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2-3-1提公因式、公式法(一).讲义教师版

板块一：因式分解的基本概念

因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式

分解因式.

因式分解与整式乘法互为逆变形：

()m a b c ma mb mc ++++ 整式的乘积

因式分解

式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式

因式分解的常用方法：

提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.

分解因式的一般步骤：

如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式

十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.

注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；

②结果一定是乘积的形式；

③每一个因式都是整式；

④相同的因式的积要写成幂的形式.

在分解因式时，结果的形式要求：

①没有大括号和中括号；

②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；

③单项式因式写在多项式因式的前面；

④每个因式第一项系数一般不为负数；

⑤形式相同的因式写成幂的形式.

【例1】判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.

⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+

⑶232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++

【考点】因式分解

【难度】1星

【题型】解答

【关键词】

【解析】⑴不是，此变形是整式乘法运算；⑵不是，此等式不成立；⑶不是，等式右边不是整式乘积的形式；

⑷是.

【答案】⑴不是，此变形是整式乘法运算；⑵不是，此等式不成立；⑶不是，等式右边不是整式乘积的形式；

⑷是.

【例2】观察下列从左到右的变形：

⑴()()

3322623a b a b ab -=-； ⑵()ma mb c m a b c -+=-+

⑶()22261266x xy y x y ++=+；⑷()()22323294a b a b a b +-=-

其中是因式分解的有（填括号）

【考点】因式分解例题精讲

提公因式法、公式法

【难度】1星

【题型】填空

【关键词】

【解析】根据定义可知：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式叫做因式分解。其中⑴是单项式变形，⑷

是多项式的乘法运算，⑵中并没有写成几个整式的乘积的形式，只有⑶是因式分解

【答案】根据定义可知：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式叫做因式分解。其中⑴是单项式变形，⑷

是多项式的乘法运算，⑵中并没有写成几个整式的乘积的形式，只有⑶是因式分解

板块二：提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.

确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

【例3】分解因式：ad bd d -+；

【考点】因式分解

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】1(1)ad bd d d a d b d d a b -+=?-?+?=?-+最后一项1d d =?，系数1一般可省略，但因式分解时提

出“d ”后，“1”不能漏掉.提公因分解因式时，提完公因式的那个因式等于原多项式除以公因式的商，故那个因式的项数等于多项式的项数.

【答案】(1)d a b ?-+

【例4】分解因式：2244a a b -+-

【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】北京市中考大纲卷，公式法，提取公因式法

【解析】222244(2)(2)(2)a a b a b a b a b -+-=--=+---

【答案】(2)(2)a b a b +---

【例5】分解因式：23361412abc a b a b --+

【考点】因式分解

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】23322614122(376)abc a b a b ab c ab a --+=-+-

【答案】222(376)ab c ab a -+-

【例6】分解因式：32461512a a a -+-

【考点】因式分解

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】32422615123(425)a a a a a a -+-=-+-

【答案】223(425)a a a -+-

【例7】分解因式：22224()x a x a x +--

【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】2222224()(41)()x a x a x x a x +--=-+

【答案】22(41)()x a x -+

【例8】分解因式：3222524261352xy z xy z x y z -++

【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】3222524224226135213(214)xy z xy z x y z xy z y x z -++=---

【答案】224213(214)xy z y x z ---

【例9】不解方程组2631

x y x y +=??-=?，求代数式()()237323y x y y x ---的值．【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】()()()()()()232327323732332166y x y y x y x y x y x y y x ---=-+-=-+=?=

【答案】6

【例10】分解因式：2121()()m m p q q p +--+-

【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】212121221()()()()1()(1)(1)m m m m p q p q p q p q p q p q p q +---??---=---=----+??

【答案】21()(1)(1)m p q p q p q -----+

【例11】分解因式：212312n n x y xy z +-(n 为大于1的自然数)．

【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】因为n 大于1，所以10n ->，因此公因式是13n xy +．()

2121131234n n n n x y xy z xy x y z ++--=- 【答案】()

1134n n xy x y z +--

【例12】把下列各式进行因式分解：3223224612x y x y x y -+-

【考点】因式分解

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2009年，山东青岛，提取公因式法

【解析】原式()222236x y x y =--+

【答案】()222236x y x y --+

【例13】分解因式：()()23262x a b xy a b +-+

【考点】因式分解

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2009年，山东德州，提取公因式法

【解析】原式()()3222x a b a b y =++-

【答案】()()3222x a b a b y ++-

【例14】分解因式23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b ---+-

【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】原式22323224()(652)x y z a b yz x x y z =--+

【答案】22323224()(652)x y z a b yz x x y z --+

【例15】分解因式：346()12()m n n m -+-

【考点】因式分解

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】原式[]34336()12()6()12()6()(122)m n m n m n m n m n m n =-+-=-+-=-+-

【答案】36()(122)m n m n -+-

【例16】分解因式：55()()m m n n n m -+-

【考点】因式分解

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】555556()()()()()()()m m n n n m m m n n m n m n m n m n -+-=---=--=-

【答案】6()m n -

【例17】分解因式：()()()2

a a

b a b a a b +--+

【考点】因式分解

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】()()()2a a b a b a a b +--+()()()()()()22a a b a b a b a a b b ab a b =+--+=+-=-+????

【答案】()2ab a b -+

【例18】分解因式：(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+-

【考点】因式分解

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】原式(23)(2)(32)(2)(2)(55)5(2)()a b a b a b a b a b a b a b a b =+-++-=-+=-+

【答案】5(2)()a b a b -+

【例19】化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++

【考点】因式分解

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】原式()()()20051111x x x x x x ??=+++++++?? ()()()()200411111x x x x x x x ??=++++++++??

…()

()2005111x x x x =++++????()20071x =+ 【答案】()

20071x +

【例20】分解因式：()

()2121510n n a a b ab b a +---(n 为正整数) 【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】原式()()()()()

()212221510532535n n n n a a b ab a b a a b a b b a a b a b +=---=---=--????

注意整体思想的运用！

【答案】()()2535n a a b a b --

【例21】分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数.

【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】n 是正整数时，2n 是偶数，22()()n n x y y x -=-；21n +是奇数，2121()()n n x y y x ++-=--.

2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--

[]2()()()2()n x y x y x z y z =----+-2()()n x y y z =--.

【答案】2()()n x y y z --

【例22】先化简再求值，()()()2y x y x y x y x +++--，其中2x =-，12

y =．【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】2005年，长沙市中考，提取公因式法

【解析】利用因式分解化简．

()()()()()()()222y x y x y x y x x y y x y x x x y x x x y x xy +++--=++--=+-=+-=，

把2x =-，12

y =

代入，得原式1=-. 【答案】1-

【例23】求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-，其中23

x =-. 【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】原式22(32)(21)(32)(21)(32)(21)3(32)(21)x x x x x x x x x =-+--+--+=--+, 当23

x =-时，原式4=-. 【答案】4-

【例24】已知：2b c a +-=-，求22221()()(222)33333

a a

c b c a b c b c a --+-+++-的值. 【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法【解析】原式22228()(2)333

b c a =--=?-= 【答案】83

【例25】分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----.

【考点】因式分解

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】观察原式，我们发现公因式为2()x z x y --，故原式[]2()()()x z x y x y z a z y x z a =---+-++--

2()()x z x y ax z xz yz ay =--+---.

【答案】2()()x z x y ax z xz yz ay --+---

【例26】若a 、b 、c 为ABC ?的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ?按边分类，

应是什么三角形？

【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】这是一道因式分解与等腰三角形联系的综合性问题．应先对等式进行化简，再利用等腰三角形的定

义进行判断．在化简过程中，如果几个因式的乘积为0，则每一个因式都有可能为0，即若0ab =，则等价于0a =或0b =或0a b ==，所以由()()0a b b c --=，得到a b =或b c =或a b c ==，若第三个成立则ABC ?是等边三角形，但等边三角形是特殊的等腰三角形，所以结论是等腰三角形．

∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-

∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---

∴()()()()0a b b a c a a b -----=，即()()0a b b c --=

∴0a b -=或0b c -=，即a b =或b c =，∴ABC ?是等腰三角形

【答案】ABC ?是等腰三角形

1. 分解因式：4325286x y z x y -

【考点】因式分解

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】43252422862(43)x y z x y x y yz x -=-，按照系数、字母(或多项式因式)确定公因式

【答案】4222(43)x y yz x -

2. 分解因式：322618m m m -+-

【考点】因式分解

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】323222618(2618)2(39)m m m m m m m m m -+-=--+=--+或

32232261862182(39)m m m m m m m m m -+-=--=--若多项式第一项为负，一般有两种处理方法： ①首先将“－”提出，初学时不要省略此步，再对提取“－”后的多项式提取公因式； ②若多项式中含有系数为正数的项，也可将这一项写在第一项，然后再提取公因式.

【答案】22(39)m m m --+

3. 分解因式：23229632

x y x y xy ++ 【考点】因式分解

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法【解析】23222322291363(1269)(423)222

xy x y x y xy x y x y xy x x y y ++=++=++因式分解后，最好使多项式中的系数为整数，这样比较整洁. 【答案】23(423)2

xy x x y y ++

4. 分解因式：2222224x y x z y z z --+

【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法，应用公式法

【解析】22222242222222222()()()()()()()()x y x z y z z x y z z y z y z x z y z y z x z x z --+=---=--=-+-+

【答案】()()()()y z y z x z x z -+-+

5. 分解因式：232232a b abc d ab cd c d -+-

【考点】因式分解

课后练习

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】232232222222()()()()a b abc d ab cd c d ab ab c d cd ab c d ab cd ab c d -+-=-+-=+-

【答案】22()()ab cd ab c d +-

6. 分解因式：22(1)1a b b b b -+-+-

【考点】因式分解

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】222(1)1(1)(1)a b b b b a b b -+-+-=--+

【答案】2(1)(1)a b b --+

7. 分解因式：22()()()x x y y y x --+-

【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】公式法，提取公因式法

【解析】22()()()x x y y y x --+-22222()()()()()()x x y y x y x y x y x y x y =---=--=-+

【答案】2()()x y x y -+

8. 分解因式：212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数)

【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】(21)(2)10n n n +-+=->，(21)(2)n n +>+，2121211462(23)n m n m n m n a b a b a b a b ++-+---=-

【答案】2112(23)n m n a b a b +---

9. 分解因式：2316()56()m m n n m -+-

【考点】因式分解

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】提取公因式法

【解析】原式[]232216()56()8()27()8()(75)m n m n m n m m n m n m n m =-+-=-+-=--

【答案】28()(75)n m n m --

(完整版)提公因式法因式分解练习题

因式分解---------提公因式法下列从左到右的变形中，哪些是因式分解，哪些不是。（1）)2(3362 2 3 b a a b a a -=- （2）)1(2 3 2 x x x x --=+- （3）))((2 2 b ab a b a ++-33b a -= （4）)3)(2(--x x 652+-=x x （5）㎡=m ×m （6）㎡+m=m 3（）二、用提公因式法因式分解(一) （1）332168b a ab - （2）22mn n m +- （3）2 515x xy -- （4）3224 1ab b a - （5）ab b a b a -+2233 （6） 3 22316128ay y a y a -+- （7）am m a m a 126323+--（8）xy y x y x ++-2 2 3 2 用提公因式法因式分解(二) （1）2 )()(b a b a +-+ （2）)()(x y y y x x -+- （3）)(2)(62 n m n m +-+（4）)(2)(32 y x x y -+- （5）)()(3y x x y x ----（6）2 2 )()(m n n n m m --- （7）)(4)(6p q q q p p +-+ （8）)(4)(122 x y ab y x b a --- （9）))(())((y x b a y x b a -+-++ 用提公因式法因式分解(三) （1）)(2)(72a b y b a x --- （2） )3()3(52 2x a x --- （3） 23)()(2b a b a +-+ （4）2 22)3()3(a b x b a x --- 5）)(3)(2p q b q p a ---（6）2 2 3 )1(8)1(6x p x p --- （7）2 )1()1(---a a a （8）2 2 )()()(b a b a b a --+- （9）)1()1(2)1(3x c x b x a -+---- （10）)32()23()1(2x x x -+-- 用提公因式法因式分解(四) （1）2 )())((y x x y x y x x +--+

八年级数学下册提公因式法(二)导学案

八年级数学下册提公因式法（二）导学案 1.掌握用提公因式法分解因式的方法 2.培养学生的观察能力和化归转化能力 3.通过观察能合理进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点学习重点：含有公因式是多项式的分解因式学习难点：整体思想的运用以及代数式的符号变换的处理预习作业：把)3(2)3(-+-x b x a 分解因式，这里要把多项式)3(-x 看成一个整体，则_______是多项式的公因式，故可分解成___________________ 一、创设情境导入新课 1、请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立: （1）2－a =__________（a －2）（2）y －x =__________（x －y ）（3）b +a =__________（a +b ）（4）=-2)(a b _________2)(b a - （5）=--n m _________)(n m + （6）=+-22t s _________)(22t s - （7）=-3)(x y __________3)(y x - （8）=--2)(q p ________2)(q p + 2、．一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“ +”或“—”）： ???--=-为奇数）（为偶数）n y x n y x x y n n n )_______(()_______()( 二、合作探究探究一： )()(b a y b a x +++ 探究二：把下列各式分解因式: （1）23)(12)(6m n n m --- （2）3()()m x y n y x --- （3）324(1)2(1)q p p - +-

因式分解法(提公因式法、公式法)

因式分解法(提公因式法、公式法) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意：（1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，并且注意括号内其它各项要变号。（2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。（3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式，这时要特别注意各项的符号）。（4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。（5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领：（1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。（3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。（4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。【典例分析】例1.分解下列因式：（1）2 2321084y x y x y x -+ （2）233272114a b c ab c abc --+

因式分解提公因式法含答案

【知能点分类训练】知能点1 因式分解的意义 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）． A．（x+3）（x－3）=x2－9 B．x2－9+x=（x+3）（x－3）－x C．xy2－x2y=xy（y－x） D．x2+5x+4=x（x+5+） 2．下列变形不属于分解因式的是（）． A．x2－1=（x+1）（x－1） B．x2+x+1 4 =（x+ 1 2 ）2 C．2a5－6a2=2a2（a3－3） D．3x2－6x+4=3x（x－2）+4 3．下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法哪些是因式分解哪些两者都不是（1）ad+bd+cd+n=d（a+b+c）+n （2）ay2－2ay+a=a（y－1）2 （3）（x－4）（x+4）=x2－16 （4）x2－y2+1=（x+y）（x－y）+1知能点2 提公因式法分解因式

4．多项式－7ab+14abx－49aby的公因式是________． 5．3x2y3，2x2y，－5x3y2z的公因式是________． 6．下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是（）． A．5a3+4a2－a=a（5a2+4a） B．p（a－b）2+pq（b－a）2=p（a－b）2（1+q） C．－6x2（y－z）3+x（z－y）3=－3x（z－y）2（2x－z+y） D．－x n－x n+1－x n+2=－x n（1－x+x2） 7．把多项式a2（x－2）+a（2－x）分解因式等于（）． A．（x－2）（a2+a） B．（x－2）（a2－a） C．a（x－2）（a－1） D．a（x－2）（a+1） 8．下列变形错误的是（）． A．（y－x）2=（x－y）2 B．－a－b=－（a+b） C．（a－b）3=－（b－a）3 D．－m+n=－（m+n）

因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)

课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念 1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式）整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法 1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++ （1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数． 2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式． 3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式． 4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法 1、平方差公式： 22 ()()a b a b a b -=+- 2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=± 3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底．精解名题：

提公因式、公式法因式分解专题

(25) (x?2)2?(2?xF; (26)m(n-2)-p(2-n)+(n-2); (27)a3-b3-a2+b2; (28) (m-a)2+3x(m-a)-(x+y)(a-m); (29) a2(x-2a)3-a(2a-x)2; (30)(a-3)(a3-2)-(3-a)(a2-1)+2(3-a); (31)2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c); (32)(x+2)(x?3)(x2?7)+(2+x)(3?x)(x+3); (33)(a?b)2(a+b 产(b-a)2(b+a)2; (34)x(b+c-d)-y(d-b-c)-b-c+d; (35)(x+1 )2(2x?3)+(x+1 )(2x?3)2?(x+1 )(3?2x);

因式分解专题1_用提公因式法(含答案)

1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】 1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 ) 243)((]2)(2))[(() (2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+?

提公因式法-平方差公式法习题

提公因式法：一、填空题 1．因式分解是把一个______化为______的形式． 2．ax 、ay 、－ax 的公因式是______；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是______． 3．因式分解a 3－a 2b ＝______．二、选择题 4．下列各式变形中，是因式分解的是（） A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 Ｂ．)11(22222x x x x +=+ C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4 D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1） 5．如果多项式x 2＋mx ＋n 可因式分解为（x ＋1）（x －2），则m 、n 的值为（） A ．m ＝1，n ＝2 B ．m ＝－1，n ＝2 C ．m ＝1，n ＝－2 D ．m ＝－1，n ＝－2 6．（－2）10＋（－2）11等于（） A ．－210 B ．－211 C ．210 D ．－2 三、计算题 7．x 4－x 3y 8．12ab ＋6b 9．5x 2y ＋10xy 2－15xy 10．3x （m －n ）＋2（m －n ） 11．3（x －3）2－6（3－x ） 12．y 2（2x ＋1）＋y （2x ＋1）2 13．y （x －y ）2－（y －x ）3 14．a 2b （a －b ）＋3ab （a －b ） 15．－2x 2n －4x n 16．x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n ＋1 四、解答题 17．应用简便方法计算：（2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8 思考：说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．平方差公式法一、填空题 1．在括号内写出适当的式子：（1）0.25m 4＝（）2；（2） =n y 29 4（）2；（3）121a 2b 6＝（）2． 2．因式分解：（1）x 2－y 2＝（）（）；（2）m 2－16＝（）（）；（3）49a 2－4＝（）（）;（4）2b 2－2＝______（）（）．二、选择题 3．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（） A ．y 2－49x 2 B ．449 1x - C ．－m 4－n 2 D ．9)(4 12-+q p 4．a 2－（b －c ）2有一个因式是a ＋b －c ，则另一个因式为（） A ．a －b －c B ．a ＋b ＋c C ．a ＋b －c D ．a －b ＋c

【冀教版】七年级数学下册：11.1-11.2《提公因式法》导学案

提公因式法知识目标：了解公因式及提公因式的方法。能力目标：能熟练地运用提公因式法进行因式分解。情感目标：通过探索提公因式法分解因式，体验数学解题的规范性。预习课本P144-145,完成下列问题。）用提公因式法分解因式首先要干什么？一、创设情境、引入课题 5x+5y =5(x+y) ，对于这个式子从左到右是因式分解，那么5就是5x和5y的公因式，这节课我们就来学习用提公因式法分解因式。二、一起探究，合作发现用提公因式法分解因式。首先，要确定公因式。如：a b-2ab 由于a b=ab·a; 2ab=ab·2b，所以ab是a b和2ab两项的一个公因式。我们将这样的因式叫做这个多项式各项的。其次，进行因式分解。逆用乘法分配率，将公因式ab“提到”括号外边，写成 a b-2ab=ab(a-2b). 这样，就将这个多项式进行了因式分解。这种将多项式分解因式的方法，叫做。问题（1）：用提公因式法分解因式的前提条件是什么？问题（2）：对a-b这样的多项式，能用提公因式法分解因式吗？三、方法运用例1 分解因式： ⑴8a-16= ⑵ x+3x= (3)ab-5bc+b (4)x3y-x2 = = 例2 把下列多项式分解因式： ⑴ -3x+6xy-3xz; ⑵3a b+9a b-6a b 例3 将2a(b+c)-5(b+c)进行因式分解。练：10（a-b）+20(a-b) 四、随堂练习 1．课本练习1.3.（P146) 2．多项式24x2y－12xy2+6x2y2的公因式是（） A．xy B．2 xy C．4 xy D．x2y2 3.公因式是x-2的一组多项式是（） A.(x+2)，(x-2) B.x-2x, 4x-6 C.3x-6, x-2x D.x-4, 6x-18 4. 分解因式a2－ab＝．五、拓展练习试说明5-4×5+10×5 六、点滴收获七、布置作业：课后习题3，4. 22 2222 22 22 2 23222 222 2 200820072009

提公因式、公式法因式分解专题

因式分解练习一提取公因式法分解因式 (1)-15ax-20a;(2)-25x8+125x16;(3)-a3b2+a2b3;(4)6a3-8a2-4a; (5)-x3y3-x2y2-xy;(6)a8+a7-2a6-3a5;(7)6a3x4-8a2x5+16ax6;(8)9a3x2-18a5x2-36a4x4; (9)(10)a m-a m+1;(11)-12a2n+1b m+2+20a m+1b2n+4;(12)x(a+b)+y(a+b); (13)(a+b)2+(a+b); (14)a2b(a-b)+3ab(a-b);(15)x(a+b-3c)-(a+b-3c)(16)a(a-b)+b(b-a); (17)(x-3)3-(x-3)2;(18)a2b(x-y)-ab(y-x);( 19)a2(x-2a)2-a(2a-x)2;(20)(x-a)3+a(a-x); (21)(x-2y)(2x+3y)-2(2y-x)(5x-y); (22)3m(x-5)-5n(5-x);(23)y(x-y)2-(y-x)3;(24)a(x-y)-b(y-x)-c(x-y); (25)(x-2)2-(2-x)3;(26)m(n-2)-p(2-n)+(n-2);(27)a3-b3-a2+b2; (28)(m-a)2+3x(m-a)-(x+y)(a-m); (29)a2(x-2a)3-a(2a-x)2;(30)(a-3)(a3-2)-(3-a)(a2-1)+2(3-a);(31)2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c); (32)(x+2)(x-3)(x2-7)+(2+x)(3-x)(x＋3);(33)(a-b)2(a+b)3-(b-a)2(b+a)2;(34)x(b+c-d)-y(d-b-c)-b-c+d; (35)(x+1)2(2x-3)+(x+1)(2x-3)2-(x+1)(3-2x); 因式分解练习二运用公式法分解因式； (1)a2-9b2; (2)-9x2+4y2; (3)a4-4b2; (4)a6-a8; (5)x2-324; (6)144a2-256b2; (7)64x16-y4z6; (8)16a16-25b2x4; (9)25a2b4c16-1; (10)(11)36a4x10-49b6y8; (12)81x8-225a4b4; (13)(a+b)2-100; (14)-z2+(x-y)2; (15)361-(3a+2b)2; (16)(ax+by)2-1; (17)20a3x3-45axy2; (18)(2x-3y)2-4a2; (19)(a+2b)2-(x-3y)2; (20)4(a+2b)2-25(a-b)2; (21)a2(a+2b)2-9(x+y)2; (22)b2-(a-b+c)2; (23)(a+b)2-4a2; (24)(x-y+z)2-(2x-3y+4z)2; (25)4(x+y+z)2-9(x-y-z)2; (26)a-a5; (27)a4-9b4;(28)a8-81b8; (29)a9-ab2; (30)a16-b16;(31)a2b3-4a2b;(32)x2-y2+x-y;

因式分解一_提取公因式法和公式法_超经典

因式分解（一） ——提取公因式与运用公式法【学习目标】（1）让学生了解什么是因式分解；（2）因式分解与整式的区别；（3）提公因式与公式法的技巧。【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意：（1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，并且注意括号内其它各项要变号。（2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。（3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式，这时要特别注意各项的符号）。（4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。（5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领：（1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。（3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。（4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。【经典例题】例1、找出下列中的公因式： (1) a 2b ，5ab ，9b 的公因式。 (2) －5a 2，10ab ，15ac 的公因式。 (3) x 2y(x －y)，2xy(y －x) 的公因式。

提公因式法及公式法因式分解练习题

1.把一个多项式__________________________，这样的式子变形，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式______________。 2. 在括号内填入适当的多项式，使等式成立。 (1)-4ab-4b=-4b( )(2)8x 2y-12xy 3=4xy( ) (3)9m 3+27m 2=( )(m+3) (4)-15p 4-25p 3q=( )(3p+5q) (5)2a 3b-4a 2b 2+2ab 3=2ab( ) (6)-x 2+xy-xz=-x( ) (7)2 1a 2-a=2 1a( ) 3. 在横线上填入“+”或“-”号，使等式成立。 (1)a-b=______(b-a) (2)a+b=______(b+a) (3)(a-b)2=______(b-a)2 (4)(a+b)2=______(b+a)2 (5)(a-b)3=______(b-a)3 (6)(-a-b)3=______(a+b)3 1.把下列各式分解因式 (1)x 2-5xy (2)-3m 2+12mn (3)12b 3-8b 2+4b (4)-4a 3b 2-12ab 3 (5)-x 3y 3+x 2y 2+2xy (1)9m 2n-3m 2n 2 (2)4x 2-4xy+8xz (4)6x 4-4x 3+2x 2 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 1、221x x ++ 2、2441a a ++ 3、 2169y y -+ 4、2 14 m m ++ 5、 221x x -+ 6、2816a a -+ 7、2144t t -+ 8、21449m m -+ 9、222121b b -+ 10、214 y y ++ 11、2258064m m -+ 12、243681a a ++ 13、2 2 42025p pq q -+ 14、2 24 x xy y ++ 15、2244x y xy +- 1、221222 x xy y ++ 2、42232510x x y x y ++ 3、2232ax a x a ++ （1）232x x ++ （2）276x x -+ （3）2421x x -- （4）2215x x -- （ 5）298x x ++ （6）2712x x -+ （7）2421a a --+ （8）2328b b -- 2215x x --

2017因式分解导学案.doc

【学习重点与难点】：因式分解的方法和运用【导学过程】一、知识再现:（阅读教材，理解记忆） 1、因式分解： 2、用提公因式法分解因式（1）基本方法，（2）找公因式的方法， 3、因式分解中运用的公式（1）=-22b a ，（2）=+±222b ab a ， 4、因式分解的应用．二、典例分析 1、提公因式法分解因式例1 因式分解：b a ab 223+= 变式1、因式分解：x x 52- = 变式2、因式分解： 2263ab b a += 2、公式法分解因式例2、因式分解：3212123a a a ++= 变式3、因式分解：296ab ab a +-= 变式4、因式分解：23ab a -=

3、因式分解的应用例3 解方程的值求代数式224320042200452y x x y y x -?? ???=-=+ 变式5、若622=-n m 且2=-n m 则=+n m 三、巩固提高 1. 下列分解因式正确的是（） A 、﹣a +a 3=﹣a （1+a 2） B 、2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b ） C 、a 2﹣4=（a ﹣2）2 D 、a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2 2．分解因式：321025=a a a -+ 3、因式分解：a 2 ﹣6a+9= 4、分解因式：3222b ab b a +-= 5、分解因式：8（x 2﹣2y 2）﹣x （7x+y ）+xy ．

【课堂反馈】 1、下列式子变形是因式分解的是【】 A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6 B ．x 2 －5x ＋6＝(x －2)(x －3) C ． (x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6 D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3) 2、若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是（） (A)0x y z ++= (B) 20x y z +-= (C) 20y z x +-= (D) 2=0x z y +- 3、分解因式：3269x x x -+= 4、分解因式：=+-+)(3)(2y x y x 5、已知1=-b a ，则b b a 222--的值

《因式分解--提公因式法》教案

《15．4．1因式分解——提公因式法》教案广西桂平市社步一中黄郁贞一、教学目标㈠、知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。㈡、过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想。（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。㈢、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。二、教学重点和难点重点：因式分解的概念及提公因式法。难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。

-1)= 个整式的

五、学生学习活动评价设计在本节教学设计中，对学生的评价方式：自评、互评、教师评价等。通过多样化的评价方式，激励、促进学生积极参与自主学习、实验探究、讨论交流中，并学会和同伴合作的良好学习习惯。例如： 1.个人回答问题次数：正确次数：改正人： 2.小组自评实验结论：活动1：正确、不完善、错误；（在所属情况下面打对勾）活动2：正确、不完善、错误。活动…… 3.例题完成情况：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。 4.课堂完成情况练习：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。六、教学反思㈠、教材分析本节课选自人教版数学八年级上册第十五章第四节第一个内容（P165-167）。因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义。

因式分解一提取公因式法和公式法

因式分解(一) —-提取公因式与运用公式法【学习目标】(１)让学生了解什么就是因式分解; (２)因式分解与整式得区别; (3)提公因式与公式法得技巧、【知识要点】 1、提取公因式:型如,把多项式中得公共部分提取出来、 ☆提公因式分解因式要特别注意: (1)如果多项式得首项系数就是负得,提公因式时要将负号提出,使括号内第一项得系数就是正得, 并且注意括号内其它各项要变号、 (２)如果公因式就是多项式时,只要把这个多项式整体瞧成一个字母,按照提字母公因式得办法提出。 (3)有时要对多项式得项进行适当得恒等变形之后(如将ａ+b-c变成-(c—a－ｂ)才能提公因式,这时要特别注意各项得符号)。 (4)提公因式后,剩下得另一因式须加以整理,不能在括号中还含有括号,并且有公因式得还应继续提、 (5)分解因式时,单项式因式应写在多项式因式得前面、 2、运用公式法:把我们学过得几个乘法公式反过来写就变成了因式分解得形式: ; 。平方差公式得特点就是:(1) 左侧为两项;(２) 两项都就是平方项;(3) 两项得符号相反。完全平方公式特点就是: (１) 左侧为三项;(2) 首、末两项就是平方项,并且首末两项得符号相同; (3) 中间项就是首末两项得底数得积得２倍、 ☆运用公式法分解因式,需要掌握下列要领: (1)我们学过得三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解,然后再选择适当公式。(2)各个乘法公式中得字母可以就是数,单项式或多项式。 (3)具体操作时,应先考虑就是否可提公因式,有公因式得要先提公因式再运用公式、 (４)因式分解一定要分解到不能继续分解为止,分解之后一定要将同类项合并。【经典例题】例1、找出下列中得公因式: (1) aｂ,5ａb,９b得公因式。 (2) -５ａ２,10ab,15aｃ得公因式。 (3) x2y(ｘ-y),2ｘy(y-x) 得公因式、 (4) ,,得公因式就是、例2、分解下列因式: (1) (２)

《提公因式法》导学案

第十四章整式的乘法与因式分解 . . . m(a+b+c)= 3a2,6a 有什么共同点？ma, 中有共同的因式， ____________. 的形式，叫作. 将多项式写成_______ . . 2+3xy －4x2y+5x2y2=xy(3－

5.分解因式 (1)a 2b –2ab 2+ab ； (2)2（a-b ）-4(b-a)； 2 2（2x ＋1）＋y （2x ＋1）2A ．12xyz-9x 2y 2=3xyz （4-3xyz ） B ．3a 2y-3ay+6y=3y （a 2-a+2） C ．-x 2+xy-xz=-x （x 2+y-z ） D ．a 2b+5ab-b=b （a 2+5a ） 4.把下列各式分解因式： (1)8 m 2n+2mn=_____________；(2)12xyz-9x 2y 2=_____________； (3)p(a 2 + b 2 )- q(a 2 + b 2 )=_____________； (4) -x 3y 3-x 2y 2-xy=_______________； (5)(x-y)2+y(y-x)=_____________. 5.若9a 2(x －y)2－3a(y －x)3＝M ·(3a ＋x －y)，则M 等于_____________. 6.简便计算： (1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013-20142; (3)(-2)101+(-2)100. 7.(1)已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值. (2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x= 1 2 . . 拓展提升 8.△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，请判断△ABC 是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．

因式分解(提公因式、公式法)

精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：初一课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型 C 提取公因式法 C 公式法 C 能力提升授课日期时段教学内容 1. 理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的互逆关系； 2. 理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式； 3. 掌握公式法分解因式. 一、有关概念： 1.把一个多项式化为几个整式的积德形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 2.一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式. 3.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法. 4.提取的公因式应是各项系数最大的公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积. 5.逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法. 提取公因式法教学目标知识点睛

二、提取公因式的步骤： “一找”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式； “二提”：就是第二步将所找出的公因式提出来； “三去除”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式. 题型一、因式分解概念：【例】下列变形是因式分解的是 ( ) A ．()()2111x x x +-=- B ．2 21139342a a a ??-+=- ??? C ．()25656x x x x -+=-+ D ．()()ax ay bx by a x y b x y +++=+++ 【巩固】判断下列各式哪些是多项式的因式分解？哪些不是？为什么？（1）2 (3)(3)9x x x +-=- （2）4 2 2 25(5)(5)m m m -=+- （3）2 32(3)2x x x x +-=+- （4）4 22 4 2 22 2()a a b b a b -+=- 题型二、提公因式：【例】（1）2 abc abd a b +- （2）155ax xy -- （3）()()2 2 3x a b b a -+- （4）34256686a x a x ax -+ （5）32524491836a x a x a b -- （6）54256 3286a b a x ax -+ （7）32 52 4 4 91836a x a x a x -- （8）54 35 27 321624a b a b a b -+ 例题精讲

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