工程流体力学(孔珑版)第四章_题解

第四章 流体运动学和流体动力学基础

【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为

j y x x

i y x y v 2

22222+++-=πΓπΓ

式中Γ为常数。求流线方程并画出若干条流线。 【解】 由题设，()222,y x y y x v x +-=πΓ，()2

22,y

x x

y x v y +=πΓ 代入流线的微分方程

()()

t z y x v y

t z y x v x y x ,,,d ,,,d =

得

2

22

22d 2d y x x y y x y

x

+=

+-

πΓπΓx

y y x d d -=y

y x x d d -=??-=y y x x d d

C y x +-=222

1

21'22C y x =+

【4-4】 已知流场的速度分布为

k xy j y i xy v +-=32

3

1

（1）问属于几维流动（2）求（x , y , z ）=（1, 2, 3）点的加速度。 【解】 （1）由于速度分布可以写为

()()()k y x v j y x v i y x v v z y x

,,,++= (1) 流动参量是两个坐标的函数，因此属于二维流动。 （2）由题设，

()2,xy y x v x = (2)

()33

1

,y y x v y -= (3)

()xy y x v z =, (4)

()()()()

43222232223

10

23

1

031d d xy xy y y xy xy z

xy xy y y xy x xy xy t z v

v y v v x v v t v t v a x z x y x x x x x =+?-+=??+??-??+??=??+??+??+??==

(5)

()

5233333233

10

31

003

131313131d d y y y y z xy y y y y x xy y t z

v v y

v v x

v v t

v t

v a y z

y y

y x

y y y =+-?-+=??? ??-??+??? ??-??-??? ??-??+??? ??-??=

??+??+??+??=

= (6)

()()()()3

32323

20

3

1

031d d xy x y y xy xy z

xy xy y y xy x xy xy t z v

v y v v x v v t v t v a z z z y z x z z z =+?-?+=??

+??-??+??=??+??+??+??==

(7)

将x =1，y=2，z =3代入式(5)(6)(7)，得

31621313144=??==xy a x

332

2313155=

?==y a y 31621323233=??==xy a z

【4-15】 图4-28所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系

式。

图4-28 习题4-15示意图

【解】 列1-1、2-2断面的能量方程：

w a a h g

p z g v g p z g v +++=++ραρα222

2

21121

122 (1) 不计损失，h w =0，取α1=α2=1，则

g

p z g v g p z g v ρρ222

2112122++=++ (2)

g v g v g p z g p z 22212

22211-=???

? ??+-???? ??+ρρ (3) 设液体ρm 左侧界面的坐标为z 3，由流体静力学基本方程，得

()()gH H z z g p z z g p m ρρρ+--+=-+322311 (4)

()()g

gH H z z g p

z z g p m ρρρρ+--+=-+322311 (5) ρρρρH H z g p

z g p m +-+=+2211 (6) H z g p z g p m ????

?

?-=???? ??+-???? ??+12211ρρρρ (7) 由式(3)(7)，得

g v g v H m 221212

2-=???

? ??-ρρ (8) 由于连续方程

2211v A v A = (9)

2114

d A π

=

2

2

24

d A π=

(10) 22

2121v d v d = (11)

22

2

112d d v v = (12)

由式(8)，得

2

12212v v H g m -=?

??

? ??-ρρ (13) 将式(12)代入式(13)，得

?

??

? ??-=-???? ??=???? ??-112424121212

22211d d v v d d v H g m ρρ (14) 11242

4

12

1-?

???

??-=

d d gH v m ρρ (15)

2

14

24

11112??????????????-???? ??-=d d gH v m ρρ (16)

流量为

2

141422

14

24

121111241124???

????

???????-???? ??-=???

???????????-???? ??-=d d gH d d gH d q m m V ρρπρρπ (17) 即

()[]()()

2

14

14211124?

??

???--=

d d gH q m V ρρπ (18)

【4-16】 按图4-29所示的条件求当H =30cm 时的流速v 。 [1．085m ／s]

图4-29 习题4-16示意图

【解】 设皮托管入口前方未受扰动处为点1，皮托管入口处为点2，水与测量液体左侧界面处为点3，水与测量液体右侧界面处压强为点4，水与测量液体左侧界面与静压管入口处距离为x 。

由于在同一流线上，

g

p z g v g p z g v O H 2

22

2O H 11212222ρρ++=++ (1) 根据静压强分布

???

??++=x d g p p 2O H 312ρ (2)

??

?

??+++=H x d g p p 2O H 422ρ (3)

gH p p R 43ρ+= (4)

在方程(1)中v 1=v ，z 1=z 2，v 2=0，则

212

O H 2

2

p p v =+ρ (5)

方程(3)减去方程(2)，得

gH p p p p O H 34122ρ+-=- (6)

1 2

3 4

将方程(4)(5)带入(6)，得

gH gH v O H R 2

1O H 22

2

ρρρ+-= (7)

则

?

??

?

??-=O H R 212ρρgH v (8)

()()m/s 1.08488.013.080665.92=-???=v (9)

【习题4-24】 连续管系中的90o渐缩弯管放在水平面上，管径d 1=15cm ，d 2=7.5cm ，入口

处水的平均流速v 1=2.5m/s ，静压p 1e =×104Pa （计示压强）。如不计能量损失，试求支撑弯管在其位置所需的水平力。

【解】根据牛顿运动定律，支撑弯管在其位置所需的水平力等于管道给流体的作用力。令x oy 平面为水平面，入口段沿x 轴负半轴，出口段沿y 轴正半轴，弯头在原点，建立坐标系。

（1） 沿x 方向的外力有：由入口压强p 1e 引起的压力p 1e A 2；由管道给流体的作用力R 的分力R x 。所以

x e x

R A p F

-=∑11

系统内流体的动量沿x 方向的变化为：

()()1120v q v v q V ax ax V -=-ρρ

由x 方向动量方程

()∑=-x ax ax V F v v q

12ρ

得

()1110v q R A p V x e -=-ρ

111v q A p R V e x ρ+= (1)

（2） 沿y 方向的外力有：由p 2e 引起的压力p 2e A 1；由管道给流体作用力R 的分力R y 。所以

22A p R F

e y y

-=∑

系统内流体的动量沿y 方向的变化为：

()()0212-=-v q v v q V ay ay V ρρ

由y 方向动量方程

()∑=-y

ay

ay

V

F

v v

q

12ρ

得

()0222-=-v q A p R V e y ρ

222v q A p R V e y ρ+= (2)

（3） 根据连续方程

2211V v A v A q == (3)

其中，4

2

11d A π=

，4

2

22d A π=

，则

2

1

12A v A v =

(4) （4） 列入口、出口断面的能量方程：

w e e h g

p z g v g p z g v +++=++ραρα222

22112

1122 不计损失，h w =0，取α1=α2=1，z 1=z 2，则

g

p g v g p g v e e ρρ22

2

12122+=+ (5) 得

()

e e p v v p 1222122

+-=

ρ

(6)

（5） 支撑弯管在其位置所需的水平力：

2

2y

x R R R += (7)

由(1)(2)(3)(4)(6)(7)，得

4

2

11d A π=

4

2

22d A π=

11V v A q =

2

V 2A q v =

()

e e p v v p 12221

22

+-=

ρ

111v q A p R V e x ρ+= 222v q A p R V e y ρ+=

2

2y x R R R +=

代入数值，得

R = (N)

【习题4-29】 如图4-36所示，一股射流以速度v 0水平射到倾斜光滑平板上，体积流量为q V0。求沿板面向两侧的分流流量q V1与q V2的表达式，以及流体对板面的作用力。忽略流体撞击的损失和重力影响，射流的压强分布在分流前后都没有变化。

图4-36 习题4-29、4-30示意图

【解】 当射流接触平板后，将沿平板表面分成两股射流。取A0截面为射流进入冲击区的断面，A1与A2截面为射流冲击平板后离开冲击区的断面。由于是平面流动并忽略撞击损失，射流内压力在分流前后又无变化，所以

021v v v == (1)

进入断面A0的速度v 0，可分解为沿板面方向的v 0cos θ和沿板面法线方向的v 0sin θ

沿板面方向，流体没有受力；沿板面法线方向，设流体受到的作用力为F 。沿板面方向列写动量方程

()0cos 000201=--θρρρv q v q v q V V V (2)

沿板面法线方向列写动量方程

()F v q V =--θρsin 000 (3)

又有

021V V V q q q =+ (4)

解方程组(2)(4)，得

012cos 1V V q q θ

+=

(5) 022

cos 1V V q q θ

-=

(6) 由式(3)，得

θρsin 00v q F V = (7)

根据牛顿第三运动定律，流体对板面的作用力与流体受到的作用力大小相等，方向相反，即

θρsin '00v q F V -= (8)

【习题4-30】 如图4-36所示的流动，如果沿一侧的流动的流体流量为总流量的45％，问平板倾斜角θ多大

【解】 由上一题的结论

022

cos 1V V q q θ

-=

得

45.02

cos 102=-=θ

V V q q 则

1.0cos =θ

'168484.26 ==θ

【习题4-31】 如图4-37所示，平板向着射流以等速v 运动，导出使平板运动所需功率的

表达式。

图4-37 习题4-31示意图

【解】 由上一题的结论，在平板不运动的情况下，流体对板面的作用力为

θρsin '00v q F V -= (1)

设射流的的截面积为A 0，则

000v A q V = (2)

代入式(1)

()θρθρsin sin '2

00000v A v v A F -=-= (3)

平板向着射流以等速v 运动，将坐标系建立在平板上，则射流的速度为

v v v +=0' (4)

用v ’代替式(3)中的v 0，得

()θρsin '2

00v v A F +-= (5)

此例在水平方向上的分力为

()()θρθθρθ22

002

00sin sin sin sin '''v v A v v A F F +-=?+-== (6)

平板在水平方向上等速运动，根据牛顿第一运动定律，使平板运动施加的力应为

()θρ22

00sin ''v v A F F +=-= (7)

因此，使平板运动所需功率为

()()θρθρ22

0022

00sin sin v v v A v v v A Fv P +=?+== (8)

由式(2)得

0v q A V =

(9) 无论平板是否运动，A 0保持不变，将式(9)代入式(8)，得

()θρ

22

00

0sin v v v v q P V += (10)

工程流体力学_第四版_孔珑_作业答案_详解

第二章 2-1.已知某种物质的密度ρ=2.94g/cm3，试求它的相对密度d。 解：d=ρ/ρw=2.94（g/cm3）/1（g/cm3）=2.94 2-2.已知某厂1号炉水平烟道中烟气组分的百分数为α（co2）=13.5%，a(SO2)=0.3%，a(O2)=5.2%，a(N2)=76%，a(H2O)=5%。试求烟气的密度。 2-3.上题中烟气的实测温度t=170℃，实测静计压强Pe=1432Pa，当地大气压强 Pa=10058Pa。试求工作状态下烟气的密度和运动粘度。

2-4.当压强增量为50000Pa时，某种液体的密度增长0.02%，试求该液体的体积模量。 2-5.绝对压强为3.923×10^5Pa的空气的等温体积模量和等熵体积模量各等于多少？ 2-6. 充满石油的油槽内的压强为4.9033×10^5Pa,今由槽中排出石油40kg，使槽内压强降到9.8067×10^4Pa，设石油的体积模量K＝1.32×10^9 Pa。试求油槽的体积。 2-7. 流量为50m3/h，温度为70℃的水流入热水锅炉，经加热后水温升到90℃，而水的体胀系数αV=0.000641/℃，问从锅炉中每小时流出多少立方米的水？

2-8. 压缩机压缩空气，绝对压强从9.8067×104Pa升高到5.8840×105Pa，温度从20℃升高到78℃，问空气体积减少了多少？ 2-9. 动力粘度为2.9×10^-4Pa·S，密度为678kg/m3的油，其运动粘度等于多少？解：V=u/ρ=2.9×10^-4/678=4.28×10^-7m2/s 2-10. 设空气在0℃时的运动粘度ν0=13.2×10-6m2/s,密度ρ0=1.29kg/m3。试求在150℃时空气的动力粘度。 2-11. 借恩氏粘度计测得石油的粘度为8.5oE,如石油的密度为ρ=850kg/m3,试求石油的动力粘度。

工程流体力学(孔珑版)第四章_题解

第四章 流体运动学和流体动力学基础 【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为 j y x x i y x y v 2 22222 式中Γ为常数。求流线方程并画出若干条流线。 【解】 由题设， 222,y x y y x v x ， 2 22,y x x y x v y 代入流线的微分方程 t z y x v y t z y x v x y x ,,,d ,,,d 得 2 22 22d 2d y x x y y x y x x y y x d d y y x x d d y y x x d d C y x 222 1 21'22C y x 【4-4】 已知流场的速度分布为 k xy j y i xy v 32 3 1 （1）问属于几维流动？（2）求（x , y , z ）=（1, 2, 3）点的加速度。 【解】 （1）由于速度分布可以写为 k y x v j y x v i y x v v z y x ,,, (1) 流动参量是两个坐标的函数，因此属于二维流动。 （2）由题设， 2,xy y x v x (2) 33 1 ,y y x v y (3) xy y x v z , (4) 43222232223 10 23 1 031d d xy xy y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a x z x y x x x x x (5)

5233333233 10 31 003131313131d d y y y y z xy y y y y x xy y t z v v y v v x v v t v t v a y z y y y x y y y (6) 3 32323 20 3 1 031d d xy x y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a z z z y z x z z z (7) 将x =1，y=2，z =3代入式(5)(6)(7)，得 31621313144 xy a x 332 2313155 y a y 31621323233 xy a z 【4-15】 图4-28所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系 式。 图4-28 习题4-15示意图 【解】 列1-1、2-2断面的能量方程： w a a h g p z g v g p z g v 222 2 21121 122 (1) 不计损失，h w =0，取α1=α2=1，则 g p z g v g p z g v 222 2112122 (2)

工程流体力学(水力学)闻德第五章-实际流体动力学基础课后答案

工程流体力学闻德课后习题答案 第五章 实际流体动力学基础 5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ，u y =-2ay ，a 为实数，且a >0。试求切应力τxy 、τyx 和附加压应力p ′x 、p ′y 以及压应力p x 、p y 。 解：0y x xy yx u u x y ττμ??? ?==+= ????? 24x x u p a x μμ?'=-=-?，24y y u p a y μμ?'=-=?， 4x x p p p p a μ'=+=-，4y y p p p p a μ'=+=+ 5－2 设例５－1中的下平板固定不动，上平板以速度v 沿x 轴方向作等速运动（如图 所示），由于上平板运动而引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。试求在这种流动情况下，两平板间的速度分布。（请将 d 0d p x =时的这一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较） 解：将坐标系ox 轴移至下平板，则边界条件为 y ＝０，0X u u ==；y h =，u v =。 由例５－1中的（11）式可得 2d (1)2d h y p y y u v h x h h μ=- - （１） 当d 0d p x =时，y u v h =，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。 当 d 0d p x ≠时，即为一般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成，速度分布为 (1)u y y y p v h h h =-- （２） 式中2d ()2d h p p v x μ= - （３） 当p ＞０时，沿着流动方向压强减小，速度在整个断面上的分布均为正值；当p ＜０时，沿流动方向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生p ＜－１的情况． 5－3 设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。若忽略空气阻力，试用纳维—斯托克斯方程和连续性方程，证明过流断面上的速度分布为2sin (2)2 x g u zh z ，单宽流量 3 sin 3 gh q 。

工程流体力学 第四版 孔珑 作业答案 详解

第二章 2-1.已知某种物质的密度ρ=cm3，试求它的相对密度d。 解：d=ρ/ρw=（g/cm3）/1（g/cm3）= 2-2.已知某厂1号炉水平烟道中烟气组分的百分数为α（co2）=%，a(SO2)=%，a(O2)=%，a(N2)=76%，a(H2O)=5%。试求烟气的密度。 2-3.上题中烟气的实测温度t=170℃，实测静计压强Pe=1432Pa，当地大气压强 Pa=10058Pa。试求工作状态下烟气的密度和运动粘度。

2-4.当压强增量为50000Pa时，某种液体的密度增长%，试求该液体的体积模量。 2-5.绝对压强为×10^5Pa的空气的等温体积模量和等熵体积模量各等于多少 2-6. 充满石油的油槽内的压强为×10^5Pa,今由槽中排出石油40kg，使槽内压强降到×10^4Pa，设石油的体积模量K＝×10^9 Pa。试求油槽的体积。 2-7. 流量为50m3/h，温度为70℃的水流入热水锅炉，经加热后水温升到90℃，而水的体胀系数αV=℃，问从锅炉中每小时流出多少立方米的水

2-8. 压缩机压缩空气，绝对压强从×104Pa升高到×105Pa，温度从20℃升高到78℃，问空气体积减少了多少 2-9. 动力粘度为×10^-4Pa·S，密度为678kg/m3的油，其运动粘度等于多少 解：V=u/ρ=×10^-4/678=×10^-7m2/s 2-10. 设空气在0℃时的运动粘度ν0=×10-6m2/s,密度ρ0=m3。试求在150℃时空气的动力粘度。 2-11. 借恩氏粘度计测得石油的粘度为,如石油的密度为ρ=850kg/m3,试求石油的动力 粘度。

工程流体力学答案(陈卓如)第四章

［陈书4－8］测量流速的皮托管如图所示，设被测流体的密度为ρ，测压管内液体密度为1ρ，测压管内液面的高度差为h 。假定所有流体为理想流体，皮托管直径很小。试证明所测流速 ρ ρρ-= 12gh v ［证明］沿管壁存在流线，因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli 方程： g p g V z g p g V z ρρ2 2 2 21 2 1 122+ + =+ + （1） 其中点1取在皮托管头部（总压孔），而点2取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。 因流体在点1处滞止，故：01=V 又因皮托管直径很小，可以忽略其对流场的干扰，故点2处的流速为来流的速度，即： 2V v = 将以上条件代入Bernoulli 方程（1），得： ()??? ?? ?-+-= g p p z z g v ρ21 212 （2） 再次利用皮托管直径很小的条件，得：021=-z z 从测压管的结果可知：()gh p p ρρ-=-121 将以上条件代入（2）式得：ρ ρρ-=12gh v 证毕。 ［陈书4－13］水流过图示管路，已知21p p =，mm 3001=d ，s m 61=v ，m 3=h 。不计损失，求2d 。 ［解］因不及损失，故可用理想流体的Bernoulli 方程： g p g v z g p g v z ρρ2 2 2 21 2 1 122+ + =+ + （1） 题中未给出流速沿管道断面的分布，再考虑到理想流体的条件，可认为流速沿管道断面不变。 此外，对于一般的管道流动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得： 2211A v A v = （2） 其中1A 和2A 分别为管道在1和2断面处的截面积：

工程流体力学_第四版_孔珑_作业答案_详解教学文稿

工程流体力学_第四版_孔珑_作业答案_详 解

第二章 2-1.已知某种物质的密度ρ=2.94g/cm3，试求它的相对密度d。 解：d=ρ/ρw=2.94（g/cm3）/1（g/cm3）=2.94 2-2.已知某厂1号炉水平烟道中烟气组分的百分数为α（co2）=13.5%，a(SO2)=0.3%，a(O2)=5.2%，a(N2)=76%，a(H2O)=5%。试求烟气的密度。 2-3.上题中烟气的实测温度t=170℃，实测静计压强Pe=1432Pa，当地大气压强 Pa=10058Pa。试求工作状态下烟气的密度和运动粘度。

2-4.当压强增量为50000Pa时，某种液体的密度增长0.02%，试求该液体的体积模量。

2-5.绝对压强为3.923×10^5Pa的空气的等温体积模量和等熵体积模量各等于多少？ 2-6. 充满石油的油槽内的压强为4.9033×10^5Pa,今由槽中排出石油40kg，使槽内压强降到9.8067×10^4Pa，设石油的体积模量K＝1.32×10^9 Pa。试求油槽的体积。 2-7. 流量为50m3/h，温度为70℃的水流入热水锅炉，经加热后水温升到90℃，而水的体胀系数αV=0.000641/℃，问从锅炉中每小时流出多少立方米的水？

2-8. 压缩机压缩空气，绝对压强从9.8067×104Pa升高到5.8840×105Pa，温度从20℃升高到78℃，问空气体积减少了多少？ 2-9. 动力粘度为2.9×10^-4Pa·S，密度为678kg/m3的油，其运动粘度等于多少？ 解：V=u/ρ=2.9×10^-4/678=4.28×10^-7m2/s 2-10. 设空气在0℃时的运动粘度ν0=13.2×10-6m2/s,密度ρ0=1.29kg/m3。试求在150℃时空气的动力粘度。 2-11. 借恩氏粘度计测得石油的粘度为8.5oE,如石油的密度为ρ=850kg/m3,试求石油的动力粘度。

工程流体力学(水力学)闻德第五章-实际流体动力学基础课后答案

工程流体力学(水力学)闻德第五章-实际流体动力学基础课后答案

工程流体力学闻德课后习题答案 第五章 实际流体动力学基础 5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ，u y =-2ay ，a 为实数，且a >0。试求切应力τxy 、τyx 和附加压应力p ′x 、p ′y 以及压应力p x 、p y 。 解：0y x xy yx u u x y ττμ??? ?==+= ????? 24x x u p a x μ μ?'=-=-?，24y y u p a y μμ ?'=-=?， 4x x p p p p a μ '=+=-，4y y p p p p a μ'=+=+ 5－2 设例５－1中的下平板固定不动，上平板以速度v 沿x 轴方向作等速运动（如图所示），由于上平板运动而 引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。试求在这种流动情况下，两平板间的速度分布。 （请将d 0d p x =时的这一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较） 解：将坐标系ox 轴移至下平板，则边界条件为 y ＝０，0X u u ==；y h =，u v =。 由例５－1中的（11）式可得 2 d (1)2d h y p y y u v h x h h μ=-- （１） 当d 0d p x =时，y u v h =，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切 流动。它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性

带动流体发生的流动。 当d 0d p x ≠时，即为一般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成，速度分布为 (1)u y y y p v h h h =-- （２） 式 中 2d () 2d h p p v x μ=- （３） 当p ＞０时，沿着流动方向压强减小，速度在整个断面上的分布均为正值；当p ＜０时，沿流动方向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生p ＜－１的情况． 5－3 设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。若忽略空气阻力，试用纳维—斯托克斯方程和连续性方程，证明过流断面上的速度分布为 2sin (2) 2x g u zh z r q m =-，单宽流量 3 sin 3gh q r q m =。

工程流体力学第四版

工程流体力学第四版

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

2 — 1 已知某种物质的密度3 2.94/g cm ρ=，试求它的相对密度d 。 2—2 已知某厂 1号炉水平烟道中烟气组成的百分数为 2 13.5%co α=, 2 0.3%so α= , 2 0.3% o α=, 2 0.3% N α=20.3% H O α=， 试求烟气的密度。 [3 1.341/kg cm ] 2—4 当压强增量为5000Pa 时，某种液体的密度增长0.002%。试求该液体的体积模量。 [5 2.510Pa ?] 2—6 充满石油的油槽内的压强为5 4.910Pa ?，今由槽中排出石油40Kg ，使槽内压强降到 49.806710Pa ?，设石油的体积模量K=91.3210Pa ?。试求油槽的体积。 2—9 动力黏度为4 2.910Pa S -??、密度为678Kg/3 m 的油，其运动黏度等于多少？ [7 2 4.2810/m s -?] 2—12 一平板距离另一固定平板0.5mm ，两板间充满流体，上板在每平方米有2N 的力作用下以0.25m/s 的速度移动，求该流体的黏度。 [0.004Pa S ?] 2—13 已知动力滑动轴承的轴直径d=0.2m ，转速n=2830r/min ，轴承内径D=0.2016m ，宽度l=0.3m ，润滑油的动力黏度0.245Pa S μ=?，试求克服摩擦阻力所消耗的功率。 [50.7W] 3—1 如图所示，烟囱高H=20m ，烟气温度s t =300℃，压强s p ，试确定引起火炉中烟气自动流通的压强差。烟气的密度可按下式计算：s p =（1.25-0.0027s t 3/kg cm ，空气的密度 s p =1.293/kg cm 。 [1.667Pa]

工程流体力学闻德第五章_实际流体动力学基础课后答案

工程流体力学闻德课后习题答案 第五章 实际流体动力学基础 5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ,u y =-2ay ,a 为实数,且a >0。试求切应力τxy 、τyx 与附加压应力p ′x 、p ′y 以及压应力p x 、p y 。 解:0y x xy yx u u x y ττμ????==+= ????? 24x x u p a x μμ?'=-=-?,24y y u p a y μμ?'=-=?, 4x x p p p p a μ'=+=-,4y y p p p p a μ'=+=+ 5－2 设例５－1中的下平板固定不动,上平板以速度 v 沿x 轴方向作等速运动(如图所示),由于上平板运动而引 起的这种流动,称柯埃梯(Couette)流动。试求在这种流动情 况下,两平板间的速度分布。(请将d 0d p x =时的这一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较) 解:将坐标系ox 轴移至下平板,则边界条件为 y ＝０,0X u u ==;y h =,u v =。 由例５－1中的(11)式可得 2d (1)2d h y p y y u v h x h h μ=-- (１) 当d 0d p x =时,y u v h =,速度ｕ为直线分布,这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。它只就是由于平板运动,由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。 当d 0d p x ≠时,即为一般的柯埃梯流动,它就是由简单柯埃梯流动与泊萧叶流动叠加而成,速度分布为 (1)u y y y p v h h h =-- (２) 式中2d ()2d h p p v x μ=- (３) 当p ＞０时,沿着流动方向压强减小,速度在整个断面上的分布均为正值;当p ＜０时,沿流动方向压强增加,则可能在静止壁面附近产生倒流,这主要发生p ＜－１的情况. 5－3 设明渠二维均匀(层流)流动,如图所示。若忽略空气阻力,试用纳维—斯托克斯方程与连续性方程,证明过流断面上的速度分布为2sin (2)2x g u zh z r q m =-,单宽流量3 sin 3gh q r q m =。 解:(1)因就是恒定二维流

工程流体力学 思考题 1~4章

第一章 绪论 1、什么叫流体？流体与固体的区别？ 流体是指可以流动的物质，包括气体和液体。 与固体相比，流体分子间引力较小，分子运动剧烈，分子排列松散，这就决定了流体不能保持一定的形状，具有较大流动性。 2、流体中气体和液体的主要区别有哪些？ （1） 气体有很大的压缩性，而液体的压缩性非常小； （2） 容器内的气体将充满整个容器，而液体则有可能存在自由液面。 3、什么是连续介质假设？引入的意义是什么？ 流体充满着一个空间时是不留任何空隙的，即把流体看作是自由介质。 意义：不必研究大量分子的瞬间运动状态，而只要描述流体宏观状态物理量，如密度、质量等。 4、何谓流体的压缩性和膨胀性？如何度量？ 压缩性：温度不变的条件下，流体体积随压力变化而变化的性质。用体积压缩系数βp 表示，单位Pa -1。 膨胀性：压力不变的条件下，流体体积随温度变化而变化的性质。用体积膨胀系数βt 表示，单位K -1。 5、何谓流体的粘性，如何度量粘性大小，与温度关系？ 流体所具有的阻碍流体流动，即阻碍流体质点间相对运动的性质称为粘滞性，简称粘性。 用粘度μ来表示，单位N ·S/m 2或Pa ·S 。 液体粘度随温度的升高而减小，气体粘度随温度升高而增大。 6、作用在流体上的力怎样分类，如何表示？ （1） 质量力：采用单位流体质量所受到的质量力f 表示； （2） 表面力：常用单位面积上的表面力Pn 表示，单位Pa 。 7、什么情况下粘性应力为零？ （1）静止流体 （2）理想流体 第二章 流体静力学 1、流体静压力有哪些特性？怎样证明？ （1）静压力沿作用面内法线方向，即垂直指向作用面。 证明：○1流体静止时只有法向力没有切向力，静压力只能沿法线方向； ○2流体不能承受拉力，只能承受压力； 所以，静压力唯一可能的方向就是内法线方向。 （2）静止流体中任何一点上各个方向静压力大小相等，与作用方向无关。 证明： 2、静力学基本方程式的意义和使用范围？ 静力学基本方程式:Z+g P ρ=C 或 Z 1+g P ρ1=Z 2+g P ρ2 （1） 几何意义：静止流体中测压管水头为常数

工程流体力学第四版

2 — 1 已知某种物质的密度32.94/g cm ρ=，试求它的相对密度d 。 2—2 已知某厂1号炉水平烟道中烟气组成的百分数为213.5%co α=,20.3%so α= ,20.3%o α=,20.3%N α=20.3%H O α=， 试求烟气的密度。 [31.341/kg cm ] 2—4 当压强增量为5000Pa 时，某种液体的密度增长0.002%。试求该液体的体积模量。 [5 2.510Pa ?] 2—6 充满石油的油槽的压强为54.910Pa ?，今由槽中排出石油40Kg ，使槽压强降到49.806710Pa ?，设石油的体积模量K=91.3210Pa ?。试求油槽的体积。 2—9 动力黏度为42.910Pa S -??、密度为678Kg/3 m 的油，其运动黏度等于多少？ [724.2810/m s -?] 2—12 一平板距离另一固定平板0.5mm ，两板间充满流体，上板在每平方米有2N 的力作用下以0.25m/s 的速度移动，求该流体的黏度。 [0.004Pa S ?] 2—13 已知动力滑动轴承的轴直径d=0.2m ，转速n=2830r/min ，轴承径D=0.2016m ，宽度l=0.3m ，润滑油的动力黏度0.245Pa S μ=?，试求克服摩擦阻力所消耗的功率。 [50.7W] 3—1 如图所示，烟囱高H=20m ，烟气温度s t =300℃，压强s p ，试确定引起火炉中烟气自动流通的压强差。烟气的密度可按下式计算：s p =（1.25-0.0027s t 3/kg cm ，空气的密度s p =1.293/kg cm 。 [1.667Pa]

工程流体力学第四版孔珑_作业答案_详解

第二章2-1.已知某种物质的密度ρ=2.94g/cm3，试求它的相对密度d。 解：d=ρ/ρw=2.94（g/cm3）/1（g/cm3）=2.94 2-2.已知某厂1号炉水平烟道中烟气组分的百分数为α（co2）=13.5%，a(SO2)=0.3%， a(O2)=5.2%，a(N2)=76%，a(H2O)=5%。试求烟气的密度。 2-3.上题中烟气的实测温度t=170℃，实测静计压强Pe=1432Pa，当地大气压强Pa=10058Pa。试求工作状态下烟气的密度和运动粘度。 2-4.当压强增量为50000Pa时，某种液体的密度增长0.02%，试求该液体的体积模量。

2-5.绝对压强为3.923×10^5Pa的空气的等温体积模量和等熵体积模量各等于多少？ 2-6. 充满石油的油槽内的压强为4.9033×10^5Pa,今由槽中排出石油40kg，使槽内压强降到9.8067×10^4Pa，设石油的体积模量K＝1.32×10^9 Pa。试求油槽的体积。 2-7. 流量为50m3/h，温度为70℃的水流入热水锅炉，经加热后水温升到90℃，而水的体胀系数αV=0.000641/℃，问从锅炉中每小时流出多少立方米的水？

2-8. 压缩机压缩空气，绝对压强从9.8067×104Pa升高到5.8840×105Pa，温度从20℃升高到78℃，问空气体积减少了多少？ 2-9. 动力粘度为2.9×10^-4Pa·S，密度为678kg/m3的油，其运动粘度等于多少？ 解：V=u/ρ=2.9×10^-4/678=4.28×10^-7m2/s 2-10. 设空气在0℃时的运动粘度ν0=13.2×10-6m2/s,密度ρ0=1.29kg/m3。试求在150℃时空气的动力粘度。 2-11. 借恩氏粘度计测得石油的粘度为8.5oE,如石油的密度为ρ=850kg/m3,试求石油的动力粘度。

工程流体力学第四章_题解

3 第四章流体运动学和流体动力学基础 【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为 y . V 2 2 i 2 x y 式中r 为常数。求流线方程并画出若干条流线。 代入流线的微分方程 dy * y 3 j xyk y, z ) = (1,2, 3 )点的加速度 v v x x, y i V y x, y j v z x, y k (1) 流动参量是两个坐标的函数，因此属于二维流动 （2）由题设， 2 V x x, y xy V z x,y xy d V x V x V x V x V x a x V x V y V z dt t x y z 2 2 2 1 3 2 2 xy xy — xy y - xy xy — xy t x 3 y z 小 2 2 1 3 0 xy y y 2xy 0 3 1 4 xy ［解］由题设，v x x,y ￡ 2 x y V y x ，y 2 V x x, y,z,t V y x,y,z,t dx y dy dy * xdx 2 x 2 x 2 x 2 y 2 yd y xdx ydy 1 2y C' 【4-4】 已知流场的速度分布为 xy 2 i （1）问属于几维流动？ （ 2）求（x, 【解】 （1）由于速度分布可以写为 V y x,y 1 3 3y

Z 1 2g 2 1V a1 2g 不计损失，h w =O ,取a 1= a 2=1 ,贝U Z 1 P 1 g 2 2V a2 2g Z 2 (1) 2 V 1 P 1 g 2 V 2 2g Z 2 P 2 g dV y V y V y V y V y a y "dT "T Vx_X Vy ^ Vz_z 1 3 3y 2 3 3Xy 将x=1, y=2, z=3代入式⑸(6)⑺ ，得 1 4 1 4 16 a x — xy — 1 2 — 3 3 3 1 5 1 5 3 2 a y y — 2 -- 3 3 3 2 3 2 3 16 a z — xy — 1 2 -- 3 3 3 【4-15】 图4-28所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系 d v z V z V z V z V z a z V x Vy - V z dt t x y z 2 1 3 — xy xy — xy -y - —xy xy — xy t x 3 y z 2 1 3 0 xy y -y x 0 3 5 1 3 3y 2 xy — x 1 3 3y 1 3 3y 1 3 3y x y G 1 3 3y 1 3y ［解］ 图4-28 习题4-15示意图 列1-1、2-2断面的能量方程：

工程流体力学习题答案 孔珑 第三版

第三章 流体静力学 【3-2】 图3-35所示为一直煤气管，为求管中静止煤气的密度，在高度差H =20m 的两个截面装U 形管测压计，内装水。已知管外空气的密度ρa =1.28kg/m3，测压计读数h 1=100mm ，h 2=115mm 。与水相比，U 形管中气柱的影响可以忽略。求管内煤气的密度。 图3-35 习题3-2示意图 【解】 1air 1O H 1gas 2p gh p +=ρ 2air 2O H 2gas 2p gh p +=ρ 2gas gas 1gas p gH p +=ρ 2air air 1air p gH p +=ρ 2gas gas 1air 1O H 2 p gH p gh +=+ρρ gH gh p p air 2O H 1air 2gas 2ρρ-=- gH gh gH gh air 2O H gas 1O H 2 2 ρρρρ-+= H H h h gas air 2O H 1O H 2 2 ρρρρ=+- () 3air 21O H gas kg/m 53.028.120 115 .01.010002 =+-?=+-=ρρρH h h 【3-10】 试按复式水银测压计（图3-43）的读数算出锅炉中水面上蒸汽的绝对压强p 。已知：H =3m ， h 1=1.4m ，h 2=2.5m ，h 3=1.2m ，h 4=2.3m ，水银的密度ρHg =13600kg/m 3。 图3-43 习题3-10示意图 【解】 ()p h H g p +-=1O H 12ρ ()212Hg 1p h h g p +-=ρ

()232O H 32p h h g p +-=ρ ()a 34Hg 3p h h g p +-=ρ ()()212Hg 1O H 2 p h h g p h H g +-=+-ρρ ()()a 34Hg 232O H 2 p h h g p h h g +-=+-ρρ ()()a 3412Hg 321O H 2 p h h h h g p h h h H g +-+-=+-+-ρρ ()()()()() Pa 14.3663101013252.15.24.13807.910004.15.22.13.2807.913600a 321O H 1234Hg 2=+-+-??--+-??=+-+---+-=p h h h H g h h h h g p ρρ ()()()()()Pa 366300.683 1013252.15.24.1380665.910004.15.22.13.280665.913600a 321O H 1234Hg 2=+-+-??--+-??=+-+---+-=p h h h H g h h h h g p ρρ 【3-15】 图3-48所示为一等加速向下运动的盛水容器，水深h =2m ，加速度a =4.9m/s 2。试确定：（1） 容器底部的流体绝对静压强；（2）加速度为何值时容器底部所受压强为大气压强（3）加速度为何值时容器底部的绝对静压强等于零 图3-48 习题3-15示意图 【解】 0=x f ，0=y f ，g a f z -= 压强差公式 () z f y f x f p z y x d d d d ++=ρ ()()z g a z f y f x f p z y x d d d d d -=++=ρρ ()?? --=h p p z g a p a d d ρ ()()()()??? ? ??-=-=----=-g a gh a g h g a h g a p p a 10ρρρρ ??? ? ??-+=g a gh p p a 1ρ () a g h p p a -=-ρh p p g a a ρ-- = （1） ()()()Pa 111138.39.480665.921000101325=-??+=-+=a g h p p a ρ

工程流体力学(孔珑版)第五章_题解

第五章 相似原理和量纲分析 【5-2】 如图5-8所示，用模型研究溢流堰的流动，采用长度比例尺k l =1/20。(1)已知原型堰上水头h =3m ，试求模型的堰上水头；(2)测得模型上的流量q V ′=0.19m 3/s ，试求原型上的流量；(3)测得模型堰顶的计示压强p e ′=-1960Pa ，试求原型堰顶的计示压强。 图5-8 溢流堰 【解】 (1) 模型的堰上水头与原型的堰上水头满足长度比例尺 h h k l '= 得 ()m 15.0320 1 =?=='h k h l (2) 水在重力作用下由溢流堰上流过，要使流动相似，弗劳德数必须相等 () 1 2 1=g l v k k k 2 1l v k k = 2 52122l l l v l q V V k k k k k k q q V ===='() s m 339.8820119.032 52 5=?? ? ??= '= l V V k q q (3) 设水在由大气和流堰面围成的流道内流过，重力场和压力场同时相似，弗劳德数和欧拉数都相等 2 1l v k k =， 1=ρk 1 2=v p k k k ρ2v p k k k ρ=l p k k = l p k k p p ==' ()Pa 3920020 1960-=-='= l k p p 【5-3】 有一内径d =200mm 的圆管，输送运动黏度ν=4.0×10-5m 2/s 的油，其流量q V =0.12m 3/s 。若用内径d ′=50mm 的圆管并分别用20℃的水和20℃的空气作模型试验，试求流动相似时模型管内应有的流量。 【解】 黏性流体在黏滞力作用下在管内流动，使流动相似，雷诺数必须相等 1=ν k k k l v ()ν νν''====='d d k k k k k k k k q q l l v l v l q V V V 2V V q d d q ν ν' '='

工程流体力学第五章 思考题、练习题 - 副本

工程流体力学第五章思考题、练习题 - 副本

第五章 不可压缩流体一维层流流动 思考题 ? 建立流体流动微分方程依据的是什么基本原理?有哪几个基本步骤 ? 导致流体流动的常见因素有哪些? ? 流体流动有哪几种常见的边界条件?如何确定这些边界条件? ? 对缝隙流动、管内流动或降膜流动，关于切应力和速度的微分方程对牛顿流体和非牛顿流体均适用吗？为什么 一、选择题 1、圆管层流过流断面的流速分布为 A 均匀分布； B 对数曲线分布； C 二次抛物线分布； D 三次抛物线分布。 2、两根相同直径的圆管，以同样的速度输送水和空气，不会出现____情况。 A 水管内为层流状态，气管内为湍流状态；B 水管、气管内都为层流状态； C 水管内为湍流状态，气管内为层流状态；D 水管、气管内都为湍流状态。 3、变直径管流，细断面直径为d 1，粗断面直径为d 2，122d d 粗断面雷诺数Re 2与细断面雷诺数Re 1的关系是： A Re 1=0.5Re 2 B Re 1=Re 2 C Re 1=1.5Re 2 D Re 1=2Re 2 4、圆管层流，实测管轴线上的流速为4m/s,则断面平均流速为： A 4m/s B 3.2m/s C 2m/s D 2.5m/s 5 圆管流动中过流断面上的切应力分布如图 中的哪一种？ A 在过流断面上是常数 B 管轴处是零，且与半径成正比 C 管壁处为零 ，向管轴线性增大 D 抛物线分布 9．下列压强分布图中哪个是错误的？B

10．粘性流体总水头线沿程的变化是( A ) 。 A. 沿程下降 B. 沿程上升 C. 保持水平 D. 前三种情况都有可能。 1．液体粘度随温度的升高而___，气体粘度随温度的升高而___( A )。 A.减小，增大； B.增大，减小； C.减小，不变； D.减小，减小 四、计算题(50分) 30.(6分)飞机在10000m高空(T=223.15K,p=0.264bar)以速度800km/h飞行，燃烧室的进口扩压通道朝向前方，设空气在扩压通道中可逆压缩，试确定相对于扩压通道的来流马赫数和出口压力。(空气的比热容为C p=1006J/(kg·K)，等熵指数为k=1.4，空气的气体常数R为287J/(kg·K)) T0=T∞+v C p ∞=+? ? 2 3 2 222315 80010 3600 21006 /.()/() =247.69K M ∞=v a ∞ ∞ = ? ?? = (/) .. . 800103600 1428722315 074 3 P 0=p ∞1 1 2 21 + - ? ?? ? ?? ∞ - k M k k

完整版工程流体力学水力学闻德第五章 实际流体动力学基础课后答案

工程流体力学闻德课后习题答案 第五章实际流体动力学基础 u x =2ax , U y =-2ay , a 为实数，且 a>0。试求切应力 T y 、 T x 和附加压应力p'x 、p y 以及压应力p x 、p y 。 解: xy yx u y u x 0 x y P x 2 u x x 4a P y u y 2 y 4a x y P x p P x p 4a P y P P y P 4a 5-2设例5 — 1中的下平板固定不动，上平板以速度 v 沿x 轴方向作等速运动 （如图所示），由于上平板运动而 引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。试求在这种 流动情况下，两平板间的速度分布。 （请将dp 0时的这 dx 一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较） 解：将坐标系0X 轴移至下平板，则边界条件为 y =0, u X u 0 ； y h , u v 。 由例5— 1中的（11）式可得 u 红丄业丫(1 丫) h 2 dx h h 当dp 0时，u —v ,速度u 为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或 dx h 简单剪切流动。它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。 当 0时，即为一般的柯埃梯流动， 它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成， dx 速度分布为 当p >0时，沿着流动方向压强减小， 速度在整个断面上的分布均为正值； 当p V0时, 沿流动方向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生 p V-1的情况. 5—3设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。若忽略空气阻力，试用纳维 一斯托克 斯方程和连续性方程，证明过流断面上的速度分布为 u x 二—g sinq （2zh- z 2），单宽流量 2m (1) 式中p —乎) 2 v dx (2) (3) 5—1设在流场中的速度分布为 r gh 3 3m sinq 。

工程流体力学第四章练习题 - 副本

第四章 流体动力学 一、选择题 1.沿流线成立的伯努利方程的限制条件不包含____。 A 不可压缩流体； B 无黏流体； C 定常流动； D 无旋流动。 2、 沿总流成立的伯努利方程中的速度v 是指____速度。 A 有效截面上任意点； B 有效截面平均； C 有效截面形心处； D 有效截面上最大。 3、 等直径水管，A-A 为过流截面，B-B 为水平面，1、2、3、4为面上各点（如图4-1所示）， 各点的运动物理量有以下关系 A 12p p = B 34p p = C 1212p p z z g g ρρ+=+ D 3434p p z z g g ρρ+=+ 图4-1 5、伯努利方程中2 2p v z g g αρ++ 表示 A 单位重量液体具有的机械能；B 单位质量液体具有的机械能； C 单位体积液体具有的机械能； D 通过过流截面液体所具有的总机械能。 6、水平放置的渐扩管，如果忽略水头损失，截面形心点的压强有以下关系 A 12p p > B 12p p = C 12p p < 7、黏性流体总水头线的变化规律是 A 沿程下降； B 沿程上升； C 保持水平； D 前三种情况都有可能。 8、黏性流体测压管水头线的变化规律是 A 沿程下降； B 沿程上升； C 保持水平； D 前三种情况都有可能。 9、图3-2中A 为流场中一封闭曲面，流量()CV Q v n dA ρ=??代表 A 流量为零； B 与单个曲面一样； C 净流入A 的流量； D 净流出A 的流量。

图4-2 10、如图3-3所示的变直径管，直径 d1=320mm ，d2=160mm ，流速v1=1.5m/s .v2为: A 3m/s ；B 4m/s ；C 6m/s ；D 9m/s 图4-3 11、单位时间内，控制体内由于密度变化引起的质量增量等于从控制面____。 A 流入的质量； B 流出的质量； C 流入与流出质量之和； D 流入与流出质量之差。 12、文丘里管用于测量流量时的主要工作原理是____。 A 连续性方程； B 运动方程； C 伯努利方程； D 动量方程。 二、解析 题 1、试述理想液体的伯努利方程2 2p u z g g ρ++中各项的几何意义。 2、两个相距为a （m ）的平行板间的流体流动速度分布为：1020(1)y y y v a a a =-+- 试确定单位平行板间的体积流量和平均流速。 三、解答题 4-1如图所示为一管道断面和高度不相同的输水管路，若水箱水位保持不变，试讨论B 、C 两点的压强哪个小？C 、D 、E 三点哪个压强最大？哪个压强最小？为什么？

工程流体力学第四章_题解

第四章 流体运动学与流体动力学基础 【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为 j y x x i y x y v 2 22222 式中Γ为常数。求流线方程并画出若干条流线。 【解】 由题设, 222,y x y y x v x , 2 22,y x x y x v y 代入流线的微分方程 t z y x v y t z y x v x y x ,,,d ,,,d 得 2 22 22d 2d y x x y y x y x x y y x d d y y x x d d y y x x d d C y x 222 1 21'22C y x 【4-4】 已知流场的速度分布为 k xy j y i xy v 32 3 1 (1)问属于几维流动？(2)求(x , y , z )=(1, 2, 3)点的加速度。 【解】 (1)由于速度分布可以写为 k y x v j y x v i y x v v z y x ,,, (1) 流动参量就是两个坐标的函数,因此属于二维流动。 (2)由题设, 2,xy y x v x (2) 331 ,y y x v y (3) xy y x v z , (4) 43222232223 10 23 1 031d d xy xy y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a x z x y x x x x x (5)

5233333233 10 31 003131313131d d y y y y z xy y y y y x xy y t z v v y v v x v v t v t v a y z y y y x y y y (6) 3 32323 20 3 1 031d d xy x y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a z z z y z x z z z (7) 将x =1,y=2,z =3代入式(5)(6)(7),得 31621313144 xy a x 332 2313155 y a y 3 1621323233 xy a z 【4-15】 图4-28所示为一文丘里管与压强计,试推导体积流量与压强计读数之间的关系式。 图4-28 习题4-15示意图 【解】 列1-1、2-2断面的能量方程: w a a h g p z g v g p z g v 222 2 21121 122 (1) 不计损失,h w =0,取α1=α2=1,则 g p z g v g p z g v 222 2112122 (2) g v g v g p z g p z 2221222211 (3)