有关抛物线焦点弦问题的探讨

有关抛物线焦点弦问题的探讨(参考资料)

过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作一条直线l 和此抛物线相交于A 1122(,),(,)A x y B x y 两点.

结论1:12AB x x p =++. 证明:1212()()22

p p

AB AF BF x x x x p =+=+

++=++ 结论2:若直线l 的倾斜角为θ,则弦长2

2sin p

AB θ

=. 证明:(1)若2

π

θ=时,直线l 的斜率不存在,此时AB 为抛物线的通径,故2AB p =.

(2)若2

π

θ≠

时,设直线l 的方程为()tan 2p y x θ=-

,即cot 2p x y θ=?+, 代入抛物线方程得22

2cot 0y py p θ-?-=,∴21212,2cot y y p y y p θ=-+=.

由弦长公式得2

122

22(1cot )sin p AB y y p θθ

=-=+=. 结论3:过焦点的弦中通径长最小. 证:2

22sin 1,2sin p

AB p θθ

≤∴=

≥ ,∴min 2AB p =,即过焦点的弦长中通径长最短 结论4:23

8

OAB S p AB ?=

(为定值) 证明:11

sin sin 22

OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ???=+=??+??

221112()sin sin sin 2222sin 2sin p p p OF AF BF OF AB θθθθθ=?+=??=???= 238

OAB S P

AB ?∴=

结论5:(1)2

12y y p =-;(2)2124

p x x =.

证明:2222

121212122(),,2244

y y y y P x x x x p p P ==∴==

. 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

证：设M 为AB 的中点,过A 点作准线的垂线1AA ,过B 点作准线的垂线1BB , 过M 点作准线的垂线1MM ,由梯形的中位线性质和抛物线的定义知

111222

AA BB AF BF AB

MM ++=

==,故结论得证.

结论7：连接1A F 、1B F ,则11A F B F ⊥. 111,AA AF AA F AFA =∴∠=∠ .

11111//AA OF AA F A FO A FO A FA ∴∠=∠∴∠=∠ . 同理111190B FO B FB A FB ∠=∠∴∠=?,11A F B F ⊥.

结论8：（1）11A M B M ⊥;（2）1M F AB ⊥;（3）2

1M F AF BF =?;

（4）设1A M 与1A F 相交于H ,1M B 与1FB 相交于Q ,则1,,,M Q F H 四点共圆;

（5）2

2

2

1114AM M B M M +=.

证：由结论（6）知1M 在以AB 为直径的圆上,∴ 11A M B M ⊥.

11A FB ?为直角三角形, 1M 是斜边11A B 的中点,

111111111A M M F M FA M A F AA F AFA ∴=∴∠=∠∠=∠

1111190AA F FA M AA M ∠+∠=∠=? ,11190AFA A FM ∴∠+∠=?, ∴1M F AB ⊥,2

1M F AF BF ∴=?. 11AM BM ⊥,190AM B ∴∠=?。

又11A F B F ⊥ ，?=∠∴90FB A 11,所以1,,,M Q F H 四点共圆,

22211AM M B AB +=2

2221111()()(2)4AF BF AA BB MM MM =+=+==

结论9：（1）1,,A O B 三点共线;（2）1

,,B O A 三点共线; （3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为1B ,则1BB 平行于x 轴; （4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为1

A ,则1AA 平行于x 轴. 证：因为11122211122,22OA O

B y y y y p

k k p y x y p p

=

====--,而212y y p =-

所以122222OA OB y p k k p p y ==-=-,所以三点共线.同理可征（2）（3）（4）. 结论10：112

FA FB p

+=.

证：过A 点作AR 垂直x 轴于点R ,过B 点作BS 垂直x 轴于点S , 设准线与x 轴交点为E ,因为直线l 的倾斜角为θ，

则cos 1cos P

ER EF FR P AF AF AF θθ

=+=+=∴=-,

11cos AF P θ-∴=.同理可得11cos BF P θ+=.∴112FA FB p

+=. 结论11：(1)线段EF 平分角PEQ ∠;（2）AF AE BF

BE

=

;（3）0AE BE k k +=；

（4）当2

π

θ=

时，AE BE ⊥；当2

π

θ≠

时AE 不垂直于BE .

证:11111111

1

1////,B E BF B E B B BB EF AA BF B B FA A A EA FA

EA A A

∴

=

==∴

=

1190AA E BB E ∠=∠=? ,1A EA ∴?相似于1B EB ?,11A EA B EB ∴∠∠＝. 11AEF A EA BEF B EB 90AEF BEF ∠∠∠∠?∴∠∠ ＋＝＋＝＝,

即EF 平分角PEQ ∠,AF AE BF

BE

∴

=

∵直线AE 和BE 直线关于x 轴对称,∴0AE BE k k +=. (4) 当2

π

θ=时,AF EF FB ==,,∴0

90AEB ∠=.

当2

π

θ≠

时,设直线l 的方程为()2p

y k x =-

，将其代入方程22y px =得 22222

(2)04k p k x p k x -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122

(2)p k x x k ++=

2124

p x x =，假设AE BE ⊥,则1AE BE k k ?=-，∴12

12122

y y p p x x ?=-++

即12121212p p p p p p

y y -(x )(x ), k(x -) k(x -)-(x )(x )222222=++∴?=++

222

21212p p (k 1)x x (x x )(k 1)(k 1)024

∴+-+-++=

222222

p (2)(1)(k 1)22p k k k

+-∴+=,20∴-=. 这是不可能的,故假设错误,结论得证.

结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ,则

111

2AB CD p

+=

.

推广与深化：

深化 1：性质5中，把弦AB 过焦点改为AB 过对称轴上一点(,0)E a ,则122y y pa =-

证：设AB 方程为my x a =-,代入22y px =,得2

220y pmy ap --=∴122y y pa =-.

深化2:性质12中的条件改为焦点弦AB 不垂直于x 轴,AB 的中垂线交x 轴于点R ,则 1

2

FR AB =. 证明：设AB 的倾斜角为α,直线AB 的方程为：tan ()2

p y x α=-

, 代入2

2y px =,得22

2

tan ()24p x px px α-+=,即222

(2cot )04

p x p p x α-++=. 由性质1得2

122222cot sin p AB x x p p p αα

=++=+=,

又设AB 的中点为M ,则122cot 22cos cos x x p

p FM ααα

+-

==

∴222

cot cos cos sin FM

p p FE αααα===,∴1

2

FR AB = 深化3:过抛物线的焦点F 作n 条弦1122,,n n A B A B A B ,且它们等分周角

2π,则有 （1）11n

i i i

A F F

B =∑ 为定值； （2）11

n

i i i A B =∑为定值．

证明：（1）设抛物线方程为1,1cos p

l A Fx αθ

=

∠=-. 由题意2321

,,,n n A Fx A Fx A Fx n n n

ππαααπ-∠=+∠=+

∠=+ , 所以2222

1111cos 1cos()1cos sin A F FB p p p p

απααα

----=== , 同理2222221

sin ()sin ()

11,n n n n n A F FB p A F FB p

πααπ-++== , 易知222

221sin sin ()sin ()sin ()2

n n n n n ππααααπ-++++

+++= , ∴222222211

sin ()sin ()1sin 2n

i i i

n n n n A F FB p p p p πααπα=-++=+++=∑ . （2）∵11222211()1sin p p p p

A B cos cos cos απααα

=+==--+-,

∴22

111

sin ()1sin 1,,22n n n n A B p A B p

απα-+== , ∴

222

1

1

sin ()sin ()1sin 2224n

i i i n n

n n A B p p p p

πααπα=-++=+++=∑

.

梳理抛物线焦点弦的结论

梳理抛物线焦点弦的有关结论 知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(), ,11y x A ()22,y x B ，则（1）4 2 21p x x =；（2）221p y y -=证明：如图， （1）若AB 的斜率不存在时， 依题意,221p x x ==4221p x x =∴ 若AB 的斜率存在时，设为,k 则? ? ?=2:k y AB .4221p x x =∴ 综上：.4 2 21p x x = （2）p y x p y x 2,22 22211==Θ，,22142221p y y p y y ±=?=∴ 但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2:p my x AB +=与px y 22=联立，得 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2） 设直线AB 证明：（1）由抛物线的定义知 （2）若,2,90210p x x ===则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=??? ??-=≠与设α联立，得 (),22221k k p x x +=+∴() 222112k k p p x x AB +=++=∴知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 证明：过点B A 、

,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N 设以AB 为直径的圆的半径为,r ∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则11=∠FB A 证明借助于平行线和等腰三角形容易证明 知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点与x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠ 证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为B B A A K B K A 1111=∴ B B K B A A K A 1111=∴，而11∠=∠BB K AA K AA 1?∴∽K BB 1? KB B KA A 11∠=∠∴ 知识点6：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，o 为抛物线的顶点，连接AO 并延长交该抛物线的准线于点,C 则//BC 证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，则 由知识点1知2 21p y y -= 2222y y p p y C =--=∴逆定理：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，过点B 作OF BC //交抛物线准线于点,C 则O C A 、、三点共线。 证明略 知识点7：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F ,,n BF m AF ==则 证法：（1）若x AB ⊥轴，则AB 为通径，而,2p AB =

关于抛物线焦点弦的一个优美结论

关于抛物线焦点弦的一个优美结论 江苏省兴化中学章庭远 在抛物线的教学过程中,不少老师应该遇到过这样一道关于抛物线的焦点弦的题目. 题目：过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长度分别为则（） Ａ. B. C. D. 这道题目有一个快速而且准确的解法,就是我们在解选择题时常用的“特殊值法”或称“特例检验法”.我们可假设直线与轴垂直,则与相等,这里还有个特别注意的就是很多学生在解题的时候会犯的一个低级错误,认为抛物线的标准方程中对应的就是,其实这里我们要稍微转化一下,本题中与 对应的应该是,故本题答案是而不是 但是我们作为老师,不是解完这道题目就了了,我们还可以再仔细分析一下本题,这题很有意思,四个选择支全是常数,也就是说抛物线的焦点弦被焦点分成两部分的线段的长度的倒数和与焦点弦的倾斜程度好象没有关系,那么这样的猜想到底对还是错呢?若这个猜想是正确的,那么这样的倒数和到底是多少呢?下面我以焦点在轴正半轴的标准抛物线来研究这个问题 题目：过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,且 试求的值. 探究：因为直线可以垂直于轴,故我们有必要先分类讨论.

(一).若直线垂直于轴.如图1,若轴,由易得 .则于是,有 到这里,我们可以猜测, 若为定值的话,那么这个值估计就是下面对一般情形进行分析. (二).如图2,令直线的倾斜角为

方法一令在轴上的射影分别为在准线上的射影分别为准 线与轴的交点为由抛物线的定义,有,又四边形为矩形,有则而.于是 ,解此关于的方程,得同理：则 为定值. 当然,在时,同理可以证明这个结论.结论成立,在证明此结论的过程中,还得到了一个副产品,即：由 .当时,最大,则最小,此时,称为通径. 在研究一般情形时,还可以采用下面一种方法,也是比较简便的.

抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨 过抛物线px y 22 =(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 结论1： p x x AB ++=21 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ 2 sin 2p AB = 证: (1)若2 π θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若2 π θ ≠ 时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y - =即2 cot p y x +?=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-?-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得 θ θθ2 2212sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB = +=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小 p p 2sin 21sin 22≥∴ ≤θ θΘ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(8 3 2为定值p AB S oAB =? 结论5： (1) 2 21p y y -= (2) x 1x 2=4 2 p 证44)(,2,22 2 221212 22211P P y y x x p y x p y x = =∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2 2 2 1 11AB BF AF BB AA MM = += += 故结论得证 结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F 同理?=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3） BF AF F M ?=2 1 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5） 2 121214M M B M AM =+ 证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 Θ11FB A ?为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点 ∴M 1F ⊥AB BF AF F M ?=∴2 1 Θ AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥?=∠∴Θ又B AM

专题六 培优点20 抛物线的焦点弦问题

培优点20 抛物线的焦点弦问题 直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目． 例1 (1)(2020·临沂模拟)已知F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为C ，过C 作抛物线准线的垂线交准线于C ′，若CC ′的中点为M (1,4)，则p 等于( ) A ．4 B ．8 C ．4 2 D ．8 2 答案 B 解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵M (1,4)，∴y 1＋y 2＝8， 又C ????2＋p 2，4，F ????p 2，0， ∴k AB ＝2， ∴直线AB ：y ＝2????x －p 2， 代入y 2＝2px ， 得y 2－py －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝p ＝8. (2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A ．4 B.9 2 C ．5 D ．6 答案 B 解析 不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于点E ，

设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AF |＝2m ，|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知 |AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ， 所以cos θ＝|AE ||AB |＝1 3，所以tan θ＝2 2. 则sin 2 θ＝8cos 2 θ，所以sin 2 θ＝8 9 . 由y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式得|AB |＝2p sin 2 θ＝9 2 . 例2 已知抛物线C ：y 2＝8x ，P 为C 上位于第一象限的任一点，直线l 与C 相切于点P ，连接PF 并延长交C 于点M ，过P 点作l 的垂线交C 于另一点N ，求△PMN 的面积S 的最小值． 解 设P (x 0，y 0)(y 0>0)，M ????y 2 18，y 1，N ??? ?y 2 2 8，y 2，切线l 的方程为x －x 0＝t (y －y 0)， 则FM →＝????y 218－2，y 1，FP →＝????y 208－2，y 0， 由M ，F ，P 三点共线，可知FM →∥FP → ， 即????y 2 18－2y 0－????y 2 8－2y 1＝0， 因为y 0≠y 1，所以化简可得y 0y 1＝－16. 由? ???? x －x 0＝t (y －y 0)，y 2＝8x ，可得y 2－8ty ＋8ty 0－8x 0＝0， 因为直线l 与抛物线相切，故Δ＝64t 2－32ty 0＋4y 20＝0，故t ＝y 04. 所以直线PN 的方程为y －y 0＝－y 0 4(x －x 0)， 即y 0x ＋4y －4y 0－y 30 8 ＝0，

高中数学抛物线焦点弦的有关结论附答案

[很全]抛物线焦点弦的有关结论 知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则 （1）4 2 21p x x =；（2）221p y y -= 证明：如图， （1）若AB 的斜率不存在时， 依题意,2 21p x x ==4221p x x =∴ 若AB 的斜率存在时，设为,k 则? ? ? =2:k y AB () 04222222 222 2=++-?=?? ? ??-p k px k x k px p x k .4221p x x =∴ 综上：.4 2 21p x x = （2）p y x p y x 2,22 22211== ，,22142 221p y y p y y ±=?=∴ 但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2 :p my x AB + =与px y 22=联立，得22122,02p y y p pmy y -=∴=-- 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 的倾斜角为α证明：（1）由抛物线的定义知 ,2 ,221p x BF p x AF +=+= p x x BF AF AB ++=+=∴21 （2）若,2,90210p x x = ==则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=??? ? ? -=≠与设α联立，得

() 04222222 222 2 =++-?=??? ? ?-p k px k x k px p x k (),22221k k p x x +=+∴() 22211 2k k p p x x AB +=++=∴，而αtan =k ， () α αα2 22sin 2tan tan 12p p AB =+=∴ 知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 证明：过点B A 、,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N 设以AB 为直径的圆的半径为,r . 2211r MN MN BB AA BF AF AB r =∴=+=+== ∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则0 1190=∠FB A 。 证明借助于平行线和等腰三角形容易证明 知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠ 证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为11////BB KF AA B B BF A A AF FB AF K B K A 1111,===∴而 B B A A K B K A 1111=∴ B B K B A A K A 1111=∴，而01190=∠=∠K BB K AA K AA 1?∴∽K BB 1? KB B KA A 11∠=∠∴ BKF AKF ∠=∠∴

抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨 过抛物线px y 22 =(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 结论1：p x x AB ++=21 p x x p x p x BF AF AB ++=+++ =+=2121)2 ()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2 sin 2p AB = 证: (1)若2 π θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若2 π θ≠ 时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y - =即2 cot p y x +?=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-?-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= : 由弦长公式得θ θθ22212 sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB = +=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小 p p 2sin 21sin 22≥∴ ≤θ θ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(8 3 2为定值p AB S oAB =?

()8 sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 2 1 sin 21322 20P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB = ∴=???=??=+?=??+??= +=????θθθθθ?θ 结论5： (1) 2 21p y y -= (2) x 1x 2=4 2 p 证44)(,2,22 2 221212 22211P P y y x x p y x p y x = =∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 ： 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2 2 2 1 11AB BF AF BB AA MM = += += 故结论得证 结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴= 同理?=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ?=2 1 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 - （5）2 1212 1 4M M B M AM =+ 证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 11FB A ?为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点 1 11111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ?=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ?=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥AB BF AF F M ?=∴2 1 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥?=∠∴ 又B AM ?=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，2 212 1 AB B M AM =+ ()()()2 12 12 11 2 42MM MM BB AA BF AF ==+=+= ,

抛物线焦点弦问题(附答案解析)

@ （难度3星） 1．（2019·安徽高二期末（文））在平面直角坐标系xxx 中，抛物线x 关于x 轴对称，顶点为坐标原点，且经过点(2,2). （1）求抛物线x 的标准方程； （2）过点x (1,0)的直线交抛物线于M 、N 两点，P 点是直线x :x =?1上任意一点.证明：直线xx、xx、xx 的斜率依次成等差数列. 【答案】（1）x 2=2x ；（2）证明见解析 【解析】 （1）因为抛物线x 关于x 轴对称,可设抛物线为x 2=2xx ，而点(2,2)在抛物线上， 从而有22=2x ×2，得x =1， ( 故抛物线方程为x 2=2x ； （2）设点x (?1,x )是直线x 上任意一点， 直线交抛物线于M 、N 两点,所以直线xx 的斜率不等于0， 可设直线xx :x =xx +1交抛物线于x (x 1,x 1)、x (x 2,x 2)， 由{x =xx +1x 2=2x 可得：x 2?2xx ?2=0 从而有x 1+x 2=2x ,x 1x 2=?2, x xx =x 1?x x 1+1，x xx =x 2?x x 2+1，x xx =?x 2 且在直线上,所以有:x 1=xx 1+1,x 2=xx 2+1 —

x xx +x xx = x 1?x x 1+1+x 2?x x 2+1=2xx 1x 2+(2?xx )(x 1+x 2)?4x x 2x 1x 2+2x (x 1+x 2)+4 =?2xx 2?4x 2x 2+4=?x ， 而2x xx =?x ，即证x xx +x xx =2x xx . 得证直线xx ，xx ，xx 的斜率成等差数列. （难度2星） 2．（2020·河南高二期末（理））已知x 是抛物线x :x 2=2xx (x >0)的焦点，x (1,x )是抛物线上一点，且|xx |=2. 、 (1)求抛物线x 的方程； (2)直线x 与抛物线x 交于x ，x 两点，若xx ????????? ?xx ????????? =?4（x 为坐标原点），则直线x 是 否会过某个定点若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由. 【答案】(1)x 2=4x ；(2)是，x (2,0). 【解析】 （1）由抛物线的定义知|xx |=1+ x 2=2,∴x =2, ∴抛物线x 的方程为：x 2=4x （2）由题意知:可设xx 的方程为：x =xx +x , 代入x 2=4x 有x 2?4xx ?4x =0, ￥ 设x (x 1,x 1),x (x 2,x 2),

抛物线焦点弦性质总结30条.doc

抛物线焦点弦性质总结 30 条 基础回顾 1. 以 AB 为直径的圆与准线 L 相切； p 2 2. x 1gx 2 ; 4 3. y 1gy 2 p 2 ; 4. AC ' B 90o ; 5. A' FB ' 90o ; 6. AB x 1 x 2 p 2( x 3 p 2 p ; ) sin 2 2 1 1 2 7. BF ; AF P 8. A 、 O 、 B ' 三点共线； 9. B 、 O 、 A ' 三点共线； 10. S V AOB P 2 ； 2sin 11. S V 2 AOB P 3 （定值）； AB ( ) 2 12. AF P ； BF P ； cos cos 1 1 13. BC ' 垂直平分 B ' F ； 14. AC ' 垂直平分 A 'F ； 15. C 'F AB ； 16. AB 2P ； 17. CC' 1 AB 1 ( AA' BB') ； 2 2 18. K AB = P ； y 3 19. tan = y 2 p ; x 2 - 2 2 20. A'B' 4 AF BF ;

21. C'F 1 A'B' . 2 切线方程 y 0 y m x 0 x 性质深究 一 ) 焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？ 结论 1：交点在准线上 先猜后证：当弦 AB x 轴时，则点 P 的坐标为 证明: 从略 结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 p ,0 在准线上． 2 结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？ 结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点 AB 的弦必过焦点． 结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． 3、 AB 是抛物线 y 2 2 px （p ＞ 0）焦点弦， Q 是 AB 的中点， l 是抛物线的准线， AA 1 l ， BB 1 l ，过 A ， B 的 切线相交于 P ， PQ 与抛物线交于点 M ．则有 结论 6PA ⊥ PB ． 结论 7PF ⊥ AB ． 结论 8 平分 ． M PQ 结论 9 PA 平分∠ 1 ， 平分∠1． AAB PB B BA 结论 10 FA FB 2 PF 结论 11 S PAB min p 2 二 ) 非焦点弦与切线 思考：当弦 AB 不过焦点，切线交于 P 点时， 也有与上述结论类似结果：

【免金币】高中数学抛物线焦点弦结论探究

抛物线焦点弦结论探究 授课 蒲海凤 点评 杜永来 一、课堂实录 [引言] 抛物线的焦点弦是抛物线研究的一个重要方面，它具有许多优美的结论，这节课我们将由课本的一道习题出发，通过5次观察联想，多次的猜想、验证、证明，探索出抛物线的一类结论，结论固然重要，但所用的探究过程本身给我们的启发更为深刻。 基本探究 [投影]〈引例〉：过抛物线)0(22>=p px y 的焦点Ｆ的直线与抛物线相交于A 、B 两点，自A 、B 向准线作垂线，垂足分别为1A 、2A ，求证：?=∠9011FB A 师：这是课本中的一道习题 高二上册P 133复习参考题B 组第2题，同学们应该很快给出证明思路。 生1：要证明11FB A ∠是直角，因为F A 1和F B 1斜率都存在，只需证明斜率相乘得-1即可，设),(),,(2211y x B y x A ，),,2(),,2(2111y p B y p A -- 可求得22121.p y y k k =，其中21y y 由直线AB 和抛物线方程联立可求得。 师：好，思路非常清晰。 生2：由抛物线定义知AF AA =1 BF BB =1则11AFA F AA =∠ 11BFB F BB ∠=∠，又FO A F AA 11∠=∠ FO B F BB 11∠=∠，则 ?∠==∠+∠90211AFB FO A FO B 师：这位同学注意到图形中几何关系，给出了一个更为简单的证法，我们把这一结论归纳为： 结论１抛物线焦点弦的两个端点在准线上的射影和焦点的连线互相垂直。 1．观察联想1

师：我们要从这个问题出发进行观察联想，如果观察结论你能联想到什么？ （学生思考） 生：射影定理。 师；说说看得到什么结论？ 生：由?=∠901 1FB A 知是直角三角形且11B A FK ⊥由射影定理得， 因21,y y 异号，所以221p y y -= 师：对于这个同学推出的结论我们也并不陌生，只是以前的证明方法不一样，以前我们是用什么方法得到这一结论的？ 生：设出两交点坐标),(),,(2211y x B y x A 直线A B 方程与抛物线方程联立消去x 或y 得到一个一元二次方程，利用韦达定理得到两根之积，证得其中一个结论，再由两点在直线上得另一结论。 师；这两种方法证得 高二上册P 1１９第７题的结论将其概括为 结论2抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数 42p 和2p -。 2．观察联想2 师：在回到结论1，注意到直角三角形与圆有着密切的关系，由结论1发现点F 在以为11B A 为直径的圆上，观察图形特征不难发现直线11,BB AA 是圆1M 的切线，那焦点弦AB 与圆又是什么位置关系呢？ [投影] 生：好像相切… 师：同学们猜测是相切的关系，我们可以考虑特殊情况，当焦点弦变为通径时很明显结论是正确的，证实了我们的猜想，那么一般的焦点弦该如何证明呢？同学们可以互相讨论一下。 生1：既然点F 在圆上，只需证明AB F M ⊥1，设 K B K A FK 112?=212y y p ?=4 4)(222 1212p p y y x x ==

高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题

与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件

9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件

10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件

抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦的性质 1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。 2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若 抛物线22y px =，(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，(21x x p AB +-= 当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若 抛物线22x py =，(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2= 4、焦点弦常用结论： 结论1：韦达定理?????=-=px y p x k y 2)2(20222=--?p y k p y 和04 )2(2 2222=++-p k x p p k x k 221p y y -=?和4 21x x = 结论2：p x x AB ++=21 证：p x x p x p x BF AF AB ++=+++ =+=2121)2()2( 结论3：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2p AB = 证: (1)若2π θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若2π θ≠时, 则?????=-=px y p x k y 2)2(20222=--?p y k p y ?????-==+?221212p y y k p y y θsin 24422221p p k p y y =+=-?θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=? 结论4： 过焦点的弦中通径长最小 p p 2sin 21sin 22≥∴ ≤θ θ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =? 011sin sin 22 OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θ????=+=??+?? ()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=?+=??=???22sin p θ=238OAB S P AB ?∴= 结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2221 11AB BF AF BB AA MM =+=+= 故结论得证 结论6：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠ ∴∠=∠∴∠=∠∴=

抛物线焦点弦问题

抛物线焦点弦问题 河北省武安市第一中学郅武强 抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下：一．弦长问题： 例斜率为1的直线经过抛物线 24y x =的焦点，与抛物线相交A .B两点，求线段AB 的长。 分析： 利用弦长公式12 d x =-能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运 根据抛物线的定义，11 AF x =+同理 21 BF x =+ 于是得

122 AB AF BF x x =+=++ 由题已知 { 21 4y x y x =-=消去y 得2 610x x -+= 故126x x += ∴628 AB =+= 注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：12AB x x p =++或 12AB y y p =++。 二. 通径最短问题： 例：已知抛物线的标准方程为2 2y px =，直线l 过焦点，和抛物线交与A.B 两点，求 AB 的最小值并求直线方程。 解：①如果直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为 2p

x = 2A B p = ②如果斜率存在，不妨设斜率为k ，则直线的方程为( 2p y k x =-，与抛物线方程联立方程组得 22( 2y px p y k x ==-???消去y 得22222 (2 04k p k x k p p x -++= 若0k ≠ 则222 440k p p ?=+> 1222p x x p k +=+ 则 1222222p p AB x x p p p p k k =++=+ +=+ 当k →∞时 AB 最小即min 2AB p = 此时 2p x = 三．两个定值问题：

例：过抛物线2 2y px =的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为1x 、2x 、1y 、2y ，求证：2 114p x y = ，212y y p =-。 证明：①联立22( 2y px p y k x ==-???消去y 得22222 (2 0(0 4k p k x k p p x k -++=≠ 2 124p x x = 同理消去y 可得 2 12y y p =-； ②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点； ③斜率不存在时，2 114p x y = ，2 12y y p =-同样是定值；从上所述：2 114p x y =，2 12y y p =- 四．一个特殊直角问题：

(完整版)抛物线常用性质总结

结论一：若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则： 2 124 p x x =，212y y p =-。 结论二：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：112=AF BF p + 。 结论三：（1）若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则 22sin P AB α = （α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。 结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

证明结论二： 例：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF +为定值。 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+ ，22 p BF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2 124 p x x =。 则：2 12 121211()() ()2224 AF BF AB AB p p p p AF BF AF BF x x x x x x ++===?+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+（常数 证明：结论四： 已知AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 切。 证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结 AP 、BP 。 由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111 ()()222 QP AM BN AF BF AB = +=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切 （2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ， ∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ∴∠AFM=∠MFO 。同理，∠BFN=∠NFO ， ∴∠MFN= 1 2 （∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴1 2 MP NP FP MN ===， ∴∠PFM=∠FMP ∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB

很全抛物线焦点弦的有关结论附标准答案

很全抛物线焦点弦的有关结论附答案

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x B A y o F B A y o F [很全]抛物线焦点弦的有关结论 知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则 （1）4 2 21p x x =；（2）221p y y -= 证明：如图， （1）若AB 的斜率不存在时， 依题意,2 21p x x ==4221p x x =∴ 若AB 的斜率存在时，设为,k 则??? ? ? -=2:p x k y AB ，与px y 22=联立，得 () 04222222 222 2=++-?=?? ? ??-p k px k x k px p x k .4221p x x =∴ 综上：.4 2 21p x x = （2）p y x p y x 2,22 22211==Θ，,22142 221p y y p y y ±=?=∴ 但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2 :p my x AB + =与px y 22=联立，得22122,02p y y p pmy y -=∴=-- 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 的倾斜角为α，则α 2 sin 2p AB = 。 证明：（1）由抛物线的定义知 ,2 ,221p x BF p x AF +=+= p x x BF AF AB ++=+=∴21 （2）若,2,90210p x x = ==则α由（1）知α 2 sin 22p p AB == 若px y p x k y AB 2,2:,9020=??? ? ? -=≠与设α联立，得

高中数学抛物线的焦点弦性质教学设计

教学设计流程

教学过程 一、复习抛物线定义，焦半径公式，由焦半径公式推导的焦点弦式 问题：1、抛物线的定义内容是什么? 2、焦半径公式有哪些？ 3、利用焦半径公式推导的焦点弦弦长有哪些？ AB 为焦点弦.点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) y 2 = 2px （p ＞0）：|AB|＝ y 2 = -2px （p ＞0）：|AB|＝ x 2 = 2py （p ＞0）：|AB|＝ x 2 = -2py （p ＞0）：|AB|＝ 二、新课引入 问题1、利用焦点弦的两端点横坐标和可以求焦点弦的弦长，那么如果知道焦点弦所在直线的倾斜角或是斜率，有没有更简便的方法去直接求出弦长呢？我们来看一道例题。 例1、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 做倾斜角为 的直线 ,设 交抛物线于A,B 两点,求证： 问题2、上面的例题的抛物线开口是向右的，那么抛物线开口向左、向上、向下的时候弦长又是多少？我们一起来探究。 结论：若过抛物线焦点的直线的倾斜角为θ时,其焦点弦弦长为： 当焦点在x 轴上时, 焦点在y 轴上时, 问题3、焦点弦的两个端点的横坐标、纵坐标之间是否有关系呢？如果有关系，又是什么？ 例2、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 求证： 12 p x x ++12()p x x -+12 p y y ++12()p y y -+θ 2sin 2p AB = l θθ 2 sin 2P AB = θ 22COS P AB =22 21p y y -=

抛物线焦点弦问题(附答案解析)

（难度3星） 1．（2019·安徽高二期末（文））在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 关于x 轴对称，顶点为坐标原点，且经过点(2,2). （1）求抛物线C 的标准方程； （2）过点Q (1,0)的直线交抛物线于M 、N 两点，P 点是直线l :x =?1上任意一点.证明：直线PM 、PQ 、PN 的斜率依次成等差数列. 【答案】（1）y 2=2x ；（2）证明见解析 【解析】 （1）因为抛物线C 关于x 轴对称,可设抛物线为y 2=2px ，而点(2,2)在抛物线上， 从而有22=2p ×2，得p =1， 故抛物线方程为y 2=2x ； （2）设点P (?1,t )是直线l 上任意一点， 直线交抛物线于M 、N 两点,所以直线MN 的斜率不等于0， 可设直线MN :x =my +1交抛物线于M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)， 由{x =my +1y 2=2x 可得：y 2?2my ?2=0 从而有y 1+y 2=2m,y 1y 2=?2, k PM =y 1?t x 1+1，k PN =y 2?t x 2+1，k PQ =?t 2 且在直线上,所以有:x 1=my 1+1,x 2=my 2+1 k PM +k PN = y 1?t x 1+1+y 2?t x 2+1=2my 1y 2+(2?tm )(y 1+y 2)?4t m 2y 1y 2+2m (y 1+y 2)+4 =?2tm 2?4t 2m 2+4=?t ， 而2k PQ =?t ，即证k PM +k PN =2k PQ . 得证直线PM ，PQ ，PN 的斜率成等差数列. （难度2星） 2．（2020·河南高二期末（理））已知F 是抛物线C :y 2=2px(p >0)的焦点，M (1,t )是抛物线上一点，且|MF|=2. (1)求抛物线C 的方程；

与焦点弦相关的问题

三、与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1 ） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=? 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件

9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2 ） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=? 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件

10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ= 恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件