最新高考文科数学圆锥曲线专题复习
圆锥曲线专题复习
抛物线：
图形
x
y
O F
l
x
y
O F
l
方
程
)0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x
焦
点 )0,2
(p )0,2(p -
)2,0(p
)2,0(p -
准
线 2
p x -= 2p x =
2p y -=
2
p y =
（一）椭圆
1. 椭圆的性质：由椭圆方程)0(122
22>>=+b a b
y a x
（1）范围：a x b -a ，x a ≤≤≤≤-，椭圆落在b y ±=±=a ，x 组成的矩形中。
（2）对称性:图象关于y 轴对称。图象关于x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，
简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -。加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴。长分别为b a 2,2。b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。a c
e =
?2)(1a
b e -=。10< c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例。,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为是椭圆在1=e 时的特例。 2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率。 椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程 对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 2 2:= 对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 2 2:= 焦点到准线的距离c b c c a c c a p 2 222=-=-=（焦参数） （二）双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性 由标准方程122 22=-b y a x ，从横的方向来看，直线x ＝－a,x ＝a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不 封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。 （2）顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a,a 叫做实半轴长。虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长。 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。 （3）渐近线 过双曲线12222=-b y a x 的渐近线x a b y ±=（0=±b y a x ） （4）离心率 双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e == 22，叫做双曲线的离心率 范围：e>1 双曲线形状与e 的关系：1122 2 22-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。 2. 等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e 。 3. 共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ± =)0(>±=k x ka kb ，那么此双曲线方程就一定是： )0(1)()(2 2 22>±=-k kb y ka x 或写成λ=-22 22 b y a x 。 4. 共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。 5. 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>= a c a c e 的点的轨迹是双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e 是双曲线的离心率。 6. 双曲线的准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对 应着右准线c a x l 2 2:=； 焦点到准线的距离c b p 2 =（也叫焦参数）。 对于12222=-b x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2 1:-=；相对于上焦点),0(2c F 对 应着上准线c a y l 2 2:=。 （三）抛物线的几何性质 （1）范围 因为p ＞0，由方程()022 >=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标（x ，y ）满足不等式x ≥0，所 以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 （2）对称性 以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 （3）顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y ＝0时，x ＝0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点。 （4）离心率 抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示。由抛物线的定义可知，e ＝1。 【典型例题】 例1. 根据下列条件，写出椭圆方程 （1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8； （2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且经过点（2，－3）； （3）中心在原点，焦点在x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的 距离是510－。 分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2＝b2＋c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。 解：（1）焦点位置可在x 轴上，也可在y 轴上 因此有两解： 112 x 16y 112y 16x 2 222=+=+或 （2）焦点位置确定，且为（0，5±），设原方程为22 221y x a b +=,（a>b>0），由已知条件有 ?????=+=-1 4 95 2222b a b a 10,152 2==?b a ，故方程为110x 15y 22=+。 （3）设椭圆方程为122 22=+b y a x ,（a>b>0） 由题设条件有?? ?-=-=5 10c a c b 及a2＝b2＋c2，解得b ＝10,5=a 故所求椭圆的方程是15 y 10x 2 2=+。 例2. 直线1+=kx y 与双曲线132 2=-y x 相交于A 、B 两点，当a 为何值时，A 、B 在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？ 解：把1+=kx y 代入132 2=-y x 整理得：022)3(2 2=---ax x a ……（1） 当3±≠a 时，2424a -=? 由?>0得6a 6<<-且3±≠a 时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点 若A 、B 在双曲线的同一支，须3 2 2