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§11.4 条件概率、二项分布

§11.4 条件概率、二项分布
§11.4 条件概率、二项分布

§11.4 条件概率、二项分布

【复习目标】

独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。

【知识梳理】

1. 条件概率

叫作B 发生时A 发生的条件概率,用符号P (A |B )来表示,其公式为 2. 相互独立事件

(1)一般地,对于两个事件A ,B ,如果有 ,则称A 、B 相互独立. (2)如果A 、B 相互独立,则 也相互独立. (3)如果A 1,A 2,…,A n 相互独立,则有: . 3. 二项分布

进行n 次试验,如果满足以下条件:

(1)每次试验只有两个相互对立的结果: ;

(2)每次试验“成功”的概率均为p ,“失败”的概率均为 ; (3)各次试验是 .

用X 表示这n 次试验成功的次数,则P (X =k )= (k =0,1,2,…,n )

若一个随机变量X 的分布列如上所述,称X 服从参数为n ,p 的二项分布,简记为X ~B (n ,p ).

【复习自测】

1. 把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A ,“第二次出现正面”为事件B ,则P (B |A )等于

( )

A.12

B.14

C.16

D.18

2. 某一批花生种子,如果每粒发芽的概率都为4

5

,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是

( )

A.16

625

B.96

625

C.192625

D.256625

3. 某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋

级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.

4.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”、“中立”、“反

对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为1

3,他们的投

票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.

(1)求该公司决定对该项目投资的概率;

(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.

【合作探究】

例1 在100件产品中有95件合格品,5件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取

到不合格品后,第二次再取到不合格品的概率为________.

例2 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3

次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为1

2,且各次投篮互不影响.

(1)求乙获胜的概率;(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.

例3甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是2

3

.假设各局比赛结果相互独立. (1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;

(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分,对方得1分.求乙队得分X 的分布列.

【提升训练】

1. 甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出

一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号)

①P (B )=25;②P (B |A 1)=5

11;③事件B 与事件A 1相互独立;④A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件;⑤P (B )的值不

能确定,因为它与A 1,A 2,A 3中究竟哪一个发生有关.

2.某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A 到过疫区,B 肯定是受A 感染的。对于C,

因为难以判定他是受A 还是受B 感染的,于是假定他受A 和受B 感染的概率都是1/2.同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是1/3.在这种假定之下,B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量。写出X 的分布列(不要求写出计算过程)。

3.某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补

一道A 类试题和一道B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束。试题库中现共有n m +道试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类试题的数量。 (Ⅰ)求2X n =+的概率;

(Ⅱ)设m n =,求X 的分布列。

4.从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验,每次摸出一个球.如果摸出白球,则从袋外另取一个红球替换该白球放入袋中,继续做下一次摸球试验:如果摸出红球,则结束摸球试验.

(1)求一次摸球后结束试验的概率P 1和两次摸球后结束试验的概率P 2; (2)记结束试验时的摸球次数为ξ,求ξ的分布列.

【总结反思】

(1)我的疑问 (2)我的收获

§11.4 条件概率、二项分布

§11.4 条件概率、二项分布 【复习目标】 独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。 【知识梳理】 1. 条件概率 叫作B 发生时A 发生的条件概率,用符号P (A |B )来表示,其公式为 2. 相互独立事件 (1)一般地,对于两个事件A ,B ,如果有 ,则称A 、B 相互独立. (2)如果A 、B 相互独立,则 也相互独立. (3)如果A 1,A 2,…,A n 相互独立,则有: . 3. 二项分布 进行n 次试验,如果满足以下条件: (1)每次试验只有两个相互对立的结果: ; (2)每次试验“成功”的概率均为p ,“失败”的概率均为 ; (3)各次试验是 . 用X 表示这n 次试验成功的次数,则P (X =k )= (k =0,1,2,…,n ) 若一个随机变量X 的分布列如上所述,称X 服从参数为n ,p 的二项分布,简记为X ~B (n ,p ). 【复习自测】 1. 把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A ,“第二次出现正面”为事件B ,则P (B |A )等于 ( ) A.12 B.14 C.16 D.18 2. 某一批花生种子,如果每粒发芽的概率都为4 5 ,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 ( ) A.16 625 B.96 625 C.192625 D.256625 3. 某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋 级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________. 4.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”、“中立”、“反 对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为1 3,他们的投 票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资. (1)求该公司决定对该项目投资的概率; (2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率. 【合作探究】 例1 在100件产品中有95件合格品,5件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取 到不合格品后,第二次再取到不合格品的概率为________. 例2 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为1 2,且各次投篮互不影响. (1)求乙获胜的概率;(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.

【方法指导】《条件概率与独立事件、二项分布》学习指导1

《条件概率与独立事件、二项分布》学习指导 一.重、难点释疑及实例剖 1.重、难点释疑 (1)了解条件概率,并掌握条件概率的公式P (A|B )= ) ()(B P AB P ,并理解条件概率的 性质:任何事件的条件概率都在0和1之间,即0≤P (A|B )≤1; (2)了解两个事件相互独立的概念,区别事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念;掌握公式P (AB )=P (A )P (B )使用的前提条件:事件A 、B 为相互独立事件;理解1-P (A )P (B )表示两个相互独立事件A 、B 至少有一个不发生的概率. (3)理解二项分布:X ~B (n ,p ),掌握二项分布的概率计算公式:P (X=k )=k n C (1-p )n -k p k ,以及对应的概率分布列,掌握二项分布的常见实例:反复抛掷一枚均匀硬币、已知次品率的抽样、有放回的抽样、射手射击目标命中率已知的若干次射击等,并能解决一些简单的实际问题; (4)独立事件的概率、二项分布是高考考查的重点内容,对这部分知识的考查通常与其他知识结合在一起有一定的综合性. 2.实例剖析 (1)条件概率问题 例1.在10个各不相同的球中有6个红球和4个白球,不放回地依次摸出2个球,在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸到红球的概率为( ) A . 5 3 B .5 2 C .10 1 D .9 5 分析:从题设可知,这是一个条件概率问题,可设出要求的事件A 、B ,由条件概率公式进行求解. 解析:方法一:设事件A =“第二次摸到红球”,事件B =“第一次摸到红球”, 则事件A|B 表示“在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸到红球”, 由题意知,B 发生后,袋中还有9个球,其中5个红球4个白球,A 发生的概率为9 5, 即P (A|B )= 9 5. 方法二:设事件A =“第二次摸到红球”,事件B =“第一次摸到红球”, 则有P (B )=106 =53 ,P (AB )= 210 26A A = 31 ,那么有P (A|B )= ) () (B P AB P =5 331 =95 . 点评:此题为一典型的求解条件概率问题,解决中用了不同的思路,既可以根据条件概率的含义解决,也可以由条件概率公式求解,无论哪种方法,必须准确地找对事件A 、B 、 A|B 、AB ,并熟练地求出其概率. (2)独立事件问题 例2.某集团公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.

二项分布概念及图表和查表方法

目录 1定义 ?统计学定义 ?医学定义 2概念 3性质 4图形特点 5应用条件 6应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中,二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布,其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上,当 时,二项分布就是伯努利分布,二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 医学定义 在医学领域中,有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件,称为二项分类变量(dichotomous variable),如对病人治疗结果的有效与无效,某种化验结果的阳性与阴性,接触某传染源的感染与未感染等。二项分布(binomial distribution)就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。

考虑只有两种可能结果的随机试验,当成功的概率()是恒定的,且各次试验相互独立,这种试验在统计学上称为伯努利试验(Bernoulli trial)。如果进行次伯努利试验,取得成功次数为 的概率可用下面的二项分布概率公式来描述:P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 式中的n为独立的伯努利试验次数,π为成功的概率,(1-π)为失败的概率,X为在n次伯努里试验中出现成功的次数,表示在n次试验中出现X的各种组合情况,在此称为二项系数(binomial coefficient)。 所以的含义为:含量为n的样本中,恰好有X例阳性数的概率。 概念 二项分布(Binomial Distribution),即重复n次的伯努利试验(Bernoulli Experiment),用ξ表示随机试验的结果。 二项分布公式 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p,N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k),其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!),注意:第二个等号后面的括号里的是上标,表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p) 期望:Eξ=np; 方差:Dξ=npq; 其中q=1-p 证明:由二项式分布的定义知,随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数,且在每次试验中A发生的概率为p。因此,可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的(0-1)分布随机变量之和。 设随机变量X(k)(k=1,2,3...n)服从(0-1)分布,则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n). 因X(k)相互独立,所以期望:

二项分布

二项分布 科技名词定义 中文名称:二项分布 英文名称:binomial distribution 定义:描述随机现象的一种常用概率分布形式,因与二项式展开式相同而得名。 所属学科:大气科学(一级学科);气候学(二级学科) 本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 百科名片 二项分布 二项分布即重复n次的伯努里试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的,是独立的,与其它各次试验结果无关,结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验。 目录 概念 医学定义 二项分布的应用条件 二项分布的性质 与两点分布区别 编辑本段概念 二项分布(Binomial Distribution),即重复n次的伯努力试验(Bernoulli Experiment), 用ξ表示随机试验的结果. 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p,N次独立重

复试验中发生K次的概率是 P(ξ=K)=Cn(k)P(k)q(n-k) 注意!:第二个等号后面的括号里的是上标,表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布.. 其中P称为成功概率。 记作ξ~B(n,p) 期望:Eξ=np 方差:Dξ=npq 如果 1.在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的; 2.每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关; 3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验. 在这试验中,事件发生的次数为一随机事件,它服从二次分布.二项分布可 二项分布 以用于可靠性试验.可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验的概率. 若某事件概率为p,现重复试验n次,该事件发生k次的概率 为:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k).C(k,n)表示组合数,即从n个事物中拿出k个的方法数. 编辑本段医学定义 在医学领域中,有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件,称为二项分类变量(dichotomous variable),如对病人治疗结果的有效与无效,某种化验结果的阳性与阴性,接触某传染源的感染与未感染等。二项分布(binomial distribution)就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 考虑只有两种可能结果的随机试验,当成功的概率(π)是恒定的

条件概率与独立事件、二项分布练习题及答案

条件概率与独立事件、二项分布 1.(2012·广东汕头模拟)已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是,则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A . B . 2 C . D . 2.(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( ) 3.(2011·湖北高考)如图,用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为、、,则系统正常工作的概率为( ) A . B . C . D . 4.(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A =“取到的2个数之和为偶数”,事件B =“取到的2个数均为偶数”,则P (B |A )=( ) 5.(2012·山西模拟)抛掷一枚硬币,出现正反的概率都是12,构造数列{a n },使得a n = ? ???? 1 第n 次抛掷时出现正面,-1 第n 次抛掷时出现反面, 记S n =a 1+a 2+…+a n (n ∈N *),则S 4=2的概率为( ) 6.高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙二人相邻,则甲、丙相邻的概率是( ) 7.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为16 25,则该队员每次罚球的命中率为________. 8.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________. 9.有一批种子的发芽率为,出芽后的幼苗成活率为,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.

二项分布概念及图表和查表方法

二项分布概念及图表 二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,并且相互独立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变,则这一系列试验总称为n重伯努利实验,当试验次数为1时,二项分布服从0-1分布。 目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中,二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布,其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上,当 时,二项分布就是伯努利分布,二项分布是显著性差异的二项试验的基础。

医学定义 在医学领域中,有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件,称为二项分类变量(dichotomous variable),如对病人治疗结果的有效与无效,某种化验结果的阳性与阴性,接触某传染源的感染与未感染等。二项分布(binomial distribution)就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 考虑只有两种可能结果的随机试验,当成功的概率()是恒定的,且各次试验相互独立,这种试验在统计学上称为伯努利试验(Bernoulli trial)。如果进行次伯努利试验,取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述:P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 二项分布公式 P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k),其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!),注意:第二个等号后面的括号里的是上标,表示的是方幂。

二项分布概念及图表和查表方法

目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中,二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布,其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上,当 时,二项分布就是伯努利分布,二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 医学定义 在医学领域中,有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件,称为二项分类变量(dichotomous variable),如对病人治疗结果的有效与无效,某种化验结果的阳性与阴性,接触某传染源的感染与未感染等。二项分布(binomial distribution)就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。

考虑只有两种可能结果的随机试验,当成功的概率()是恒定的,且各次试验相互独立,这种试验在统计学上称为伯努利试验(Bernoulli trial)。如果进行次伯努利试验,取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述:P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 表示随机试验的结果。 二项分布公式 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p,N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k),其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!),注意:第二个等号后面的括号里的是上标,表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p) 期望:Eξ=np; 方差:Dξ=npq; 其中q=1-p 证明:由二项式分布的定义知,随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数,且在每次试验中A发生的概率为p。因此,可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的(0-1)分布随机变量之和。 设随机变量X(k)(k=1,2,3...n)服从(0-1)分布,则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n). 因X(k)相互独立,所以期望:

二项分布中方差的计算

二项分布中方差的计算 假设ξ~B (n ,p ), 即k n k k n q p C k P -==}{ξ 考虑E [ξ(ξ-1)]=Eξ2-Eξ 而 ∑∑ ∑∑=----=-=-=--=-----?-?=--=-=-n k k n k k n n k k n k n k k n k n k k n k k n q p C p n n q p k n k n n n q p k n k n k k q p C k k E 2 222222 )1()]!2(2[)!2()!2()1()! (!! ) 1()1()]1([ξξ 令2-=k i 上式=222220 22 2 )1()1(np p n p n n q p C p n n n i i n i i n -=-=-∑-=--- 即2222np p n E E -=-ξξ, 再将E ξ=np 代入上式,得)1(222222p np p n np np p n E -+=+-=ξ 最后得npq np p np p n E E D =--+=-=22222)()1()(ξξξ 例1的分布图 例2的分布图 4.2 超几何分布 例1的图形:

例2的图形: 定义4.2 设N 个元素分为两类, 有N 1个属于第一类, N 2个属于第二类(N 1+N 2=N ). 从中不重复抽样取n 个, 令ξ表示这n 个中第一类元素的个数, 则ξ的分布称为超几何分布, ),....,1,0()(2 1n m C C C m P n N m n N m N == =-ξ 规定: 如n

2019年高考数学(理科)必考题突破讲座:第61讲 条件概率、n次独立重复试验与二项分布

第61讲 条件概率、n 次独立重复试验与二项分布 1.条件概率 (1)定义:设A ,B 为两个事件,且P (A )>0,称P (B |A )=__P (AB ) P (A )__为在事件A 发生的条 件下,事件B 发生的条件概率. (2)性质:①0≤P (B |A )≤1;②如果B 和C 是两个互斥事件,则P (B ∪C |A )=__P (B |A )+P (C |A )__. 2.事件的相互独立性 (1)定义:设A ,B 为两个事件,如果P (AB )=__P (A )·P (B )__,则称事件A 与事件B 相互独立. (2)性质:①若事件A 与B 相互独立,则P (B |A )=__P (B )__,P (A |B )=P (A ),P (AB )=__P (A )·P (B )__. ②如果事件A 与B 相互独立,那么__A 与B __,__A 与B __,__A 与B __也都相互独立. 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在__相同__条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. A i (i =1,2,…,n )表示第i 次试验结果,则P (A 1A 2A 3…A n )=__P (A 1)P (A 2)…P (A n )__. (2)二项分布 在n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率是p ,此时称随机变量X 服从二项分布,记作__X ~B (n ,p )__,并称p 为__成功概率__.在 n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为P (X =k )=__C k n p k (1-p ) n - k __(k =0,1,2,…,n ).

二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导

二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导 高中教材中对二项分布和超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导公式,现笔者给出一推导过程仅供参考。 预备公式一 11--=k n k n nC kC (1≥n ) ,利用组合数计算公式即可证明。 预备公式二 []2 2)()()(ξξξE E D -=,证明过程可见教材。 预备公式三 2 2)1()1(---=-k n k n C n n C k k (2,2≥≥k n ) ,利用组合数计算公式即可证明。 预备公式四 ),,,,(022110n k m k N k n m C C C C C C C C C k n m m k n k m n k m n k m n ≤≤∈=++++++--Λ,利用恒等 式m n n m x x x )1()1() 1(++=++的二项展开式中k x 的系数相等可证。 一、二项分布 在n 次独立重复试验中,每次试验中事件A 发生的概率为p (10<

二项分布表

附录2 附表 附表1 二项分布表 0{}(1)x k n k n P X x p p k k ?=?? ≤=????? ∑ p n x 0.001 0.002 0.0030.005 0.01 0.02 0.03 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 2 0 0.9980 0.9960 0.99400.9900 0.9801 0.96040.94090.90250.81000.72250.6400 0.5625 0.4900 2 1 1.0000 1.0000 1.00001.0000 0.9999 0.99960.99910.99750.99000.97750.9600 0.9375 0.9100 3 0 0.9970 0.9940 0.99100.9851 0.9703 0.94120.91270.85740.72900.61410.5120 0.4219 0.3430 3 1 1.0000 1.0000 1.00000.9999 0.9997 0.99880.99740.99280.97200.93930.8960 0.8438 0.7840 3 2 1.0000 1.0000 1.00001.00000.99990.99900.99660.9920 0.9844 0.9730 4 0 0.9960 0.9920 0.98810.9801 0.9606 0.92240.88530.81450.65610.52200.4096 0.3164 0.2401 4 1 1.0000 1.0000 0.99990.9999 0.9994 0.99770.99480.98600.94770.89050.8192 0.7383 0.6517 4 2 1.00001.0000 1.0000 1.00000.99990.99950.99630.98800.9728 0.9492 0.9163 4 3 1.00001.00000.99990.99950.9984 0.9961 0.9919 5 0 0.9950 0.9900 0.98510.9752 0.9510 0.90390.85870.77380.59050.44370.3277 0.2373 0.1681 5 1 1.0000 1.0000 0.99990.9998 0.9990 0.99620.99150.97740.91850.83520.7373 0.6328 0.5282 5 2 1.00001.0000 1.0000 0.99990.99970.99880.99140.97340.9421 0.8965 0.8369 5 3 1.00001.00001.00000.99950.99780.9933 0.9844 0.9692 5 4 1.00000.99990.9997 0.9990 0.9976 6 0 0.9940 0.9881 0.98210.9704 0.9415 0.88580.83300.73510.53140.37710.2621 0.1780 0.1176 6 1 1.0000 0.9999 0.99990.9996 0.9985 0.99430.98750.96720.88570.77650.6554 0.5339 0.4202 6 2 1.0000 1.00001.0000 1.0000 0.99980.99950.99780.98420.95270.9011 0.8306 0.7443 6 3 1.00001.00000.99990.99870.99410.9830 0.9624 0.9295 6 4 1.00000.99990.99960.9984 0.9954 0.9891 6 5 1.00001.00000.9999 0.9998 0.9993 7 0 0.9930 0.9861 0.97920.9655 0.9321 0.86810.80800.69830.47830.32060.2097 0.1335 0.0824 7 1 1.0000 0.9999 0.99980.9995 0.9980 0.99210.98290.95560.85030.71660.5767 0.4449 0.3294 7 2 1.0000 1.00001.0000 1.0000 0.99970.99910.99620.97430.92620.8520 0.7564 0.6471 7 3 1.00001.00000.99980.99730.98790.9667 0.9294 0.8740 7 4 1.00000.99980.99880.9953 0.9871 0.9712 7 5 1.00000.99990.9996 0.9987 0.9962 7 6 1.00001.0000 0.9999 0.9998 8 0 0.9920 0.9841 0.97630.9607 0.9227 0.85080.78370.66340.43050.27250.1678 0.1001 0.0576 8 1 1.0000 0.9999 0.99980.9993 0.9973 0.98970.97770.94280.81310.65720.5033 0.3671 0.2553 8 2 1.0000 1.00001.0000 0.9999 0.99960.99870.99420.96190.89480.7969 0.6785 0.5518 8 3 1.0000 1.00000.99990.99960.99500.97860.9437 0.8862 0.8059 - 262 -

条件概率与超几何分布与二项分布练习题

条件概率及乘法公式练习题 1.一个袋中有9 张标有 1,2,3, , , 9 的票,从中依次取两张,则在第一张是奇数的 条件下第二张也是奇数的概率() 2.有一批种子的发芽率为 0.9,出芽后的幼苗成活率为 0.8,在这批种子中,随机抽取一 粒,求这粒种子能成长为幼苗的概率。 3.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的11 概率是 2 ,在第一次闭合出现红灯的条件下第二次闭合还出现红灯的概率是 都出现红灯的概率。 3 ,求两次闭合4.市场供应的灯泡中,甲厂产品占有70%,乙厂产品占有30%,甲厂产品的合格率为95%,乙厂产品的合格率为80%。现从市场中任取一灯泡,假设A=“甲厂生产的产品”,A=“乙厂生产的产品” , B=“合格灯泡”,B =“不合格灯泡”,求: (1) P(B|A) ;( 2)P( B |A) ;( 3)P(B| A ) ;( 4) P(B | A ). 超几何分布及二项分布练习题 1.一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5 的 5 个红球与编号为1,2,3,4 的 4个白球,从中任意取出3个球. (Ⅰ)求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率; (Ⅱ)求取出的3个球中恰有 2 个球编号相同的概率; 2.今年雷锋日,某中学从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去当雷锋志愿者,学生的名额分 配如下: 高一年级10 人高二年级 6 人 高三年级 4 人 ( I )若从 20 名学生中选出 3 人参加文明交通宣传,求他们中恰好有 1 人是高一年级学生的概率; ( II )若将 4 名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是相互独立的),记安排到高一年级的教师人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望 .

二项分布方差公式推导

二项分布方差公式推导 若ξ~B(n,p),q=1-p ,求证D ξ=npq ∵E ξ=np , kC n k p k q n-k =n p 11 k n C --p k-1q n-k , kk C n k p k q n-k =np[(k-1)11 k n C --p k-1q n-k +11k n C --p k-1q n-k ] =np[(n -1)p 22k n C --p k-2q n-k +11k n C --p k-1q n-k ] 而D ξ=22()E E ξξ-, ∴D ξ=(1×1×C n 1p 1q n-1+2×2 C n 2p 2q n-2+…+k ×k C n k p k q n-k +…+n ×n C n n p n q 0)2() np - =np(1×C n-10p 0q n-1+2C n-11p 1q n-2+3C n-12p 2q n-2+…+ k C n-1k-1p k-1q n-k +…+n C n-1n-1p n-1q 0)-2np E ξ+n 2p 2(p +q)n =np{[0×C n-10p 0q n-1+1C n-11p 1q n-2+2C n-12p 2q n-2+…+ (k-1) C n-1k-1p k-1q n-k +…+(n-1)C n-1n-1p n-1q 0]+(C n-10p 0q n-1+ C n-11p 1q n-2+C n-12p 2q n-2+…+C n-1k-1p k-1q n-k +…+ C n-1n-1p n-1q 0)}2()np - =np[E η+(p +q)n-1] 2() np - =np[(n -1)p +1] 2() np - =np(1-p) =npq .

条件概率与超几何分布及二项分布练习题()

条件概率及乘法公式练习题 1.一个袋中有9张标有1,2,3,…,9的票,从中依次取两张,则在第一张是奇数的 条件下第二张也是奇数的概率( ) 2.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽 取一粒,求这粒种子能成长为幼苗的概率。 3?某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的 1 1 概率是2,在第一次闭合出现红灯的条件下第二次闭合还出现红灯的概率是3,求两次闭合都出现红灯的概率。 4.市场供应的灯泡中,甲厂产品占有70%乙厂产品占有30%甲厂产品的合格率为95% 乙厂产品的合格率为80%现从市场中任取一灯泡,假设A= “甲厂生产的产品” ,A = “乙厂生产的产品”,B=“合格灯泡”,B = “不合格灯泡”,求: (1) P(B|A) ; (2) P( B |A) ; (3) P(B| A ) ; ( 4) P( B | A). 超几何分布及二项分布练习题 1. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5 的5个红球与编号为1,2,3,4 的4个白球,从中任意取出3个球. (I)求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率; (n)求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率; 2.今年雷锋日,某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者,学生的 名额分配如下: (I )若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传,求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率; (II )若将4名教师安排到三个年级 (假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师

的选择是相互独立的),记安排到高一年级的教师人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

数学分布(泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布)生存分析贝叶斯概率公式全概率公式(新)

数学期望:随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭,没有孩子的家庭有1000个,有一个孩子的家庭有9万个,有两个孩子的家庭有6000个,有3个孩子的家庭有3000个,则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量,记为X,它可取值0,1,2,3,其中取0的概率为0.01,取1的概率为0.9,取2的概率为0.06,取3的概率为0.03,它的数学期望为0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11,即此城市一个家庭平均有小孩1.11个,用数学式子表示为:E(X)=1.11。 也就是说,我们用数学的方法分析了这个概率性的问题,对于每一个家庭,最有可能它家的孩子为1.11个。 可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。 各种数学分布的方差是: 1、一个完全符合分布的样本 2、这个样本的方差 概率密度的概念是:某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布,即平均分是80分,由正态分布的图形知x=80时的函数值最大,即随机变量在80附近取值最密集,也即考试成绩在80分左右的人最多。 下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x),表示概率密度):

离散型分布:二项分布、泊松分布 连续型分布:指数分布、正态分布、X2分布、t分布、F分布 抽样分布 抽样分布只与自由度,即样本含量(抽样样本含量)有关 二项分布(binomial distribution):例子抛硬币 1、重复试验(n个相同试验,每次试验两种结果,每种结果概率恒定———— 伯努利试验) 2、

第十章 第九节 条件概率、事件的独立性与二项分布(理)

第十章第九节条件概率、事件的独立性与二项分布 (理) 题组一条件概率 1.已知盒中装有3 现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为() A. 3 10 B. 2 9 C.7 8 D. 7 9 解析:设事件A为“第1次抽到是螺口灯泡”,事件B为“第2次抽到是卡口灯泡”, 则P(A)=3 10 ,P(AB)=3 10× 7 9 =21 90 =7 30.在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下,第2次抽 到卡口灯泡的概率为P(B|A)=P(AB) P(A) = 7 30 3 10 =7 9. 答案:D 2.设A、B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为 3 10,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为 1 2,则事件A发生的概率为________________. 解析:由题意知,P(AB)= 3 10 ,P(B|A)=1 2 , ∴P(A)= P(AB) P(B|A) = 3 10 1 2 =3 5. 答案: 3 5 3.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________. 解析:设种子发芽为事件A,种子成长为幼苗为事件AB(发芽,又成活为幼苗),出芽后的幼苗成活率为: P(B|A)=0.8,P(A)=0.9. 根据条件概率公式P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.9×0.8=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的

概率为0.72. 答案:0.72 题组二 相互独立事件 4.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为13,乙、丙去北京旅游的概率分别为14,1 5.假定三人的 行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 ( ) A.5960 B.35 C.12 D.1 60 解析:因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13,14,1 5.因此,他们不去北京旅游的概率 分别为23,34,45,所以,至少有1人去北京旅游的概率为P =1-23×34×45=35. 答案:B 5.如图所示的电路,有a ,b ,c 三个开关,每个开关开或关的概率都是1 2,且 是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为 ( ) A.18 B.14 C.12 D.116 解析:理解事件之间的关系,设“a 闭合”为事件A ,“b 闭合”为事件B ,“c 闭合”为事件C ,则灯亮应为事件AB - C ,且A ,C ,B 之间彼此独立,且P (A )=P (B )=P (C ) =12,所以P (AB - C )=P (A )·P (B )·P (C )=18 . 答案:A 6.甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格. (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 解:(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ,则 P (A )=C 26C 14+C 3 6C 310=23. P (B )=C 28C 12+C 38C 310 =1415. (2)因为事件A 、B 相互独立,所以甲、乙两人考试均不合格的概率为 P (A -B - )=P (A - )P (B - )=(1-23)(1-1415)=1 45 ,

二项分布临界值表

附表1 二项分布临界值表 在p=q=下,x或n–x(不论何者为大)的临界值 n 单侧检验()双侧检验()0.050.010.050.01 55———66—6—7777—8788—98989 10910910 119101011 1210111011 1310121112 1411121213 1512131213 1612141314 1713141315 1813151415 1914151516 2015161517 2115171617 2216171718 2316181719 2417191819

2518191820 2618201920 2719202021 2819212022 2920222122 3020222123

附表2 正态分布概率表 Z F(Z)Z F(Z)Z F(Z)Z F(Z) 0.000.00000.350.27370.700.5161 1.050.7063 0.010.00800.360.28120.710.5223 1.060.7109 0.020.01600.370.28860.720.5285 1.070.7154 0.030.02390.380.29610.730.5346 1.080.7199 0.040.03190.390.30350.740.5407 1.090.7243 0.050.03990.400.31080.750.5467 1.100.7287 0.060.04780.410.31820.760.5527 1.110.7330 0.070.05580.420.32550.770.5587 1.120.7373 0.080.06380.430.33280.780.5646 1.130.7415 0.090.07170.440.34010.790.5705 1.140.7457 0.100.07970.450.34730.800.5763 1.150.7499 0.110.08760.460.35450.810.5821 1.160.7540 0.120.09550.470.36160.820.5878 1.170.7580 0.130.10340.480.36880.830.5935 1.180.7620 0.140.11130.490.37590.840.5991 1.190.7660 0.150.11920.500.38290.850.6047 1.200.7699 0.160.12710.510.38990.860.6102 1.210.7737 0.170.13500.520.39690.870.6157 1.220.7775 0.180.14280.530.40390.880.6211 1.230.7813 0.190.15070.540.41080.890.6265 1.240.7850

最新高中数学--条件概率与独立事件二项分布

高中数学--条件概率与独立事件二项分布 1.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为23和3 4,两个零件是否加 工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.1 2 B.512 C.14 D.16 【解析】 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ,则P (A )=P (A 1)+P (A 2)=23×1 4+ 13×34=512 . 【答案】 B 2.在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( ) A .[0.4,1] B .(0,0.4] C .(0,0.6] D .[0.6,1] 【解析】 设事件A 发生的概率为p ,则C 14p (1-p )3≤C 24p 2(1-p )2 ,解得p ≥0.4,故选 A. 【答案】 A 3.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在10箱中各任意抽查一枚;方法二:在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则( ) A .p 1=p 2 B .p 1

p 2 D .以上三种情况都有可能 【解析】 p 1=1-????1-110010=1-????99 10010 =1-????9 80110 0005 , p 2=1-????C 2 99C 21005 =1-????981005则p 1

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