空间点、线、面位置关系(经典例题+训练)

空间点、线、面的位置关系 【基础回顾】

1．平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过____________的一条直线．

公理3：经过____________________的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过____________________，有且只有一个平面． 推论2：经过________________，有且只有一个平面． 推论3：经过________________，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系

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(1)位置关系的分类

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共面直线?????

异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线判定定理

过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线． (3)异面直线所成的角

①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的____________叫做异面直线a ，b 所成的角．

②范围：____________. 3．公理4

平行于____________的两条直线互相平行． 4．定理

}

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．

自我检测

1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是____________．

2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．

3．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________．

4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________．

5．下列命题：

①空间不同三点确定一个平面；

]

②有三个公共点的两个平面必重合；

③空间两两相交的三条直线确定一个平面；

④三角形是平面图形；

⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；

⑥垂直于同一直线的两直线平行；

⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；

⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．

其中正确的命题是________(填序号).

:

【例题讲解】

1、平面的基本性质

例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB ＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，AH∶HD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.

求证：EH、FG、BD三线共点．

@

变式迁移1

如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.

求证：B、D、O三点共线．

2、异面直线的判定

)

例2如图所示，直线a、b是异面直线，A、B两点在直线a上，C、D两点在直线b 上．求证：BD和AC是异面直线．

变式迁移2

如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是________(填

序号)．

3、异面直线所成的角

例3已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为

________________________________________________________________________．

【

变式迁移3

在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝3，且AD⊥BC，对角线BD＝13

2，AC＝

3

2，

求AC和BD所成的角．

二、空间的平行关系

)

基础回顾

1．空间直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线a和平面α的位置关系有三种：________、__________、__________.

(2)两个平面的位置关系有两种：________和________．

2．直线与平面平行的判定与性质

(1)判定定理：

如果平面外一条直线和这个________________平行，那么这条直线与这个平面平行．

(2)性质定理：

一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．

3．平面与平面平行的判定与性质

`

(1)判定定理：

如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

(2)性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线________．

自我检测

1．下列各命题中：

①平行于同一直线的两个平面平行；

②平行于同一平面的两个平面平行；

③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；

④垂直于同一直线的两个平面平行．

、

不正确的命题个数是________．

2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作______个．

3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是________．

4．已知α、β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．

【例题讲解】

1、线面平行的判定

例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.

`

\

变式迁移1在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.

2、面面平行的判定

例2在正方体ABCD—A 1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.

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变式迁移2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的

重心．

求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ；

—

3、 平行中的探索性问题

…

例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，CD ∥AB ，AD ⊥AB ，AD ＝DC ＝1

2AB ，BC ⊥PC . (1)求证：PA ⊥BC ；

(2)试在线段PB 上找一点M ，使CM ∥平面PAD ，并说明理由．

变式迁移3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO

~

三、空间的垂直关系

基础回顾

1．直线与平面垂直

(1)判定直线和平面垂直的方法

①定义法．

②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

@

③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面．

(2)直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线．

②垂直于同一个平面的两条直线________．

③垂直于同一直线的两个平面________．

2．直线与平面所成的角

平面的一条斜线与它在这个平面内的________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．

一条直线垂直于平面，说它们所成的角为________；直线l∥α或l?α，说它们所成的角是______角．

3．平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的判定方法

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①定义法．

②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的____________，那么这两个平面互相垂直．

(2)平面与平面垂直的性质

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．

4．二面角的平面角

以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作________棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

自我检测

1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________(填序号)．

①若l⊥m，m?α，则l⊥α；

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②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；

③若l∥α，m?α，则l∥m；

④若l∥α，m∥α，则l∥m.

2．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：

①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；

②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；

③存在直线l?α，直线m?β，使得l∥m；

④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.

其中，可以判定α与β平行的条件有________个．

：

【例题讲解】

1、线面垂直的判定与性质

例1Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.

》

变式迁移1四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，SA＝SB.

证明：SA⊥BC.

]

2、面面垂直的判定与性质

例2如图所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面ABCD.

}

变式迁移2如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．

求证：(1)直线EF∥平面PCD；

(2)平面BEF⊥平面PAD.

3、直线与平面、平面与平面所成的角

例3如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝2a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．

(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE；

(2)设二面角C—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tan θtan φ＝1，求λ的值．

变式迁移3如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.

(1)求证：BC⊥平面PAC.

(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值．

(3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角并说明理由．