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2011 直线与圆的位置关系

2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编

第33章直线与圆的位置关系

一、选择题

1. （2011宁波市，11，3分）如图，⊙O 1的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2

垂直AB 与P 点，O 1O 2＝8．若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转

360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现

A ． 3次

B ．5次

C ． 6次

D ． 7次【答案】B

2. （2011浙江台州，10,4分）如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是（）

A .

13 B .5 C . 3 D .2

【答案】B

3. （2011浙江温州，10，4分）如图，O 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，⊙O 边AB ，BC 都相切，点E ，F 分别在边AD ，DC 上．现将△DEF 沿着EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE ＝2

，则正方形ABCD 的边长是( )

A ．3

B ．4

C ．22

D ．22 【答案】C

4. （2011浙江丽水，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（） x y

110

B C

A ．点(0，3)

B ．点(2，3)

C ．点(5，1)

D ．点(6，1) 【答案】C

5. （2011浙江金华，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，

B ，

C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）

B C

A ．点（0，3）

B ．点（2，3）

C ．点（5，1）

D ．点(6，1) 【答案】C

6. （2011山东日照，11，4分）已知AC ⊥BC 于C ，BC =a ，CA =b ，AB =c ，下列选项中⊙O 的半径为

a a

b 的是（）

【答案】C

7. （2011湖北鄂州，13，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=

（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°

【答案】D

8. (2011 浙江湖州，9，3)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，

过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，则CD ：DE 的值是

A ．

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C

9. （2011台湾全区，33）如图(十五)，AB 为圆O 的直径，在圆O 上取异于A 、B 的一点C ，并连接BC 、

AC ．若想在AB 上取一点P ，使得P 与直线BC 的距离等于AP 长，判断下列四个作法何者正确？

O P

第13题图

A ．作AC 的中垂线，交A

B 于P 点 B ．作∠ACB 的角平分线，交AB 于P 点

C ．作∠ABC 的角平分线，交AC 于

D 点，过D 作直线BC 的并行线，交AB 于P 点 D ．过A 作圆O 的切线，交直线BC 于D 点，作∠ADC 的角平分线，交AB 于P 点

【答案】Ｄ 10．（2011甘肃兰州，3，4分）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A=25°，则∠D 等于

A ．20°

B ．30°

C ．40°

D ．50°

【答案】C

11. （2011四川成都，10,3分）已知⊙O 的面积为29cm π，若点0到直线l 的距离为cm π，则直线l 与⊙O 的位置关系是C

(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定【答案】C

12. (2011重庆綦江，7，4分) 如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点是A 、B ，已知∠P ＝60°，OA ＝3，那么∠AOB 所对弧的长

度为（）

A ．6л

B ．5л

C ．3л

D ．2л

【答案】：D

13. （2011湖北黄冈，13，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=

（）[来源:学,科,网Z,X,X,K] A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°

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【答案】D

14. （2011山东东营，12，3分）如图，直线333y x =+

与x 轴、y 分别相交与A 、

B 两点，圆心P 的坐标为（1，0），圆P 与y 轴相切与点O 。若将圆P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P ′的个数是（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ． 5

【答案】B

15. （2011浙江杭州，5，3）在平面直角坐标系xOy 中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（）

A ．与x 轴相交，与y 轴相切

B ．与x 轴相离，与y 轴相交

C ．与x 轴相切，与y 轴相交

D ．与x 轴相切，与y 轴相离【答案】C

16. （2011山东枣庄，7，3分）如图，P A 是O ⊙的切线，切点为A ，PA =23,∠APO =30°，则O ⊙的半径为（）

A .1

B .3

C .2

D .4 【答案】C 二、填空题

1. （2011广东东莞，9，4分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点，连结BC.若∠A ＝40°，则∠C ＝ °

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【答案】0

2. （2011四川南充市，13，3分）如图，PA ，PB 是⊙O 是切线，A ，B 为切点， AC 是⊙O 的直径，若∠BAC=25°，则∠P= __________度.

O P A

O P

第13题图

第16题图

【答案】50

3. （2011浙江衢州，16,4分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r .用角尺的较短边紧靠O ，并使较长边与O 相切于点C

.假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm A B =.若读得B C 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .

【答案】当08a <≤时，r a =；当2

118 4.08,

;416

a r a r r a r a >=

+<≤==

+时，或当当.

4. (2011浙江绍兴，16，5分) 如图，相距2cm 的两个点,A B 在在线l 上，它们分别以2 cm/s 和1 cm/s 的速度在l 上同时向右平移，当点,A B 分别平移到点11,A B 的位置时，半径为1 cm 的1A 与半径为1B B 的B 相切，则点A 平移到点1A 的所用时间为 s.

【答案】133

或

5. （2011江苏苏州，16,3分）如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.

【答案】1

6. （2011江苏宿迁,17,3分）如图，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO 并延长交圆于点C ，连接BC ．若

∠A ＝26°，则∠ACB 的度数为 ▲ ．

（第16题）

A B

O C

【答案】32

7. （2011山东济宁，13，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，BC =4cm ，以点C 为圆心，以3cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是．

【答案】相交

8. （2011广东汕头，9，4分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点，连结BC.若∠A ＝40°，

则∠C ＝ °

【答案】0

9. （2011山东威海，17，3分）如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC ）纸片放置成轴对称图形，∠ACB =90°,CD ⊥AB ,垂足为D ，半圆（量角器）的圆心与点D 重合，没得CE ＝5cm ，将量角器沿DC 方向平移2cm ，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC 、BC 相切，如图②，则

AB 的长为 cm.（精确到0.1cm ）

图① （第17题）图②

[来源:学+科+网Z+X+X+K] 【答案】 24.5 10．（2011四川宜宾,11,3分）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则∠BAC=_____．

【答案】20°

11. （2010湖北孝感，18，3分）如图，直径分别为CD 、CE 的两个半圆相切于点C ，大半

圆M 的弦AB 与小半圆N 相切于点F ，且AB ∥CD ，AB=4，设 C

D 、 C

E 的长分别为x 、y ，线段ED

的长为z ，则z （x+y ）= .

（第11题图）

C B

第13题

【答案】8π

12. （2011广东省，9，4分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点，连结BC.若∠A ＝40°，则∠C ＝ °[

来源:学*科*网]

【答案】0

25 三、解答题

1. （2011浙江义乌，21，8分）如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E . ⊙O 的切线BF 与弦AD 的

延长线相交于点F ，且AD =3，cos ∠BCD= . （1）求证：CD ∥BF ；（2）求⊙O 的半径；（3）求弦CD 的长.

【答案】（1）∵BF 是⊙O 的切线 ∴AB ⊥BF ∵AB ⊥CD

∴CD ∥BF

（2）连结BD ∵AB 是直径 ∴∠ADB =90° ∵∠BCD =∠BAD cos ∠BCD =4

∴cos ∠BAD =

3 AB

又∵AD =3 ∴AB =4 ∴⊙O 的半径为2

EC O C

E O C

（3）∵cos ∠DAE =

AE AD =3∴AE =

∴ED =4734932

=??

??-

∴CD =2ED =37

2. （2011浙江省舟山，22，10分）如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ．

（1）求证：CA 是圆的切线；

（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =

2，tan ∠AEC =3

5，求圆的直径．

【答案】（1）∵BC 是直径，∴∠BDC =90°，∴∠ABC +∠DCB=90°，∵∠ACD =∠ABC ， ∴∠ACD +∠DCB=90°，∴BC ⊥CA ，∴CA 是圆的切线． (2)在Rt △AEC 中，tan ∠AEC=53

，∴

A C

E C =,35

E C A C =

;

在Rt △ABC 中，tan ∠ABC=

23，∴

A C

B C

,32

B C A C =; ∵BC -EC=BE ，BE =6，∴3362

A C A C -=,解得AC =203

∴BC=

3201023

?=．即圆的直径为10.

3. （2011安徽芜湖，23，12分）如图，已知直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠

PAE ，过C 作C D P A ⊥，垂足为D .

(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；

(2) 若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度.

\【答案】

（1）证明：连接OC ， ……………………………………1分

（第22题）

A B

因为点C 在⊙O 上，OA =OC ，所以.O C A O A C ∠=∠ 因为C D P A ⊥，所以90CDA ∠= ，有90CAD DCA ∠+∠= .因为AC 平分∠PAE ，所以.D A C C A O ∠=∠……………3分

所以90.DCO DCA ACO DCA CAO DCA DAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠= ……4分又因为点C 在⊙O 上，OC 为⊙O 的半径，所以CD 为⊙O 的切线. ………………5分（2）解:过O 作O F AB ⊥，垂足为F ，所以

90OCD CDA OFD ∠=∠=∠=

，

所

以四边形OC DF 为矩形

，所以

,.OC FD OF CD == ……………………………7分

因为DC +DA =6，设A D x =,则6.O F C D x ==-

因为⊙O 的直径为10，所以5D F O C ==，所以5A F x =-. 在R t A O F △中，由勾股定理知222.AF OF OA += 即()()2

5625.x x -+-=化简得211180x x -+=，

解得2x =或x=9. ………………9分由A D D F <，知05x <<，故2x =. ………10分从而AD =2，52 3.A F =-= …………………11分

因为O F AB ⊥，由垂径定理知F 为AB 的中点，所以2 6.A B A F ==…………12分

4. （2011山东滨州，22，8分）如图，直线PM 切⊙O 于点M ,直线PO 交⊙O 于A 、B 两点，弦AC ∥PM , 连接

OM 、BC .

求证：（1）△ABC ∽△POM ;

(2)2OA 2=OP ·BC .

【答案】证明：（1）∵直线PM 切⊙O 于点M ，∴∠PMO=90°………………1分

∵弦AB 是直径，∴∠ACB=90°………………2分

∴∠ACB=∠PMO ………………3分

∵AC ∥PM, ∴∠CAB=∠P ………………4分

∴△ABC ∽△POM ………………5分 (2) ∵ △ABC ∽△POM, ∴

A B

B C

P O O M =

………………6分

又AB=2OA,OA=OM, ∴2O A B C

P O O A

=………………7分 ∴2OA 2

=OP ·BC ………………8分

5. （2011山东菏泽，18，10分）如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =2，ED =4，

(1)求证：△ABE ∽△ADB ； (2)求AB 的长；

(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．

（第22题图）

O C

解：(1)证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C ，

∵∠C =∠D ，∴∠ABC =∠D ，又∵∠BAE =∠EAB ，∴△ABE ∽△ADB ，

(2) ∵△ABE ∽△ADB ，∴

AE AD

，

∴AB 2

=AD ·AE =(AE ＋ED )·AE =(2＋4)×2=12

∴AB =23．

(3) 直线FA 与⊙O 相切，理由如下：

连接OA ，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD =90°，

∴2

12(24)43BD AB AD =

++=，

BF =BO =1232

BD =，

∵AB =23，∴BF =BO =AB ，可证∠OAF =90°，

∴直线FA 与⊙O 相切．

6. （2011山东日照，21，9分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D ．求证：（1）∠AOC =2∠ACD ；

（2）AC 2＝AB ·AD ．

【答案】证明：（1）∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD =90°，

即∠ACD +∠ACO =90°．…① ∵OC=OA ，∴∠ACO =∠CAO ，

∴∠AOC =180°-2∠ACO ，即

1∠AOC +∠ACO =90°. ② 由①，②，得：∠ACD -

1∠AOC =0，即∠AOC =2∠ACD ；

（2）如图，连接BC ．

∵AB 是直径，∴∠ACB =90°．在Rt △ACD 与△Rt ACD 中， ∵∠AOC =2∠B ，∴∠B =∠ACD ， ∴△ACD ∽△ABC ，∴

AD AB

AC =，即AC 2

=AB ·AD ．

E B

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7. （2011浙江温州，20，8分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点

F ．已知OA ＝3，AE ＝2，

(1)求CD 的长； (2)求BF 的长．

【答案】解：(1)连结OC ，在Rt △OCE 中，22

9122C E O C O E

-=．

∵CD ⊥AB ，

∴342CD CE ==

(2) ∵BF 是⊙O 的切线， ∴FB ⊥AB ， ∴CE ∥FB ， ∴△ACE ∽△AFB ， ∴

C E AE BF

=，

2226

B F

，

∴62BF =

8. （2011浙江省嘉兴，22，12分）如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ．

（1）求证：CA 是圆的切线；

（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =

2，tan ∠AEC =3

5，求圆的直径．

[来源:学_科_网]

【答案】（1）∵BC 是直径，∴∠BDC =90°，∴∠ABC +∠DCB=90°，∵∠ACD =∠ABC ， ∴∠ACD +∠DCB=90°，∴BC ⊥CA ，∴CA 是圆的切线． (2)在Rt △AEC 中，tan ∠AEC=

，∴

A C

E C

,35

E C A C =

;

（第22题）

A B

在Rt △ABC 中，tan ∠ABC=

，∴

A C

B C

,32

B C A C =

; ∵BC -EC=BE ，BE =6，∴3362

A C A C -=,解得AC =203

∴BC=

3201023

?=．即圆的直径为10.

9. （2011广东株洲，22，8分）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，AC 交⊙O 于点E ，D 为AC 上一点，∠AOD=

∠C ．

（1）求证：OD ⊥AC ；（2）若AE=8，3tan 4

A =

，求OD 的长．

【答案】（1）证明：∵BC 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径 ∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°，又∵∠AOD=∠C ， ∴∠AOD+∠A=90°， ∴∠ADO=90°， ∴OD ⊥AC.

（2）解：∵OD ⊥AE ，O 为圆心， ∴D 为AE 中点， ∴1A D =

A E =42

，又3tan 4

A = ，∴ OD=3.

10．（2011山东济宁，20，7分）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF ，

（1）求证：OD ∥BE ；

（2）猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由．

【答案】（1）证明：连接OE ，

∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径，

∴∠ADO=∠EDO ，∠DAO=∠DEO =90°，

∴∠AOD=∠EOD=1

∠AOE ，

∵∠ABE=1

∠AOE ，∴∠AOD=∠ABE ，

∴OD ∥BE

（2）OF =1

CD ，

理由：连接OC ，

∵BC 、CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCB=∠OCE

∵AM ∥BN ，

∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得∠ADO=∠EDO ，

∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°

在Rt △DOC 中，∵F 是DC 的中点，

∴OF=1

CD ．

11. （2011山东聊城，23，8分）如图，AB 是半圆的直径，点O 是圆心，点C 是OA 的中点，CD ⊥OA 交半圆于点D ，

点E 是 BD

的中点，连接OD 、AE ，过点D 作D P ∥AE 交BA 的延长线于点P ，（1）求∠AOD 的度数；

（2）求证：P D 是半圆O 的切线；

A 第20题

第20题

【答案】（1）∵点C 是OA 的中点，∴OC ＝

1OA ＝

1OD ，∵CD ⊥OA ，∴∠OCD ＝90°，在Rt △OCD 中，cos ∠COD

＝

OC ，∴∠COD ＝60°，即∠AOD ＝60°，

（2）证明：连接OC ，点E 是BD 弧的中点，DE 弧＝BE 弧，∴∠BOE ＝∠DOE ＝2

1∠DOB ＝

1 (180°－∠COD )＝60°，

∵OA ＝OE ，∴∠EAO ＝∠AEO ，又∠EAO ＋∠AEO ＝∠EOB ＝60°，∴∠EAO ＝30°，∵P D ∥AE ，∴∠P ＝∠EAO ＝30°，由（1）知∠AOD ＝60°，∴∠P DO ＝180°－(∠P ＋∠P OD )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴P D 是圆O 的切线

12. （2011山东潍坊，23，11分）如图，AB 是半圆O 的直径，AB =2.射线AM 、BN 为半圆的切线.在AM 上取一点D ，

连接BD 交半圆于点C ，连接AC .过O 点作BC 的垂线OE ，垂足为点E ，与BN 相交于点F .过D 点做半圆的切线DP ，切点为P ，与BN 相交于点Q . （1）求证：△ABC ∽ΔOFB ；

（2）当ΔABD 与△BFO 的面积相等时，求BQ 的长；（3）求证：当D 在AM 上移动时（A 点除外），点Q 始终是线段BF 的中点.

【解】（1）证明：∵AB 为直径， ∴∠ACB =90°，即AC ⊥BC .

又∵OE ⊥BC ，∴OE //AC ，∴∠BAC =∠FOB . ∵BN 是半圆的切线，故∠BCA =∠OBF =90°. ∴△ACB ∽△OBF .

（2）由△ACB ∽△OBF ，得∠OFB =∠DBA ，∠DAB =∠OBF =90°， ∴△ABD ∽△BFO ，

当△ABD 与△BFO 的面积相等时，△ABD ≌△BFO .

∴AD =BO=1

AB =1.

∵DA ⊥AB ，∴DA 为⊙O 的切线. 连接OP ，∵DP 是半圆O 的切线， ∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1， ∴四边形ADPO 为正方形.

∴DP//AB ，∴四边形DABQ 为矩形. ∴BQ =AD =1.

（3）由（2）知，△ABD ∽△BFO ，

∴

O B AD =

，∴2

BF AD

∵DPQ 是半圆O 的切线，∴AD =DP ，QB =QP .

过点Q 作AM 的垂线QK ，垂足为K ，在Rt △DQK 中，222D Q Q K D K =+， ∴()()2

22AD BQ AD BQ +=-+， ∴1BQ AD

，∴

BF =2BQ ，∴Q 为BF 的中点.

13. （2011四川广安，29，10分）如图8所示．P 是⊙O 外一点．PA 是⊙O 的切线．A 是切点．B 是⊙O 上一点．且P A =PB ，

连接AO 、BO 、AB ，并延长BO 与切线PA 相交于点Q ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）求证： AQ ?PQ = OQ ?BQ ；

（3）设∠AOQ =α．若cos α=

．OQ = 15．求AB 的长

【答案】（1）证明：如图，连结OP ∵PA=PB ，AO=BO ，PO=PO ∴△APO ≌△BPO ∴∠PBO=∠PAO=90° ∴PB 是⊙O 的切线（2）证明：∵∠OAQ=∠PBQ=90° ∴△QPB ∽?QOA

∴

PQ BQ O Q

= 即AQ ?PQ = OQ ?BQ

（3）解：cos α=A O O Q

∴AO =12[来源:https://www.wendangku.net/doc/125736654.html,]

∵△QPB ∽?QOA ∠BPQ=∠AOQ=α ∴tan ∠BPQ=

BQ PB

∴PB =36 PO=1210

∵1

AB ?PO = OB ?BP ∴AB =

36105

_ Q

_ O

_ B

_ A

图8

14. （2011江苏淮安，25，10分）如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O ，交⊙O 于点C ，∠DAB=∠B=30°. (1)直线BD 是否与⊙O 相切？为什么？(2)连接CD ，若CD=5，求AB 的长.

【答案】(1)答：直线BD 与⊙O 相切.理由如下：如图，连接OD ，

∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°， ∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°，即OD ⊥

BD ， ∴直线BD 与⊙O 相切.

(2)解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°， ∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°，又∵OC=OD ，

∴△DOB 是等边三角形， ∴OA=OD=CD=5. 又∵∠B=30°，∠ODB=30°， ∴OB=2OD=10.

∴AB=OA+OB=5+10=15.[来源:学科网][来源:学。科。网Z 。X 。X 。K]

_ Q

_ O

_ B

_ A

图8

15. （2011江苏南通，22，8分）（本小题满分8分）

如图，AM 为⊙O 的切线，A 为切点，BD ⊥AM 于点D ，BD 交⊙O 于C ，OC 平分∠AOB .求∠B 的度数.

【答案】60°.

16. （2011四川绵阳22，12）如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠BAD =90°，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切. (1)求证：OB 丄OC ;

(2)若AD = 12，∠ BCD =60°，⊙O 1与半⊙O 外切，并与BC 、CD 相切，求⊙O 1的面积.

【答案】（1）证明：连接OF,在梯形ABCD ，在直角△AOB 和直角△AOB F 中 ∵???AO=FO OB=OB

∴△AOB ≌△AOB （HL ）

同理△COD ≌△COF,∴∠BOC=90°，即OB ⊥OC

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(2) 过点做O 1G,O 1H 垂直DC,DA,∵∠DOB=60°，∴∠DCO=∠BCO=30°，设O 1G=x,又∵AD=12,∴OD=6，DC=63,OC=12,CG=3x, O 1C =6-x,根据勾股定理可知O 1G2+GC2=O 1C2 x2+3x2=（6-x ）2∴(x-2)(x+6)=0,x=2

17. （2011四川乐山24，10分）如图，D 为 O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD. (1)求证:CD 是⊙O 的切线;

(2)过点B 作 O 的切线交CD 的延长线于点E,若BC=6,tan ∠CDA=23

,求BE 的长

【答案】

⑴证明：连接OD

∵OA=OD

∴∠ADO=∠OAD

∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADO+∠BDO=90°

∴在Rt ΔABD 中，∠ABD+∠BAD=90° ∵∠CDA=∠CBD

∴∠CDA+∠ADO=90° ∴OD ⊥CE

即CE 为⊙O 的切线

18. （2011四川凉山州，27，8分）如图，已知A B C △，以B C 为直径，O 为圆心的半圆交A C 于点F ，点E 为C F 的中点，连接B E 交A C 于点M ，A D 为△A B C 的角平分线，且A D B E ⊥，垂足为点H 。（1）求证：AB 是半圆O 的切线；（2）若3A B =，4B C =，求B E 的长。

【答案】

⑴证明：连接E C ，

∵B C 是直径 ∴90E ∠=

有∵A D B E ⊥于H ∴90AHM ∠= ∵12∠=∠ ∴34∠=∠ ∵A D 是A B C △的角平分线 ∴453∠=∠=∠

又 ∵E 为 C

F 的中点 ∴375∠=∠=∠ ∵A D B E ⊥于H

∵5690∠+∠= 即6790∠+∠=

又∵B C 是直径 ∴AB 是半圆O 的切线 ···4分

（2）∵3A B =，4B C =。

由（1）知，90ABC ∠= ，∴5A C =。

在A B M △中，AD BM ⊥于H ，A D 平分B A C ∠， ∴3AM AB ==，∴2C M =。由C M E △∽B C E △，得12

E C M C E B

C B

==。

∴2E B E C =， ∴855

B E =

。

19. （2011江苏无锡，27，10分）(本题满分10分)如图，已知O (0，0)、A (4，0)、B (4，3)。动点P 从O 点出发，以每

秒3个单位的速度，沿△OAB 的边OA 、AB 、BO 作匀速运动；动直线l 从AB 位置出发，以每秒1个单位的速度向x 轴负方向作匀速平移运动。若它们同时出发，运动的时间为t 秒，当点P 运动到O 时，它们都停止运动。[来源:学科网ZXXK]

(1)当P 在线段OA 上运动时，求直线l 与以点P 为圆心、1为半径的圆相交时t 的取值范围；

(2)当P 在线段AB 上运动时，设直线l 分别与OA 、OB 交于C 、D ，试问：四边形CPBD 是否可能为菱形？若能，求

出此时t 的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l 的出发时间，使得四边形CPBD 会是菱形。

D A O A H A

A E A

M A

F A A

27题图

【答案】

解：(1)当点P在线段OA上时，P(3t，0)，…………………………………………………………(1分) ⊙P与x轴的两交点坐标分别为(3t? 1，0)、(3t + 1，0)，直线l为x = 4 ?t，

若直线l与⊙P相交，则

?3t? 1 < 4 ?t，

4 ?t < 3t + 1．

……………(3分)

解得：

< t <

．……………………………………………………………………(5分)

(2)点P与直线l运动t秒时，AP = 3t? 4，AC = t．若要四边形CPBD为菱形，则CP // OB，

∴∠PCA = ∠BOA，∴Rt△APC ∽ Rt△ABO，∴

，∴

3t? 4

，解得t =

，……(6分) 此时AP =

，AC =

，∴PC =

，而PB = 7 ? 3t =

≠PC，

故四边形CPBD不可能时菱形．……………………………………………(7分)

(上述方法不唯一，只要推出矛盾即可)

现改变直线l的出发时间，设直线l比点P晚出发a秒，

若四边形CPBD为菱形，则CP // OB，∴△APC∽△ABO，

，∴

3t? 4

7 ? 3t

t?a

，

即：

?3t? 4

7 ? 3t

，

3t? 4

t?a

．

，解得

?t = 41

a =

∴只要直线l比点P晚出发

秒，则当点P运动

秒时，四边形CPBD就是菱形．………………(10分)

20．（2011湖北武汉市，22，8分）（本题满分8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．

（1）求证：PB为⊙O的切线；

（2）若tan∠ABE=

，求sinE的值．

【答案】(本题8分)（1）证明：连接OA

∵PA为⊙O的切线，

∴∠PAO=90°

∵OA＝OB，OP⊥AB于C

∴BC＝CA，PB＝PA

∴△PBO≌△PAO

∴∠PBO＝∠PAO＝90°

O x