三角形折叠问题
专题：折叠问题中的角度运算
学习目标
学习重难点
（2006?宿迁）如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，若∠BAD ′=30°，则∠AED ′等于（ ） ?
A.?30° ?
B.?45° ?
C.?60° ?
D.?75°
如图将六边形ABCDEF 沿着直线GH 折叠，使点A 、B 落在六边形CDEFGH 的内部，则下列结论一定正确的是（ ）
?
A.?∠1+∠2=900°-2（∠C+∠D+∠E+∠F ） ?
B.?∠1+∠2=1080°-2（∠C+∠D+∠E+∠F ） ?
C.?∠1+∠2=720°-（∠C+∠D+∠E+∠F ） ?
D.?∠1+∠2=360°-（∠C+
∠D+∠E+∠F ） 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，
∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，
折痕为CD ，则∠A ′
DB=????
?
A.?40° ?
B.?30° ?
C.?20° ?
D.?10°
已知△ABC 是一张三角形的纸片．
（1）如图①，沿DE 折叠，使点A 落在边AC 上点A ′的位置，∠DA ′E 与∠1的之间存在怎样的数量关系？为什么？
（2）如图②所示，沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的内部点A ′的位置，∠A 、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？
（3）如图③，沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的外部点A ′的位置，∠A 、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？
1 2
已知，如图，把△ABC纸片沿OE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系：2∠A=∠1+∠2始终保持不变，为什么？
.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
（1）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1、∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
（2）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律，并说明理由．
折一折，想一想，如图所示，在△ABC中，将纸片一角折叠，使点C落在△ABC内一点C′上，若∠1=40°，∠2=30°．
（1）求∠C的度数；
（2）试通过第（1）问，直接写出∠1、∠2、∠C三者之间的关系．
如图（1），△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点；
研究（1）：若沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是∠BDA′=2∠A；
研究（2）：若折成图2的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A关系，并说明理由；
研究（3）：若折成图3的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
图1、
图2、
图3、
如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置，通过计算我们知道：2∠A=∠1+∠2．请你继续探索：
（1）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，如图②，此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由．
（2）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图③，你能
求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（直接写出关系式即可）
三角形纸片ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），则∠1+∠2的度数为????度．
.如图，已知四边形ABCD，∠C=72°，∠D=81°．沿EF折叠四边形，使点A、B分别落在四边形内部的点A′、B′处，求∠1+∠2的大小．
（2013?宁夏）如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B 恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）
21.（2006?武汉）（北师大版）将五边形纸片ABCDE按如图方式折叠，折痕为AF，点E、D分别落在E′、D′，已知∠AFC=76°，则∠CFD′等于（）
（2006?梅州）如图，在平面内，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF 等于（）
如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B=50°，则∠BDF 的度数为（）
如图，把一张长方形纸片ABCD，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上．若∠EFG=55°，则∠1等于（）
将一条两边沿互相平行的纸带按如图折叠．设∠1=x°，则∠α的度数为（）
将长方形ABCD沿折痕EF折叠，使CD落在GH的位置，若∠FGH=55°，则∠HEF=（）
如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=（）
如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠B=55°，则∠BDF的度数为?（）
如图所示，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置
上，ED′的延长线与BC的交点为G．若∠EFG=80°，则∠BFC′的度数为（）
如图a是长方形纸带，∠DEF=24°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数（）
如图a是长方形纸带，∠DEF=24°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE 的度数（）
如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（）
如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C恰好落在如图C′的位置，若∠DBC=15°，则∠ABC′=（）
一张长方形纸条折成如图的形状，如果∠1=130°，∠2=（）
如图：将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，ED′的延长线与BC交于点G．若∠EFG=55°，则∠1=（）
如图，已知长方形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，则∠AEF的度数
86.如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，且∠1+∠2=72°，则∠A=（）
如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（）
一个宽度相等纸条，按如图所示的方式折叠一下，已知∠3=120°，则∠1的度数为（）
如图，把一张长方形纸条折叠后，若∠AOB′=70°，则∠OGC的度数为（）
如图，∠A=60°，∠B=70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠2=80°，则∠1的度数为（）
如图（1）是长方形纸带，∠DEF=α，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE的度数是（）
如图，生活中，将一个宽度相等的纸条按右图所示折叠一下，如果∠1=140°，那么∠2的度数为（）
如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B =（）
如图，一张长方形纸条沿AB折叠，如果∠1=124°，那么∠2的度数是（）
如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠AEF=110°，则∠1=（）
如图，一张三角形纸片△ABC，沿DE折叠使得顶点C落在边AB上，若DE∥AB，∠A=45°，则∠ADC的度数是（）
如图所示，把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（）
（2012?石家庄二模）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为（）
如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为（）
如图，将五边形ABCDE沿AE对折到如图的位置，其中∠AEC=72°，则∠CED′=（）
如图，在△ABC中，∠A=35°，在平面内沿直线DE将△ABC折叠后，量得∠BDA′=110°，那么∠CEA′的度数为（）
（2009?莱芜）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）
.
如图，已知△ABC中，∠BAC=140°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，求∠DAE的度数．
三角形折叠问题分析
专题：折叠问题中的角度运算 学习目标 学习重难点 （2006?宿迁）如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，若∠BAD ′=30°，则∠AED ′等于（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 如图将六边形ABCDEF 沿着直线GH 折叠，使点A 、B 落在六边形CDEFGH 的内部，则下列结论一定正确的是（ ） A. ∠1+∠2=900°-2（∠C+∠D+∠E+∠F ） B. ∠1+∠2=1080°-2（∠C+∠D+∠E+∠F ） C. ∠1+∠2=720°-（∠C+∠D+∠E+∠F ） D. ∠1+∠2=360°-（∠C+∠D+∠E+∠F ） 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB= A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° 已知△ABC 是一张三角形的纸片． （1）如图①，沿DE 折叠，使点A 落在边AC 上点A ′的位置，∠DA ′E 与∠1的之间存在怎样的数量关系？为什么？ （2）如图②所示，沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的内部点A ′的位置，∠A 、∠1与1 2
∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？ （3）如图③，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？ 已知，如图，把△ABC纸片沿OE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系：2∠A=∠1+∠2始终保持不变，为什么？ .如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，（1）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1、∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示） （2）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律，并说明理由． 折一折，想一想，如图所示，在△ABC中，将纸片一角折叠，使点C落在△ABC内一点C′上，若∠1=40°，∠2=30°． （1）求∠C的度数； （2）试通过第（1）问，直接写出∠1、∠2、∠C三者之间的关系． 如图（1），△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点； 研究（1）：若沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是∠BDA′=2∠A； 研究（2）：若折成图2的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A关系，并说明理由； 研究（3）：若折成图3的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由． 图1、
折叠在三角形问题中的应用活动课
活动课:折叠在三角形问题中的应用 活动一:剪一张三角形纸片ABC 操作并思考: 操作1 在图1中,过点A 折叠纸片,使点C 落在BC 边上，展开纸片，得图2, 问题(1)折痕AD 与ＢC 边有何关系?说明理由 学生活动：ＡＤ⊥ＢC,翻折角相等和为１８０，各为90° 问题(2）折痕A Ｄ是△ABC 的什么线？ 学生活动：是△ABC 的高 操作2 再折叠图２的纸片,使点Ａ与点D 重合,展开纸片,得到图３， 问题(1）折痕EF 与BC 边有何关系？说明理由 学生:EF ∥BC 问题(2）E Ｆ与B Ｃ有数量关系吗？去量一量 学生：E Ｆ是BC 边的一半 问题(3)你能用学过的知识进行说理吗? 学生活动：尝试说理 师生归纳: 图1 图3
考考你：１、在△AＢC中,ＡB=12，AＣ=１0,BC=9，ＡD是BＣ边上的高．将 △ABC按如图所示的方式折叠,使点A与点D重合，折痕为ＥF,则△DＥF的周 长为(） A.9.５B．10.5 Ｃ．11 D．15.5 追问：你能将一个任意三角形折成一个矩形吗? 学生活动：折纸,说明理由 活动二：剪一张三角形纸片ABC 操作并思考: 操作1 在图４中,过点A折叠纸片,使点C落在AB边上,展开纸片，得图5, 问题(1）：折痕ＡＤ是△ABC的什么线?说明理由 学生：角平分线,翻折角相等 操作2 再折叠图５的纸片,使点A与点D重合,展开纸片,得到图6 问题（1)：折痕EＦ与BＣ有特殊的位置和数量关系吗? 学生:没有 问题(２):△AEF是特殊三角形吗？量一量边和角 学生：等腰三角形 D A B C 图4 图5 F E A C 图6 A C D A C D C A A(D) B C
初中数学专题：折叠问题
专题八折叠问题 学习要点与方法点拨： 出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题 折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等； 考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；轴对称性质-----折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。 基本图形： 在矩形ABCD中，将△ABF沿BE折叠至△FBE,可得何结论？ （1）基本图形练习： 如图，将三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB上，折痕为AD，展开纸片；再次折叠，使得A 和D点重合，折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,则△AEF是等腰三角形，对吗？ （2）折叠中角的考法与做法： 将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使得A落在BC边上的点F处，折痕为BE（图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE边上的点D’，折痕为EG（图2）,再展开纸片，求图（3）中角a的大小。 结论：（1）全等；（2）垂直。
（3）折叠中边的考法与做法： 如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处， 折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是多少？ ★解题步骤： 第一步：将已知条件标在图上； 第二步：设未知数，将未知数标在图上； 第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。 模块精讲 例1.（2014?扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处． （1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． ①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数； （3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重 合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
与直角三角形有关折叠问题
与直角三角形有关的折叠问题（北师版） 满分100分 答题时间30分钟 单选题（本大题共10小题，共100分） 1. （本小题10分）如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使点B 与点D 重合,折痕为EF,已知AB=6cm,BC=18cm, 则Rt △ CDF 的面积是（ ） 2. （本小题10分）如图，在长方形纸片 ABCD 中 ,AD=8,折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为A E,且EF=3,则AB 的长为（ ） ? 3.（本小题10分）如图，折叠矩形的一边 AD,使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=4cm,BC=5cm 则EF=（ A. 3 E ? A. 6cm B. r C. D. B. 4 C. 5 D. 6
A. 2 cm 3 r y B. ￡ cm 5 r y C. z cm r D. 3cm 4. （本小题10分）如图所示，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠?点B落在点E处,AE交DC于点F, 已知AB=8cm,BC=4cm则折叠后重合部分的面积为（） A. 5 C B. 6 r C. 10 r D. 20 5. （本小题10分）如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合,若长方形的长BC为16,宽AB 为8,则折叠后重合部分的面积是（） D' A. 30 B. 40
C. 60
D. 80 6. （本小题10分）如图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A 落在BC边上的点D的位置，且EDL BC，则CE的长是（ ） 厂 A. 12J5-18 厂B12-6占 厂l c. 24-12占 厂I D. 6曲-6 7. （本小题10分）如图，在Rt△ ABC中，/ ABC=90，/ C=6C°，AC=6,将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上 的 点C'处，折痕为BE，则EC的长为（） ?厂A.孑启 B. ?厂D.加5—
三角形折叠问题中的角度运算
专题：三角形折叠问题中的角度运算 活动一： 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB=（ ） 活动二： 已知△ABC 是一张三角形的纸片． （1）如图①，沿DE 折叠，使点A 落在边AC 上点A ′的位置，∠DA ′E 与∠1的之间存在怎样的数量关系？为什么？ （2）如图②所示，沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的内部点A ′的位置，∠A 、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？ （3）如图③，沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的外部点A ′的位置，∠A 、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？ （4）如图4，沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的外部，∠A 、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？ 图4
活动三： 1、三角形纸片ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），则∠1+∠2的度数为（）度． 2、如上图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（） 3、如图所示，把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是（） 4、如上图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为（） 5、如图，已知△ABC中，∠BAC=140°，现将△ABC进行折叠，使顶点 B、C均与顶点A重合，求∠DAE的度数． 6、将一条两边沿互相平行的纸带按如图折叠．设∠1=20°，则∠α的度数为（） 7、如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=（） 8、如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处， BC∥DE；若∠B=50°，则∠BDF的度数为（）
三角形折叠问题
专题:折叠问题中得角度运算 学习目标 学习重难点 (2006?宿迁)如图,将矩形ABCD 沿AE 折叠,若∠BAD ′=30°,则∠AED ′等于( ) A 、 30° B 、 45° C 、 60° D 、 75° 如图将六边形ABCDEF 沿着直线GH 折叠,使点A 、B 落在六边形CDEFGH 得内部,则下列结论一定正确得就是( ) A 、 ∠1+∠2=900°2(∠C+∠D+∠E+∠F) B 、 ∠1+∠2=1080°2(∠C+∠D+∠E+∠F) C 、 ∠1+∠2=720°(∠C+∠D+∠E+∠F) D 、 ∠1+∠2=360°(∠C+∠D+∠E+∠F) 如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A 落在边CB 上A ′处,折痕为CD,则∠A ′DB= A 、 40° B 、 30° C 、 20° D 、 10° 已知△ABC 就是一张三角形得纸片. (1)如图①,沿DE 折叠,使点A 落在边AC 上点A ′得位置,∠DA ′E 与∠1得之间存在怎样得数量关系？为什么？ (2)如图②所示,沿DE 折叠,使点A 落在四边形BCED 得内部点A ′得位置,∠A 、∠1与∠2之间存在怎样得数量关系？为什么？ (3)如图③,沿DE 折叠,使点A 落在四边形BCED 得外部点A ′得位置,∠A 、∠1与∠2之间存在怎样得数量关系？为什么？ 已知,如图,把△ABC 纸片沿OE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 得内部时,则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系:2∠A=∠1+∠2始终保持不变,为什么？ 、如图,把△ABC 纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 内部时, 1 2
三角形折叠问题
专题：折叠问题中的角度运算 学习目标 学习重难点 (2006?宿迁)如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，若/ BAD' =30 ° ,则/ AED'等于( ) A. ?30 B. ?45 C. ?60 D. ?75 ° 如图将六边形ABCDEF 沿着直线GH 折叠，使点A 、B 落在六边形CDEFGH 的内部，则下列结论 一定正确的是( A. ?40 ° B. ?30 ° C. ?20 ° D. ?10 ° 已知△ ABC 是一张三角形的纸片. (1 )如图①，沿DE 折叠，使点A 落在边AC 上点A '的位置，z DA ' E 与z 1的之间存在怎样的数量关系？ 为什么？ (2)如图②所示，沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的内部点A '的位置，z A 、z 1与z 2之间存在 怎样的数量关系？为什么？ A.? 1+ z 2=900 ° -2 (z C+Z D+Z E+ z F ) B.? 1+ z 2=1080 ° -2 (z C+z D+z E+z F ) C.? 1+ z 2=720 z C+z 如图， 折痕为 z Rt △ ABC 中,z ACB=90 CD,则 z A ' DB=???? D.? 1+ z 2=360 (z C+ o D+z 1 z D+z E+ z F ) z A=50 ° ,将其折叠，使点A 落在边CB 上A '处， 使点A 落在四边形 BCED 的外部点A '的位置，z A 、z 1与z 2之间存在怎样 (3)如图③，沿DE 折叠， 的数量关系？为什么
已知，如图，把厶ABC纸片沿0E折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，则/ A与/ 1+ / 2之间有一种数量关系：2 / A= / 1+ / 2始终保持不变，为什么？ 如图，把△ ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时， (1 )设/AED的度数为x，/ ADE的度数为y，那么/ 1、/ 2的度数分别是多少？(用含有x或y的代数 式表示) (2) / A与/ 1+ / 2之间有一种数量关系始终保持不变，请找岀这个规律，并说明理由. 折一折，想一想，如图所示，在厶ABC中，将纸片一角折叠，使点C落在△ ABC内一点C上，若/ 仁40 ° ，/ 2=30 ° . (1 )求/ C的度数； (2)试通过第(1)问，直接写岀/ 1、/ 2、/ C三者之间的关系. 如图(1 ) ，△ ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ ABC边上的两点； 研究(1 ):若沿直线DE折叠，则/ BDA'与/ A的关系是/ BDA' =2 / A; 研究(2):若折成图2的形状，猜想/ BDA' ，/ CEA'和/ A关系，并说明理由； 研究(3):若折成图3的形状，猜想/ BDA' ，/ CEA'和/ A的关系，并说明理由. 图 1、 如图①，把厶ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A'的位置，通过计算我们知道：2 / A= / 1+ / 2 .请你继续探索： (1 )如果把△ ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A'的位置，如图②，此时/ A与/ 1、/ 2之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由. (2)如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A'、D'的位置，如图③，你能
直角三角形中的折叠问题 (2)
教 案 课 题：直角三角形中的折叠问题 教学目标：1.让学生理解折叠问题中的全等三角形及相等的线段和相等的角； 2.让学生会灵活应用勾股定理构造方程解决简单的几何问题，感受面 积法有时是解决几何问题的捷径； 教学重点：掌握解决折叠问题的一般方法，体会方程思想的重要性. 教学难点：折叠问题是操作问题，让学生会熟练寻找折叠前后图形中的相等量， 并能顺利解决问题. 教学准备：每人一张直角三角形纸片. 教学过程: 一．新课导入： 我们给定的三角形纸片命名为Rt △ABC ，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB= . 二．新课教学： 探究一：折叠中点与点的重合 问题1：折叠△ABC 使点B 与点C 重合，求折痕DE 的长； 【解析】由C 、B 两点关于DE 轴对称，则DE 垂直平分BC ， 所以DE 是△ABC 的中位线，DE=12 AC=3 问题2：折叠△ABC 使点A 与点C 重合，求折痕FG 的长； 【解析】与问题同理可得FG=12 BC=4 问题3：折叠△ABC 使点A 与点B 重合，求折痕HI 的长. 【解析】由HI 垂直平分AB 得AI=BI 设AI=BI=x ，则CI=8-x ∴2226(8)x x -=- ∴254 x = 1122ABI S AB IH BI AC ?=?=?即251068 IH =? ∴IH=258
小结：1.利用全等三角形寻找相等的线段 2.利用勾股定理及面积法求线段的长 探究二：折叠中边与边的重叠 问题1：折叠△ABC ，使AC 边落在AB 上的AC'处，求折痕AP 的长； 【解析】由△ACP ≌AC ′P 得 AC=AC ′，PC=PC ′=6，BC ′=4 设PC=PC ′=x ，则BP=8-x 2224(8)x x +=- ∴x=3 ∴ =问题2：折叠△ABC ，使BC 边落在BA 上的BC'处，求折痕BM 的长； 【解析】与问题1同理，设CM=CM ′=x 可得83 x =，则 BM=3 小结：一般用未重叠的直角三角形构造勾股定理. 问题3：折叠△ABC ，使CA 边落在CB 上的CA'处， 求折痕CN 的长. 【解析】作ND ⊥BC 与点D ∵∠CAN=∠BCN=45°，CA=CA ′=6，A ′B=2 设CD=DN=x '2A BN ABC ACN S S S ???=- ∴11126826222 x x ?=??-?? ∴247 x = ∴ 小结：面积法是捷径 学以致用：如图所示，在矩形ACBD 中，AC=6，BC=8，沿对角线AB 折叠，△ABC 成为三角形ABE ，BE 交AD 于点F ，求EF 的长. D
专题30 图形折叠中的等腰三角形存在性问题(解析版)
专题30 图形折叠中的等腰三角形存在性问题 【精典讲解】 1、如图例7-1，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为. 图例7-1 【解析】根据△CDB′为等腰三角形，以CD为腰或底分三种情况讨论，△DB′=DC；△CB′=CD；△CB′=DB′. 对于△DB′=DC，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，以D为圆心CD长为半径作弧，两弧交点即为B′. 对于△CB′=CD，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，以C为圆心CD长为半径作弧，两弧交点即为B′. 对于△CB′=DB′，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，弧与CD垂直平分线的交点为B′. 图例7-2 图例7-3 图例7-4详解：△DB′=DC，如图例7-2所示. 易知：DB′=DC=16. △CB′=CD，如图例7-3所示. 由折叠性质可知：BF= B′F=CD=16，此时F点与C点重合，不符题意. △CB′=DB′，如图例7-4所示.
由题意得，DN=CN=8，因为AE=3，所以EM=5. B′E=BE=13. 在Rt△EB′M中，由勾股定理得，B′M=12. 所以B′N=4. 4. 在Rt△DB′N中，由勾股定理得，B′D=5 4. 综上所述，B′D的长为16或5 【点睛】以CD为腰或底分三种情况讨论，排除其中一种，利用勾股定理求解. 【针对训练】 1、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为边AD上一动点，连接BP，把△ABP沿BP折叠，使A落在A′处，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为（） A．2B C．2D．2 【解析】 【分析】 根据△A′DC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：△A'D=A'C，△A'D=DC，△CA'=CD，分别求得AP的长，并判断是否符合题意． 【详解】 △如图，当A′D=A′C时，过A′作EF△AD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF垂直平分AB
三角形折叠问题
专题:折叠问题中得角度运算 学习目标 学习重难点 (2006?宿迁)如图,将矩形ＡBC Ｄ沿AE 折叠,若∠ＢAD ′＝30°,则∠AED ′等于 ( ) A. 30° Ｂ、 45° C. 60° Ｄ。 75° 如图将六边形ＡBCD ＥF 沿着直线GH 折叠,使点A 、Ｂ落在六边形CDE ＦＧH 得内部,则下列结论一定正确得就是( ) Ａ。 ∠1+∠2=90０°—２(∠C+∠Ｄ+∠Ｅ+∠F) B 。 ∠1+∠2=1080°—２(∠Ｃ＋∠D ＋∠E+∠F) Ｃ、 ∠1+∠2＝720°－(∠C+∠Ｄ+∠Ｅ+∠F) D 。 ∠１+∠２=36０°-(∠Ｃ+∠D+∠E+∠F) 如图,R ｔ△ABC 中,∠ＡＣB=90°,∠Ａ＝50°,将其折叠,使点A 落在边CB 上A ′处,折痕为CD,则∠A ′DB ＝ ? A 、 4０° B. 30° Ｃ. 20° D 、 1０° 已知△ＡBC 就是一张三角形得纸片. (１)如图①,沿D Ｅ折叠,使点A 落在边ＡC 上点Ａ′得位置,∠DA ′E 与∠1得之间存在怎样得数量关系？为什么? (2)如图②所示,沿DE 折叠,使点A 落在四边形BCED 得内部点Ａ′得位置,∠A 、∠1与∠２之间存在怎样得数量关系?为什么？?(3)如图③,沿ＤＥ折叠,使点A 落在四边形ＢCED 得外部点Ａ′得位置,∠A 、∠１与∠2之间存在怎样得数量关系？为什么？? 已知,如图,把△ABC 纸片沿OE 折叠,当点A 落在四边形ＢＣDE 得内部时,则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系:2∠A=∠1＋∠2始终保持不变,为什么？ .如图,把△ABC 纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形ＢＣDE 内部时, (1)设∠AED 得度数为x,∠A ＤＥ得度数为y,那么∠1、∠2得度数分别就是多少？(用含有x 或y 得代数式表示) １ 2
直角三角形的折叠问题
直角三角形的折叠问题 知识关键： 1. 要解决折叠问题，就要清楚通过折叠造成哪些边相等 2. 要学会合理的设未知数，从而通过勾股定理构造方程 三角形的折叠： 折叠方法1： 将三角形的直角向斜边折叠，形成这个图形。（此时出现角平分线） 在右图中相等的线段有 例题1： 如图，在Rt△ABC中，AC=6,BC=8，现将直角边沿着直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD长 折叠方法2： 将三角形的一个直角顶点向另一个直角顶点折叠。（此时出现边的垂直平分线） 在右图中相等的线段有 例题2： 如图，将Rt△ABC折叠，使得点A与点B重合，折痕为DE，若BC=6，AC=8 求CD的长长方形的折叠： 折叠方法1：将长方形的一个角向对边折叠 在没有折叠之前的长方形ABCD 中 相等的边有 相等的角有 ， 在折叠后的图形中，相等的边有，相等的角有 ， 全等的三角形有 例题3：如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=10，将长方形折叠，使得点D落在BC 上的D'处。求EC的长。 折叠方法2：将长方形沿着对角线折叠 在折叠后形成的图形中， 全等三角形为 等腰三角形为 相等的边为，直角三角形为 例题4：如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=8，沿着对角线折叠，使得点B落在B' 处。求PD的长。 C A C
折叠方法3： 将长方形两个对角向不相邻的对角线折叠 在折叠后形成的图形中， 全等三角形为 等腰三角形为 相等的边为 ，直角三角形为 例题5：如图，长方形 ABCD 中，AB=6，BC=8，BD 是对角线.将A 、C 向BD 折叠，分别落在A'， C'处。求CF 的长 小结： 这种折叠方法其实就是直角三角形折叠的方法1 我们把长方形的上半部遮住，可以看到其实就是将Rt 的直角C 向斜边BD 折叠。 折叠方法4： 将长方形折叠使得对角的顶点重合 在折叠后形成的图形中， 全等三角形为 等腰三角形为 相等的边为 ，直角三角形为 例题6：如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿着对角线折叠，使得点B 与点D 重合。求CF 的长。 小结： 这种折叠方法其实就是直角三角形折叠的方法2 我们把长方形的上半部遮住，可以看到其实就 是将Rt △BDC 的锐角顶点B 向另一个锐角顶点D 折叠 A
专题43 三角形的折叠问题(解析版)
专题43三角形的折叠问题 1、如图1，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，分别以△ABC的三边AB，BC，AC为边在三角形外部作 正方形ABDE，BCIJ，AFGC．如图2，作正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′，AE′交CG于点M，D′E′交IC于点N点D′在边IJ上．则四边形CME′N的面积是24． 【解析】∵正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′， ∴AE′=AB=10，∠E′AB=90°，∠AE′N=90°， ∵AC=6，BC=8，AB=10， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB为直角三角形， ∴AC2=BC?MC， ∴MC==， ∵∠MAC=∠NAE′， ∴Rt△ACM∽Rt△AE′N， ∴=，即=，∴E′N=，
∴四边形CME′N的面积=S△AE′N﹣S△ACM=×10×﹣×6×=24． 故答案为24． 2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连 接C′B，则C′B=． 【解析】如图，连接BB′， ∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′， ∴AB=AB′，∠BAB′=60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∴AB=BB′， 在△ABC′和△B′BC′中， ， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠ABC′=∠B′BC′， 延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′， ∵∠C=90°，AC=BC=，
∴AB==2， ∴BD=2×=，C′D=×2=1， ∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．故答案为：﹣1 3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点 （点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，当线段AF=AC时，BE的长为． 【解析】连接AD，作EG⊥BD于G，如图所示： 则EG∥AC， ∴△BEG∽△BAC， ∴==， 设BE=x， ∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB==5， ∴==， 解得：EG=x，BG=x， ∵点D是边BC的中点， ∴CD=BD=2，
第2章 特殊三角形小专题：利用勾股定理解决折叠与展开问题(含答案)
小专题(三) 利用勾股定理解决折叠与展开问题 类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1．如图所示，有一张直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( A ) A ．1 cm B ．1.5 cm C ．2 cm D ．3 cm 第1题图 第2题图 2．如图，长方形ABCD 的边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( D ) A .25 2 cm B .152 cm C .25 4 cm D .154 cm 第3题图 第4题图 4．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( B ) A ．3 B .154 C ．5 D .152 5．(上城区期末)在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段A B 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：如图1，当点D 与点Q 重合时，根据翻折对称性可得 A ′D ＝AD ＝5.
数学人教版八年级上册三角形中的折叠问题
《三角形中的折叠问题》教学设计 宁安市东京城中学赵凤美 一、教学目标： 教学知识点： 梳理折叠问题中蕴藏的数学知识,提炼出解题的基本方法; 能力训练要求： 通过问题思考,巩固基础知识,在小组合作探究中学生学会与他人交流； 情感与价值观要求： 在问题解决的思路形成过程中,不断提高学生综合应用知识的能力，培养学生良好的思维习惯与思维品质。 二、教学重难点 教学重点：折叠问题中基础知识的梳理,基本数学方法的提炼; 教学难点：在复杂的图形背景下基本图形的提炼与解题思路的分析. 三、教学设计 （一）创设问题情境，激发兴趣。 问题：如何用一张长方形纸折出一个最大的正方形？如何用一张长方形纸折出一个等边三角形？ （师生活动：学生动手 操作，教师巡视。折等边三 角形时，学生可能会遇到困 难，教师可给予提示。） 在矩形ABCD中,设 AB>BC, 1、把长边对折,得到折痕 MN, 2、沿BE折叠,使C落在MN 上的C‘, 3、连接CC’, 则ΔBCC‘为等边三角形. （学生可交流完成）
F （二）梳理知识，提炼方法 问题1 想一想: 1、在折叠过程中有哪些线段、哪些角相等？ 2、ΔBCC ‘为什么是等边三角形？ 做一做： 如图1：AD 是△ABC 的中线，把△ADC 沿直线AD 折叠后，点C 落在C′的位置上，你能得到哪些结论,并说 明理由? 图一 若给定∠ADC=60°，BC=4，连接BC′，则BC′是 [设计意图] 通过引入开放性问题,旨在揭示梳理折叠问题中蕴藏的数学知识与本质特征,归纳出问题解决的基本方法。 理一理: 折叠问题会用到哪些数学知识,解决问题中你体验到了什么方法？ （1）折叠问题的本质——轴对称变换,包含着对应边、对应角相等；对称轴垂直平分对应点的连线段等基本性质; （2）折叠问题解决的一般方法:把研究的问题转化到三角形中. [设计意图] 通过对知识与方法的整理,有助于学生完善知识网络,并形成问题解决的清晰思路, （三）巩固知识，内化方法 问题2： 1、如图一：△ABC 的周长为30cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边与点E ，连接AD ，若AE=4cm ，则△ABD 的周长是 2、如图二，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则∠A′DB= 3、如图三，等边三角形ABC 的边长为3cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将
折叠在三角形问题中的应用活动课
活动课：折叠在三角形问题中的应用 活动一：剪一张三角形纸片ABC 操作并思考： 操作1 在图1中，过点A 折叠纸片，使点C 落在BC 边上，展开纸片，得图2， 问题（1）折痕AD 与BC 边有何关系？说明理由 学生活动：AD ⊥BC,翻折角相等和为180，各为90° 问题（2）折痕AD 是△ABC 的什么线？ 学生活动：是△ABC 的高 操作2 再折叠图2的纸片，使点A 与点D 重合，展开纸片，得到图3， 问题（1）折痕EF 与BC 边有何关系？说明理由 学生：EF ∥BC 问题（2）EF 与BC 有数量关系吗？去量一量 学生：EF 是BC 边的一半 问题（3）你能用学过的知识进行说理吗？ 学生活动：尝试说理 师生归纳： 图 1 图3
考考你：1、在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按 如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（） A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5 追问：你能将一个任意三角形折成一个矩形吗？ 学生活动：折纸，说明理由 活动二：剪一张三角形纸片ABC 操作并思考： 操作1 在图4中，过点A折叠纸片，使点C落在AB边上，展开纸片，得图5， 问题（1）：折痕AD是△ABC的什么线？说明理由 学生：角平分线，翻折角相等 操作2 再折叠图5的纸片，使点A与点D重合，展开纸片，得到图6 问题（1）：折痕EF与BC有特殊的位置和数量关系吗？ 学生：没有 问题（2）：△AEF是特殊三角形吗？量一量边和角 学生：等腰三角形 D A B C 图4 图5 F E A C 图6 A C D A C D C A A(D) B C
(完整版)初中数学中的折叠问题
初中数学中的折叠问题 一、矩形中的折叠 1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕， 折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度． 2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处， 再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是． 3．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG的长． 根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角 形中根据勾股定理列方程求解即可 4．把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所示，则∠DFB等于（） 注意折叠前后角的对应关系 5．如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积． 重合部分是以折痕为底边的等腰三角形3 2 1 F E D C B A G A' C A B D
6．将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状三角形． 对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般 情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之 间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF 7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）． （1）求图②中∠BCB′的大小； （2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由． 理清在每一个折叠过程中的变与不变 8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中 ①②③④四个三角形的周长之和为 折叠前后对应边相等 9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B 落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积 注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D重合．MN 为折痕，折叠后B’C’与DN交于P． (1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？ (2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式； (3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形 MNC’B’面积最小？并验证你的猜想． 5 4 1 32 G D‘ F C‘ D B C A E