第五单元 三角形

三角形

知识点1：三角形三边之间的关系：①三角形任意两边之和大于第三边

②三角形任意两边之差小于第三边

例1、现有长度分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm的五条线段，从其中选三条线段为边可以构成多少个不同的三角形？

思路分析：三角形任意两边之和大于第三边，从最小开始选。选1、2，1+2=3，所以1、2不能和3，当然也不能和4或5，由此可以排除掉1；从2开始组合，2、3、4或2、

4、5就可以；再从3组合，只有3、4、5，所以总共可以构成三个不同的三角形解：可以构成三个不同的三角形2、3、4或2、4、5或3、4、5

例2、如果△ABC中，两边a＝7cm，b＝3cm，则⑴c的取值范围是？⑵第三边c为奇数的所有可能值为？⑶周长为偶数的所有可能值为?

思路分析：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边

解：⑴由题意可知：c大于7-3，即c大于4；c还必须小于3+7，即小于10；所以c的取值范围为大于4小于10

⑵由⑴可知大于4小于10的奇数有5、7、9，所以c为奇数的所有可能值为5、7、9

⑶要使△ABC的周长为偶数，由于a+b=7+3=10，则第三边c应为偶数，则c所有可能值

为6、8，对应的周长可能值为16cm或18cm

例3、已知等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，则周长为多少？

思路分析：由于等腰三角形就是有两条边相等。有两种可能：①腰长为4，则三角形三边为4、

4、9.与三角形任意两边之和大于第三边矛盾，所以这种情况不可能成立；②腰长

为9，则三角形三边长为9、9、4.这符合三角形任意两边之和大于第三边。

解：由题意可知三角形三边分别为9、9、4.所以它的周长为9+9+4=22

练习：

1、四条线段的长分别是5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三条线段为边可以构成______个

三角形．

2、两根木棒分别为5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，那么第三根木棒的取值情况有种。

3、如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为。若第三边为偶数，那么三角形的周长。

4、若三角形的三边长分别为3、

5、a ，且a 为偶数，则a =

5、已知三角形的两边长分别为3和10，周长恰好是6的倍数，那么第三边长为________．

6、已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长x 的取值范围是_ ___．?若x 是奇数，则x 的值是___ _ __；这样的三角形有____ __个；?若x?是偶数，则x?的值是_ _____；这样的三角形又有________个．

7、一个等腰三角形的两边长分别为25和12，则第三边长为 .

8、一个等腰三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，则它的周长为 .

9、有两根木棒，它们的长分别是20cm 和30cm ，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形

木棒框子，则应在下列木棒中选取（ ）

A.60cm 的木棒

B.50cm 的木棒

C.20cm 的木棒

D.10cm 的木棒

10、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 ( )

A ．4、5、6

B ．6、8、15

C ．5、7、12

D ．3、9、13

11、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）

A ．3cm ，12cm ，8cm

B ．6cm ，8cm ，15cm

C ．2.5cm ，3cm ，5cm

D ．6.3cm ，6.3cm ，12.6cm

12、若△ABC 的三边为a 、b 、c,则化简c a b c b a ----+的结果是（ ）.

A 2a-2b

B 2a+2b+2c

C 2b-2c

D 2a-2c

13、已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（ ）

A ．12

B ．12或15

C ．15

D ．15或18

14、等腰三角形两边长分别是2cm 和5cm ，则这个三角形周长为（ ?）

A ．9cm

B ．12cm

C ．9cm 或12cm

D ．14cm

15、若等腰三角形的一边是7，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（ ）

A ．18

B ．15

C ．18或15

D ．无法确定

16、下列各题中给出的三条线段不能组成三角形的是（ ）

A ．a ＋1，a ＋2，a ＋3（a ＞0）

B ．三条线段的比为4∶6∶10

C ．3cm ，8cm ，10cm

D ．3a ，5a ，2a ＋1（a ＞0）

知识点2：①三角形的内角和等于180°

②根据角的大小分类把三角形分成 、 、 ；

③直角三角形的两个锐角 。

例1. 在△ABC 中，已知∠A ＝21∠B ＝3

1∠C ，请你判断三角形的形状。 分析：三角形的形状按边分和按角分两类，本题由于不可能按边分，因此只有计算各角的度

数，按角来确定形状，由于在该题中∠C 是最大的角，因此只需求出∠C 的度数即可判断三角形的形状。

解：∵∠A ＝21∠B ＝3

1∠C ∴∠B=2∠A ∠C=3∠A 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+2∠A +3∠A =180°即6∠A=180°

∴∠A=30°∴∠B=60° ∠C=90°

∴△ABC 是直角三角形

练习：

1、已知△ABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足关系式∠B ＋∠C ＝3∠A ．则此三角形( )

A ．一定有一个内角为45°

B ．一定有一个内角为60°

C ．一定是直角三角形

D ．一定是钝角三角形

2、已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（ ）

A ．30°

B ．75°

C ．105°

D ．30°或75°

3、在锐角三角形中，最大的内角不能小于( )

A.60°

B.70°

C.80°

D.90°

4、锐角三角形中任意两个锐角之和必大于（ ）

A.120°

B.100°

C.90°

D.60°

5、如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E 、D 、B 、F 在同一条直线上，若∠ADE ＝125°，

则∠DBC 的度数为（ ）

A.55°

B.65°

C.75°

D.125°

6、在△ABC 中，∠A ＝31∠B ，∠A ＝5

1∠C ，则△ABC 是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形

7、在△ABC 中，∠A＝∠B＝2

1∠C，则△ABC 是 三角形. 8、一个三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，那么这个三角形是 三角形．

9、如果△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=2∶3∶5，此三角形按角分类应为 三角形。

10、已知∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，∠A ＝70°，∠C ＝30 °，∠B ＝

11、直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角等于 度。

12、在△ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C ，则∠C=

13、在△ABC 中， ∠A －∠B ＝36°，∠C ＝2∠B ，则∠A ＝ ，∠B ＝ ，∠C ＝ ．

14、直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则这两个锐角的度数为 、 ．

15、过△ABC 的顶点C 作边AB 的垂线将∠ACB 分为20°和40°的两个角，那么∠A ，∠B 中较大的角的度数是____________．

16、在一个三角形中，三个内角中至少有 个锐角，最多有 个直角或钝角.

17、已知，如图D 是△ABC 中BC 边延长线上一点，DF ⊥AB 交AB 于F ，交AC 于E ，

∠A ＝46°，∠D ＝50°．求∠ACB 的度数．

18、如图，已知DF ⊥AB 于点F ，且∠A ＝45°，∠D ＝30°，求∠ACB 的度数。

19、 如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝54°，求∠DAC 的度数。

A

B C D

知识点3：三角形中线、角平分线、高的性质：

①三角形的三条角平分线交于一点、三条中线交于一点。

②三角形的三条高所在的直线交于一点

注意：为什么②中要三条高所在直线，而①不用？因为三角形的高可能在三角形外。 练习：

1、如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点I ．

（1）若∠ABC ＝70°，∠ACB ＝50°，则∠BIC ＝________；

（2）若∠ABC ＋∠ACB ＝120°，则∠BIC ＝________；

（3）若∠A ＝60°，则∠BIC ＝________；

（4）若∠A ＝100°，则∠BIC ＝________； （5）若∠A ＝n °，则∠BIC ＝________．

2、如图1所示，CD 是△ABC 的高，且CD ＝5，S △ABC ＝25，则AB ＝________.

3、如图2所示, BE 、CD 是角平分线，∠A ＝80°,则∠1＋∠2＝________.

4、如图3所示,在△ABC 中，CD ⊥AB ，∠ACB ＝86°,∠B=20°,则∠ACD ＝________.

A B C

D A B C D

E 12

A B C

D

图1 图2 图3 5、如图，BD 平分∠ABC ，DA ⊥AB ，∠1=60°，∠BDC=80°，求∠C 的度数．

6、如图，AD 平分∠BAC ，其中∠B ＝50°，∠ADC ＝80°，求∠BAC 、∠C 的度数．

7、如图，已知△ABC 中，已知∠B ＝65°，∠C ＝45°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC

的平分线，求∠DAE 的度数．

8、已知在△ABC 中，∠A ＝62°，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，且BO 、CO 相交

于O ，求∠BOC 的度数。

9、如图，AB ∥DE ，CM 平分∠BCE ，CN ⊥CM ，∠B ＝60°，求∠DCN 的度数．

10.、如图9,AD 是△ABC 的边BC 上的中线，若△ABD 的周长比△ACD 的周长大5，求AB 与AC 的差.

A B C D

11、如图13所示，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°,CD 是AB 边上的高，AB ＝13 cm, BC=12 cm,AC=5 cm,小明说利用面积关系就能求出CD 的长.请你帮他求出CD 的长. A B C

D

B C A

E C D

M N A B

知识点4：全等三角形

①全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等

②三角形全等的条件：Ⅰ.三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）

Ⅱ.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）

Ⅲ.两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ）

Ⅳ.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）

★Ⅴ.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）

例、已知：如图，∠CAB=∠DBA ，AC=BD ．

求证：①△CAB ≌△DBA ． ②△AOC ≌△BOD

②∵△CAB ≌△DBA （已证） 证明：①在△CAB 和△DBA 中 ∴∠C=∠D （全等三角形对应角相等）

∵ AC=BD （已知） 在△AOC 和△BOD 中

∠CAB=∠DBA （已知） ∠C=∠D （已证）

AB=AB （公共边） ∠AOC=∠BOD （对顶角相等）

∴△CAB ≌△DBA AC=BD （已知）

∴△AOC ≌△BOD

练习：

一、填空题

1、△ABC ≌△A ′B ′C ′，∠A=∠A ′,∠B=∠B ′,∠C=70°，AB=10 cm,

∠C ′= , A ′B ′=_____.

2、若△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为32 cm ，DE=9 cm ，EF=12 cm ，则AB=_____ cm ，BC=_____ cm,AC=_____ cm.

3、若△ABC ≌△DEF ，AB=DE ，AC=DF ，∠A=80°，BC=9 cm,则∠D=_____，∠D 的对边是_____=_____ cm.

4、全等三角形的对应高_____，对应边上的中线_____，对应角的平分线_____，全等三角形的面积

_____.

图（1）

图（2）

F

D

E B A

C

5、已知如图（1），在△ABF 和△DEC 中，∠A=∠D ，AB=DE ，若再添加条件__ _ __=___ __，则可根据边角边公理证得△ABF ≌△DEC.

6、如图（2），∠E=∠F ，∠ECA=∠FDB ，欲使ΔAEC ≌ΔBFD ，

应补充的条件是 （填一个条件）

7、如图（3）所示,点C 、F 在BE 上,∠1=∠2,BC=EF,请补充条件:_____ ______(写出一个即可),使△ABC ≌△DEF.

8、△ACB ≌△DEF ，其中A 与D ， C 与E 是对应顶点，则CB 的对应边是 ， ∠ABC 的对应角是 ．

9、已知ABC MNP △≌△，48A ∠= ，62N ∠= ，则B ∠= ，C ∠，M ∠和P ∠的度数分别为

， ， ． 二、选择题

1、下列各组图形中，一定全等的是( )

A.各有一个角是45°的两个等腰三角形

B.两个等边三角形

C.各有一个角是40°，腰长都为3 cm 的两个等腰三角形

D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形

2、具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（ ）.

A.顶角和一腰对应相等

B.底边和一腰对应相等

C.两腰对应相等

D.底角和底边对应相等

3、下列各组条件中能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）

A 、AB=DE ，BC=EF,∠A=∠D

B 、∠A=∠D ，∠C=∠F,AC=EF

C 、AB=DE,BC=EF,ΔABC 的周长等于ΔDEF 的周长

D 、∠A=∠D ，∠B=∠E, ∠C=∠F

4、下列各组条件中，不能判定△ABC ≌△A /B /C /的一组是（ ）

A 、∠A=∠A /,∠B=∠

B /,AB= A /B / B 、∠A=∠A / ，AB= A /B /，AC=A /

C /

C 、∠A=∠A / ，AB= A /B /，BC= B /C /

D 、AB= A /B /, AC=A /C / ,BC= B /C /

5、在△ABC 和△A /B /C /中①AB= A /B /,②BC= B /C /③AC=A /C /④∠A=∠A /⑤∠B=∠B / ⑥∠C=∠C /则在下列条件中不能保证△ABC ≌△A /B /C /的是（ ）

A 、①③⑤

B 、①②⑤

C 、②④⑤

D 、①②③

6、如图1所示，在下列条件中，不能作为判断△ABD ≌△BAC 的条件是； ( )

A. ∠D ＝∠C ，∠BAD ＝∠ABC

B ．∠BAD ＝∠AB

C ，∠AB

D ＝∠BAC

C ．B

D ＝AC ，∠BAD ＝∠ABC D ．AD ＝BC ，BD ＝AC

7、如图2，若⊿ABD ≌⊿EBC ，且AB=3，BC=5，则DE 的长为（ ）.

A.2

B.3

C.4

D.以上答案都不正确

图

1 图

2 三．证明题

1、请在括号里填理由或把横线补充完整

已知；点D 、E 分别在AB 、AC 上，BE 、CD 相交于O ，AB=AC ，

∠B=∠C. 求证：OB=OC.

证明：∵在ΔABE 和ΔACD 中，

∠A ＝∠A （ ） （ ）

∠B ＝∠C （ ）

∴ΔABE ≌ΔACD （ ）

∴ AE ＝AD （ ）

∴AB-AD ＝AC-AE （ ）

即：BD ＝CE

∵在ΔBOD 和ΔCOE 中，

∠BOD ＝∠COE （ ） （ ）

BD ＝CE （ ）

∴ （ ）

∴

2、已知：如图，AB 、CD 相交于点O ，AO=BO ，CO=DO ．求证：△AOC ≌△BOD ．

C

A

3、已知：如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，DC∥AB求证：OB=OD．

知识点5：作图：作三角形

一、用尺规作图，注意保留作图痕迹。

1、作∠ABC与已知∠O大小相等。

2、作△ABC与已知的△DEF全等

3、已知：线段a、b、∠α

求作：△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AC=b