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2019年上海高考试卷解析

2019.6.7上海市高考数学试卷

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合(,3)A =-∞，(2,)B =+∞，则A B =I 。

2. 已知z ∈C ，且满足

i 5

z =-，求z = 。 3. 已知向量(1,0,2)a =r ，(2,1,0)b =r

，则a r 与b r 的夹角为。

4. 已知二项式5(21)x +，则展开式中含2x 项的系数为。

5. 已知x 、y 满足002x y x y ≥??

≥??+≤?

，求23z x y =-的最小值为。

6. 已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，2()log f x x =，则3()2

f = 。 7. 若,x y +∈R ，且

123y x +=，则y

的最大值为。 8. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S = 。

9. 过曲线24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x =交于A 、B ，A 在B 上

方，M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-u u u u r u u u r u u u r

，则λ= 。

10. 某三位数密码，每位数字可在0-9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是。

11. 已知数列{}n a 满足1n n a a +<（*

n ∈N ），若(,)n n P n a (3)n ≥均在双曲线22

162

x y -=上，则1lim ||n n n P P +→∞

= 。

12. 已知2

()|

f x a x =--（1x >，0a >），()f x 与x 轴交点为A ，若对于()f x 图像上任意一点P ，在其图像上总存在另一点Q （P 、Q 异于A ），满足AP AQ ⊥，且

||||AP AQ =，则a = 。

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 已知直线方程20x y c -+=的一个方向向量d u r

可以是（）

A. (2,1)-

B. (2,1)

C. (1,2)-

D. (1,2)

14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）

A. 1

B. 2

C. 4

D. 8

15. 已知ω∈R ，函数2()(6)sin()f x x x ω=-?，存在常数a ∈R ，使得()f x a +为偶函数，则ω的值可能为（） A.

2π B. 3π C. 4

D. 5π

16. 已知tan tan tan()αβαβ?=+，有下列两个结论：① 存在α在第一象限，β在第三象限；② 存在α在第二象限，β在第四象限；则（）

A. ①②均正确

B. ①②均错误

C. ①对②错

D. ①错②对

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，3CD =，

4AD =，15AA =.

（1）求直线1AC 与平面ABCD 的夹角；（2）求点A 到平面1A MC 的距离.

18. 已知1

()1

f x ax x =+

+，a ∈R . （1）当1a =时，求不等式()1(1)f x f x +<+的解集；（2）若()f x 在[1,2]x ∈时有零点，求a 的取值范围.

19. 如图，A B C --为海岸线，AB 为线段，?BC

为四分之一圆弧，39.2BD =km ，22BDC ?∠=，68CBD ?∠=，58BDA ?∠=. （1）求?BC

的长度；（2）若40AB =km ，求D 到海岸线A B C --的最短距离. （精确到0.001km ）

20. 已知椭圆22

184

x y +=，1F 、2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、B 两点.

（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；

（2）当190F AB ?∠=时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；

（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F AB F MN S S =V V ，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.

21. 数列{}n a ()n ∈*N 有100项，1a a =，对任意[2,100]n ∈，存在n i a a d =+，

[1,1]i n ∈-，若k a 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P .

（1）若11a =，2d =，求4a 所有可能的值；

（2）若{}n a 不是等差数列，求证：数列{}n a 中存在某些项具有性质P ；

（3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项和为c ，请用a 、d 、c 表示12100a a a ++???+.

参考答案

一、填空题

1、(2,3)

2、5i -

3、2

arccos 5

4、40

5、6-

6、1-

7、9

（提示：132y x =+≥

，∴298y x ≤=） 8、

9、3 10、27

100

（分析：211103232710100C C C P ??==

，选用到的两个数字×选用一次的数字的位置×选用一次的数字）

（解析：法一，由条件有

2182

a n -=

，得n a =

1||n n P P +

=1lim ||n n n P P +→∞=；）（解析：法二（极限法），当n →∞时，1n n P P +与渐近线平行，

1n n P P +在x 轴投影为1，渐近

线斜角θ

满足：tan θ=

11lim ||cos

n n n P P π+→∞==

12、a =2()||=01f x a x =--，

解得21x a =+，则21,0A a ??+ ???，取11,P a a ??

+ ???

，则：1

,AP a a ??- ???，因为A P Q 、、满足AP AQ ⊥，且||||AP AQ =，则1,

AQ a a ?? ???

，所以211,Q a a a ??+

+ ??

?，Q 点在2()||1f x a x =--图像上，则21211a a a a

-=++-，得

221|

|2a a a a -=+，2

2a a a a

-=+，()()22

120a a +-=，所以22a =，a =

二. 选择题

13、D 14.、B

15、C （分析：2()(6)sin[()]f x a x a x a ω+=+-?+，因为()f x a +为偶函数，所以6a =，

且sin[(6)]x ω+也为偶函数，所以62

k π

ωπ=

+，当1k =时，4

ω=

）

16、D （分析：特殊值验证，取tan 1α=-，则tan 12β=-±，所以② 正确，再取几组验证，① 错）

三、解答题 17、（1）

；（2）103.

【解析】（1）连接AC ，1AA ABCD ⊥面，则1ACA ∠即为直线1AC 与平面ABCD 的夹角。在1Rt ACA V 中，15AA AC ==，则14

ACA π

∠=

；

（2）法一，等体积法：11C AA M A A MC V V --=，1111

AA M A MC BC S d S ???=?

有条件易得：111

115

4,35,32,52,2522

AA M

BC S A M AC MC ?==??==== ∴ )))2

3252254cos 523252

CA M +-∠=

??，13

sin 5

CA M ∠= ∴ 1111113

sin 32529225A MC S A M AC CA M ???∠=???= ∴ 1510

4923

d =?÷=。

法二，建立空间直角坐标系A xyz -， ()()()()110,0,5,3,0,2,0,0,5,3,4,0A A M A C =u u u r

()()11

3,0,3, 3.4,5AM AC =-=-u u u u r u u u r 设()1,,n x y z AMC =⊥r

面，则 11

0A M n AC n ??=???=??u u u u r r u u u r r ，得3303450x z x y z -=??+-=? 令1x =，则1121x y z =???

=??=??，11,,12n ??= ???r

所以1510

31114

n AA d n

?===++r u u u r r

。

x y

18、（1）(2,1)x ∈--；（2）11[,]2

6a ∈--. 【解析】（1）当1a =时，1

()1

f x x x =++，则()1(1)f x f x +<+得：

1112x x x x ++<++

++，化简：()()

1012x x <++，解得(2,1)x ∈--；（2）由条件知，对[1,2]x ∈，1

()01

f x ax x =+=+有零点，则1(1)a x x -=

+在[1,2]x ∈时有解；1(1)x x -+在[1,2]x ∈单调递增，则

111,(1)26x x -??

∈--??+??

。

19、（1）?16.310BC = km ；（2）35.752km.

【解析】（1）∠BCD=180°-22°-68°=90°，则：

?22sin 2216.3102224

R BC BD πππ?==?=??≈ km ；（2）作DH ⊥AB 于点H ，在△ABD 中，

sin sin BD AB BAD BDA =∠∠，即39.240

sin sin58

BAD ?

=∠ ∴56.21058BAD ?∠≈，则1805856.2105865.78942ABD ????∠=--= ∴sin 39.2sin65.7894235.752DH BD ABD ?=?∠=?≈km 由（1）知：sin6836.346DC BD ?=?≈ km

所以D 到海岸线A B C --的最短距离为35.752 km 。

20.（1）22；（2）(0,2)A ，8

2(,)33

B -；（3）320x y ±-=.

【解析】（1）222222

b AB a === （2）由条件有：12(2,0),(2,0)F F -，设直线方程：(2)y k x =-。1122(,),(,)A x y B x y ，10y >

当190F AB ?

∠=时，120F A F A ?=u u u r u u u r

，得：()()11112,2,0x y x y +?-=，化简：

4x y +=……① ，因为A 在椭圆上，所以22

11184

x y +=……②

联立① 、② 式，解得：110

x y =??

=?，即(0,2)A ，

所以，直线方程为：2y x =-

联立2221

84y x

x y =-???+=??

得：2380x x -=，则283x =，223y =-，即82,33B ??

- ???。

（3）直线1F A 方程：1

1(2)2y y x x =

++，则与y 轴交点为：1120,2y M x ?? ?+??

同理，2220,

2y N x ??

?+??

，则 1121212121222()1

2222()4F MN y y k x x S MN x x x x x x -=??=-=+++++V ()11212121

F AB S F F y y k x x =??-=-V

由11F AB F MN S S =V V 得：()12121212()

22()4

k x x k x x x x x x -=-+++

所以得：12122()44x x x x +++= 所以12122()0x x x x ++=或8-

联立22(2)184y k x x y =-??

?+=??

得：()2222218880k x k x k +-+-=，则：

2122

821k x x k +=+，2122

k x x k -=+ ∴ 2221212222

8816248

2()212121k k k x x x x k k k --++=+=+++ 若22

248

021

k k -=+

，解得k = 若22248

821

k k -=-+，解得0k =（舍）

综上，存在满足条件的直线：2)y x =-

，即20x ±-=。

21、（1）3、5、7；（2）见解析；（3）29847533

a d c ++

. 【解析】（1）1211

2123a d a a d ===+=+=，，， 31123a a d =+=+=或32325a a d =+=+=

41123a a d =+=+=或42325a a d =+=+=或43325a a d =+=+=或43527a a d =+=+=

∴4a =3、5或7。

（2）证明：假设数列{}n a 中不存在某些项具有性质P ，即{}n a 中的项互不相等。

∵1a a =，n i a a d =+，[]1,1i n ∈-

∴1a a d =+，22a a d =+，33a a d =+，……，10099a a d =+ 所以，{}n a 为等差数列，与条件矛盾。假设不成立综上，数列{}n a 中存在某些项具有性质P 。

（3）由题意，可设具有性质P 的三项为：12(1)3

m m m c

a a a a m d ++===

=+-，12m m m a a a c ++++=。

例如：,,,,2,,97a a d a d a d a d a d +++++L 满足条件。所以m a 与其他97项组成等差数列，首相为a ，公差为d 。则：

[][]()()

[][]()()[]()12100

=()(2)3(1)97=()(2)(1)97+2(1)2

=()973

98972

9823

9847533

a a a a a d a m d a m d a md a d a a d a m d a m d a md a d a m d a a d a d c

a d c

++???++++++-++-++++++++++-++-++++++-++++++?=++=++L L L L L