(普通班)第一章第二节 命题及充要条件
第一章集合与常用逻辑用语
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一．考纲传真
1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
二．考点梳理
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以_________的陈述句叫做命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系：
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有_____的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性___________．
3．充分条件与必要条件
(1)如果p?q，则p是q的______条件，q是p的______条件；若p?q，则p是q的______条件．
(2)若p?q，且q?p，则p是q的____________________条件．
三．学情自测
1．下列命题是真命题的为()
A．若1
x＝
1
y，则x
＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则x＝y D．若x 2．[2014·陕西] 原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真，假，真B．假，假，真 C ．真，真，假 D ．假，假，假 3．(2012·温州适应性测试)设集合A ，B ，则A ?B 是A ∩B ＝A 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A 、∠B 都是锐角” 的否命题为：____________________. 5．下列命题中所有真命题的序号是________． ①“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分条件； ②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”成立的必要条件； ③“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”成立的充要条件． 四、典例探究 考点一 命题及其四种关系 [例1] (2012·湖南)命题“若α＝π4 ，则tan α＝1”的逆否命题是（ ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4 ，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4 考点二 充分条件和必要条件的判定 [例2] (1)(2012·陕西)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b i 为纯虚数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 (2)(2011·福建)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)·(a －2)＝0”的 （ ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 考点三 充分条件和必要条件的应用 [例3] (2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 五．当堂达标 1．(2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12 B ．x ＝－1 C ．x ＝5 D ．x ＝0 2．[2014·安徽] “x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 4．（2013年湖南）“1 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．(2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．（2013年山东）给定两个命题q p ,,p q ?是的必要而不充分条件,则p q ?是 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．(2011·天津)设集合A ＝{x ∈R|x －2＞0}，B ＝{x ∈R|x ＜0}， C ＝{x ∈R|x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B”是“x ∈C”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 选做题 1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，则“A A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是() A．x＋y＝2 B．x＋y>2 C．x2＋y2>2 D．xy>1 3．已知直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和直线l2：2x－(a－1)y＋2＝0(a∈R)，则l1⊥l2的充要条件是a＝________. 4．[2014·北京卷改编] 设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a n}为递增数列”的_____________________条件. 5．设p：2x2－3x＋1≤0，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若?p是?q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．