2015全国高中数学联赛挑战极限【平面几何试题】

2015全国高中数学联赛挑战极限【平面几何试题】

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2012全国高中数学联赛挑战极限--------[平面几何试题]

1. 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B 所作割线交圆于C ，D 两点，

C 在P ，

D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ ＝∠PBC ．求证：∠DBQ ＝∠PAC ．

2、如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC

P A B C

D Q

3

4

（35届IMO 预选题）

4. 如图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，

令()f P PA BC PD CA PC AB =?+?+?． （Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；

（Ⅱ）设E 是ABC ?外接圆O 的AB 上一点，满

足：3AE AB =，31BC EC =-，1

2

ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 图1

是O的切线，2

AC()

f P的最小值．

5. 在直角三角形ABC中，90

∠=?，△

ACB

ABC的内切圆O分别与边BC，CA，AB 相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，若90

∠=?，

BPC

求证：AE AP PD

+=．

5

6

6. 给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ． （1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：

EM FN EN FM

?=?；

（2）若 EM FN EN FM

?=?，是否一定有

A ，

B ，

C ，

D 四点共圆？证明你的结论．

．

O

R

Q

N F

E

D C

B

A P

7

7. 如图，已知△ABC 内切圆I 分别与边AB 、BC 相于点F 、D ，直线AD 、CF 分别交圆I 于另一点H 、K .

求证：

3FD HK

FH DK

?=?.

I

K

H F

D

C

A