求下列函数的拉氏变换
B2.1 求下列函数的拉氏变换：
B2.2 求下列函数的拉氏反变换：
B2.3 求下列矩阵的逆矩阵：
B2.4 在图B2.4所示的电路中电压u1(t)为输入量，试以电压u2(t)或u C2(t)作为输出量，分别列写该系统的微分方程。
图B2.4 电路原理图
B2.5 图B2.5是一种地震仪的原理图，其壳体1固定在地基2上，重锤3的质量为m，由装在壳体上的弹簧和阻尼器支承。图中x为壳体相对于惯性空间的位移，z为质量m相对于惯性空间的位移，y=x-z为质量m相对于壳体的位移，可由指针4指示出来。当地震时壳体随地基上下震动，但由于惯性的作用使得重锤的运动幅度很小，故它与壳体之间的相对运动幅度y就近似等于地震的幅度。设重锤的质量为m(kg),弹簧的刚性系数为k(N/m)，阻尼器的粘性摩擦系数为f(N·s/m)，试列写以指针位移y为输出量时系统的微分方程。(注：z为静平衡时质量m的位移，重力使弹簧产生的变形已经加以考虑了。)
图B2.5 地震仪原理图
图B2.6 机械系统原理图
B2.6 设机械系统如图B2.6所示，图中z i为输入位移，z o为输出位移。试分别列写各系统的微分方程。
B2.7 例A1.2所讨论的液位控制系统(如图1.29所示)，设液箱的横截面积为S，希望的液位高度为h 0,若液位高度的变化率与液体流量差(Q1-Q2)成正比，试列写以液位高度为输出量时系统的微分方程。
B2.8 设系统的微分方程为
试用拉氏变换法进行求解。
B2.9 已知控制系统的微分方程(或微分方程组)为
式中r(t)为输入量，y(t)为输出量，z1(t)、z2(t)和z3(t)为中间变量，τ、β、K1和K2均为常数。
试求：(a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含有哪些典型环节?
B2.10 求题B2.4～B2.7各系统的传递函数。
B2.11 设控制系统的结构图如图B2.11所示，图中G1(s)和G2(s)所对应环节的微分方程分别为0.125u?+u=e?+3e和0.5y¨+y?=2u，试求该系统的传递函数Y(s)/R(s)和E(s)/R(s)。
图B2.11 控制系统方块图
B2.12 已知控制系统在零初始条件下，由单位阶跃输入信号所产生的输出响应为 y(t)=1+e-t-2e－2t试求该系统的传递函数，和零极点的分布并画出在S平面上的分布图。
B2.13 求图B2.13所示无源网络的传递函数U o(s)/U i(s)。
图B2.13 无源网络原理图
B2.14 求图B2.14所示运算放大器的传递函数U o(s)/U i(s)。
图B2.14 有源网络原理图
B2.15 已知控制系统的结构图如图B2.15所示，试应用结构图等效变换法求各系统的传递函数。
图B2.15 控制系统结构图
B2.16 已知控制系统的信号流图如图B2.16所示，试分别应用信号流图化简规则和梅森公式求各系统的传递函数。
图B2.16 控制系统信号流图
B2.17 求图B2.17所示闭环控制系统的传递函数Φ(s)=Y(s)/R(s)和Φe(s)=E(s)/R(s)。
图B2.17 闭环控制系统信号流图(简记Ｇi=G i(s)，H i=H i(s)，R=R(s)，E=E(s)，Y=Y(s)) B2.18 已知控制系统的结构图，如图B2.18所示。要求：(1)分别应用结构图等效变换法和梅森公式求各闭环系统的传递函数Y(s)/R(s)和E(s)/R(s)；(2)欲使图B2.18(a)系统的输出Y(s)不受扰动D(s)的影响，试问其条件是什么?
图B2.18 控制系统结构图
B2.19 已知多变量控制系统的结构图或信号流图，如图B2.19所示。试求：(1)各系统的输入输出传递函数阵；(2)列写图(c)所示系统的受控对象、控制器和反馈通道的传递函数阵G(s)、G c(s)和H(s)；(3)用两种方法写出图(c)所示系统的闭环传递函数阵Φ(s)。
B2.20 将下列微分方程组写成向量矩阵形式的状态空间表达式：
u2为网络的输出电压。
图B2.21 电路系统原理图
B2.22 图B2.22所示为一个质量-弹簧系统，设两个物体的质量分别为m1和m2，两个弹簧的刚性系数分别为k1和k2，不计摩擦的作用，该机械系统的输入量为外作用力F(t)，输出量为质量m2的位移y(t)。试求：(1)系统的状态空间表达式；(2)系统的结构图及其输入输出传递函数。
图B2.22 质量 弹簧系统原理图
B2.23 已知控制系统的状态变量图，如图B2.23所示。要求：(1)确定状态变量并列写系统的状态空间表达式；(2)求系统的闭环传递函数。
图B2.23 控制系统状态变量图
B2.24 已知系统的状态空间表达式如下所示，试求各系统的传递函数(阵)：
B2.25 已知系统的状态方程如下所列，试求该系统的输入输出微分方程：
B2.26 设系统的传递函数为
试用时域法求系统的状态空间表达式：(1)选取状态变量 x1=y,x2=y?，列写系统的状态方程；
(2)选取状态变量，列写系统的状态方程，并确定上述两种形式状态方程之间的线性变换阵P。
B2.27 已知控制系统的传递函数如下所示，试用直接分解法求系统的状态空间表达式：
B2.28 分别用串联分解法和并联分解法，列写下列系统的状态方程：
B2.29 已知控制系统的结构图如图B2.29所示，试用结构图分解法求系统的状态空间表达式。
图B2.29 控制系统结构图
B2.30 试求图B2.30所示机械系统的传递函数，并根据相似性原理画出其模拟电路图。
图B2.30 机械系统原理图
B2.31 试用MATLAB 求题B2.20所示系统的传递函数和零极点的分布。
B2.32 在图B2.32所示的反馈控制系统结构图中，各个环节的传递函数如下所列。试用MATLAB 求系统的状态空间表达式和传递函数以及零极点的分布。
(1)G c (s)=(169.6s+400)/[s(s+4)]
G(s)=(211.87s+317.64)/[(s+20)(s+94.34)(s+0.1684)]
H(s)=1/(0.01s+1)
(2)G c (s)=1/s
G(s)=(35786.7s+108444)/[(s+4)(s+20)(s+74.04)]
H(s)=1/(0.01s+1)
图B2.32 反馈控制系统结构图
B2.33 已知控制系统的状态空间表达式为
[]x
y u x x 011101100
03
0013=??????????+????????????=? 试用MATLAB 求：(1)系统的传递函数；(2)系统零极点、传递函数零极点以及系统的解耦零点。
拉氏变换和z变换表
附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.拉氏变换的基本性质 附表A-1 拉氏变换的基本性质 1()([n n k f t dt s s -+= +∑?个
2．常用函数的拉氏变换和z变换表 附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,, ,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理 可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3）
式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝1 i n s t i i c e =∑ (F-4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算： )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ 11lim [()()]i r r s s d c s s F s ds -→=- )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) )()(lim )!1(11)1() 1(11s F s s ds d r c r r r s s --=--→ 原函数)(t f 为 [])()(1 s F L t f -= ??????-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11 111 1111)()() ( t s n r i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+?? ????+++-+-=112211 1 )!2()!1( （F-6）
拉普拉斯变换习题集
1. 求下列函数的拉式变换。 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求()t v r 并讨 论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从” “1倒向”“2，求电流()t i 的表示式。 7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示式和波形。 8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求 （1） 系统函数()() () s V s V s H 13=； （2） 若2=K ，求冲激响应。 10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到()()()()()∑∞ =-= =0 ,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求： （1） 抽样信号的拉氏变换()[]t f s L ； （2） 若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。 11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。 （1） 写出电压转移函数()() () s E s V s H 2= ； （2） 画出s 平面零、极点分布； （3） 求冲激响应、阶跃响应。 12. 如图7所示电路， （1） 若初始无储能，信号源为()t i ，为求()t i 1（零状态响应），列出转移函数()s H ； （2） 若初始状态以()01i ，()02v 表示（都不等于0），但()0=t i （开路），求()t i 1（零输入 响应）。
求下列函数的拉氏变换
B2.1 求下列函数的拉氏变换： B2.2 求下列函数的拉氏反变换： B2.3 求下列矩阵的逆矩阵： B2.4 在图B2.4所示的电路中电压u1(t)为输入量，试以电压u2(t)或u C2(t)作为输出量，分别列写该系统的微分方程。 图B2.4 电路原理图 B2.5 图B2.5是一种地震仪的原理图，其壳体1固定在地基2上，重锤3的质量为m，由装在壳体上的弹簧和阻尼器支承。图中x为壳体相对于惯性空间的位移，z为质量m相对于惯性空间的位移，y=x-z为质量m相对于壳体的位移，可由指针4指示出来。当地震时壳体随地基上下震动，但由于惯性的作用使得重锤的运动幅度很小，故它与壳体之间的相对运动幅度y就近似等于地震的幅度。设重锤的质量为m(kg),弹簧的刚性系数为k(N/m)，阻尼器的粘性摩擦系数为f(N·s/m)，试列写以指针位移y为输出量时系统的微分方程。(注：z为静平衡时质量m的位移，重力使弹簧产生的变形已经加以考虑了。)
图B2.5 地震仪原理图 图B2.6 机械系统原理图 B2.6 设机械系统如图B2.6所示，图中z i为输入位移，z o为输出位移。试分别列写各系统的微分方程。 B2.7 例A1.2所讨论的液位控制系统(如图1.29所示)，设液箱的横截面积为S，希望的液位高度为h 0,若液位高度的变化率与液体流量差(Q1-Q2)成正比，试列写以液位高度为输出量时系统的微分方程。 B2.8 设系统的微分方程为 试用拉氏变换法进行求解。 B2.9 已知控制系统的微分方程(或微分方程组)为
式中r(t)为输入量，y(t)为输出量，z1(t)、z2(t)和z3(t)为中间变量，τ、β、K1和K2均为常数。 试求：(a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含有哪些典型环节? B2.10 求题B2.4～B2.7各系统的传递函数。 B2.11 设控制系统的结构图如图B2.11所示，图中G1(s)和G2(s)所对应环节的微分方程分别为0.125u?+u=e?+3e和0.5y¨+y?=2u，试求该系统的传递函数Y(s)/R(s)和E(s)/R(s)。 图B2.11 控制系统方块图 B2.12 已知控制系统在零初始条件下，由单位阶跃输入信号所产生的输出响应为 y(t)=1+e-t-2e－2t试求该系统的传递函数，和零极点的分布并画出在S平面上的分布图。 B2.13 求图B2.13所示无源网络的传递函数U o(s)/U i(s)。 图B2.13 无源网络原理图 B2.14 求图B2.14所示运算放大器的传递函数U o(s)/U i(s)。 图B2.14 有源网络原理图 B2.15 已知控制系统的结构图如图B2.15所示，试应用结构图等效变换法求各系统的传递函数。
拉氏变换和z变换表(精选.)
word. 附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.拉氏变换的基本性质 1()([n n k f t dt s s -+=+∑? 个
2．常用函数的拉氏变换和z变换表 word.
word. 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,, ,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理 可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝1 i n s t i i c e =∑ (F-4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
拉氏变换、传递函数、数学模型18页word文档
拉普拉斯变换的数学方法 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数()t F ，其中0t ≥，则f(t)的拉氏变换记作： 称L —拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)—原函数 拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。 2)当∞→t 时，at Me )t (f ≤，M ，a 为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F （s ）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 1L -—拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。 1．单位阶跃函数 2．单位脉冲函数 3．单位斜坡函数 4．指数函数at e 5．正弦函数sinwt 由欧拉公式：wt sin j wt cos e jwt += 所以，)e e (j 21wt sin jwt jwt --= 6．余弦函数coswt 其它的可见表2-1：拉氏变换对照表
三、拉氏变换的性质 1、线性性质 若有常数k 1，k 2,函数f 1(t),f 2(t),且f 1(t),f 2(t)的拉氏变换为F 1(s),F 2(s), 则 有 ： F k )s (F k )]t (f k )t (f k [L 2112211+=+，此式可由定义证明。 2、位移定理 ?? ?复数域的位移定理实数域的位移定理 (1)实数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a 有 ) s (F e )]a t (f [L as -=-, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表 f(t)延迟时间a. 证明：?∞ --=-0st dt e )a t (f )]a t (f [L ，
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作： 称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。2)当时， ，M，a为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 —拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。 注意：六大性质一定要记住 1．单位阶跃函数
2．单位脉冲函数 3．单位斜坡函数 4．指数函数 5．正弦函数sinwt 由欧拉公式： 所以，
6．余弦函数coswt 其它的可见下表：拉氏变换对照表
三、拉氏变换的性质 1、线性性质 若有常数k 1，k 2 ,函数f 1 (t),f 2 (t),且f 1 (t),f 2 (t)的拉氏变换为F 1 (s),F 2 (s), 则有：，此式可由定义证明。 2、位移定理 (1)实数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有 , 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a. 证明：， 令t-a=τ,则有上式= 例：求其拉氏变换
(完整word版)常用函数的拉氏变换
附录A 拉普拉斯变换及反变换 419
420
421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ （F-1） 式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可 按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
拉氏变换
拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简称拉氏变换。它是一种函数的变换，经变换后，可将时域的微分方程变换成复数域的代数方程。并且在变换的同时，即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，可使解题过程大为简化。因此，对于那些以时间t 为自变量的定常线性微分方程来说，拉氏变换求解法是非常有用的。 在经典自动控制理论中，自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上，因此，拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。本章着重介绍拉氏变换的定义，一些常用时间函数的拉氏变换，拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。最后，介绍用拉氏变换解微分方程的方法。在学习中应注重该数学方法的应用，为后续章节的学习奠定基础。 2.1拉氏变换 2.1.1拉氏变换的定义 若()f t 为实变量时间t 的函数,且0t <时，函数()0f t =，则函数()f t 的拉氏变换记作 [()]f t L 或)(s F ，并定义为： [()]()()e d L st f t F s f t t +∞-==? （2.1） 式中s j σω=+为复变量，()F s 称为()f t 的象函数，称()f t 为()F s 的原函数。原函数是实变量t 的函数，象函数是复变量s 的函数。所以拉氏变换是将原来的实变量函数()f t 转化为复变量函数()F s 的一种积分运算。在本书中，将用大写字母表示相对应的小写字母所代表的函数的拉氏变换。 必
e 1 [1()]1e d L st st t t s s +∞ -+∞-=?=- =? (2.2) 在自动控制系统中，单位阶跃函数相当于一个实加作用信号，如开关的闭合（或断开），加（减）负载等。 ⑵单位脉冲函数 单位脉冲函数如图2.2所示。 其定义为 ()0 t t t δ∞ =?=? ≠? 同时， ()d 1t t δ+∞=? ，即脉冲面积为1。而且有如下特性： ()()d (0)t f t t f δ+∞-∞ ?=? (0)f 为()f t 在0t =时刻的函数值。 (0) ()(0) t f t t t
拉普拉斯变换 习题集
1. 求下列函数的拉式变换。 （1） t t cos 2sin + （2） ()t e t 2sin - （3） ()[]t e t βα--cos 1 （4） ()t e t 732--δ （5） ()t Ω2cos （6） ()()t e t ωαcos +- （7） ()t t αsin 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。 （1） ()()()t u e t f t 2--= （2） ()()()12sin -?=t u t t f （3） ()()()()[]211----=t u u u t t f 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。 （1） () 512+s s （2） ()() 243+++s s s （3） 11 12++s （4） ()RCs s RCs +-11 （5） ()()() 2133+++s s s （6） 22K s A + （7） ()( )[]22βα+++s a s s （8） () 142+-s s e s
（9） ?? ? ??+9ln s s 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。 （1） ()()() 526+++s s s （2） ()()()2132+++s s s 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求 ()t v r 并讨论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从” “1倒向” “2，求电流()t i 的表示式。 7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示 式和波形。 8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得 表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求 （1） 系统函数()()() s V s V s H 13=； （2） 若2=K ，求冲激响应。 10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到 ()()()()()∑∞ =-==0 ,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求： （1） 抽样信号的拉氏变换()[]t f s L ； （2） 若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。 11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。 （1） 写出电压转移函数()()() s E s V s H 2=； （2） 画出s 平面零、极点分布； （3） 求冲激响应、阶跃响应。
拉氏变换常用公式
常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 00)(≥
? ? ∞ -∞ -∞ ----==0 d d ][t s e s e t t te t L st st st 2 01d 1s t e s st == ?∞- 6、正弦函数 0sin 0 )(≥
附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
附录A拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质 附表A-1 拉氏变换的基本性质 419
2．常用函数的拉氏变换和z变换表 附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 420
421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b - 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim ()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= ) ()( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(＝1i n s t i i c e =∑ (F -4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
里氏硬度转化抗拉强度对照表 (1)
里氏硬度转换抗拉强度对照表 HLD HRC HRB HV 抗拉 强度 HLD HRC HRB HV 抗拉 强度 35260.3104 375 64841.2395 35461105379 65041.5398 35661.7106381 65241.7401 35862.4107384 65442404 36063.1108386 65642.3407 36263.8109388 65842.6411 36464.5110393 66042.8414 36665.1111395 66243.1417 36865.8112399 66443.4420 37066.4114402 66643.6423 37267115404 66843.9426 37467.7116404 67044.1429 37668.3117409 67244.4433 37868.9118415 67444.7436 38069.5119418 67644.9439 38270.1120421 67845.2442 38470.6121424 68045.5446 38671.2123427 68245.7449 38871.8124433 68446452 39072.3125437 68646.2456 39272.9126440 68846.5459 39473.4127444 69046.8463 39674129447 69247466 39874.5130451 69447.3469 40075131445 69647.5473 40275.5133459 69847.8476 40476134463 70048480 40676.5135467 70248.3483 40877136471 70448.6487 41077.5138475 70648.8491 41278139480 70849.1494 41478.4141484 71049.3498 41678.9142489 71249.6501 41879.3143493 71449.8505 42079.8145498 71650.1509 42280.2146498 71850.3513 42480.7148503 72050.6516 42681.1149508 72250.8520
拉普拉斯变换表
附录A拉普拉斯变换及反变换 419
420
421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= ) ()( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ())()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---=+ =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -+ +-+ +-+ -+ +-+ -++-- 1 1111111) () () ( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -，m 1 m 1 b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。按 代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []t s n 1 i i n 1i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
拉氏变换表(包含计算公式)
1 拉氏变换及反变换公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑ 1 1 ) 1() 1(1 2 2 2 ) ()() 0()() (0)0()(]) ([) 0()(])([k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ） （ 初始条件为0时 )(]) ([ s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑ ???????????==+-===+=+ + = + = n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 1 1 2 2 2 2 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L )(]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ
控制工程基础习题解答
控制工程基础习题解答 第二章 2-1．试求下列函数的拉氏变换，假定当t<0时，f(t)=0。 (1).()()t t f 3cos 15-= 解：()[]()[]9 553cos 152 +-=-=s s s t L t f L (2). ()t e t f t 10cos 5.0-= 解：()[][ ] ()100 5.05 .010cos 2 5.0+++= =-s s t e L t f L t (3). ()?? ? ? ?+ =35sin πt t f 解：()[]() 252355cos 235sin 2135sin 2 ++=?? ????+=????????? ??+=s s t t L t L t f L π 2-2．试求下列函数的拉氏反变换。 (1).()() 11+= s s s F 解：()[]()??????++=???? ?? +=---11121 111s k s k L s s L s F L ()10111==? ?? ???+=s s s s k ()()111112-=-=+?? ????+=s s s s k ()[]t e s s L s F L ----=?? ????+-=111111 (2).()()() 321 +++= s s s s F 解：()[]()()? ?????+++=???? ?? +++=---3232121 111s k s k L s s s L s F L
()()()122321 1-=-=+??????+++=s s s s s k ()()()233321 2=-=+?? ????+++=s s s s s k ()[]t t e e s s L s F L 231123221-----=?? ????+++-= (3).()()() 2 222 52 2+++++=s s s s s s F 解：()[]()()??????+++++=?? ????+++++=---222222252321 1221 1 s s k s k s k L s s s s s L s F L ()() ()2222222 52 21-=-=+?? ????+++++=s s s s s s s k ()( ) () 3 3 313312 22222 513223222232==-=---=-+---=++?? ????+++++=--=+k k j j j jk k k j s s s s s s s s j s k s k ()[]()()t e e s s s L s s s s L s F L t t cos 32111322223322221211 -----+-=?? ????+++++-=??????+++++- = 2-3．用拉氏变换法解下列微分方程 （1）()()()()t t x dt t dx dt t x d 1862 2=++，其中 ()()00,10===t dt t dx x 解：对方程两边求拉氏变换，得：
拉氏变换常用公式
附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质
表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 )(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 1 1 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
不锈钢管的洛氏硬度、布氏硬度等硬度对照表和换算方法
不锈钢管的洛氏硬度、布氏硬度等硬度对照表和换算方法 以下资料由：天津武进不锈钢制品销售有限公司提供 一、硬度简介： 硬度表示材料抵抗硬物体压入其表面的能力。它是金属材料的重要性能指标之一。一般硬度越高，耐磨性越好。常用的硬度指标有布氏硬度、洛氏硬度和维氏硬度。 1. 布氏硬度(HB) 以一定的载荷(一般3000kg)把一定大小(直径一般为10mm)的淬硬钢球压入材料表面，保持一段时间，去载后，负荷与其压痕面积之比值，即为布氏硬度值(HB)，单位为公斤力/mm2 (N/mm2)。 2. 洛氏硬度(HR) 当HB>450或者试样过小时，不能采用布氏硬度试验而改用洛氏硬度计量。它是用一个顶角120°的金刚石圆锥体或直径为1.59、3.18mm的钢球，在一定载荷下压入被测材料表面，由压痕的深度求出材料的硬度。根据试验材料硬度的不同，分三种不同的标度来表示： ? HRA：是采用60kg载荷和钻石锥压入器求得的硬度，用于硬度极高的材料(如硬质合金等)。 ? HRB：是采用100kg载荷和直径1.58mm淬硬的钢球，求得的硬度，用于硬度较低的材料(如退火钢、铸铁等)。 ? HRC：是采用150kg载荷和钻石锥压入器求得的硬度，用于硬度很高的材料(如淬火钢等)。 word教育资料
3. 维氏硬度(HV) 以120kg以内的载荷和顶角为136°的金刚石方形锥压入器压入材料表面，用材料压痕凹坑的表面积除以载荷值，即为维氏硬度HV值 (kgf/mm2)。 注：洛氏硬度中HRA、HRB、HRC等中的A、B、C为三种不同的标准，称为标尺A、标尺B、标尺C。洛氏硬度试验是现今所使用的几种普通压痕硬度试验之一，三种标尺的初始压力均为98.07N(合10kgf)，最后根据压痕深度计算硬度值。标尺A使用的是球锥菱形压头，然后加压至588.4N(合60kgf)；标尺B使用的是直径为1.588mm(1/16英寸)的钢球作为压头，然后加压至980.7N(合100kgf)；而标尺C使用与标尺A相同的球锥菱形作为压头，但加压后的力是1471N(合150kgf)。因此标尺B适用相对较软的材料，而标尺C适用较硬的材料。实践证明，金属材料的各种硬度值之间，硬度值与强度值之间具有近似的相应关系。因为硬度值是由起始塑性变形抗力和继续塑性变形抗力决定的，材料的强度越高，塑性变形抗力越高，硬度值也就越高。但各种材料的换算关系并不一致。 二、硬度对照表： word教育资料
机械控制工程基础习题答案
第二章习题答案 2-1试求下列函数的拉氏变换，假设0