第四章 功与能
一.选择题
[ B ]1、(基础训练1)一质点在如图4-5所示的坐标平面内
作圆周运动,有一力)(0j y i x F F
+=作用在质点上.在该质点从坐标
原点运动到(0,2R )位置过程中,力F 对它所作的功为
(A) 2
0R F . (B) 202R F .
(C) 203R F . (D) 2
04R F .
【提示】0220000
d 2R
A F r F xdx F ydy F R =?=+
=???
[ C ]2、(基础训练3)如图4-6,一质量为m 的物体,位于质量可以忽略的直立弹簧正上方高度为h 处,该物体从静止开始落向弹簧,若弹簧的
劲度系数为k ,不考虑空气阻力,则物体下降过程中可能获得的最大动能是
(A) mgh . (B) k
g m mgh 22
2-.
(C) k g m mgh 222+. (D) k
g m mgh 2
2+.
【提示】 物体下降过程中合力为零时获得最大动能km E ,此时00, mg
mg kx x k
==; 根据机械能守恒,有:2001()2
km mg h x E kx +=+
[ B ]3、(基础训练6)一质点由原点从静止出发沿x 轴运动,它在运动过程中受到指向原点的力作用,此力的大小正比于它与原点的距离,比例系数为k .那么当质点离开原点为x 时,它相对原点的势能值是
(A) 221kx -. (B) 22
1
kx . (C) 2kx -. (D) 2kx . 【提示】0
2
1()2p x
E kx dx kx =-=?
[ C ]4、(自测提高1)一个质点同时在几个力作用下的位移为:
k j i r
654+-=? (SI) 其中一个力为恒力k j i F
953+--= (SI),则此力在该位移过程中所作的功为
(A)
67 J . (B) 17 J . (C) 67 J . (D) 91 J .
【提示】x y z A F r F x F y F z =??=?+?+?恒力
x
y
R O
图4-5
h
m
图4-6
[ C ]5、(自测提高4)在如图4-16所示系统中(滑轮质量不计,轴光滑),外力F
通过不可伸长的绳子和一劲度系数k =200 N/m
的轻弹簧缓慢地拉地面上的物体.物体的质量M =2 kg ,初始时弹簧为自然长度,在把绳子拉下20 cm 的过程中,所做的功为(重力加速
度g 取10 m/s 2) (A) 1 J . (B) 2 J . (C) 3 J . (D) 4 J . (E) 20 J .
【提示】(1)用力F
下拉,则弹簧被拉伸,直到重物刚被提起,此时0mg kx =,弹簧拉伸
了010mg x cm k
==;
在这一过程中,外力等于弹性力kx ,所以,外力的功为0
2
100
12x A kxdx kx ==?;
(2)接着F
继续下拉,弹簧不再继续拉伸,此时外力等于重力mg ,重物上升了201010h cm =-=,故外力做功为2A mgh =;
(3)全过程中外力做功2
120132
A A A kx mgh J =+=+=
[ B ]6、(自测提高7) 一水平放置的轻弹簧,劲度系数为k ,其一端固定,另一端系一质量为m 的滑块A ,A 旁又有一质量相同的滑块B ,如图4-19所示.设两滑块与桌面间无摩擦.若用外力将A 、B 一起推压使弹簧压缩量为d 而静止,然后撤消外力,则B 离开时的速度为
(A) 0 (B) m k d
2 (C) m k d (D) m k
d 2 【提示】机械能守恒: ()22
11222
kd m v =
二.填空题
1、(基础训练7)已知地球质量为M ,半径为R .一质量为m 的火箭从地面上升到距地面高度为2R 处.在此过程中,地球引力对火箭作的功为2 3GMm
R
-
. 【提示】p 3GMm GMm A E R R ??
????=-?=---- ? ??????
???保
2、(基础训练12)一质点在二恒力共同作用下,位移为j i r
83+=? (SI);在此过程中,
动能增量为24 J ,已知其中一恒力j i F
3121-=(SI),则另一恒力所作的功为 12J .
【提示】1224k A A A E J =+=?=合,其中111233812A F r J =??=?-?=,
故212A J =.
图4-16
图4-19
3、(基础训练13)劲度系数为k 的弹簧,上端固定,下端悬挂重物.当弹簧伸长x 0,重物在O 处达到平衡,现取重物在O 处时各种势能均为零,则当弹簧长度为原长时,系统的
重力势能为2
0 kx ;系统的弹性势能为201 2kx -
;
系统的总势能为2
01 2
kx . (答案用k 和x 0表示)
【提示】以原长为坐标原点O ’,向下作为x 轴正方向,如图。重物
在O 处达到平衡:0mg kx =,得:0mg
x k
=
; 2
00Pmg E mgx kx == ,0
200
1()2x p E kx dx kx =-=-?弹;
总势能2
012
P Pmg P E E E kx =+=弹
4、(自测提高10)一质量为m 的质点在指向圆心的平方反比力F =-k /r 2的作用下,作半径为r 的圆周运动.此质点的速度v
若取距圆心无穷远处为势能零点,
它的机械能E = 2k
r
-
. 【提示】(1)根据法向方程:22n v k
ma m r r
==,可求出v ;
(2)势能:2p r
r k k E F dr dr r r ∞
∞
??
=?=-
=- ??
??
?; 动能:2122k k E mv r ==; 机械能:k p E E E =+
5、(自测提高15)一人站在船上,人与船的总质量m 1=300 kg ,他用F =100 N 的水平力拉一轻绳,绳的另一端系在质量m 2=200 kg 的船上.开始时两船都静止,若不计水的阻力则在开始拉后的前3秒内,人作的功为 375J .
【提示】22
111111100, 3 1.5 ()22300F a s a t m m =
==??=, 22
222211100, 3 2.25 ()22200F a s a t m m ===??=;
得: 12375A F s F s J =?+?=
6、(自测提高16)光滑水平面上有一轻弹簧,劲度系数为k ,弹簧一端固定在O 点,另一端拴一个质量为m 的物体,弹簧初始时处于自由伸长状态,若此时给物体m 一个垂直于弹簧的初速度0v
如图4-24所示,则当物体速率为
2
1
v 0时弹簧对物体的拉力 f
=0 3 2
km v
. 【提示】机械能守恒:
2
22
001112222
v mv m kx ??=+ ???,f kx =
三.计算题
1、(基础训练14)一人从10 m 深的井中提水.起始时桶中装有10 kg 的水,桶的质量为1 kg ,由于水桶漏水,每升高1 m 要漏去0.2 kg 的水.求水桶匀速地从井中提到井口,人所作的功.
解:选竖直向上为坐标y 轴的正方向,井中水面处为原点.由题意知,人匀速提水,所以人所用的拉力F 等于水桶的重量。设M = 10kg ,m = 1kg ,
(0.2)F m M y g =+-
10
10
10
(0.2)(110.2)980A Fdy m M y gdy y gdy J ==+-=-=???
2、(基础训练19) 如图4-13所示,一原长为0l 的轻弹簧上端固定,下端与物体A 相连,物体A 受一水平恒力F 作用,沿光滑水平面由静止向右运动。若弹簧的倔强系数为k ,物体A 的质量为m ,则张角为 时 (弹簧仍处于弹性限度内)物体的速度v 等于多少
解:由功能原理:F 所作的功等于系统机械能的改变。
2
20001102cos 2l Fl tg k l mv θθ??
??=-+-?? ???????
,
得:2
00021cos l v Fl tg k l m m θθ??=-- ???
3、(自测提高20)一半圆形的光滑槽,质量为M 、半径为R ,放在光滑的桌面上.一小物体,质量为m ,可在槽内滑
动.起始位置如图4-27所示:半圆槽静止,小物体静止于与圆心同高的A 处.求: (1) 小物体滑到位置B 处时,小物体对半圆槽及半圆槽对
地的速度各为多少
(2) 当小物体滑到半圆槽最低点B 时,半圆槽移动了多少距离 (3) 小球在最低点B 处时,圆弧形槽对小球的作用力。
解:如图建立坐标系。设相对于地面参考系,小物体和半圆槽在最低点B 处时的速度分别为v vi =,V Vi =-,
M O R
A C
B
m θ
图4-27
2
1
v v =
m
m
0v
O
(1). 以地面为参考系:小物体与光滑槽系统水平方向动量守恒;小物体、光滑槽及地球组成的系统的机械能守恒:
0mv MV -=
2211
22
mv MV mgR += 小物体对半圆槽的速度:()
()V v v vi Vi v V i =-=--=+对对对物槽物地槽地 解得:
v =
物槽对;
V =.
(2).以地面为参考系。设: 槽移动了S 距离,小物体移动了s 距离。
水平方向动量守恒: 0x mv MV -= ,
0t
t
x
mv dt MVdt -=?? ,
即: 0ms MS -=
又 s R S =- (R 为小物体相对槽移动的水平距离) 解得: mR
S m M
=
+
(3)以槽为参考系:小物体做圆周运动,在最低点: 2
()v N mg m
R
-=物槽对;
解得: (32)M m mg
N M
+=
.
4、(自测提高21)我国的第一颗人造地球卫星于1970年4月24日发射升空,其近地点离地面r 1=439 km ,远地点离地面r 2=2384 km 。如果将地球看为半径为6378 km 的均匀球体,试求卫星在近地点和远地点的运动速率。
解:卫星的角动量守恒,卫星与地球系统的机械能守恒。设地球半径为R ,则有
()()1122mv r R mv r R +=+
2212121122GMm GMm mv mv r R r R
-=-++ 解得:v 1 = 8.11km/s, v 2 = 6.31km/s.
5、(自测提高22)不可伸长的轻绳跨过一个质量可以忽略的定滑轮,轻绳的一端吊着托盘(如图),托盘上竖直放着一个用细线缠缚而压缩的小弹簧,轻绳的另一端系一重物与托盘和小弹簧相平衡,因而整个系统是静止的。设托盘和小弹簧的质量分别为m ’和m ,被细线缠缚的小弹簧在细线断开时在桌面上竖直上升的最大高度为h 。现处于托盘上的小弹簧由于缠缚的细线突然被烧断,能够上升的最大高度是多大
解:设:线断开时左边重物('m m +)与右边托盘('m )运动速度为V ,弹簧速度为v ,能上升的最大高度为H
系统的角动量守恒,系统的机械能守恒。设滑轮半径为R
0(2)m m VR mvR '=+-
2211
(2)22
mgh mv m m V '=++
2
2v H g
=
解得:(2)2()
m m h
H m m '+='+
四. 附加题:(基础训练18) 半径为R ,质量为m ’,表面光滑的半球放在光滑水平面上,在其正上方放一质量为m 的小滑块。当小滑块从顶端无初速地下滑后,在图4-12所示的 角位置处开始脱离半球。已知cos 0.7θ=,求m ’/m 的值。
解:设:小物体相对半球的速率为 v ,半球对地的速率为V ,小物体相对半球作圆周运动。
以地面为参考系:小物体与半球:水平方向动量守恒;小物体、半球及地球:机械能守恒:
(cos )0m v V m V θ'--=
222
11(cos )(sin )(1cos )22m v V v m V mgR θθθ'??-++=-?
? 2
cos v mg m R
θ=
解
得:'
2.43m m
=