函数的奇偶性及周期性
1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【答案】 B
【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x),
∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)=
-f(0)
又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0.
2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x
R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 (
)
A.3
B.0
C.-1
D.-2
【答案】 B
【解析】 设 g ( x) 3
sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 .
x
∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2,
∴ g(a)=1.
∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0.
3. 已知 f(x)
是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)=
1 1 x
2 时 ,f(x)=x-2,
则
f ( x)
f(6.5) 等于?? ( )
A.4.5
B.-4.5
C.0.5
D.-0.5
【答案】 D
【 解 析 】 由 f(x 2)
1 得 f(x 4)
1
f ( x ) f ( x 2)
f(6.5)=f(2.5).
因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5.
4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)=
-
是 ( )
A. ( 1)
B. ( 1]
C. (1
)
D. [1
) 【答案】 A
【解析】 当 x>0时 f ( x )
1 2
x
1
1
x
2
当 x<0时,-x>0, ∴ f( x )
1 2 x
.
又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 ,
∴ f(-x)=-f(x).
∴ f ( x )
1 2 x
. ∴ f ( x )
2
x
1 .
∴ f ( x)
2 1
1
即 2
x 1 .
x
∴ x<-1.
2
2
∴不等式
f ( x )
1
的解集是 (
1) .
2
5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x)
则f(x) 在区间 [0,3]
. f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得
2 x
则不等式 f ( x)
1
的解集
2
1 2
在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],
【答案】 [-2,7]
1. 对于定义在 R上的任一奇函数 f(x), 均有 ( )
A.f(x ) f ( x ) 0
B. f ( x) f ( x ) 0
C.f(x)f(-x)>0
D.f(x)-f(-x)>0
【答案】 A
【解析】∵ f(-x)=-f(x),
∴ f(x)f( x ) f 2 ( x ) 0 .
2.(2012 山东济南月考 ) 已知 y=f(x) 是定义在 R上的奇函数 , 则下列函数中为奇函数的是 ( )
① y=f(|x|); ② y=f(-x); ③ y=xf(x); ④y=f(x)+x.
A. ①③
B. ②③
C.①④
D. ②④
【答案】 D
【解析】由奇函数的定义验证可知②④正确.
3. 在 R 上定义的函数 f(x) 是偶函数 , 且 f(x)=f(2-x), 若 f(x) 在区间[1,2] 上是减函数, 则
f(x)( )
A. 在区间 [-2,-1] 上是增函数 , 在区间 [3,4] 上是增函数
B. 在区间 [-2,-1] 上是增函数 , 在区间 [3,4] 上是减函数
C. 在区间 [-2,-1] 上是减函数 , 在区间 [3,4] 上是增函数
D. 在区间 [-2,-1] 上是减函数 , 在区间 [3,4] 上是减函数
【答案】 B
【解析】由 f(x)=f(2-x) 知函数 f(x) 的图象关于直线 x=1对称 , 作出函数的简图如下 .
4.f(x) 是定义在 R上以 3为周期的奇函数, 且 f(2)=0, 则方程 f(x)=0 在区间 (0,6) 内解的个数的最
小值是()
A.2
B.3
C.4
D.7
【答案】 D
【解析】∵ f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,
∴f(5)=f(2)=0,f(-1)=f(2)=0,
则-f(1)=0, 即 f(1)=0;f(4)=f(1)=0.
又f(0)=0, ∴ f(3)=f(0)=0,f(1.5)=f(-1.5)=-f(1.5).
∴f(1.5)=0,则f(4.5)=f(1.5)=0,因此在区间(0,6) 上,f(1)=f(1.5)=f(2)=f(3)=f(4)=f(4.5)=7.
5. 已知定义在 R上的奇函数 f(x) 满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则()
A.f(-25) B.f(80) C.f(11) D.f(-25) 【答案】 D 【解析】∵ f(x-4)=-f(x),∴T=8. 又f(x) 是奇函数 , ∴f(0)=0. ∵ f(x)在[0,2]上是增函数,且f(x)>0, ∴f(x) 在[-2,0] 上也是增函数 , 且 f(x)<0. 又 x [2 4] 时,f(x)=-f(x-4)>0, 且 f(x) 同理 f(x) 在 [4,6] 上为减函数且 f(x)<0. 如图 . ∵ f(-25)=f(-1)<0,f(11)=f(3)>0,f(80)= ∴ f(-25) 6. 设函数 f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1) 上为增函数, 则 f(-1)与f(2)的大小关系 是( ) A.f(-1)>f(2) B.f(-1) C.f(-1)=f(2) D.无法确定 【答案】 A 【解析】由 y=f(x+1) 是偶函数 , 得到 y=f(x) 的图象关于直线 x=1对称 , ∴ f(-1)=f(3). 又 f(x) 在[1 ) 上为单调增函数, ∴ f(3)>f(2), 即 f(-1)>f(2). 7. 已知函数 f ( x ) x 2 ( m 2) x 3是偶函数 , 则m= . 【答案】 -2 【解析】本题考查了函数的奇偶性.f(x) 为偶函数 , 则 m+2=0 -2. 8. 函数 f(x) 在 R上为奇函数 , 且x>0时 f ( x ) x 1 则当x<0时,f(x)= . 【答案】x 1 【解析】∵ f(x) 为奇函数 ,x>0 时 f ( x) x 1 ∴当 x<0时 ,-x>0, f(x)=-f(-x ) ( x 1) 即 x<0时 f ( x ) ( x 1) x 1 . 9. 若函数 f(x)=log a ( x x 2 2 a 2 ) 是奇函数,则a= . 【答案】 2 2 【解析】∵ f(x) 是奇函数 , ∴f(0)=0, 即 log a ( 2 |a|)=0. 则 2 |a|=1, 且 a 0 a 1 因此 a 2 . 2 10. 已知 f(x) 与 g(x) 都是定义在 R 上的奇函数 , 若 F(x)= 且 F(-2)=5, 则 F(2)= . 【答案】 -1 【解析】∵ f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x). ∴ F(2)+F(-2)=af(2)+(2)+2+af(-2)+ -2)+ -af(2)-(2)+2=4. 又F(-2)=5, ∴ F(2)=4-F(-2)=4-5=-1. x 2 2 x x 0 11. 已知函数 f(x)= 0 x 0 是奇函数 . 2 m x x x (1) 求实数 m 的值 ; (2) 若函数 f(x) 在区间 [-1,a-2] 上单调递增 , 求实数 a 的取值范围 . 【解】 (1) 设 x<0, 则 -x>0, 所以 f(-x)= ( x ) 2 2( x ) x 2 2 x . 又 f(x) 为奇函数 , 所以 f(-x)=-f(x). 于是 x<0时 f ( x ) x 2 2 x x 2 m x 所以 m=2. (2) 要使 f(x) 在 [-1,a-2] 上单调递增 , 结合 f(x) 的图象知 a 2 1 a 2 1 所以 1 a 3 故实数 a 的取值范围是 (1,3]. 12. 已知函数 f ( x) x 2 a ( x 0) . x (1) 判断 f(x) 的奇偶性 , 并说明理由 ; (2) 若 f(1)=2, 试判断 f(x) 在 [2 ) 上的单调性 . 【解】 (1) 当 a=0时 f ( x ) x 2 ( x ) f ( x), 函数 f(x) 是偶函数 . f 当 a 0 时 f ( x ) 2 a ( x 0 常数 a R), x 取 x 1 得 f(-1) f (1) x 2 0 ; f(-1)-f (1) 2 a ∴ f ( 1) f (1) f ( 1) f (1) . ∴函数 f(x) 既不是奇函数也不是偶函数 . (2) 若 f(1)=2, 即 1+a=2, 解得 a=1, 这时 f ( x) x 2 1 . x 任取 x 1 x 2 [2 ) 且 x 1 x 2 . 则 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( x 2 1 ) ( x 2 1 ) 1 x 2 x 1 2 x x ( x 1 x 2 )( x 1 x 2 ) 2 1 x 1x 2 ( x 1 x 2 )( x 1 x 2 1 ) . x x 2 1 由于 x 1 2 x 2 2 且 x 1 x 2 ∴ x 1 x 2 0 x 1 x 2 1 . x x 1 2 ∴ f ( x 1 ) f ( x 2 ) . 故 f(x) 在 [2 ) 上是单调递增函数 . 13. 函数 f ( x ) ax b 是定义在 (-1,1) 上的奇函数 , 且 f ( 1 ) 2 . 1 x 2 2 5 (1) 确定函数 f(x) 的解析式 ; (2) 用定义证明 f(x) 在 (-1,1) 上是增函数 ; (3) 解不等式 f(t-1)+f(t)<0. f (0) 【解】 (1) 依题意得 f ( 1 ) 2 2 5 b 2 1 a 1 即 a b b 2 2 1 1 5 4 ∴ f ( x) x . x 2 1 (2) 证明:任取 1 x 1 x 2 1 x x f ( x 1 ) f ( x 2 ) 1 2 x 2 1 x 2 1 1 2 ( x 1 x 2 )(1 x 1 x 2 ) . (1 x 2 )(1 x 2 ) 1 2 ∵ 1 x 1 x 2 1 ∴ x 1 x 2 0 1 x 1 2 0 1 x 2 2 0 . 又 1 x 1 x 2 1 ∴ 1 x 1 x 2 0 . ∴ f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 . ∴ f(x) 在(-1,1) 上是增函数 . (3)f(t-1)<-f(t)=f(-t). ∵ f(x) 在(-1,1) 上是增函数 , ∴ -1 解得 0 t 1 . 2 14. 若定义在 R 上的函数 f(x) 对任意的 x 1 x 2 R, f ( x x ) f ( x ) f ( x ) 1成立, 1 2 1 2 且当 x>0时 , (1) 求证 :g(x)=f(x)-1 为奇函数 ; (2) 求证 :f(x) 是 R 上的增函数 ; (3) 若 f(4)=5, 解不等式 f (3 m 2 m 2) 3 . 【 解 】 (1) 证 明 : 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 对 任 意 的 x x 2 R,都有 1 f ( 1x 2x) f( 1 x) f( 2 成x)立 ,1 令 x 1 x 2 0 则 f(0+0)=f(0) f (0) 1 令 x 1 x x 2 x 则 f (x-x)=f(x)+f(-x)-1, ∴ [f(x)-1]+[f(-x)-1]=0. ∴ g (x)=f(x)-1 为奇函数 . (2) 证明 : 由 (1) 知 ,g(x)=f(x)-1 为奇函数 , ∴ f (-x)-1=-[f(x)-1]. 任取 x1 x 2 R, 且x1 x2则 x2 x1 0 ∵ f ( x1 x 2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 1 ∴ f ( x2 x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) 1 f ( x 2 ) [ f ( x1 ) 1] f ( x2 ) f ( x1 ) 1 . ∵当 x>0 时 ,f(x)>1, ∴ f ( x 2 x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) 1 1 . ∴ f ( x1 ) f ( x 2 ) . ∴f(x) 是 R上的增函数 . (3)∵ f ( x1 x 2 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) 1 且f(4)=5, ∴f(4)=f(2) f (2) 1 f (2) 3 . 2 m 2) 3 得2 由不等式 f (3 m f (3 mm 2) 由(2) 知 ,f(x) 是 R上的增函数 , ∴ 3m 2 m 2 2 .∴ 3m 2 m 4 0 . ∴ 1 m 4 . 3 ∴不等式 2 3的解集为( 14 ) . f (3 mm 2) 3 1.3.2 函数的奇偶性 教材分析: 函数的奇偶性选自人教版高中新课程教材必修1第一章第三节《函数的基本性质》的内容,本节安排为二课时,《函数的奇偶性》为本节中的第二课时。 从在教材中的地位与作用来看,函数是高中数学学习中的重点和难点,函数的思想贯穿整个高中数学。而函数的奇偶性是函数的重要性质之一,它与现实生活中的对称性密切联系,为接下来学习指数函数、对数函数和幂函数的性质奠定了坚实的基础。因此,本节课的内容是十分重要的。 学情分析: 授课对象为xxxx中学高一(x)班的学生,从学生现有的学习能力来看,学生已具有一定的分析问题和解决问题的能力,能根据以前学习过的二次函数和反比例函数这两个特殊函数的图象观察出图象对称的思想,使本节通过观察图象学习函数奇偶性的定义成为可能。教学目标: 1、知识与技能目标: 通过本节课,学生能理解函数奇偶性的概念及其几何意义,掌握判别函数奇偶性的方法。 2、过程与方法目标: 通过实例观察、具体函数分析、图形结合、定性与定量的转换,让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程,体验数学概念学习的方法,积累数学学习的经验。 3、情感态度与价值观目标: 在经历概念形成的过程中,培养学生归纳、概括的能力,使学生养成善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 教学重难点: 重点:函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。 难点:理解函数奇偶性的概念,掌握判断函数奇偶性的方法。 教法分析: 为了实现本节课的教学目标,在教法上,我通过大自然中对称的例子和学生已掌握的对称函数的图象来创设问题情境,启发学生自主思考,归纳共同点,从而调动学生主体参与的积极性。 在形成概念的过程中,紧扣概念中的关键语句,通过学生的主体参与,正确地形成概念,在给出偶函数的定义之后,让学生类比得出奇函数的定义。 教学过程: 一、知识回顾 平面直角坐标系中的任意一点P(a,b)关于X轴、Y轴及原点对称的点的坐标各是什么? (1)点P(a, b)关于x轴的对称点的坐标为P(a,-b) .其坐标特征为:横坐标不变,纵坐标变为相反数; (2)点P(a, b)关于y轴的对称点的坐标为P(- a, b) ,其坐标特征为:纵坐标不变,横坐标变为相反数; (3)点P(a, b) 关于原点对称点的坐标为P(-a,-b) ,其坐标特征为:横坐标变为相反数,纵坐标也变为相反数. 二、新课教学 (一)偶函数 教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请想一下有哪些美? 对于对称美,请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢? 生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?若给它适当地建立直角坐标系,那么会发现什么特点? 数学中对称的形式也很多,这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数 二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用 三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个. 考点2 周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y =f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg 1-x 1+x ;(2)f(x)= ? ? ?x2+x(x>0), x2-x(x<0); (3)f(x)= lg(1-x2) |x2-2|-2 . 函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +2)为偶函数,则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. -2 B.-1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中,最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-,则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()f x =2(1)x x -,则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 (A )3y x = (B) 1y x =+ (C )21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是() A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数,则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 . 【知识要点】 一、函数的奇偶性的定义 对于函数()f x ,其定义域D 关于原点对称,如果,x D ?∈恒有()()f x f x -=-,那么函数()f x 为奇函数;如果,x D ?∈恒有()()f x f x -=,那么函数()f x 为偶函数. 二、奇偶函数的性质 1、奇偶函数的定义域关于原点对称; 2、 偶函数的图像关于y 轴对称,奇函数的图像关于原点对称; 3、偶函数在对称区间的增减性相同,奇函数在对称区间的增减性相反; 4、 奇函数在原点有定义时,必有 (0)0f =. 三、判断函数的奇偶性的方法 判断函数的奇偶性的方法,一般有三种:定义法、和差判别法、作商判别法. 1、定义法 首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求()f x -;最后比较()f x -和()f x 的关系,如果有()f x -=()f x ,则函数是偶函数,如果有()f x -=-()f x ,则函数是奇函数,否则是非奇非偶函数. 2、和差判别法 对于函数定义域内的任意一个x ,若()()0f x f x -+=,则()f x 是奇函数;若()()0f x f x --=,则()f x 是偶函数. 3、 作商判别法 对于函数定义域内任意一个x ,设()0f x -≠,若()1()f x f x =--,则()f x 是奇函数,() 1() f x f x =-,则()f x 是偶函数. 【方法讲评】 方法一 定义法 使用情景 具体函数和抽象函数都适用. 解题步骤 首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求()f x -;最后比较()f x -和()f x 的关 系,如果有()f x -=()f x ,则函数是偶函数,如果有()f x -=-()f x ,则函数是奇函数,否 则是非奇非偶函数. 【例1】判断下列函数的奇偶性. (1)x x x x f -+-=11)1()( (2)2lg(1) ()22 x f x x -=-- 【点评】(1)判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数是非奇非偶函数. (2)函数的定义域关于原点对称,是函数为奇偶函数的必要非充分条件.(3)函数的定义域求出来之后,还要注意在解题中应用,不是走一个过场和形式.第2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简. 【例2】 定义在实数集上的函数()f x ,对任意x y R ∈、,有()()f x y f x y ++-2()()f x f y =? 且(0)0f ≠ ①求证:(0)1f = ②求证:()y f x =是偶函数 函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5], 函数的奇偶性 【知识要点】 1.函数奇偶性的定义:一般地,对于函数 f (x) 定义域内的任意一个x,都有 f (x) f (x), 那么函数f ( x)f (x) f ( x) 叫偶函数(, 那么函数 even function).如果对于函数定义域内的任意一个 f ( x) 叫奇函数( odd function). x,都有 2.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称,反之亦真.由此,可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性,也可由函数的奇偶性作函数的图象. 3.判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (x)与 f ( x) 的关系; (1)奇函数 f (x) 1( f (x) 0) ; f ( x)f (x)f ( x) f (x) 0 f (x) (2)偶函数 f x f x f xf x f x 0 1 f x 0 . f x 4.函数奇偶性的几个性质: (1)奇偶函数的定义域关于原点对称,在判断函数奇偶性时,应先考察函数的定义域;(2)奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x 都必须成立; (3)若奇函数 f x在原点有意义,则 f 00 ; (4)根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数,又不是偶函数; (5)在公共的定义域内:两个奇(偶)函数的和与差仍是奇(偶)函数;两个奇(偶)函数的积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数; (6)函数 f x与函数 1 有相同的奇偶性 . f x 5.奇偶性与单调性: (1)奇函数在两个关于原点对称的区间 b, a , a, b 上有相同的单调性; (2)偶函数在两个关于原点对称的区间 b, a , a, b 上有相反的单调性 . 【典例精讲】 类型一 函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性: (1) f x x 2 2 x ; (2) f x 1 x 2 x 2 1 ; (3) f x ax b ax b a b 0 ; 1 1 (4) f x x ; 2 x 1 2 x 2 x 1, x x 2 2x 3, x 0, (5) f ( x) 0, x 0, 2 x 1, x ( 6) f ( x)0, x 0; 2x 3, x 0. x 2 变式 判断下列函数的奇偶性: 4 5 1 1 (1) f ( x )= x ; (2) f ( x )= x ; (3)f ( x )= x + x 2 ;(4) f ( x )= x 2 . ( 5) f ( x ) x 3 2 x ( 6) f ( x) 2 x 4 4 x 2 ( ) y ax b ( a 0, b 0) ( 8) y x ( k 0) 7 x k x 2 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利用奇偶函数图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求函数值,根据函数奇偶性求参数值等. 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题. 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意: 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 1 2 3.奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 若f (x )是奇函数,且在x =0处有定义,则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数,则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点? (1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (2)判断函数f (x )的奇偶性时,必须对定义域内的 每一个x , 均有f (-x )=-f (x )、f (-x )=f (x ), 而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)、f (-x 0)=f (x 0). (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0=f . (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2.判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法: 1)首先要研究函数的定义域, 第7讲 函数的奇偶性 [玩前必备] 1.函数奇偶性的定义 (1)奇函数:设函数y =f (x )的定义域为D ,如果对D 内的任意一个x ,都有-x ∈D ,且f (-x )=-f (x ),则这个函数叫做奇函数. (2)设函数y =g (x )的定义域为D ,如果对D 内的任意一个x ,都有-x ∈D ,且g (-x )=g (x ),则这个函数叫做偶函数. 2.奇、偶函数图象的对称性 (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形,反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)偶函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于y 轴对称,则这个函数是偶函数. 3.判断奇偶性的步骤 . 4.奇偶性的有关结论 (1)若奇函数在0x =处有意义,则有(0)0f =. (2)奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同; 偶函数在定义域内的对称区间上单调性相反。 [玩转典例] 题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性. (1)f (x )=x 2(x 2+2); (2)f (x )=x x -1 ; (3)f (x )=x 2-1+1-x 2. [玩转跟踪] 1.判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=x ; (2)f (x )=1-x 2 x ; 2.判断函数的奇偶性:24()|3|3 x f x x ; 例2 判断函数22,0(),0x x x f x x x x 的奇偶性. [玩转跟踪] 1.判断函数122+-=x x y 的奇偶性,并指出它的单调区间. 题型二 已知函数奇偶性求参数值 例3 (1)若函数f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数,定义域为[a -1,2a ],则a =________, b =________. (2)设函数(1)()() x x a f x x 为奇函数,则a =________. [玩转跟踪] 1.若函数f (x )=x 2-|x +a |为偶函数,则实数a =________. 2.定义在)1,1(-上的奇函数1 )(2+++=nx x m x x f ,则常数=m ____,=n _____ 1.10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点:①能够正确判断函数的奇偶性和周期性;②运用基本初等函数的性质解题。 一.基础练习 1. 写出下列函数中,奇函数是________;偶函数是________;非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2. 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++,系数,,,a b c d 满足__________时,()f x 是奇函数; 满足___________时,它是偶函数. 3. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,则(2)f =________. 4. 函数sin 2y x =的周期是________;tan y x π=的周期是________. 5. 已知函数()f x 是定义在(-3,3)上的奇函数,当03x << ()f x 图象如右,则不等式 ()0f x x >的解集是____________. 二、例题讲解 例1:判断下列函数的奇偶性 (1)2 ()2||3f x x x =-- (2)22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--? (3)()|3|f x x x =+- 例2:含有字母的函数性质问题. (1)设函数()(),()x x f x x e ae x R -=+∈是偶函数,则实数a=____________. (2)函数2 ()(2)3f x ax b x =+-+是定义在[,34]a a --上的偶函数,则log a b =__________. (3)定义在(1,1)-上的奇函数()f x ,满足在(1,1)-上单调递减,若2 (1)(1)0f a f a -+-<,则实数a 的范围是____________. (4)若函数2 ()cos ,[, ]22f x x x x ππ =-∈- ,且(2)()63 f a f ππ ->,实数a 的范围是____________. 精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号11sh11sx00 学员编号: 年级:高二课时数:3 学员姓名:辅导科目:数学学科教师: 课题函数的奇偶性和周期性 授课日期及时段 教学目标 1、理解函数的周期性与奇偶性的概念 2、能根据函数的周期性求函数值或在相关区间上的函数解析式 3、会判断函数的奇偶性,并会结合周期性与奇偶性解决相关问题 教学内容 一、知识点梳理及运用 知识点一、函数的奇偶性 1、定义:设() y f x =,x A ∈,如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为奇函数;如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为偶函数 2、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称 3、() f x是偶函数?() f x的图象关于y轴对称 () f x是奇函数?() f x的图象关于原点对称 4、若奇函数() f x的定义域包含0,则(0)0 f= 5、判断函数奇偶性的方法: ①定义法:首先判断其定义域是否关于原点对称 若不对称,则为非奇非偶函数 若对称,则再判断()() f x f x =-或()() f x f x =-是否成立 ②性质法:设() f x,() g x的定义域分别是 12 , D D,那么在它们的公共定义域 12 D D D =?上: 奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇?奇=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 典型例题 例1、(判断奇偶性)判断下列函数的奇偶性 (1)35 ()35 f x x x =+(2)2 ()3||1 f x x x =-+(3) 2 2 (0) () (0) x x x f x x x x ?+< ? =? -+> ?? (4)()|1||1| f x x x =+-- 第 1 页 共 5 页 2021年新高考数学总复习第7讲:函数的奇偶性与周期性 1.(2020·重庆一中月考)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上是减函数的是( ) A .y =x -1 B .y =lnx 2 C .y =cosx x D .y =-x 2 答案 D 解析 由函数的奇偶性排除A 、C ,由函数的单调性排除B ,由y =-x 2的图象可知当x>0时,此函数为减函数,又该函数为偶函数.故选D. 2.(2020·唐山市高三测试)设函数f(x)=x(e x +e -x ),则f(x)( ) A .是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B .是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 C .是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减 D .是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减 答案 A 解析 方法一:由条件可知,f(-x)=(-x)(e -x +e x )=-x(e x +e -x )=-f(x),故f(x)为奇函数.f ′(x)=e x +e -x +x(e x -e -x ),当x>0时,e x >e -x ,所以x(e x -e -x )>0,又e x +e -x >0,所以f ′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.故选A. 方法二:根据题意知f(-1)=-f(1),所以排除B 、D.易知f(1)函数的奇偶性试讲教案
《函数的奇偶性与周期性》教案
函数的奇偶性与周期性练习题
高中数学常见题型解法第07招 函数的奇偶性的判断和证明
函数的奇偶性及周期性综合运用
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函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳
第7讲 函数的奇偶性学生
1.10基本初等函数奇偶性和周期性
函数的奇偶性和周期性
2021年新高考数学总复习第7讲:函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性试题(答案)