二次函数的面积极值问题
九年级上期数学培优资料 二次函数的面积极值问题
一、典型例题：
例：（2009年甘肃定西）如图（1），抛物线k x x y +-=22与x 轴交于A 、B 两点，与y
轴交于点C （0，-3）.[图（2）、图（3）为解答备用图]
（1）=k _____________，点A 的坐标为_____________，点B 的坐标为_____________；
（2）设抛物线k x x y +-=22的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；
（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，
请求出点D 的坐标y ，若不存在，请说话理由：
一、选择题：
1．（2010福建福州）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．0>a
B ．0 C ．042<-ac b D ．0>++c b a 2．（2010河北）如图5，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ， 点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行. 其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ） A ．（2，3） B ．（3，2） C ．（3，3） D ．（4，3） 3．（2010山东莱芜）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数a bx y +=的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．（2010四川成都）把抛物线2x y =向右平称1个单位，所得抛物线的函数表达为（ ） A ．12+=x y B ．2)1(+=x y C ．12-=x y D ．2)1(-=x y 5．（2010山东滩坊）已知函数21x y =与函数32 12+- =x y 的图象，大致如图，若21y y <， 则自变量 x 的取值范围是（ ） A ． 22 3< B ．2>x 或23- C ．2 32<<-x D ．2- 3> x 6．(2010湖北荆州)若把函数x y =的图象用E (x x ,)记，函数 12+=x y 的图象用)12.(+x x E 记，……则) 12,(2 +-x x x E 可以由E ),(2x x 怎样平移得到？（ ） A ．向上平移1个单位 B ．向下平移1个单位 C ．向左平移1个单位 D ．向右平移1个单位 7．（2010湖北鄂州）一次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图 所示，下列结论①a 、b 异号；②当1=x 和3=x 时，函数值相等；③04=+b a ，④当4=y 时，x 的取值只能为0.结论正确的个数有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值1-，则a 与b 之间的大小关系是（ ） A ．b a < B ．b a = C ．b a > D ．不能确定 9．（兰州市2010）抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则322--=x x y 中b 、c 的值为（ ） A ．2,2==c b B ．0,2==c b C ．1,2-=-=c b D ．2,3=-=c b 10．（2010杭州）定义[c b a ,,]为函数c bx ax y ++=2的特征数，下面给出特征数为 [m m m ---1,1,2]的函数的一些结论： ①当3-=m 时，函数图象的顶点坐标是（3 8, 31）； ②当0>m 时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于2 3； ③当0 1> x 时，y 随x 的增大而减小； ④当0≠m 时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．①③④ D ．②④ 二、填空题： 11．抛物线322--=x ax y 与x 轴交于两点，则a 的取值范围是___________________； 12．抛物线3242++-=x x y 与x 轴交点为A 、B （A 在B 左侧），则A 的坐标为_______. B 的坐标为_________， 与y 轴交点C 的坐标为_______，顶点坐标D 为__________， =ABCD S 四边形 __________； 13．若函数m x x y +-=422有最小值是3，则=m __________； 14．若抛物线432÷+=ax x y 的顶点在x 轴的负半轴上，则=a _________； 15．若抛物线b ax x y -+-=22的顶点坐标是（4，-3），则=a _________,=b _________; 16．抛物线3)4(32---=x m x y 的顶点在y 轴上，则=m ________； 17．抛物线3232--=x x y 与x 轴两交点间的距离是______________; 18．右图是二次函数42822--=x x y 的草图，先在坐标轴 上填出适当的数，在结合图象回答问题： （1）当x 满足___________时，0>y ； 当x 满足___________时，0=y ； （2）方程42822=-x x 的解是_________； 不等式042822≤--x x 的解集是__________. 三、解答题： 19．如图，已知ABC ?是一等腰三角形铁板余料，其中cm AC AB 20==，cm BC 24=.若在ABC ?上截出一矩形零件DEFG ，使EF 在BC 上，点D ，，分别在边AB 、AC 上，问矩形DEFG 的最大面积是多少？ 20．（2009年哈尔滨）张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙另三边用 总长为32米的篱笆恰好围成。围成的花圃是舅图所示的矩形ABCD ，设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米. （1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值）. （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值. 21．已知：ABC Rt ?的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角 坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OB OA <），直角顶点C 落在y 轴正半轴上. （1）求经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式. （2）如图，点D 的坐标为)0,2(，点),(n m P 是该抛物线上的一个动点（其中0>m ， 0>n ），连接DP 交BC 于点E . ①当BDE ?是等腰三角形时，直接写出此时点E 的坐标. ②又连接CD 、CP ，CDP ?是否有最大面积？若有，求出CDP ?的最大面的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由. 22．已知：如图，抛物线)0(22≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点)4,0(C ，与x 轴交于点A 、 B ，点A 的坐标为)0,4(. （1）求该抛物线的解析式； （2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作AC QE //，交BC 于点E ，连接CQ . 当CQE ? 的面积最大时，求点Q 的坐标； （3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐 标为)0,2(. 问：是否存在这样的直线l ，使得ODE ?是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到 二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值． （2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由． （2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上． 必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若- 二次函数最值专项练习60题 1．画出抛物线y=4（x﹣3）2+2的大致图象，写出它的最值和增减性． 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（2，3）两点，求出此二次函数的解析式；并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值． 3．已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求 （1）函数在一2＜x≤a的最小值； （2）函数在a≤x≤a+2的最小值． 4．已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值． 5．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理： ∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0 ∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2． 试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值． 6．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30°，若边长AB=x（cm）． （1）写出?ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围． （2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值． 7．求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值． 8．已知m，n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根，求y=（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值． 9．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．10．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，求m的值． 二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面：当1≤x ≤2时,函数y =2x 24ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式； (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333 y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK AD l K ：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值. 练习一 【例题精讲】 若函数y=4x24ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值． 【拓展练习】 题面：已知：y关于x的函数y=(k1)x22kx+k+2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围； (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值． 练习二 金题精讲 题面：已知函数y=x2+2ax+a21在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值． 【拓展练习】 题面：当k分别取1，1，2时，函数y=(k1)x2 4x+5k都有最大值吗请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值． 二次函数最值问题 一．选择题（共8小题） 1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（） A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 2．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．6 3．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（） A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3 4．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在 5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125 B．4 C．2 D．0 6．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（） A．B．2 C．D． 8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（） A．7 B．7.5 C．8 D．9 二．填空题（共2小题） 9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是． 10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上， =6．当线段OM最长时，点M的坐标为． 点M在x轴负半轴上，S △ABM 三．解答题（共3小题） 11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）， ①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标； ②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m． 二次函数求最值方法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII XX 教育辅导教案 学生姓名 性别 年级 学科 数学 授课教师 上课时间 年 月 日 第（ ）次课 共（ ）次课 课时： 课时 教学课题 二次函数求最大值和最小值 教学目标 利用二次函数的图像和性质特点，求函数的最大值和最小值 教学重点 与难点 含有参数的二次函数最值求解。 课堂引入： 1) 由二次函数应用题最值求解问题引申至一般二次函数求最值问题，阐述二次函数求最值问题 方法的重要性（初高中衔接、高中必修一重点学习内容）。 2) 当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值． （引导学生用初中所学的二次函数知识求解，为下面引出二次函数求最值方法总结做铺垫） 二次函数求最值方法总结： 一、设)0(2≠++=a c bx ax y ，当n x m ≤≤时，求y 的最大值与最小值。 1、当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得y 的最值： 1) 当n a b m ≤-≤2时，a b x 2-=时，y 取最小值：a b a c y 442min -=；y 的最大值在m x =或n x =处取到。 2) 若m a b <-2，二次函数在n x m ≤≤时的函数图像是递增的，则m x =时，y 取最小值；则n x =时，y 取最大值。 若n a b >- 2，二次函数在n x m ≤≤时的函数图像是递减的，则n x =时，y 取最小值；则m x =时，y 取最大值。 【变式训练】 变式1、当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，1max -=y ，当2x =时，5min -=y ． 【例题解析】 例2、当1t x t ≤≤+时，求函数21522 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数21522 y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+?≤≤时： 当1x =时，2min 1511322 y =?--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t + 典型中考题（有关二次函数的最值） 屠园实验 周前猛 一、选择题 1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( ) A. ab D 不能确定 答案：C 2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ） A 、- 74 B 、 C 、 2或 D 2或或- 74 答案：C ∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m. 当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 74 ，2 765 y x 416??=-++ ??? 此时，它在－ 2≤x≤l 的最大值是 65 16 ，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=2，此时y=-（x-2）2+5，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符. 当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得m=当m=它在－ 2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；当，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符. 综上所述，实数m 的值为2或. 故选C ． 3． 已知0≤x≤ 1 2 ，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6 答案：C 解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而 增大．又∵0≤x≤1 2 ，∴当x= 1 2 时，y取最大值，y最大=-2（ 1 2 -2）2+2=-2.5．故选：C． 4、已知关于x的函数. 下列结论： ①存在函数，其图像经过（1,0）点； ②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点； ③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小； ④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。 真确的个数是（） A,1个B、2个 C 3个D、4个 答案：B 分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断； ②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假； ③根据二次函数的增减性，即可作出判断； ④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求 出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断. 解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0， 解得：k=0．运用方程思想； ②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法； ③假，如k=1， b5 -= 2a4 ，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法； ④真，当k=0时，函数无最大、最小值； k≠0时，y最= 22 4ac-b24k+1 =- 4a8k ， ∴当k＞0时，有最小值，最小值为负； 当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想． 二、填空题： 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是 从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。在这里以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。 ps.因格式问题，部分上标未能正常显示，望知悉。 1题目 如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点。 (1)求该抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小?若存在，求出Q点的坐标;若不存在，请说明理由; (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大?若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有，请说明理由。 解答： (1)抛物线解析式为y=-x2-2x+3; (2)Q(-1，2); 下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法. 解法1 补形、割形法 几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。 方法一 如图3，设P点(x，-x2-2x+3)(-3 如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC=1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 根据上述方法，本题解答如下： 解如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F. 设P点(x，-x2-2x+3)(-3 二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时， 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 二次函数求最值（一般范围类） 例1．当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 例2．当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 例3．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 例4．当1t x t ≤≤+时，求函数21522 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数21522 y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t = --； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+?≤≤时： 当1x =时，2min 1511322 y = ?--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +? 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 二次函数求最值(经济类问题) 例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系． 二次函数的极值问题 中考考点说明 ?求二次函数的极值是中考热点，往往出现在压轴题中，多与面积、利润、成本等相结合。 ?其攻略途径为： ?一、写出二次函数的解析式并化为顶点式； ?二、确定自变量的取值范围，画出大致形状，范围内的用实线，外的用虚线； ?三、判断x 是否在其范围内，若在，则极值为顶点的纵坐标；若不在，就要根据其增减性求极值 知识链接 1.函数y=a(x-h)2 +k中，顶点坐标是。 2.二次函数y=ax2+bx+c，顶点坐标是。 当a>0时，X= 时，函数有最值，是； 当a<0时，X= 时，函数有最值，是。 一、利润问题 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析:调整价格包括涨价和降价两种情况 先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖件，实际卖出件,每件利润为元，因此，所得利润为元 即y=-10（x-5）2+6250(0≤X≤30) 在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案。 解：设降价a元时利润最大，则每星期可多卖20a件，实际卖出（300+20a)件，每件利润为（60-40-a）元，因此，得利润 b=(300+20a)(60-40-a) =-20(a2-5a+6.25)+6150 =-20（a-2.5）2+6150 （0≤a≤20） 解决这类问题的一般步骤： （1）依据变量之间的关系列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； 二次函数的最值问题举例（附练习、答案） 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数21522 y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t = --； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+?≤≤时： 当1x =时，2min 1511322 y = ?--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +? 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤． (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式； (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元， 那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-． 2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤ (2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-?+?-= 二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 2—1二次函数的极值与二次不等式 一、内容纲要： 壹、二次函数的极值： 二次函数c bx ax x f y ++==2 )(a b a c a b x a 44)2(2 2 -+ + = 1.若0>a 时, )(x f 有最小值a b ac 442 -。 2.若0a 时，不等式02>++c bx ax 的解为所有实数。 （2）当0 （1）当0>a 时 ◆不等式02>++c bx ax 的解为α>x 或β 二次函数最值问题(含答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 二次函数最值问题 一．选择题（共8小题） 1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（） A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 2．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．6 3．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（） A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3 4．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在 5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125 B．4 C．2 D．0 6．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（） A．B．2 C．D． 8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（） A．7 B．7.5 C．8 D．9 二．填空题（共2小题） 9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是． 10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上， =6．当线段OM最长时，点M的坐标为． 点M在x轴负半轴上，S △ABM 三．解答题（共3小题） 11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）， ①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标； ②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m． 二次函数最值的4种解法，看完不惧压轴题！从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。 在这里小编以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。 一、题目： 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点。 (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。 解答： (1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3； (2)Q(－1，2)； 下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法． 解法1： 补形、割形法 几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。 方法一： 如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3 方法二： 如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3 我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 根据上述方法，本题解答如下： 解：如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F． 中考数学 二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时， max 5y =． 【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时， max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要 二次函数的最值以及单调性 （唐翔） （陕西师范大学陕西西安710062） 摘要二次函数在闭区[A,B]上的最值、单调性是我们的难点，我们要掌握它，并且运用它 关键词二次函数、最大值、最小值、单调性、 单调函数 引言二次函数虽然是初中的内容，但它一直贯穿于我们的学习中，是我们数学中的一大难点，要想学好数学，必须要掌握和运用二次函数。 正文 定义：最高次数为2次的函数叫做二次函数 定理：设f（x）是定义在[A,B]上的二次函数 则- f（x）与f（x）关于（即x轴）对称。 由以上定理，要知道二次函数的最大值、最小值、单调性，我们只需知道其中另一种。 易见，最大值、最小值、单调性与对称轴密切相关。 不妨设f（x）=a+bx+c（a>0）且a，b，c为常数，则对称 轴l：x=-顶点坐标（-，） （1）当x=-≥B时f（x）在闭区[A,B]上单调递减 f（x）的最大值是f（A）=+bA+c f（x）的最小值是f（B）=+bB+c （2）当x=-≤A时f（x）在闭区[A,B]上单调递增 f（x）的最大值是f（B）=+bB+c f（x）的最小值是f（B）=+bB+c （3）当A<- i ）当--A ≥B-(-)时， f （x ）的最大值是 f （A ）=+bA+c ii ）--A ＜B-(-)时， f （x ）的最大值是f （B ）=+bB+c 总结 二次函数在闭区[a,b]上必有的最大值、最小最、在对称轴 两边分别单调，为了简便算最大值、最小值，当区间不包括对称轴时分别作出f （A ）f （B ）作比较得出结果;当区间不包括对称轴时做出顶纵坐标f （A ）f （B ）作比较得出结果 二次函数最值的应用教案 丰林中学任志库一、教学目标 （一）知识与技能 1、会通过配方或公式求出二次函数的最大或最小值； 2、在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值； （二）过程与方法 通过实例的学习，培养学生尝试解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养学生用数学的意识。 （三）情感态度价值观 1、使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心； 2、通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法，从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。 四、教学重点与难点 1、教学重点：实际问题中的二次函数最值问题。 2、教学难点：自变量有范围限制的最值问题。 二、课堂教学设计过程 （一）复习导入以旧带新 1、二次函数的一般形式是什么？并说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标。 2、二次函数y=－x2+4x－3的图象顶点坐标是（）当x 时，y 有最值，是______。 3、二次函数y=x2+2x-4的图象顶点坐标是（）当x 时，y有最值，是______。 分析：由于函数的自变量的取值范围是全体实数，所以只要确定他们的图像有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值。 设计意图：复习与本节课有关的知识，可充分调动学生思维的积极性，又为新课做好准备。 （二）创设情境，导入新课 1、试一试： 例1. 有长为30米得篱笆，利用一面墙（墙的长 度不超过10米），围成中间隔有一道篱笆（平行 于BC）的矩形花圃。设花圃的一边BC为x米， 面积为y平方米。 （1）求y与x的函数关系式； （2）能否使所围矩形花圃的面积最大？如果能，求出最大的面积；如果不能，请说明理由。 设计意图：让学生从已学的用配方法或公式法求二次函数的最值，在教学时，可让学生充分讨论、发言，培养学生的合作探究精神，可让学生感受到成功的喜悦。 2。直击中考： 例2.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么一个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在一个月内获得最大利润? 分析：解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，求出自变量的取值范围，结合图像和二次函数的性质求w的最大值。二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)
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