归纳、发现能力的再培养. (3) 情感态度和价值观： 通过“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让 学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感. 【教学重点、难点】 重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质；了解杨辉三角形及其历史背景. 难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质. 【教法、学法】 教法：问题引导、合作探究． 学法：螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想, ①从课上交流展示中感知规律； ②结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟二项式系数的性质； ③在探究证明性质中理解知识. 【教学流程】 例题及练习

【教学过程】 环节1：复习“二项式定理、二项式系数、二项展开式的通项” 【师生活动】教师提出问题，学生复习回答. 【设计意图】通过复习二项式定理的有关知识，为发现二项式系数的有关性质形成知识储备 环节2: 创设情境 引入新课 “计算()(123456)n a b ,n ,,,,,+=的展开式的二项式系数并填表” 并引入“杨辉三角”.介绍杨辉三角以及与其相关的历史 【师生活动】学生计算填表、教师介绍杨辉三角. 【设计意图】引进“杨辉三角”，并使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质 之间关系的直觉，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自 豪感和探索新知识的欲望. 环节3：合作探究 发现规律 【师生活动】学生根据杨辉三角观察讨论，发现规律，教师适时点拨、完善规律。 环节4：演绎推理 证明性质 （1） 结合组合数性质证明： 性质1 除1外的每个数都等于它“肩上”的两个数的和。 利用性质求7 )(b a + 性质2 对称性 （2） 从函数角度分析证明：二项式系数的单调性与最大值； ①借助7,6==n n 时r n C r f =)(的图像，直观感知二项式系数的对称性及单调性与最大值. ②证明r n C r f =)(的单调性，并确定最大值位置； 【师生活动】学生画图，证明结论 【设计意图】引导学生结合函数图象，理解增减性与最大值，根据n 的奇偶性确定相应的分界点；学生从函数图像角度认识二项式系数的增减性与最值体会函数思想，数学结合思想。 ③巩固练习 【设计意图】及时巩固对称性与增减性最值，应用二项式系数性质，加深理解。

二项式定理教学案设计

《二项式定理》教案设计 一、教学目标 1.知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理． 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 （一）提出问题，引入课题 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+， ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？ 【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律 1、多项式乘法的再认识． 问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识 探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）： (1) 合并同类项之前展开式有多少项？ (2) 展开式中有哪些不同的项？ (3) 各项的系数为多少？ (4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？ 探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析 各项的形式、项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有 “法”可依． (三) 形成定理，说理证明 探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式． )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理 证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理 可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -， 它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个 b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

二项式定理(一)教案

二项式定理教案（一） 一、教学目标： 1．知识技能： （1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广 （2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理 2．过程与方法 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式 3．情感、态度、价值观 培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式得到二项式定理。 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 三、教学过程 （一）提出问题： 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式。如2222)(b ab a b a ++=+， 那么： 3 ) (b a +=? 4)(b a +=? 100)(b a +=? 更进一步：n b a )(+=？ （二）对2)(b a +展开式的分析 ))(()(2 b a b a b a ++=+ 展开后其项的形式为：22,,b ab a 考虑b ，每个都不取b 的情况有1种，即02c ,则2a 前的系数为02c 恰有1个取b 的情况有12c 种，则ab 前的系数为12c 恰有2个取b 的情况有22c 种，则2b 前的系数为22c 所以 2 2212202 2222)(b c ab c a c b ab a b a ++=++=+ 类似地 3 33223213 3033223333)(b c ab c b a c a c b ab b a a b a +++=+++=+ 思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+=? 问题： 1)．4)(b a +展开后各项形式分别是什么？ 4 a b a 3 22b a 3ab 4b

二项式定理公开课教案

二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。

预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※） （设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷 的方法的欲望。） 继续新授 师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+

高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案 新人教版选修2-3

§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行 两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自 变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =?， ∴k n C 相对于1 k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112 n k n k k -++>?<， 当12 n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；

高中数学《二项式定理一》教案设计

《二项式定理(一)》教案设计 一、教学目标 1.知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理． 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 （一）提出问题，引入课题 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+， ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？ 【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律 1、多项式乘法的再认识． 问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识 探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）： (1) 合并同类项之前展开式有多少项？ (2) 展开式中有哪些不同的项？ (3) 各项的系数为多少？ (4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？ 探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析 各项的形式、项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有 “法”可依． (三) 形成定理，说理证明 探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式． )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理 证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理 可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -， 它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个 b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

(完整版)教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)

1.3.2二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示：

表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？） 【提示】设这一数为r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： 1 1 01C C 02 C 12 C 2 2C 03 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 0 5C 1 5C 2 5C 35 C 4 5C 55 C

杨辉三角与二项式系数的性质(教案)

1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数 表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ，

高中数学：1.5.2二项式系数的性质(一) 教案 (北师大选修2-3)

“教材分析与导入设计” 本节教材分析 课本通过杨辉三角这个历史素材，引入了二项式系数的讲解．课本分别对杨辉三角中的二项式系数进行观察、归纳发现结论的。第一条性质是递推性，它表明杨辉三角中任何一个不为1的二项式系数都是它“肩上”的两个二项式系数的和；第二条性质是对称性，它表明杨辉三角中与首末“等距离”的两个二项式系数相等.其次在性质的推导基础上进行了简单应用. 三维目标： 知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项式系数性质 过程与方法：能解决与二项系数有关的简单问题 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 教学重点：二项式定理及系数性质的掌握及运用 教学难点：二项式定理及系数性质的掌握及运用 教学建议： 在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成． 新课导入设计 导入一：（复习引入） 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 导入二：情境导入 通过课本上的阅读材料，了解杨辉，继而画出杨辉三角 让学生观察这个图形，并结合上节内容研究观察二项式系数 性质.

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计一

课题：§1.3.1二项式定理（人教A版高中课标教材数学选修2-3）

《二项式定理》教学设计 一、教学内容解析 《二项式定理》是人教A 版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识． 二、教学目标设置 新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析2()a b +，3()+a b ，4()+a b 的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标： 1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题． 2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力． 3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感． 三、学情分析 １．有利因素 授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节()+n a b 展开式中各项系数的研究会有很大帮助． ２．不利因素 本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程． 四、教法策略分析 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”， 并利用多媒体辅助教学． 本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程． 五、教学过程 （一）创设情境 引入课题 引入：通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题．提出问题：2()+=a b ？ 3()+=a b ？

人教版高中数学二项式定理教学设计全国一等奖

二项式定理（第1课时） 一、容和容解析 容：二项式定理的发现与证明． 容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此容安排在组合数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可以导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。 由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、学情分析 这一堂课是面对高二学生。学生已经初步具备了多项式乘法，同类项合并，排列计数原理，组合数计数原理以及归纳推理等知识储备。能够在教师的引导下理解并掌握本节课中的推理演绎过程。但是，学生的自我探究，归纳，分析的能力还有待提高。 三、课程学习目标 （1）知识目标：使学生掌握二项式定理及推导方法，二项式展开式、通项公式的特点，并能利用二项式定理计算或证明一些简单问题。 （2）能力目标：在学生对二项式定理形成的参与讨论过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识及知识迁移能力。 （3）情感目标：通过二项式定理的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美。 四、设计思想： 本课采用合作探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二

二项式定理数学教学反思

二项式定理数学教学反思 二项式定理数学教学反思 二项式定理是初中学过的多项式乘法的继续，是排列组合知识的具体运用，定理的证明是计数原理的应用。 本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程。 本节课的`难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫。再以为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依。 教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体。教学过程中，让学生充分体会到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现解决一般问题的方法。教学中我特别注重运用通项意识凡涉及到展开式的项及其系数等问题，常是先写出其通项公式，然后再据题意进行求解。

本节课的亮点：引入作了项数问题，明确每一项的很好的铺垫，数学思想、方法和数学文化得到了较好的体现。引导学生运用计数原理来解决特征，为后续学习作准备。二项式系数的对称美，“特殊出发、发现规律、猜想结论、逻辑证明”的科学方法，二项式指数推广到负整数指数，有没有三项式定理，都带给学生积极的情感体验和无尽的思考。 不足之处：学生在数学课堂中的参与度不够。我认为，像这样面对新学生的展示课，难以操作。因为让学生自主学习，必须课前作充分的准备，学生带着问题到课堂上进行汇报和交流，师生共同释疑、纠错。否则，对于有一定难度的数学课，在课堂上先自主、合作、探究，再来答疑、解惑，就没有足够的时间了。即使可以操作，自主、合作、探究也是走走过场，没有实际效果。语文与数学有不同特点，在数学课堂上如何让学生讨论、思考值得深入研究。 总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性。重视学生的参与过程，问题引导，师生互动。重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯。

二项式定理优秀教学设计

1.3.1二项式定理 【教学目标】 【知识与技能】理解用组合的知识推导二项式定理；理解通项的意义并会灵活应用通项,能 区分项的系数与二项式系数的不同； 【过程与方法】会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【情感态度与价值观】充分体验归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 【教学重点】 二项式定理及通项公式的掌握及运用 【教学难点】 二项式定理及通项公式的掌握及运用 第一课时 一、复习引入： ⑴； ⑵ ⑶的各项都是次式， 即展开式应有下面形式的各项：，，，，， 展开式各项的系数：上面个括号中，每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种， 的系数是， ∴． 二、讲解新课： 1.二项式定理： ⑴的展开式的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项： 22202122 222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++44a 3a b 22a b 3ab 4b 4b 104C 4a 04C 1b 14C 3a b 14C 2b 24C 22a b 24C 3b 34C 3ab 34C 4b 4 4C 4b 44C 404132223344 44444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈()n a b +n

二项式定理教案(绝对经典)

第3讲二项式定理 基础梳理 1．二项式定理 (a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式． 其中的C r n(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．数） （注意区别于该项的系 式中的C r n a n－r b r叫二项展开式的通项，用T r＋1表示，即通项T r＋1＝C r n a n－r b r. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1 n ，C n n. 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n＝C n－r n . (2)增减性与最大值： 二项式系数C k n，当k＜n＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的； 当n是偶数时，中间一项C n 2n取得最大值； 当n是奇数时，中间两项C n－1 2n，C n＋1 2n取得最大值． (3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n； C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. 双基自测 1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()． A．80 B．40 C．20 D．10 2．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()．A．45 B．55 C．70 D．80 3.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()．

二项式定理(教学设计)

二项式定理（教学设计） 杜军平横山中学 一、教学目标 1.知识目标：理解二项式定理及其推导方法，掌握二项展开式的基本特征；能应用二项式定理求二项展开式，能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项． 2.过程与方法：通过二项式定理的推导过程理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力． 3.情感目标：通过本节学习，进一步培养提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的归纳以及探究意识． 二、教学重点、难点 1.教学重点：用两个计数原理分析2) a 的展开式，归纳得出二 (b 项式定理；掌握二项式的通项公式；能应用它们解决简单问题． 2.教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用. 三、课前准备 多媒体课件. 四、教学方法与手段

1.教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价. 2.学习方法：实例感受、观察发现、合作交流、归纳总结. 五、教学流程图 问题引入 1.第13 2.第132009 【设计意图】通过学生所熟知的问题情境引入本节课的教学内容，提高学生的学习兴趣和学习热情，达到有效教学的目的．要解决这个问题,就要用到今天我们学习的知识——板书课题. §1.3.1二项式定理（一） （二）讲授新课 Ⅰ)n （的展开式 a b +

1.探索研究 2222)b ab a b a ++=+（，分析2)b a +（展开过程：从项数、指数、系数三个方面加以分析，并让学生板演3()a b +与4)b a +（的展开式，再让学生猜想并证明 )n a b +（的展开式. 【设计意图】引导学生将2)b a +（的展开式与两个计数原理联系起来，分析展开式项的形式及各项前的系数，用组合数表示 2)b a +（展开式的系数．让学生在探究过程中观察、发现、类比、猜想得出结论，这是数学教学提倡培养的，是一种创造性的思维活动，也让学生体验数学研究的乐趣，在注重思维结果的同时，更注重思维过程. 2．归纳提高 归纳得出：)n a b +=（0 n C a n +1n C a n-1b+…+k k n k n b a C - +…+n n C b n (n ∈N *) 并给出简单证明． 指出：上述这个公式所表示的定理叫做二项式定理，左边 n b a )+（这个式子叫二项式，右边多项式叫做 n b a )+（的二项展开式． 引导学生归纳二项展开式的特征： （1）项数特征：展开式共有n +1项． （2）次数特征：①各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n ．

二项式定理系数的性质

二项式系数的性质及应用 【学习目标】 1. 掌握二项式系数的性质 2. 培养观察发现、抽象概括及分析解决问题的能力 【课前练习】 1. 已知c bx ax x f ++=2)( （1）若2)1(=f ，则=++c b a （2）若1-=+-c b a ，则=-)1(f 2. =+n b a )( ，其中二项式系数分别是 =+n x )1( 【活动方案】 活动一：理解二项式系数的性质 1. 请同学们阅读书37页到38页的材料——杨辉三角 2. 请大家写出当n 依次取0，1，2，3，… 时，将()n a b +展开式的二项式系数填入下表．

将上表改成三角形几何排列 3. 观察二项式系数表与杨辉三角，探究这两者之间的关系，从中你能发现二项式系数有什 么特点？ 4. 从函数的角度看，r n C 可看成以r 为自变量的函数)(r f ，其定义域是{} n r N r r ≤∈,， 分别画出r C r f 6 )(=)61,0( =r 以及r C r f 7)(=)71,0( =r 的图像． 5．结合课前练习思考所有二项式系数的和是多少？ 总结： 1. 对称性 2. 增减性与最大值 3. 二项式系数的和

活动二：掌握二项式系数性质的应用——赋值法 例1证明：在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 小结： 例2已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求： （1）0a ； （2）127a a a +++； （3）76543210a a a a a a a a -+-+-+- 变式训练：（1）求2 53126420()(）a a a a a a a ---+++ （2）求72172a a a +++ （3）求7 722 1222a a a +++

江苏省苏州市高中数学 第一章 计数原理 1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质教学反思 新人教A版选修2-3

杨辉三角与二项式系数的性质 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，教师在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标完全符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.这不仅会自然增强或辐射到学生的解题能力和理性思维，更能影响和渗透到他们的终身学习和今后从事的工作中去. 3．呈现合作交流