高一第二学期三角函数与数列综合试卷(含答案)

高一第二学期三角函数与数列综合试卷（含答案）

高一数学

2016．4．1

一、填空题（本大题共14题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷．．．相应位置上）. 1. 已知3cos(

)2

5π

α+=

，且3(,)22

ππ

α∈，则tan α的值为_____________ . 2. 已知点(tan ,cos )M 在第二象限，则角的终边在第_____________象限.

3. =-??? ?

?++???

?

?

-απαπα2

22

sin 6sin 6sin _____________ . 4. 已知1

tan(

)4

2

π

θ-=

，则sin cos θθ=_____________ . 5. 设在各项为正数的等比数列{}n a 中，若6542a a a =+，则公比q =_____________ .

6. 已知a n =n

n n 10

)

1(9+（n ∈N *），则数列{a n }的最大项是第_____________项. 7. 函数cos y x =的图象向左平移

3

π个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标扩大到原来的

3倍，所得的函数图象解析式为_____________ .

8. 已知数列{}n a 的前n 项和1

31n n S +=-，则n a =_____________ .

9. 若}{n a 是等差数列，首项01>a ，020152014>+a a ，020152014

10. 在ABC ?中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，若2

2

2

b c a +=，且

b

a

=C ∠=_____________ . 11. 某同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2011个圈中的●的个数是_____________ .

12. 已知,αβ均为锐角,且3sin 5α=

,1

tan()3

αβ-=-.则cos β的值为_____________ . 13.在ABC ?中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，c a =且满足

0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C ，若点O 是ABC ?外一点，42==OB OA ，则四边

形OACB 的面积的最大值为 _____________ .

14. 我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总

有不等式

1212()()()22

f x f x x x

f ++≤成立，

则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：2

1

2

n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{}n a 满足如下两个条件： （1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；

（2）对正整数n （*

,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+.

则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为_____________ .

二、解答题（本大题共6题，共90分，请在答题卷．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题14分)

如图，在四边形ABCD 中，AD =8，CD =6，AB =13，∠ADC =90°，且50AB AC ?=． （1）求sin∠BAD 的值；

（2）设△ABD 的面积为S △ABD ，△BCD 的面积为S △BCD ，求ABD BCD

S S ??的值．

16. (本小题14分)

A

C

D

B

已知向量(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==- （1）若//a b ，试求sin α； （2）若a b ⊥，且(0,)2π

α∈，求cos(2)4

π

α-的值.

17. (本小题14分) 已知函数()2

2

1sin cos 42

f x x x π??

=+

++ ??

?，x R ∈ (1)求函数()f x 最值与最小正周期； (2)求使不等式()3

2

f x ≥[]()0,x π∈成立的x 的取值范围.

18. (本小题16分)

已知数列{n a }的首项111,21n n a a a +==+． (1)求证:{}1n a +是等比数列； (2)求数列{}n na 的前n 项和n S ．

19. (本小题16分)

已知数列}{n a 满足11=a ，21=-+n n a a ，等比数列}{n b 满足11a b =，144+=a b ． （Ⅰ）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；

（Ⅱ）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n S ．

20. (本小题16分)

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列{}n b 的通项公式为n

n n a b a t

=

+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，， (3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.

一、填空题

1. 3

4 2. 四 3. 21 4.310 5. 2 6. 8或9 7. 3cos(2)3

y x π=+. 8. 81223

n n

n a n =?=?≥?? 9. 4029 10. 0010515或 11. 61 12. ∵π,(0,)2αβ∈,从而ππ

22

αβ-<-<.

又∵1tan()03αβ-=-<,∴π

02

αβ-<-<

∴10sin()10

αβ-=-

(2)由(1)可得,310

cos()10

αβ-=

. ∵α为锐角,3sin 5α=,∴4

cos 5

α=

∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-

4310310()510510?+?-910

13. 【命题立意】三角恒等变换，余弦定理，考查分析能力，转化能力，较难题． 【解析】因为0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C ， 所以0cos sin 3cos cos )cos(=-++-B A B A B A ， 所以3tan =B ，因为π<

π

=

B ，因为c a =，所以AB

C ?为等边三角形，

设θ=∠AOB ，所以2

3||21sin ||||212?+?=

+=??AB OB OA S S S ABC AOB OACB θ )cos ||||2|||(|43

sin 242122θθOB OA OB OA ?-++???= )cos 24224(4

3sin 422

θθ??-++

= )

cos 45(3sin 4θθ-+=

35)3

sin(8++=π

θ，

因为πθ<<0，所以

3

43

3

π

π

θπ

<

+

<，所以1)34sin(23≤+<-πθ， 所以四边形OACB 的面积的最大值为358+．

14. []13,25

二、解答题

15. 解（1）在Rt △ADC 中，AD =8，CD =6，

则AC =10，43

cos ,sin 55

CAD CAD ∠=∠=．

又∵50AB AC ?=，AB =13，∴5

cos 13

||||AB AC BAC AB AC ?∠=

=．

∵0180BAC <∠<，∴12sin 13BAC ∠=． ∴63

sin sin()65

BAD BAC CAD ∠=∠+∠=． （2）1252sin 25BAD S AB AD BAD ?=??∠=

，1

sin 602

BAC S AB AC BAC ?=??∠=，24ACD S ?=， 则168

5

BCD ABC ACD BAD S S S S ????=+-=

，∴32ABD BCD S S ??=．

16. 已知向量(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==- （Ⅰ）若//a b ，试求sin α （Ⅱ）若a b ⊥，且(0,

)2π

α∈，求cos(2)4

π

α-的值

解：（1）由//得，0tan 16cos 15=+αα，

35sin =

α（舍）或5

3

sin -=α （2）由b a ⊥得，0tan cos 2012=?-αα，

53sin =

α，又)2,0(πα∈，54

cos =α

2572cos ,25242sin ==

αα， 250

31)42cos(=-πα

17. （1）()1cos 21cos 212222

x x f x π?

?-+ ?

+??=

++

=

113sin 2cos 2222

x x ++

=

3222

x x ?++????

=

3242x π?

?++ ??

? ∴ (

)max 32f x +=

， (

)min 32

f x -=， T π= （2）由()32f x ≥

得：2024x π??+≥ ???，∴sin 204x π??+≥ ???，

∴2224k x k ππππ≤+

≤+，()388

k x k k Z π

π

ππ-

≤≤+

∈

又

[]0,x π∈，∴x 的取值范围为370,,88πππ????

?????????

18. 【命题立意】本题重点考查了等比数列的定义、等比数列的求和公式、错位相减求和等知识，属于中档题．

【解析】（1）∵121+=+n n a a ， ∴)1(211+=++n n a a ， 则

21

1

1=+++n n a a 为常数，∴{}1n a +是等比数列

（2）∵11=a ,可得n n a 21=+，∴12-=n n a ， 则n -n na n n 2?=，

2231231

1

121

12222212222222222(12)

212

(1)22(1)2

2122n n n n n n n n n n n n T n T n T n n n n n S n +++++=?+?++?=?+?++?=-----+?-=-+?-=-++∴=--+---------------设，则分

19.

【答案】（Ⅰ）21n a n =-，12n n b -=；（Ⅱ）)23(23n S n n --=．

【命题立意】考查等差数列、等比数列的通项公式，错位相减求和，考查转化能力，计算能力，中等题．

【解析】（Ⅰ）21n a n =-，

141,8b b ==,∴2q =,

∴12n n b -=．

（Ⅱ） 1(21)2n n c n -=-，

21113252(21)2n n S n -=?+?+?+

+-

2312123252(23)2(21)2n n

n S n n -=

?+?+?+

+-?+-

上述两式作差得

231122222222(21)2n n

n S n --=+?+?+?+

+?--

12(12)12(21)2

12n n n S n -??--=+-- ?-??

32(32)n

n S n =--.

20. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得5132

3439a a a +=??=?，，

即11

8173a d a d +=??+=?，，解得112.a d =??=?，

故221n n a n S n =-=，. （2）由（1）知21

21n n b n t

-=

-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即

3121

23121m t t m t

-?

=+

++-+，

整理得4

31

m t =+

-， 因为m ，t 为正整数，所以1t -只能取1,2,4，t =2，3或5. 当2t =时，7m =；当3t =时，5m =； 当5t =时，4m =.

故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列.

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）