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高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2_3 幂函数教材梳理素材新人教A版

2.3 幂函数

疱丁巧解牛

知识·巧学·升华一、幂函数

一般地，形如y=x a

（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 是常数.其特征是以幂的底为自变量，指数为常数．

要点提示判断函数是否为幂函数时要根据定义，即x a

的系数为1，指数位置的a 为一个常数，且常数项要为０，或者经过变形后满足条件的均可．二、一些常见幂函数的图象与性质

1.定义域、值域.幂函数的定义域和值域随a 的变化而定.定义域分为x ∈R ；x ≠0；x ≥0；x

＞0等四种情况.设幂函数y=x a ，①当a=0时，y=x 0

（x ∈R 且x ≠0），即y=1.②当a>0时，若y=x a

是偶函数，像y=x 2

，y=x 4

，y=3

2x 等，x ∈R ，y ≥0；若y=x a

是奇函数，像y=x ，y=x 3

，

y=31x 等，x ∈R ，y ∈R ；若y=x a

是非奇非偶函数，像y=21x ，y=4

1x 等，x ≥0，y ≥0.③当a<0

时，若y=x a

是偶函数，像y=x -2

，y=x -4

，y=3

等，x ∈R 且x ≠0，y>0；若y=x a

是奇函数，

像y=x -1

，y=x -3

，y=3

等，x ∈R 且x ≠0，y ∈R 且y ≠0；若y=x a

是非奇非偶函数，像y=2

，

y=3

等，x>0，y>0.

方法点拨注意此处空半格为准确判断幂函数的定义域和值域，常采取以下变形方式：（1）当幂指数是正分数时，可把幂函数转化成根式的形式；

（2）当幂指数是负数时，可先化成正数，若是分数，可化成根式形式去判断. 2.幂函数的图象

直线类：如y=x 0，y=x ，它们的图象是直线，其中y=x 0

上不含（0，1）点，如图①；抛物线类：如y=x 2

，y=32x ，y=34x 等，如图②；拐线类：如y=x 3

，y=31x ，y=3

5x 等，如图③；

双曲线类：如y=x -1

，y=x -3

等，如图④；半支抛物线类：如y=2

x ，y=43

x 等，图象过点（0，

0），（1，1），位于第一象限，如图⑤；像y=2

x ，y=x

等，图象过点（1，1），位于第一象限，如图⑥.

方法点拨（1）幂指数大于零的幂函数图象，恒过点（0，0）、（1，1），没有渐近线；幂指数小于零的幂函数图象，恒过点（1，1），存在渐近线，它的图象要么是双曲线，要么是双曲线的一支；

（2）在第一象限，作直线x=a（a>1），它同各个图象相交，交点从上到下的排列顺序，正是按幂指数的降序排列的，以此可以判断不同幂函数图象的幂指数的大小.

幂函数的图象形状情况多又复杂，对此充分利用函数的单调性、互为反函数的图象的对称性及奇偶性图象的对称性来分析幂函数的图象，从而让学生掌握和利用这些转化的思想和处理问题的技巧来提高学生画幂函数图象草图的能力．

3.幂函数的性质

(1)所有幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都过点（1，1）.

(2)如果a>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间［0，+∞）上是增函数.特别地，当a>1时，幂函数的图象下凸；当0

(3)如果a<0，则幂函数在区间（0，+∞）上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴的正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴的正半轴，如图④⑥；综上可知：利用幂函数的单调性可比较底数不同，指数相同的一组函数值的大小.此外，对任意两个幂函数图象，如果有交点，那么它们的交点只能是（0，0）或（1，1）或（-1，1）或（-1，-1）中的点，此时，它们的图象一定是交叉出现的.在第一象限，作直线x=a（a>1），它同各个图象相交，交点从上到下的排列顺序，正是按幂指数的降序排列的，以此可以判断不同幂函数图象的幂指数的大小.

掌握幂函数的图象特征，有利于进一步理解和应用幂函数的性质；但想掌握好幂函数的概念及其图象和性质，须理解并利用好函数的单调性和奇偶性及互为反函数等函数的性质及图象特点来分析幂函数的图象和性质；同时注重结合指数函数和对数函数分析问题的思路及方法来渗透在幂函数的问题分析和研究．其中幂函数的单调性是幂函数性质中应用最广的，运用此性质可以比较两个同指数不同底的幂的大小及求与幂函数有关的一般函数的值域、单调区间等；进一步加强和健全两个幂的大小比较的思路和方法．

问题·思路·探究

问题1 满足怎样条件的函数才是幂函数？

思路：根据幂函数的定义．

探究:只有形如y=x a，a∈R的函数才叫幂函数，像y=x2+a，y=3x2等都不叫幂函数.幂函数是

单调函数，它的单调性可通过定义去证明.如课本中的例1，当在给定区间［0，+∞］上任

取x 1，x 2且假定x 1

∞)，且x 10.

212

121)

()

(x x x x x f x f =

=，∵x 2＞x 1≥0，∴0≤2

1x x ＜1，∴0≤

x x <1，∴f （x 1）

1x ，y=x 2

，y=x 3

，y=x -1

的图象并探究它们的性质.

思路：奇偶函数的定义域是关于原点对称的，奇函数的值域也是关于原点对称的.在关于原点对称的区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性正好相反．

判断单调性：作差法与作商法是用定义证明函数单调性的两种基本方法，作差时，只需判断差的符号的正负即可；作商时，既要分清函数的符号又要判断商与“1”的大小，常见指数函数及幂函数都可用作商法去判断它的单调性.

②描点，连线:

由图象可知,五个函数的定义域、值域、奇偶性、单调性分别如（2）中表格所示.

∞））∞））典题·热题·新题

例1 幂函数f （x ）的图象过点（4，

1），那么f -1

（8）的值是( ) A.22 B.64 C.

D.641

思路解析：因为f(x)为幂函数，可先设出该函数，将点代入所设函数中，再根据原函数与

其反函数的关系．解：设f （x ）=x a

，将（4，

21）点代入得2

1=4a

， ∴a=-2

1，f （x ）=21

-x .令x 21-2=8，得x=8-2

=641.

答案：D

深化升华注意此处空半格（1）由

21=4a 求a 可化成同底2-1=22

a ，由2a=-1，得a=-2

1. （2）联系互为反函数的x 、y 之间的对应关系求解，事半功倍.

此类题是没有必要求y=f -1

（x ）的. 例2 已知幂函数f （x ）=3

22--m m x

（m ∈Z ）的图象关于y 轴对称且与x 轴、y 轴无交点.

（1）求函数f （x ）的解析式，并画出它的图象；（2）讨论函数g （x ）=)

()(x xf b

x f a

的奇偶性（a 、b ∈R ）. 思路解析：求解本题的关键是先确定m 的值，写出f （x ）的解析式，再把f （x ）代入g （x ），判断g （x ）的奇偶性.

解：（1）由幂函数的图象与x 、y 轴无公共点，∴m 2

-2m-3<0，即-1

把m=0，1，2分别代入得f （x ）=x -3，f （x ）=x -4，f （x ）=x -3

，

只有f （x ）=x -4符合条件，故m 只能取1,∴f （x ）=x -4

. 其图象如下图所示.

（2）把f （x ）=x -4

代入g （x ）的解析式，得

g （x ）=a

4-x -

24x a x x b =?--bx 3（x ≠0），g （-x ）=2

)

(x a --b(-x)3=2x a +bx 3

， ∴当a ≠0，b ≠0时，g （x ）为非奇非偶函数；

当a=0，b ≠0时，g （x ）为奇函数；当a ≠0，b=0时，g （x ）为偶函数；

当a=b=0时，g （x ）既为奇函数又为偶函数. 拓展延伸求函数解析式常见的方法

（1）待定系数法，即已知条件告诉了曲线的种类和方程的整体形式，可先设出方程，再求出待定系数；

（2）拼凑法或换元法，即已知f ［g （x ）］，求f （x ）.但应注意，此时x 的定义域是g （x ）的值域.

例3 求出函数f （x ）=4

45422++++x x x x 的单调区间，并比较f （-π）与f （-22

）的大小.

思路解析：要写出f （x ）的单调区间，可通过化简把f （x ）转化成我们熟悉的基本初等函

数的形式，利用基本初等函数的单调区间，表示出f （x ）的单调区间.

解：f （x ）=4

41442

2+++++x x x x =44112+++x x 4=1+（x+2）-2

，它是由g （x ）=x -2

向左平移2个单位，再向上平移1个单位而得到的.

∵g （x ）的单调增区间是（-∞，0），单调减区间是（0，+∞），

∴f （x ）=4

422++++x x x x 的单调增区间是（-∞，-2），

单调减区间是（-2，+∞），f （x ）的图象关于直线x=-2对称. ∵-π∈（-∞，-2），-

22∈（-2，+∞），-22关于x=-2对称的点的横坐标是2

2-4，

又∵

22-4<-π，∴f （22-4）

）

+m ）1

22--m m x

，当m 取什么值时，

（1）f （x ）是正比例函数；（2）f （x ）是反比例函数；

（3）在第一象限内它的图象是上升曲线？思路解析：据相关函数的定义及性质去处理.

解：（1）令m 2

-2m-1=1，得m 2

-2m-2=0.∴m=1±3，此时m 2

+m ≠0.

（2）令m 2-2m-1=-1，得m 2

-2m=0.∴m 1=0，m 2=2.

当m=0时，m 2

+m=0，不合题意.∴m=2. （3）由题意，得

?????>-->+.012,

2m m m m ∴???-<+>>-<.

21,21,0,1m m m m 或或 ∴m ＜-1，或m ＞1+2.

误区警示注意此处空半格要考虑系数对问题的影响，对问题作合理的结论.本题极易误认为还包括：

?????<--<+.

012,

2m m m m 即1-2＜m ＜0，为什么是错误的呢？是因为没有注意到“在第一象限内”这一要求.

例5 求证：函数y=x 3

在R 上为奇函数且为增函数.

思路解析：根据奇函数的定义以及判断函数单调性的方法去证明．

解：显然f(-x)=(-x)3=-x 3

=-f(x)，是奇函数；

令x 1

其中，显然x 1-x 2<0，x 12

+x 1x 2+x 22

=(x 1+

21x 2)2+43x 22，由于(x 1+21x 2)2≥0，4

3x 22

≥0，且不能同时为0，否则x 1=x 2=0，故(x 1+21x 2)2+4

3x 22

>0.从而f(x 1)-f(x 2)<0.所以该函数为增函数.

深化升华注意此处空半格判断函数奇偶性的时候，要先观察它的定义域是否关于原点

对称，再判断 f(-x)与f(x)的关系．本题中已给定义域为R ，故只需判断 f(-x)与 f(x)的关系．判断单调性时要严格按照单调函数的定义去证明．例6 求函数y=log 24xlog 22x 在

≤x ≤4的最值，并给出取最值时对应的x 的值．思路解析：本题采用换元法进行求解.

解：已知函数化简成y=(log 24+log 2x)(log 22+log 2x)=log 22

x+3log 2x+2 令log 2x=t ，则原函数变成y=t 2

+3t+2=(t+32)2-4

1， ∵

≤x ≤4,∴t=log 2x ∈［-2,2］. 所以当t=-23，即x=23

2-时，函数有最小值为-4

当t=2，即x=4时，函数有最大值为12.

深化升华注意此处空半格采用换元法进行解题时，要注意换元前后变量取值范围的变化．

幂函数题型归纳

幂函数知识点归纳及题型总结一、幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数定义说明： 1、定义具有严格性，x α系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况二、幂函数的图像幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜时图像是横卧的抛物线.例如()1 2x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如() -1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像三、幂函数的性质幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解 2、奇偶性要结合定义域来讨论 3、单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两

点；α≤0时，过（1,1） 5、由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义（1）下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = （2（3 2 3 1．（1）、函数3 x y =的图像是（）（2）右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是（）

幂函数(基础+复习+习题+练习).docx

考纲要求：①了解彖函数的概念. a 1 1 ② 结合函y = x, y = x2,y = x3,y = — ,y = x2的图像，了解它们的变化情况. x 教材复习 1.形如的函数叫做幕函数，其中是自变量，是常数，如 MB MM MM MM MM MM MM MM ?MM MM MM ■ y = x x, y = x?,y =，,y = 2",y = A，y = 2,其中是離函数的有_________________________ ?2 函数 y = x 9 y = x^ 3 y = x1 y = y = x'1 图像 L r r r L 0 0 定义域值域奇偶性单调性定点 .同一坐标系中五种幕函数的图像（右下图）: 4.幕函数的特点： ①幕函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性； ②幕函数的图像最多只能出现在两个象限内； ? 如果幕函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点. ④仅的正负：G〉0时，图像过（0,0）和（1,1）,在第一象限的图像上升；&<0时，图像不过原点，盘第一象限的图像下降； ⑤曲线在第一象限的凹凸性：Q>1时，曲线下凹；0

典例今析: 题型一：幕函数的概念及解析式问軀7，⑴下列函数是幕函数的序号是___________ ? y = 2X;②）'=2才；③ y =（兀+ 2『；④ y = ;⑤ y = / ］、I /n"（2）已知離函数y = /（x）的图像经过点4丄，则f⑵=A.- B.4C.与 D.迈 I 2 丿 4 2 题型二：幕函数图像与解析式的对应问龜三，（1）如图给出4个幕函数的图像，则图像与函数大致对应的是 D. c

高中数学基本初等函数知识点梳理

第二章基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈

【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数

〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且

2021高考数学人教版一轮复习练习：第二章第4节幂函数与二次函数

多维层次练10 [A级基础巩固] 1．(多选题)已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋1在区间(2，3)上是单调函数，则实数a的取值范围可以是() A．(－∞，2] B．[2，3] C．[3，＋∞) D．[－3，－2] 解析：f(x)图象的对称轴为x＝a，若f(x)在(2，3)上单调递增，则a≤2，若f(x)在(2，3)上单调递减，则a≥3，因此选项A、C、D满足．答案：ACD 2．已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)x m在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p：由|m＋1|<1得－2

A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关解析：设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b. 所以M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．答案：B 4．(2020·广东揭阳一中检测)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]是具有相同的单调性，则k的取值范围是() A．(－∞，－2) B．[2，＋∞) C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：易知f(x)＝－x3＋m在R上是减函数．依题设，函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上单调递减，所以抛物线的对称轴k 2≥1，所以k≥2. 答案：B 5．(多选题)已知定义在[1－a，2a－5]上的偶函数f(x)在[0，2a－5]上单调递增，则函数f(x)的解析式可能是() A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝－a|x| C．f(x)＝x a D．f(x)＝|x－a| 解析：因为函数f(x)是定义在[1－a，2a－5]上的偶函数，所以1－a＋2a－5＝0，解得a＝4，所以函数f(x)的定义域是[－3，3]．研究的区间是[0，3]，从而能够得到A，C项对应的函数都满足在[0，3]上

幂函数及函数应用(习题)

1 幂函数及函数应用（习题） 1. 下列函数属于幂函数的是（） A ．3y x =- B ．3y x -= C ．32y x = D ．31y x =- 2. 幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（） 3. A ．p ，q 均为奇数，且 0p q > B ．p 是奇数，q 是偶数，且0p q < C ．p 是偶数，q 是奇数，且0p q > D ．p 是偶数，q 是奇数，且 0p q < 4. 已知幂函数()y f x =的图象过点1(22 ，，则2log (2)f 的值为（） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 5. 下列不等式在0a b <<的条件下不成立的是（） A ．22 b a < B ．1133 a b < C ．223 3 a b - - > D ．11a b --> 6. 若幂函数35()m f x x m -=∈N （）在(0，+∞)上是减函数，且满足()()f x f x -=，则m 的值可能为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7. 函数3()32f x x x =-+的零点为（） A ．1，2 B ．±1，-2 C ．1，-2 D ．±1，2

2 8. 已知函数2()2x f x x -=+，那么方程()3f x =的实数解的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10. 设()lg 3f x x x =+-，用二分法求方程lg 30x x +-=在(2，3)内近似解的过程中得f (2.25)<0，f (2.75)>0，f (2.5)<0，f (3)>0，则方程的根落在区间（） A ．(2，2.25) B ．(2.25，2.5) C ．(2.5，2.75) D ．(2.75，3) 12. （1）函数2 y x - =的定义域为______________．（2）函数y =_______________． 13. 已知函数021 ()0x x f x x -?-?=>≤（）（），则((2))f f -=_________． 14. 如图，点2)在幂函数()f x 的图象上，点1 (2)4 -，在幂函数g 上，若()()f x g x =，则x 的值为___________． y

幂函数与二次函数

幂函数与二次函数基础梳理 1．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3 ，y ＝x 12， y ＝x －1的图象分别如右图． 3.二次函数的图象和性质解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ???? ??4ac －b 24a ，＋∞ ? ????－∞，4ac －b 24a 单调性在x ∈??????－b 2a ，＋∞上单调递增在x ∈? ????－∞，－b 2a 上单调递减在x ∈? ????－∞，－b 2a 上单调递增在x ∈??????－b 2a ，＋∞上单调递减奇偶性当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数顶点 ? ????－b 2a ，4ac －b 24a 对称性图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形 5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)

(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)

函数y ＝f (x )对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 2 2对称． (2)一般地，函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．练习检测 1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3. 答案 A 2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )． A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12 答案 B 3．(2011·浙江)设函数f (x )＝? ???? －x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )． A ．－4或－2 B ．－4或2 C ．－2或4 D ．－2或2 解析由????? α≤0，－α＝4或? ???? α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B. 答案 B 4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，

高中数学必修1第二章基本初等函数测试题(含答案)人教版

《基本初等函数》检测题一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为（） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是（） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是（） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（）

A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8．函数()lg(101)2 x x f x =+-是（） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是（） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?，， ,则1[()]3 f f = ． 13．若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3

第二章指数函数、对数函数与幂函数半期复习讲义(学生用)

第二章指数函数、对数函数与幂函数一、知识回顾（一）指数与指数函数 1．根式:（1）根式的概念（2）两个重要公式 ①????????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂（1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a -*== >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q)；②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q)；③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q)。 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数

注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二）对数与对数函数 1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数， N 叫做真数。（2 2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②log 1a a =，③log N a a N =，④log N a a N =。（2）对数的重要公式： ①换底公式：log log (,1,0)log N N a b b a a b N =>均为大于零且不等于；②1log log b a a b =。（3）对数的运算法则：如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=；②N M N M a a a log log log -=； ③)(log log R n M n M a n a ∈=；④ b m n b a n a m log log =。 x=1

幂函数的图像与性质教案与练习

幂函数得图像与性质【知识整理】 1、幂函数得定义一般地,形如(Ｒ)得函数称为幂函数,其中就是自变量,就是常数、如等都就是幂函数，幂函数与指数函数,对数函数一样，都就是基本初等函数、注意：中,前面得系数为1,且没有常数项。２、幂函数得图像（1） (2） (３) （４) （5) 定义域R R R 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限单调增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减定点(１,1) (1，１）(1，1）（１，1) （1,1）（1）所有得幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：)；（2）时，幂函数得图象通过原点，并且在区间上就是增函数．特别地,当时,幂函数得图象下凸；当时，幂函数得图象上凸; （3）时，幂函数得图象在区间上就是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正

半轴。基础训练: 1、下列函数就是幂函数得就是（） A．y=5xＢ.y=ｘ5 C．y=5ｘD。y=（x+1）3 2、已知函数ｙ＝(m2+2ｍ－2)xｍ＋2＋２n—3就是幂函数，则ｍ=___＿___＿，n=____＿__＿_、 3、已知幂函数f(ｘ）=ｘα得图象经过点（9,3），则f（100）＝________. 4、下列幂函数在（—∞，0）上为减函数得就是（) A.ｙ=ｘB。y=x２ C。y＝x3D。ｙ=x 1 2 ５、下列函数中，定义域为R得就是( ） A.y＝x-2 B.y＝x错误!Ｃ。y=x２D．y=x—1 6、函数y=x错误!得图象大致就是（） 7、下列函数中,既就是偶函数,又在区间（0,+∞）上单调递减得函数就是（) A.y＝x－2Ｂ．y＝ｘ-1 C。ｙ＝x2 D。y＝x错误! 8、函数y=x－2在区间[错误!，2]上得值域为＿__＿____。 9、设α∈｛－1，1，＼f（1，2），3｝,则使y=ｘα得定义域为R且为奇函数得所有α得值组成得集合为________。例题精析: 例１、如图,图中曲线就是幂函数y＝ｘα在第一象限得大致图象.已知α取- ２，—错误!，错误!，２四个值,则相应于曲线C １，C ２ ,Ｃ3，C4得α得值依次为＿ __＿__________ 变式训练:

_幂函数及图象变换_基础

_幂函数及图象变换_基础巩固练习 1．下列函数中，3543 1 ,21,,y y x y x x y x x = =+=+=是幂函数的个数是（）． A.1 B.2 C.3 D.4 2.函数12 y x - =的定义域是( ) A.[0，+∞） B.(-∞，0) C.(0，+∞) D.R 3.函数23y x =的图象是( ) 4.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数是( ) A.2y x -= B. 1y x -= C. 2 y x = D. 13 y x = 5.幂函数35 m y x -=，其中m ∈N ，且在(0，+∞)上是减函数，又()()f x f x -=，则m=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.若幂函数y x α =的图象在01 C.0<α<1 D.α<0 7.下列结论中正确的个数有( ) (1)幂函数的图象一定过原点； (2) 当α<0时,幂函数y x α =是减函数； (3)当α>0时，幂函数y x α=是增函数；(4)函数2 2y x =既是二次函数，又是幂函数. A.0 B.1 C.2 D.3 8. 三个数12 1.2a =，12 0.9b - =，11c =( ) A.c-，则实数a 的取值范围是 . 12．函数1 (1)y x -=+的单调递减区间为 . 13.比较下列各组中两个值大小 (1)6611 11 0.60.7与； (2)553 3 (0.88)(0.89).--与 14. 已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且2 ()2f x x x =+．（1）求函数()g x 的解析式；（2）解不等式函数()()|1|g x f x x ≥--．答案与解析 1．B 根据幂函数的定义判断，5 35 4431,y x y x x x -====是幂函数．

2017高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.4.2幂函数对点训练理

2017高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质 2.4.2 幂函数对点训练理 1．若幂函数f (x )的图象经过点? ?????3，33，则其定义域为( ) A ．{x |x ∈R ，且x >0} B ．{x |x ∈R ，且x <0} C ．{x |x ∈R ，且x ≠0} D ．R 答案 A 解析设f (x )＝x α，∴3α＝3 3，α＝－12，f (x )＝x －12 ， ∴其定义域为{x |x >0}，选A 项． 2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( ) A ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1 B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1 C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 12 ，③y ＝x 2，④y ＝x －1 答案 B 解析 ②的图象关于y 轴对称，②应为偶函数，故排除选项C 、D.①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A.选B.

3．若f (x )＝x 23 －x － 12 ，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________．答案 (0,1) 解析令y 1＝x 23 ，y 2＝x － 12 ，则f (x )<0即为y 10，解得m ＝－1.

赏析幂函数的图象特征及应用

一、幂函数图像的分布规律幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。 1.“一全有”：指所有幂函数的图像在第一象限都出现，分布情况如图1所示，其特点如下：①抓住三条特征线：直线x=1，y=x ，y=1把幂函数的图像分为三个区域，这三个区域对应着幂函数y=x α在α<0,0<α<1, α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=x α图像的区域分布情况为：在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x 轴。 2.“二一偶”：指当幂函数为偶函数时，其图像关于y 轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。 3.“三一奇”：指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。 4.“四必无”：指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。二、幂函数图像的应用 1.识别图像例1.图2中的曲线是幂函数y=x α在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为（） A.-2，-12，12，2 B.2，12，-12，-2 C.- 12，-2，2，12 D.2，12，-2，-12 解：根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值排序是由大到小，故选B 。 2.用于判断方程的个数例2.方程x 2=2x 的根的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.

解：令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。

(word完整版)高一数学幂函数测试题

一、选择题 1、 3 a · 6 a -等于 A.－a - B.－a C. a - D. a 2、已知函数 f （x ）=? ????<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x 则 f （2+log23）的值为 A.31 B.61 C.12 1 D.24 1 3、在f1（x ）=x 2 1，f2（x ）=x2，f3（x ）=2x ，f4（x ）=log 2 1x 四个函数中，x1＞x2＞1时，能使21 ［f （x1）+f （x2）］＜f （2 21x x +）成立的函数是 A.f1（x ）=x 2 1 B.f2（x ）=x2C.f3（x ）=2x D.f4（x ）=log 2 1 x 4、若函数y 21 log (2-log2x)的值域是(-∞,0),那么它的定义域是() A.(0,2) B.(2,4) C.(0,4) D.(0,1) 5、下列函数中，值域为R+的是（）（A ）y=5 x -21（B ）y=(31 )1－x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 6、下列关系中正确的是（）（A ）（21）32<（51）32<（21）31（B ）（21）31<（21）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32（D ）（51）32<（21）32<（21）31 7、设f:x →y=2x 是A →B 的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A 满足 A.A={1，2，4，8，16} B.A={0，1，2，log23}

C.A ?{0,1,2,log23} D.不存在满足条件的集合 8、已知命题p ：函数 ) 2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数 x a y )25(--= 是减函数。若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是 A ．a ≤1 B ．a<2 C ．10或a ≤－8 B ．a>0 C ． 3180≤